北師大版(2024)第一章《勾股定理》教學(xué)設(shè)計(jì)

學(xué)科數(shù)學(xué)年級(jí)八課型新授課單元一

課題探索勾股定理課時(shí)1

1、經(jīng)歷探究勾股定理的過程，進(jìn)一步發(fā)展學(xué)生的推理意識(shí)和主動(dòng)探究的學(xué)習(xí)習(xí)慣，體會(huì)數(shù)學(xué)與

現(xiàn)實(shí)生活的聯(lián)系。

誤標(biāo)

2、理解直角三角形三邊之間的數(shù)量關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的說理能力和推理能力。

要求

3、運(yùn)用勾股定理解決實(shí)際問題，并通過勾股定理實(shí)例了解勾股定理的歷史和運(yùn)用，體會(huì)它的文

化價(jià)值。

本章內(nèi)容主要研究勾股定理及其逆定理，包括發(fā)現(xiàn)、證明、運(yùn)用三個(gè)環(huán)節(jié)，首先讓學(xué)生觀

察發(fā)現(xiàn)兩直角邊的平方和等于斜邊的平方的結(jié)論并加以證明，從而得到勾股定理。然后運(yùn)用勾

股定理解決問題，在此基礎(chǔ)上引入勾股定理的逆定理，在勾股定理和逆定理的探索過程中，要

教材引導(dǎo)學(xué)生善于觀察、歸納和總結(jié)，并將結(jié)論運(yùn)用到問題解決中，注意體會(huì)數(shù)型結(jié)合、轉(zhuǎn)化等數(shù)

分析學(xué)思想。

本章節(jié)勾股定理的背景資料非常豐富，使學(xué)生對勾股定理的發(fā)展過程有所了解，感受勾股定

理豐富的文化內(nèi)涵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)興趣。通過介紹我國在勾股定理研究方面取得的成就，激

發(fā)學(xué)生熱愛祖國，熱愛祖國悠久文化的思想感情，培養(yǎng)學(xué)生的民族自豪感。

學(xué)情學(xué)生已經(jīng)學(xué)過三角形、等腰三角形、全等三角形及簡單的多邊形對學(xué)習(xí)勾股定理有很大的梢助，

分析但本章內(nèi)容思維最大，對思維的嚴(yán)謹(jǐn)、歸納推理能力要求較高，學(xué)生學(xué)起來有一點(diǎn)的難度。

1、掌握勾股定理，會(huì)用拼圖法驗(yàn)證勾股定理.

核心

2、掌握判斷一個(gè)三角形是直角三角形的條件。

素養(yǎng)

3、能應(yīng)用勾股定理解決實(shí)際問題.體驗(yàn)成功的快樂。

目標(biāo)

4、在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會(huì)各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

教學(xué)利用數(shù)型結(jié)合的思想驗(yàn)證勾股定理，利用勾股定理解決問題。

重點(diǎn)

教學(xué)在勾股定理及其逆定理應(yīng)用過程中，體會(huì)各種數(shù)學(xué)思想方法的應(yīng)用。

難點(diǎn)

教學(xué)課件及章節(jié)思維導(dǎo)圖

準(zhǔn)備

教學(xué)過程

教學(xué)環(huán)節(jié)教師活動(dòng)學(xué)生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

一、溫故1、知識(shí)框架1、小組內(nèi)展利用思維導(dǎo)圖，構(gòu)

示自己總結(jié)的建知識(shí)網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)

知識(shí)框圖。相圖。梳理本章知識(shí)

互交流完善如是學(xué)生的知識(shí)點(diǎn)形

識(shí)框圖.成一個(gè)完整的體

2、梳理知識(shí)。系。設(shè)計(jì)三個(gè)圖形

3、利用面枳利用求面積的方法

關(guān)系驗(yàn)證勾股驗(yàn)證勾股定理，加

定理深學(xué)生對勾股定理

的理解和掌握。也

達(dá)到數(shù)形的完美結(jié)

合。

2、知識(shí)梳理

（1）勾股定理

如果直角三角形兩更角邊分別為a,b,斜邊為c,那么

a2+b2=c2

即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

應(yīng)用條件：直角三角形

（2）勾股定理逆定理

如果三角形的三邊長a,b,c滿足。2+/^=。2,

那么這個(gè)三角形是直角三角形.

