2025-2026學年八年級上冊數(shù)學單元檢測卷第十五章二次根式·能力提升建議用時：120分鐘，滿分：120分一、選擇題（本大題共12個小題，每小題3分，共36分．在每個小題給出的四個選項中，只有一項符合題目要求，請選出并在答題卡上將該項涂黑）1．（24-25八年級上·河北邢臺·階段練習）當時，下列二次根式有意義的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】主要考查了二次根式的意義和性質(zhì)．概念：式子叫做二次根式．性質(zhì)：二次根式中的被開方數(shù)必須是非負數(shù)，否則二次根式無意義．根據(jù)二次根式的定義逐項判斷即可．【詳解】解：A中，當時，，被開方數(shù)小于0，二次根式無意義，故選項不符合題意；B中，當時，，被開方數(shù)小于0，二次根式無意義，故選項不符合題意；C中，當時，，被開方數(shù)小于0，二次根式無意義，故選項不符合題意；D中，當時，，被開方數(shù)大于0，二次根式有意義，故選項符合題意；故選：D．2．（24-25八年級上·河北邢臺·階段練習）以下二次根式，①，②，③，④，其中有一個與其他二次根式的值不相等，則這個二次根式是（

）A．① B．② C．③ D．④【答案】A【分析】本題考查二次根式的性質(zhì)與化簡，熟練掌握二次根式的性質(zhì)：和是解題的關鍵．利用二次根式的性質(zhì)化簡即可解答．【詳解】解：①；②；③；④；∴與其他二次根式的值不相等的是①，故選：A．3．（24-25八年級上·河北石家莊·期中）下列計算正確的是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查了二次根式的加法，乘法，除法的運算以及二次根式的性質(zhì)，根據(jù)二次根式的加法，乘法，除法的運算法則逐項計算判斷即可．【詳解】解：A．和不是同類二次根式，不能相加，故該選項不符合題意；B．，計算正確，故該選項符合題意；C．，原計算錯誤，故該選項不符合題意；D．，原計算錯誤，故該選項不符合題意．故選：B．4．如圖，點在數(shù)軸上，則可以近似表示的運算結果的點是（）A．點 B．點 C．點 D．點【答案】C【分析】本題考查了二次根式的混合運算、估算無理數(shù)的大小、實數(shù)與數(shù)軸，先根據(jù)二次根式混合運算的法則得出，再估算出的大小，結合數(shù)軸即可得出答案．【詳解】解：，，，即，，由數(shù)軸可得：點在到之間，故選：C．5．（24-25八年級上·河北邢臺·期末）若成立，則的值可以是（

）A． B．0 C．2 D．3【答案】B【分析】根據(jù)二次根式需滿足被開方數(shù)大于等于零，然后根據(jù)題意二次根式的性質(zhì)列不等式求解即可．本題主要考查二次根式的概念及性質(zhì)、一元一次不等式組的解法，關鍵是根據(jù)二次根式的概念列出不等式組即可．【詳解】解：∵成立，∴且且，解得：，∴的值可以是0．故選：B6．（24-25八年級下·河北唐山·期中）已知，且均為整數(shù)，則（

）A．0 B．2 C．25 D．42【答案】A【分析】本題考查的是二次根式的化簡與二次根式的性質(zhì)，由條件可得，，可得，，進一步可得答案．【詳解】解：∵，且均為整數(shù)，∴，，∴，，∴，故選：A．7．（24-25八年級下·河北滄州·期末）若m為實數(shù)，在“□m”的“□”中添上一種運算符號（在“”“”“”“”中選擇）后，其運算的結果為有理數(shù)，則m的值不可能是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查二次根式的運算，熟練掌握運算法則是解題的關鍵．通過選擇不同運算符使結果有理數(shù)，需逐一驗證各選項的可能性．【詳解】解：A、，不符合題意；B、，不符合題意；C、，，，，無論中間是哪種運算符號，運算結果均不為有理數(shù)，符合題意；D、，不符合題意；故選C．8．（24-25八年級下·河北邯鄲·期末）下面是一位同學做的練習題，他的得分應是（

）填空：（每小題4分，共20分）①的倒數(shù)是；②的絕對值是；③________：④，則；⑤A．8分 B．12分 C．16分 D．20分【答案】B【分析】本題考查了實數(shù)的性質(zhì)，立方根，零指數(shù)冪以及二次根式的乘除運算，根據(jù)分母有理化，相反數(shù)、倒數(shù)，絕對值，立方根，二次根式的乘除運算，根據(jù)倒數(shù)、絕對值、立方根的定義及二次根式的運算法則計算逐項判斷即可求解，掌握以上知識點是解題的關鍵．【詳解】解：①的倒數(shù)是，該題做錯了，不得分；②的絕對值是，該題做對了，得4分；③，該題沒做，不得分；④，則，該題做對了，得4分；⑤，該題做對了，得4分；綜上，正確題數(shù)為3題，每題4分，總得分為（分），故選：B．9．（2024·河北·模擬預測）老師在復習二次根式的運算時，給出了一道題：計算．甲、乙分別給出了不同的解法：甲：．乙：．對于甲、乙的計算過程及結果，下列判斷正確的是（

