第2章實數(shù)單元測試

一、選擇題

1.（-4）2的算術平方根是（）

A.-4B.4C.-2D.一?

2.已知赤三是無理數(shù)，則加的值可以為)

A.12B.6C.3D.0

3.下列說法中正確的是（）

A.0.25的平方根是0.5

B.沒有立方根

C.。的平方根和立方根都是0

D.V9=3

4.下列二次根式中是最簡二次根式的是（)

1

A.V20B.-=C.D.Vio

72

5.-花的絕對值是（）

叵

A.V5C.-V5D.

一號5

6.如圖為洪濤同學的小測卷，他的得分應是)

力幺洪海港分，

埴空（餌小題25分,共100分）

①2的相反數(shù)是-2:

②倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和41

③'I的絕對值由1」

④8的立方根是，__?

A.25分B.50分C.75分D.100分

7.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（)

A.131和1-31B.近和一夜C.D.5?和（-5）2

8.已知實數(shù)）滿足存X+|A?2|=0,那么點尸（4,b）的坐標為（）

A.(-3,2)B.(-3,-2)C.(3,2)D.（3,-2）

24TC

9.下列實數(shù)夕，0,一,V12.-2.367,V36,一，0.6,3.1212212221-（每兩個1之間依次多一個

73

2)中，是無理數(shù)的有()

A.1個B.2個C.3個D.4個

10.如圖，點A,B,C,。在數(shù)軸上，則可以近似表示&xg-曲+2企的運算結果的點是（)

ABCD

1iiii..i1A

01234567

A.點AB.點RC.點CD.點。

11.在用和5+m之間的整數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

12.下列四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.，（-B.-V^8C.-V9D.V27

13.對于任意不相等的兩個實數(shù)小b,定義運算：?！?/?戶+1,例如3X2=32-22+1=6,那么

（-5）派4的值為（）

A.-40B.-32C.18D.10

14.下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（）

A.V10B.V17C.3.14159D.-n

15.已知工+工=5（0<x<1）,代一4=的值為（)

XVX

A.-V5B.-V3C.V5D.V3

16.點夕在數(shù)軸上運動，它所對應的數(shù)值為小如圖，當點P從點A運動到點兒則代數(shù)式?7[1心+〃+4

的最大值為（）

A.5B.C.7D.a+4

17.若迎是最簡二次根式，則〃的值可能是（）

A.2B.4C.-3D.1.5

二、填空題

18.已知A,從C是數(shù)軸上的三個點，點A,4表示的數(shù)分別是1,3,點。在點8的右側，如圖,

若BC=2AB,則點C表示的數(shù)是.

ABC

_i-----1------1_>

13

19.比較大?。篤205（填“V"或“=”）.

20.若75a的值為有理數(shù)，請你寫出一個符合條件的實數(shù)〃的值.

21.若。、b、c為三角形的三:S,則J（a+b-c）2+J"-c-a）2=.

22.若是實數(shù)，且同=a'=1+&'=^+4,則同的值是，。+。的值是.

23.若實數(shù)x滿足（x-1）2=25,則尸.

_7

24.比較大?。?瓦-（填“>”，"V”或“="）.

25.如圖所示，長方體-ABCZy中，AB=3C=4c〃?，4V=2c〃?，E是"C）的中點，一只螞

蟻從點A出發(fā)，沿長方體表面爬到E點，則螞蟻走的最短路徑長為cm.

26.如果，a<0,b<0,那么下列各式①1=造：②電x聆=1；③V石土器=一〃；?（x/ab）2

=-ab.正確的有.（填序號即可）

三、解答題

27.王老師給同學們布置了這樣一道習題：“計算1+，（。-1）2的值”,其中4為實數(shù)，同學們可以

任取一個a的值計算.

（I）若小穎取。=4,求小穎所求得代數(shù)式〃+J（a-1）2的值;

<2）若小明帶值訂算所求的答案為點請判斷小明的答案是否正確，并說明理由.

2

Xv2

28.先化簡，再求值:已知x=V5+l,V3—1,求代數(shù)式三+外+號的值.

29.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若化簡后的積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理

化因式.例如：畫與遍，、2+1與企-1,275+36與28-36等都是互為有理化因式.進行

二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.請回答下列問題：

（1）化簡：日后=------------------------

（2）比較反一VTi與舊一的大小關系；

1111,____

（3）計算：（-=+-=——+———+???+.―）（V2022—1）.

1+V2V2+V3V3+>/4V2021+V2022

30.如圖，C為線段8D上一動點，分別過點8、。作EDLBD,連接AC、EC.已知A8

=5,DE=2,80=12,設CO=x.