（3）勾股數(shù)

滿足/+〃=。2佗三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).

（4）勾股定理與勾股定理逆定理的區(qū)別于聯(lián)系

區(qū)別：勾股定理以“一個(gè)三角形是直角三角形”為條件,

得出三角形三邊有4+〃2=。2關(guān)系式成立.。

勾股定理逆定理：一個(gè)三角形的三邊a、b、C滿足

a2+b2=c2為條件，得出這個(gè)三角形是直角三角形的

結(jié)論.

聯(lián)系：

都與三角形三邊有關(guān)，都與直角三角形有關(guān)。

3、勾股定理的驗(yàn)證

C

區(qū)

(-)

;s正=c2=—abx4+(b—a)2=a2+b2

2

a2+Z?2=c2

猛t>

(1)

止=-^x4+C2=(4+/?)2

2

:.a2+b2=c2

J

ab

(三)

*/s柩=；(“+b)(a+0)=；abx2+；c2

：.a2+b2=c2

五、中考題型一直角三角形中已知兩邊，求第三邊。學(xué)生對五種不設(shè)計(jì)不同題型，都

鏈接1、已知一個(gè)直角三角形的兩直角邊長分別是3cm和同題型題目嘗是圍繞勾股定理展

4cm,第三邊長的平方為_25_o試解答。對有開的，在實(shí)際生活

2、已知一個(gè)直角三角形的兩邊長分別是3cm和4cm,第困難的學(xué)生教中,勾股定理有著

三邊長的平方為7或25。師適當(dāng)點(diǎn)撥。廣泛的應(yīng)用.在運(yùn)

題型二勾股定理的逆應(yīng)用解答過程注用的過程中，要注

1、下列各組數(shù)中，以它們?yōu)檫叺娜切尾皇侵苯侨且猓灰馐沁\(yùn)用勾股定理

形的是(A)1、一線三直還是運(yùn)用勾股定理

A.1.5,2,3B.8,15,17角的兩個(gè)三角的逆定理.在解決

C.6,8,10D.3,4,5形全等的證問題的過程中，尋

2、如圖，在四邊形ABCD中，ZC=90°,AB=13,BC=4,明。找和構(gòu)造垂直關(guān)系

CD=3,AD=12,求證；ADJLBD2、長方體中就成為解題的大鍵

證明：BD2=BC2+CD2=25螞蟻爬行的線所在。。

路最短問題,

4斤+2=169

需要分三種情

AB2=169況分別計(jì)算，

AD2+BD2=AB2然后找出最短

路徑。

AAD1BD.

題型三最短路線問題

如圖，有一個(gè)長方體的長、寬、高分別是6、4、4.在

底面A處有一只螞蟻，它想吃到長方體上面與A相對

的B點(diǎn)處的食物，需要爬行的最短路程是_2揚(yáng)

題型四主要數(shù)學(xué)思想……方程思想

如圖，已知長方形ABC中AB=8cm,BC=l()cm,在邊CD

上取一點(diǎn)E,將4ADE折疊使點(diǎn)D恰好落在BC邊上

的點(diǎn)F,求CE的長.

解：由折疊可知AD=AF=10cm

在RtAABF中JBF=6,FC=4|

設(shè)CE為Xcm,DE=EF=8-x

在RtZkEFC中

(8-X)‘=X'+4'

求出X=3

答：CE長3cm.

題型五勾股定理與面積

直線1上有三個(gè)正方形a、b、c,若a和c的面積分別

為5和11,則b的面積為？

A.20kmB.I4krnC.1IkrnD.10km

5.如圖，有兩棵樹：一棵高8m,另一棵高2m,兩樹

相距8m,一只小鳥從一棵樹的樹梢飛到另一棵樹的樹

梢，至少要飛10m.

第5題第6題

6.如圖所示的正方形網(wǎng)格內(nèi)，點(diǎn)A,B,C,。，E是

網(wǎng)格線交點(diǎn)，那么N'ECD+NEDC=90。.

7.一艘帆船由于風(fēng)向的原因先向正東方向航行了

16km,然后向正北方向航行了12km,這時(shí)它離出發(fā)點(diǎn)

有20km.