）A．甲和乙都對 B．甲對乙錯C．甲錯乙對 D．甲和乙都錯【答案】A【分析】本題主要考查了乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算，解題的關鍵是熟練掌握乘法分配律的逆用和二次根式的混合運算法則，根據(jù)二次根式的混合運算法則和乘法分配律的逆用即可進行解答．【詳解】解：根據(jù)題意可得：甲和乙都對，故選：A．10．（24-25八年級上·河北石家莊·期中）將中根號外的移到根號里后得到的式子為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了二次根式的性質(zhì)與化簡，二次根式的乘法，熟練掌握二次根式的性質(zhì)是解題的關鍵．根據(jù)二次根式有意義的條件得出，再根據(jù)二次根式的性質(zhì)即可解答．【詳解】解：由題意可知：，，故選：A．11．（24-25八年級下·河北廊坊·階段練習）對于任意的正數(shù)，，定義運算，，計算的結果為（

）A． B． C．2 D．【答案】D【分析】本題主要考查了新定義下的實數(shù)運算、二次根式混合運算、運用平方差公式進行運算等知識，熟練掌握二次根式混合運算法則是解題關鍵．根據(jù)新定義的運算，結合二次根式運算法則和平方差公式進行求解即可．【詳解】解：根據(jù)題意，可得．故選：D．12．（24-25八年級上·河北滄州·期中）例如：．像這樣通過分子、分母同乘一個式子把分母中的根號化去或者把根號中的分母化去，叫作分母有理化．有下列結論：①若a是的小數(shù)部分，則的值為；②；③已知，，則；④設實數(shù)m，n滿足，則．其中說法正確的個數(shù)是（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】本題考查了分母有理化．熟練掌握平方差公式，有理化因式，完全平方公式變形求值，二次根式的混合運算，是解題的關鍵．判斷四個結論的正確性，逐一分析每個結論的解題過程．①的小數(shù)部分．得，結論①正確．②，結論②錯誤．③可得，，得，結論③錯誤．④由已知得，得，由，得，得，得．結論④正確．【詳解】解：①∵，∴，∴的整數(shù)部分為1，∴小數(shù)部分．∴．∴①正確．②∵，∴②錯誤．③∵，，∴．∵，，∴．∴．∴③錯誤．④：∵，∴．∴．∵，∴．∴．∴．∴．∴④正確．綜上，正確結論為①和④，共2個．選：B．二、填空題（本大題共4個小題，每小題3分，共12分）13．（25-26九年級上·河北唐山·開學考試）計算．【答案】2【分析】本題主要考查二次根式的乘法運算．利用平方差公式計算二次根式的乘法即可得到答案．【詳解】解：，故答案為：2．14．（24-25八年級下·河北廊坊·期末）閱讀材料：由，可知的算術平方根是．類似的，的算術平方根是．【答案】/【分析】本題考查了完全平方公式，算術平方根，仿照閱讀材料利用完全平方公式將寫成，再根據(jù)算術平方根的定義可得答案．【詳解】解：，∴的算術平方根是．故答案為：．15．定義：若點把線段分成兩部分，且滿足較長線段是較短線段的倍，則稱點為線段的青銅分割點．已知點是線段的青銅分割點，且，則．【答案】或【分析】本題考查了線段上兩點間的距離，二次根式的計算，分類討論并根據(jù)題意正確列式是解題的關鍵．由已知條件不能確定點在線段上的位置，故要分情況討論：當時，及當時，然后進行求解即可．【詳解】解：分兩種情況考慮，①當時，根據(jù)題意設，則，∵，∴，解得，即；②當時，同理可得，故答案為：或．16．（24-25八年級下·北京東城·期中）已知為實數(shù)，記，（1）當時，的值為．（2）的最小值為．【答案】【分析】（1）將時，代入進行計算即可得到答案；（2）將式子化為，設，，，，在直角坐標系中畫出圖，根據(jù)最短路徑模型，作對稱點即可得到答案．【詳解】解：（1）當時，，故答案為：；（2），設，，，，根據(jù)題意畫出圖如圖所示：