（1）用含x的代數(shù)式表示AC+CE的長；

（2）請問點C在8。上什么位置時，AC+CE的值最??？

（3）根據(jù)（2）中的規(guī)律和結論，請構圖求出代數(shù)式VJ7”+J（24-本產+16的最小值.

A

K.

B

E

B.一義沒有立方根

C.0的平方根和立方根都是0

D.V9=3

【答案】C

【分析】根據(jù)平方根，算術平方根，立方根的意義判斷即可.

【解答】解：4.0.25的平方根是土0.5,故選項錯誤；

B.一《有立方根，，故選項錯誤；

C.0的平方根和立方根都是0,故選項正確；

D麗*3,選項錯誤.

故選：C.

【點評】本題考查了平方根，算術平方根，立方根，熟練掌握平方根，算術平方根，立方根的意

義是解題的關鍵.

4.下列二次根式中是最簡二次根式的是（）

A.V20B.-=C.v^6D.V10

【答案】。

【分析】應用最簡二次根式的定義：（1）被開方數(shù)不含分母；（2）被開方數(shù)中不含能開得盡方

的因數(shù)或因式，（3）分母不含根號，進行判定即可得出答案.

【解答】解：A.何=2遍，，何不是最簡二次根式，故4選項不符合題意；

&???2中分母中含夜，???W不是最簡二次根式，故B選項不符合題意；

V2V2

c.,??屈=冊中被開方數(shù)為4，??.VU石不是最簡二次根式，故c選項不符合題意；

o.???內是最簡二次根式，故。選項符合題意.

故選：D.

【點評】本題主要考查了最簡二次根式，熟練掌握最簡二次根式的定義進行求解是解決本題的關

鍵.

5.-遙的絕對值是（）

A.V5B.-洛C.-y/5D.—■

55

【答案】4

【分析】利用負數(shù)的絕對值等于它的相反數(shù)解答即可.

【解答】解：|-V5|=V5,

故選：A.

【點評】本題主要考查了絕對值的意義，實數(shù)的性質，熟練掌握絕對值的意義是解題的關鍵.

6.如圖為洪濤同學的小測卷，他的得分應是（）

一幺洪濤?一分

埴空（每小胭25分.共100分,

①2的相反數(shù)是-2:

②倒教等于它本身的數(shù)的I和和：

③的絕對值是一L：

④8的立方根是二?

A.25分B.5。分C.75分D.100分

【答案】D

【分析】根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值和立方根解答即可.

【解答】解：①2的相反數(shù)是-2,正確；

②倒數(shù)等于它本身的數(shù)是1和-1,正確：

③-1的絕對值是1?正確；

④8的立方根是2,正確；

故選：￡）.

【點評】此題考查立方根、相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值，關鍵是根據(jù)相反數(shù)、倒數(shù)、絕對值和立方根

解答.

7.下列各組數(shù)中，互為相反數(shù)的一組是（）

A.131和1?31B."和一夕C.［和4D.52和（7）2

【答案】B

【分析】利用相反數(shù)的意義對每個選項進行逐一判斷即可得出結論.

【解答】解：VI-31=-30,

A131和1-31不是互為相反數(shù),

???A選項不符合題意；

???夕和一夕互為相反數(shù)，

???B選項符合題意；

???C選項不符合題意；

V52=25,(-5)2=25,

???52與（-5）2不是互為相反數(shù)，

???。選項不符合題意，

故選：B.

【點評】本題主要考查了相反數(shù)的意義，實數(shù)的性質，熟練掌握相反數(shù)的有意義是解題的關鍵.

8.已知實數(shù)〃，〃滿足71不加+步-2|=0,那么點P（a,b）的坐標為（）

A.（-3,2）B.（-3,-2）C.（3,2）D.（3,-2）

【答案】A

【分析】根據(jù)算術平方根和絕對值具有非負性可得3+〃=0,方-2=0,解可得〃、%的值，進而可

得P的坐標.

【解答】解：???VT不H+|b-2|=0,

**?3+tz=0?b-2=0,

解得：a=-3,b=2,

:?點P（小b）的坐標為（-3,2）,

故選：A.

【點評】此題主要考查了算術平方根，關鍵是掌握算術平方根和絕對值具有非負性.

24TC?

9.下列實數(shù)夕，0,—,V12.-2367,V36?一，0.6,3.1212212221-（每兩個1之間依次多一個

73

2）中，是無理數(shù)的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【答案】。

【分析】應用無理數(shù)的定義：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)，進行判定即可得出答案.