能力提升：

8.如圖，在一棵大樹的10m高的。處有兩只猴子，

它們同時(shí)發(fā)現(xiàn)地面上的點(diǎn)C處有一根香蕉，一只猴子

從點(diǎn)。處上爬到樹頂點(diǎn)4處，利用拉在點(diǎn)A處的滑繩

AC,滑到點(diǎn)C處，另一只猴子從點(diǎn)。處滑到地面點(diǎn)8

處，再由點(diǎn)8跑到點(diǎn)C,已知兩只猴子所經(jīng)過的路程都

是15m,那么這棵樹有多高？

由題意知BC=15-10=5(m),AD=(x-10)m,

AC=15-AD=15-x+10=(25㈤m.

在中,AZ^+BC2=AC2.

即x2+52=(25-x)2，解得x=12.

答；這棵樹有12m高.

拓展遷移：

9.如圖所示，AABC口，已知

AB=AC,D是AC上的

點(diǎn),CD=9,BC=15,BD=(2.

(1)求證ABCD是直角三角形;

⑵求△ABC的面積.

證明：(1)???CD=9,BD=12,

ACD2+BD2=81+144=225.

VBC=15,

ABC2=225.

.??CD'+BD'=BC'.

???ABCD是直角三角形，且NBDC=90°（勾股定理的逆定

理）.

解：（2）設(shè)AD=x,則AC=x+9,VAB=AC,

/.AB=x+9,

VZBDC-900,???NADB=90°,

.-.AB2=AD2+BD2,

即（X+9）2=X2+122,

解得x=3.5

AABC的面積=（3.5+9）X124-2=75

板書設(shè)利用簡潔的文字、

計(jì)符號(hào)、圖表等呈現(xiàn)

本節(jié)課的新知，可

以幫助學(xué)生理解掌

握知識(shí)，形成完整

的知識(shí)體系。

判定垂直

作業(yè)設(shè)基礎(chǔ)達(dá)標(biāo):

計(jì)1、以下列各組數(shù)為邊長，能組成直角三角形的是（A）

1課外練A.8,15,17B.4,5,6C.5,8,7D.8,39,40

習(xí)）2、如圖，一場暴雨過后，垂直于地面的一棵樹在距地面3碗折斷，樹尖少恰好碰到地面,

經(jīng)測量/I后4加，這棵大樹在折斷前的高度為（C）

A.7mB.10勿C.8mD.12m

3.如圖，在〃[△力a＞卜，N6=90°,48=8,8c=6,延長及7至夕使得方=歐，將△月蛇

沿力。翻折，使點(diǎn)〃落點(diǎn)〃處,連接M則虎'的長為（D）

A,史n36

B.—必D.—

55C55

第2題第6題

4.直角三角形三邊的長分別為3、4、x,則x可能取的值為（C）

A.5B.6或gC.5或"D.不

5.如圖，我國古代數(shù)學(xué)家得出的“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)小正方形密

鋪構(gòu)成的大正方形，若小正方形弓大正方形的面積分別是為1、13,則直角三角形兩直角邊

的和a+b=5.

6.如圖所示，有一塊直角三角形紙片，ZC=90°,AC=8cm,BC=6cm,將斜邊A8翻折,

使點(diǎn)B落在直角邊AC的延長線上的點(diǎn)E處，折痕為4。，則CE的長為2cm.

7.如圖，正方形網(wǎng)格中的△力比；若小方格邊長為1,請你根據(jù)所學(xué)的知識(shí)

（1）求△月及由勺面積.（2）判斷△力比是什么形狀？并說明理由.

解：⑴

△/歷3勺面積=8X4-1(2X3+1X8+6X4)

=32-19=13

2

（2）是直角三角形.

AB2=22+32=13BC2=62+42=52

AC2=12+82=65.

AB'BC?=AC????△ABC是直角三角形

能力提升：

8.如圖，在AABC中，ZACB=90°,AC=BC,。是AB邊上一點(diǎn)(點(diǎn)。不與點(diǎn)A,8重合)，

連接CD,將線段CD繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。得到線段CE,連接DE交3C于點(diǎn)F,連接BE.

(1)求證：△ACDgaBCE；

(：

(2)當(dāng)AD二BF時(shí)，求NBEF的度數(shù)；)飛\

(3)求證：DE2=BD2+AD2./

解：(1)證明：???ECO繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。/

得到線段CE,'『)B

：,CD=CE