，作關于軸的對稱點，作點關于軸的對稱點，連接與軸交于點，與軸交于點，即為所求，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了二次根式的化簡求值，最短路徑問題，熟練掌握二次根式的化簡方法以及最短路徑問題的模型，是解題的關鍵．三、解答題（本大題共8個小題，共72分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟）17．（7分）（24-25八年級下·河北保定·期末）計算：(1)；(2)．【答案】(1)3(2)2【分析】本題考查了二次根式的混合運算，解題的關鍵是根據(jù)運算法則來計算．（1）根據(jù)二次根式混合運算的運算法則進行計算；（2）根據(jù)二次根式混合運算的運算法則進行計算．【詳解】（1）解：；（2）解：．18．（8分）（24-25八年級下·河北保定·期中）已知，求下列各式的值：(1)；(2)【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了二次根式混合運算，因式分解的應用，解題的關鍵是熟練掌握二次根式混合運算法則．（1）先求出，，，再整體代入求值即可；（2）根據(jù)平方差公式，結合，，求出結果即可．【詳解】（1）解：，，，，∴；（2）解：．19．（8分）（24-25七年級下·河北保定·期中）歸納與探究(1)計算：；______；______；______；______．(2)猜想：對于任意實數(shù)一定等于嗎？利用（1）中的計算，你發(fā)現(xiàn)的值等于多少呢?(3)應用：根據(jù)上面發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，求的算術平方根．【答案】(1)5；；3；(2)對于任意實數(shù)，不一定等于；對于任意實數(shù)，有(3)【分析】此題主要考查了算術平方根的計算以及規(guī)律的探究，根據(jù)已知能準確歸納探究結果并能運用其正確化簡是解題的關鍵，此題重點培養(yǎng)學生的歸納應用能力．（1）分別計算各式的值即可；（2）根據(jù)（1）中各式運算結果，歸納出探究結果即可；（3）先利用（2）式的探究結果化簡得出答案即可．【詳解】（1）解：；；；．（2）解：對于任意實數(shù)，不一定等于；對于任意實數(shù)，有（3）解：，，．20．（8分）（24-25八年級上·河北石家莊·期末）已知a，b，m都是實數(shù)，若，則稱a與b是關于1的“平衡數(shù)”．(1)與________是關于1的“平衡數(shù)”；(2)若，判斷與是不是關于1的“平衡數(shù)”．【答案】(1)(2)不是【分析】（1）根據(jù)平衡數(shù)的定義和題意，可以列出相應的方程，然后即可求得關于1的“平衡數(shù)”；（2）根據(jù)，可以先求出m的值，然后即可計算出與的和，再看是否等于2即可．本題考查一元一次方程的應用、二次根式的混合運算、新定義，解答本題的關鍵會用新定義解答問題．【詳解】（1）解：設與x是關于1的“平衡數(shù)”，則，解得，故答案為：；（2）解：∵，∴，解得，∴，∴與不是關于1的“平衡數(shù)”．21．（9分）（24-25八年級上·河北石家莊·期末）定義：已知，都是實數(shù)，若，則稱與是關于3的“實驗數(shù)”．(1)4與_____是關于3的“實驗數(shù)”，與是關于3的“實驗數(shù)”，則是_____，表示的值的點落在數(shù)軸上的位置位于_____．(2)若，判斷與是否是關于3的“實驗數(shù)”，并說明理由．【答案】(1)；；④(2)是；理由見解析【分析】本題主要考查二次根式的混合運算，二次根式的乘除運算和加減運算．掌握本題的關鍵是：①能理解題述1的“實驗數(shù)”的定義，并據(jù)此作出計算；②掌握二次根式的化簡及同類二次根式的合并．（1）根據(jù)所給的例子，可得出實驗數(shù)的求法，由此即可計算4與是關于3的“實驗數(shù)”；（2）根據(jù)進行計算，計算與的和，根據(jù)所求得結果即可判斷．【詳解】（1）解：∵，∴與是關于的“實驗數(shù)”；∵，∴與是關于的“實驗數(shù)”，即；∵，∴，∴表示的值的點落在數(shù)軸上的位置位于1和2之間，即位置④；（2）解：與是關于的“實驗數(shù)”．理由如下：∵，∴，∴與是關于的“實驗數(shù)”．22．（9分）（24-25八年級下·河北保定·期中）在進行二次根式化簡時，如遇到，，這類式子，我們需要將其進一步化簡：；；．以上這種化簡的步驟叫作分母有理化．(1)化簡：_____．(2)，，求的值．(3)計算：．【答案】(1)(2)10(3)2025【分析】本題考查了二次根式的混合運算，熟練掌握二次根式的性質(zhì)、二次根式的乘法和除法法則是解決問題的關鍵．（1）把分子分母都乘以，然后利用平方差公式計算；（2）先求出，，，再把變形為，最后整體代入計算即可；（3）先把括號內(nèi)的部分進行分母有理化，然后合并同類二次根式再進行乘法運算即可．【詳解】（1）解：，故答案為：；（2）解：∵，，∴，∴，，∴；（3）解：．23．（11分）（24-25八年級下·河北滄州·階段練習）【閱讀材料】小華根據(jù)學習“二次根式”及“乘法公式”積累的經(jīng)驗，通過“由特殊到一般”的方法，探究“當、時，與的大小關系”．下面是小華的深究過程：①具體運算，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：當、時，特例1：若，則；特例2：若，則；特例3：若，則．②觀察、歸納，得出猜想：當、時，．③證明猜想：當、時，∵，，．當且僅當時，．請你利用小華發(fā)現(xiàn)的規(guī)律解決以下問題：(1)當時，的最小值為_____；(2)當時，的最小值為_____；(3)當時，求的最小值．【答案】