【解答】解：是無理數(shù)的有次，V12,p3.1212212221…（每兩個1之間依次多一個2）共4個.

故選：Q.

【點評】本題主要考杳了無理數(shù)，熟練掌握無理數(shù)的定義進行求解是解決的關鍵.

10.如圖，點A,B,C,在數(shù)軸上，則可以近似表示-g+2魚的運算結果的點是（）

ABCD

[II;[■[■I.1]>

01234567

A.點AB.點BC.點CD.點D

【答案】C

【分析】先將二次根式化簡，再估算結果的近似值即可得到答案.

【解答】解：夜xg—岳+2或

="2x18-^24+2

=6—\/3,

Vl2<3<22,

A1<V3<2,

A4<6-V3<5,

???可以近似表示&xV18-V24+2&的運算結果的點是C,

故選：C.

【點評】本題考查二次根式的運算及估算，解題的關犍是掌握二次根式相關運算的法則和估算舊的

近似值.

11.在原和5+JII之間的整數(shù)是（）

A.6B.7C.8D.9

【答案】C

【分析】根據(jù)平方數(shù)，進行計算即可解答.

【解答】解：???49<56<64,

A7<V56<8,

V9<11<16,

.\3<V1T<4,

A8<5+71T<9,

A7<V56<3<5+VTT<9,

???在愿和5+VTT之間的整數(shù)是8,

故選：C.

【點評】本題考查了無理數(shù)的估算，熟練掌握平方數(shù)是解題的關鍵.

12.下列四個實數(shù)中，最大的數(shù)是（）

A.，（-2/B.C.-V9D.V27

【答案】D

【分析】根據(jù)二次根式的性質以及立方根的性質化簡原數(shù)后進行比較即可求出答案.

【解答】解：4-2）2=2,-V=8=2,-V9=-3,V27=3,

故選：D.

【點評】本題考查二次根式的性質、立方根以及實數(shù)比較大小，本題屬于基礎題型.

13.對于任意不相等的兩個實數(shù)a,b,定義運算：4※力=/-從+1,例如3X2=32-22+1=6,那么

（-5）的值為（）

A.-40B.-32C.18D.10

【答案】D

【分析】直接利用已知運算公式計算得出答案.

【解答】解：（-5）※4=（-5）2-42+1=10.

故選：D.

【點評】此題主要考查了實數(shù)運算，正確運用已知公式是解題關鍵.

14.下列各數(shù)中比3大比4小的無理數(shù)是（）

A.710B.VT7C.3.14159D.-n

【答案】A

【分析】根據(jù)實數(shù)比較大小的法則可得答案.

【解答】解：3=75,4=116,

A、g是比3大比4小的元理數(shù)，故此選項符合題意：

8、g比4大的無理數(shù)，故此選項不合題意；

C、3.14159是有理數(shù)，故此選項小合題意；

D、-7T是比-3小比-4大的無理數(shù)，故此選項不符合題意；

故選:A.

【點評】此題主要考查了實數(shù)的大小比較，關鍵是掌握正實數(shù)都大于0,負實數(shù)都小于0,正實數(shù)

大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.

15.已知x+1=5（0<x<l）,正一七的值為（）

Xy/X

A.-V5B.-V3C.V5D.V3

【答案】B

【分析】先求出（五一白）2的值，再根據(jù)0VXV1可得答案.

【解答】解：??"+[=5,

；?（>/%—2=工+工-2=5-2=3,

瓜x

VO<x<l,

vX

V%—=—V3,

VX

故選：B.

【點評】本題考查二次根式的求值，解題的關鍵是掌握完全平方公式.

16.點P在數(shù)軸上運動，它所對應的數(shù)值為m如圖，當點尸從點人運動到點B,則代數(shù)式J（Q-1尸+〃+4

的最大值為（)

A.5B.。+1C.7D.。+4

【答案】C

【分析】根據(jù)數(shù)軸可知〃的取值范圍，從而可化簡原式求值.

【解答】解：由題意可知：-1W〃W2,

當a-120時，

即1—W2,

???原式=a-l+a+4

=2a+3,

當a-IV0時，

即-

，原式=-（a-1）+a+4,

二5,

???當a=2時，

此時代數(shù)式最大值為：7,

故選：C.

【點評】本題考查絕對值的性質，解題的關鍵是熟練運用絕對值的性質，本題屬于基礎題型.

17.若返是最簡二次根式，則〃的值可能是（）

A.2B.4C.-3D.1.5

【答案】A

【分析】根據(jù)最簡二次根式、二次根式有意義的條件解答即可.

【解答】解：A、&是最簡二次根式，符合題意；

B、V4=2,不是最簡二次根式，不符合題意；

c、F，不是二次根式，不符合題意；

3匹

=-

VL522不是最簡二次根式，不符合題意;

故選

兒

【點評】本題考查的是最簡二次根式、二次根式有意義的條件，掌握最簡二次根式的概念是解題

的關鍵.

二、填空題

18.已知A,B,。是數(shù)軸上的三個點，點A,B表示的數(shù)分別是1,3,點。在點8的右側，如圖，

若BC=2AB,則點C表示的數(shù)是一7.

ABC

_j---1-------1_>

13

【答案】見試題解答內容

【分析】先利用點A、3表示的數(shù)計算出A從再計算出8C,然后計算點C到原點的距離即可得

到。點表示的數(shù).

【解答】解：???點A,8表示的數(shù)分別是1,3,

：.AB=3-1=2,

?；BC=2AB=4,

???0C=OA+AB+BC=1+2+4=7,

???點。表示的數(shù)是7.

故答案為7.

【點評】本題考查了數(shù)軸：所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點表示，但數(shù)軸上的點不都表示有理

數(shù).（一般取右方向為正方向，數(shù)軸上的點對應任意實數(shù)，包括無理數(shù).）

19.比較大小：V20V5（填或“="）.

【答案】V.

【分析】先求出5=生，再比較根號內的數(shù)即可求解.

【解答】解：???5=庫，2OV25,

.\V20<5.

故答案為：V.

【點評】本題考查實數(shù)的大小比較，解題的關鍵是掌握比較有理數(shù)和根號形式無理數(shù)的大小的方

法.

20.若6a的值為有理數(shù)，請你寫出一個符合條件的實數(shù)〃的值_遍_.

【答案】V3.

【分析】應用有理數(shù)與無理數(shù)的定義進行計算即可得出答案.

【解答】解：V3xV3=3,3是有理數(shù).

故答案為：V3（答案不唯一）.

【點評】本題主要考查了有理數(shù)與無理數(shù)，熟練掌握有理數(shù)與無理數(shù)的定義進行求解是解決本題

的關鍵.

21.若〃、從「為二角形的二切.則+b-Q2+J（h-c一"=2〃.

【答案】見試題解答內容

【分析】由a,b,c為三角形的三邊，根據(jù)三角形三邊關系，即可得a\b>c,c\a>b,又由

J（a+b-c）2+d（b—c—a—=\a+h-c|+|Z??c?a|,即可求得答案.

【解答】解：???〃、A、c為三角形的三邊

a+b>Cyc+a>b

原式=|4+〃-c\+\h-c-a\=a+b-c+c+a-h=2a

故答案為：2a

【點評】此題考查了一次根式的性質和三角形三邊的關系.此題難度適中，注意掌握后=|"

22.若〃、b是實數(shù)，且|a|=+V2-2Z）+4,則同的值是4,a+b的值是-3或5.

【答案】4,?3或5.

【分析】根據(jù)二次根式有意義的條件可求出。與〃的值，然后代入原式即可求出答案.

【解答】解：由題意可知：人-120,2-2〃20,

故b=1,

???⑷=0+0+4=4,

，a=±4,

當a=4時，

a+b=4+\=5,

當〃=-4時，

a+b=-4+1=-3.

所以a+b=-3或5,

故答案為：4,-3或5.

【點評】本題考查二次根式有意義的條件，解題的關鍵是正確求出。與人的值，本題屬于基礎題

型.

23.若實數(shù)x滿足（x-1）2=25,則尸6或-4.

【答案】6或-4.

【分析】根據(jù)平方根的性質，由（x?l）2=25,得x-l=±5,進而求得％=6或-4.

【解答】解：???（廠1）2=25,

Z.A-1=±5.

當％-1=5時，x=6.

當x?1=?5時,x=-4.

綜上：x=6或-4.

故答案為：6或-4.

【點評】本題上要考查平方根的性質，熟練掌握平方根的性質是解次本題的關鍵.

___7

24.比較大小：房>-(填“>”，或“=").

4

【答案】>.

__7__7

【分析】通過比較屬和Tl勺平方的大小可判斷生和一的大小.

44

【解答】解：???(V5幣2=3.5=：=||,(32=需，

,5649

而—>一,

1616

???VT53.

故答案為〉.

【點評】本題考查了實數(shù)大小比較：任意兩個實數(shù)都可以比較大小.正實數(shù)都大于o,負實數(shù)都小

于o,正實數(shù)大于一切負實數(shù)，兩個負實數(shù)絕對值大的反而小.利用平方法比較實數(shù)的大小是解決

此題的關鍵.

25.如圖所示，長方體中，AB=BC=4cm,AA'=2cmfE是B'C的中點，一只螞

蟻從點A出發(fā)，沿長方體表面爬到E點，則螞蟻走的最短路徑長為」。兒

【答案】4企.

【分析】做此題要把這個長方體中，螞蟻所走的路線放到一個平面內，由于兩點之間線段最短,

根據(jù)勾股定理即可計算.

【解答】解：如圖1所示:

由題意得：48=4,BE=BB'+B'￡=2+2=4,

在RtZXAAE中，由勾股定理得AE=TAB?+BE?=網+42=4&(cm)；

如圖2所示：

由題意得：A'E=A'B'+B'￡=4+2=6,AA'=2,

在RI/XA4'E中，由勾股定理得；AE=y/A'E2+AA，2=V62+22=2710Cem)；

V2V10>4V2,

，螞蟻走的最短路徑長為4丘cm.

故答案為：4立.

【點評】本題考查了平面展開■最短路徑問題，將長方體展開，根據(jù)兩點之間線段最短，運用勾

股定理解答即可.

26.如果，a<0,b<0,那么下列各式①^二招；②@Vab±J^=-b\?(Vab')2

=-ab.正確的有②.(填序號即可)

【答案】②.

【分析】根據(jù)二次根式的性質逐一進行化簡即可.

【解答】解：V?<0,b<Q,

????,VF沒有意義，

故①選項不符合題意：

故②選項符合題意：

③府B土第

=怖土縹

="病，

故③選項不符合題意；

④(Vab)2=ab,

故④選項不符合題意，

綜上所述，符合題意的有②,

故答案為；②.

【點評】本題考查了二次根式的性質，分母有理化，熟練掌握二次根式的性質是解題的關鍵.

三、解答題

27.王老師給同學們布置了這樣一道習題：“計算a+-的值”,其中。為實數(shù)，同學們可以

任取一個。的值計算.

（1）若小穎取。=4,求小穎所求得代數(shù)式〃+J（Q-1）2的值;

（2）若小明帶值計算所求的答案為點請判斷小明的答案是否正確，并說明理由.

【答案】（1）7；

（2）小明的答案不正確，理由見解答過程.

【分析】（1）將。=4代入計算即可；

（2）原式分aVl兩種情況考慮.

【解答】解：（1）V4>1,

:?a+q（a-1尸=。+|〃-\\=a+a-\=2a-1=2X4-1=8-I=7；

（2）小明的答案不正確，理由是：

原式=a+J（Q-1）2=a+\a-1|,

當“21時，原式=〃+〃?1=24?1=/

a=（舍），

當aVl時，原式=a+l-a=]

?,?不存在數(shù)〃，使得a+J（a-l）2的值為*

【點評】本題考查了二次根式的性質與化簡，熟練掌握二次根式的性質并分類討論是解題的關鍵.

x22

28.先化簡，再求值：已知x=V5+1,產75-1,求代數(shù)式彳+盯+§■的值.

【答案】見試題解答內容

【分析】先計算出x+y,再利用完全平方公式得到原式=劣（x+.y）2,然后利用整體代入的方法計

算.

【解答】解：?.”=百+1,y=V3-1,

.*.x+y=2V3,

+*>+今=\（x+y）2=x（2遮）2=6.

【點評】本題考食了二次根式的化簡求值：二次根式的化簡求值，一定要先化簡再代入求值.二

次根式運算的最后，注意結果要化到最簡二次根式，二次根式的乘除運算要與加減運算區(qū)分，避

免互相干擾.

29.兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，若化簡后的積不含有二次根式，我們稱這兩個代數(shù)式互為有理

化因式.例如：遍與y，、2+1與&-1,26+36與2百-3遮等都是互為有理化因式.進行

二次根式計算時，利用有理化因式，可以化去分母中的根號.請回答下列問題：

（1）化簡：_V5+V3_.

（2）比較g-jn與舊一舊的大小關系：

（3）計算：<----+-~—+―——+???+,—）（V2022—1）.

1+V2V2+V3V3+V4V2021+V2022

【答案】（1）V5+V3：

（2）V15-V14<V14-V13；

（3）2023-2V2022.

【分析】（1）仿照閱讀材料分母有理化即可；

（2）將分子有理化,比較分母大小即可得答案:

（3）先分母有理化，算出括號內的，再算乘法，最后算加減.

【解答】解：⑴原式=（店券博向=回倔

故答案為：門+百；

（2）住_舊=回