北師大版（2024）八年級(jí)上冊(cè)數(shù)學(xué)第七章2認(rèn)識(shí)證明教案

第1課時(shí)定義與合題

新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

【歸納導(dǎo)入】

1?“兩點(diǎn)之間線段的長度，叫作這兩點(diǎn)之間的距離”是“兩點(diǎn)之間的距離”的定義.

2?“無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù)”是“無理數(shù)”的定義.

3?“由不在同一直線上的若干線段首尾順次連接所組成的平面圖形叫作多邊形”是

“多邊形”的定義.

4?“有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形”是“等腰三角形”的定義.

證明時(shí)，為了方便交流，必須對(duì)某些名稱和術(shù)語形成共同的認(rèn)識(shí).為此，就要對(duì)名稱和

術(shù)語的含義加以描述，作出明確的規(guī)定，也就是給出他們的定義.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題第1課時(shí)定義與命題授課人

1.理解定義與命題的概念.

2-分清命題的條件和結(jié)論，會(huì)把命題改

成“如果……那么……”的形式，并能

判斷命題的真假.

素養(yǎng)目標(biāo)

3?在實(shí)例中體會(huì)定義、命題的含義，了

解數(shù)學(xué)與實(shí)踐的聯(lián)系；通過舉反例判定

一個(gè)命題是假命題，學(xué)會(huì)從反面思考解

決問題的方法.

理解命題的相關(guān)概念，找出命題的條件

教學(xué)重點(diǎn)

和結(jié)論.

教學(xué)難點(diǎn)正確找出命題的條件和結(jié)論.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

第1頁共16頁

【課堂引入】

上節(jié)課我們了解到“為什么

要證明”，證明是為了交流方

便，必須對(duì)某些名稱和術(shù)溶形

讓學(xué)生從熟悉的數(shù)學(xué)知識(shí)人

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課成共同的認(rèn)識(shí)，為此，就要對(duì)

手，初步感受定義.

名稱和術(shù)語的含義加以描述，

做出明確的規(guī)定，今天我們就

來學(xué)習(xí)定義與命題.

【探究新知】

同學(xué)們用8分鐘時(shí)間，自學(xué)教

材第183?184頁內(nèi)容，解決

以下問題：

1-在課本中找出定義和命題

的概念.

活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知2?找出命題的組成部分并在

書中標(biāo)出來.

3?在課本中找出真命題和假

命題的概念.

4?知道什么是反例.

5?嘗試做課本中的相關(guān)題目.

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

師生活動(dòng)：學(xué)生先預(yù)習(xí)，1.引導(dǎo)學(xué)生通過預(yù)習(xí)增加對(duì)

并標(biāo)記出重點(diǎn)，教師再進(jìn)行如定義的理解，并策煉學(xué)生有條

活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知

下詳細(xì)提問與講解.理的數(shù)學(xué)表達(dá)能力.

1?提問：“中華人民共和國2?加強(qiáng)學(xué)生對(duì)命題定義的理

第2頁共16頁

公民”的定義是什么？解，使其明白：表示判斷的句

”兩點(diǎn)之間的距離”的定義？子都是命題，而不管判斷是否

“一元一次方程”的定義？正確.

對(duì)名稱和術(shù)語的含義加以描3?讓學(xué)生進(jìn)一步體會(huì)命題的

述，作出明確的規(guī)定，也就是含義，并概括出命題的紿構(gòu)特

給出它們的定義.你還能舉出征并能判斷命題的真假.

曾學(xué)過的“定義”嗎？

2?下面的語句中，哪些語句

對(duì)事情作出了判斷，哪些沒

有？與同伴進(jìn)行交流.(出示

課件)

(1)熊貓沒有翅膀.

(2)對(duì)頂角相等.

(3)平行于同一條直線的兩條

直線平行.

(4)作線段AB=CD.

(5)清新的空氣.

(6)不許講話！

總結(jié)：判斷一件事情的句子，

叫作命題.反之，如果一個(gè)句

子沒有對(duì)某一件事情作出任

何判斷，那么它就不是命題.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生共同

回答，對(duì)學(xué)生有異議的地方進(jìn)

行解答.

3?觀察下列命題，你能發(fā)現(xiàn)

這些命題有什么不同的特點(diǎn)

嗎？與同伴交流.(課件展示)

(D如果兩個(gè)角相等，那么它

第3頁共16頁

們是對(duì)頂角.

(2)如果a>b，b>c?那么a

=c.

(3)兩角和其中一角的對(duì)邊對(duì)

應(yīng)相等的兩個(gè)三角形全等.

(4)全等三角形的面積相等.

總結(jié)：一般地，每個(gè)命題都是

由條件和結(jié)論兩部分組成.條

件是已知的事項(xiàng)，結(jié)論是由已

知的事項(xiàng)推斷出的事項(xiàng).命題

通?？梢詫懗伞叭绻?/p>

么……”的形式.“如果”后

接的部分是條件，“那么”后

接的部分是結(jié)論.

4?正確的命題稱為真命題，

不正確的命題稱為假命題.

說明假命題的方法：

舉反例使之具有命題的條件，

而不具有命題的結(jié)論.

【典型例題】

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用

例1判斷下列語句哪些

是命題？哪些不是？通過例題的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生進(jìn)一

(1)畫一個(gè)角等于已知角；(2)步明確命題與定義，命題的條

兩直線平行，同位角相等；(3)件和結(jié)論以及真假命題的判

同位角相等，兩條直線平行斷方法.

嗎？(4)鳥是動(dòng)物；(5)若x-5

第4頁共16頁

=0，求X的值.

解：⑵(4)是命題；⑴⑶(5)

不是命題.

例2指出下列命題的條件和

結(jié)論，并改寫成“如果……那

么……”的形式.

(1)兩直線平行，同位角相等；

解：條件是“兩直線平行”，

結(jié)論是“同位角相等”.

可以改寫成“如果兩直線平

行，那么同位角相等”.

(2)垂直于同一直線的兩條直

線平行.

解：條件是“兩條直線垂直于

同一直線”，結(jié)論是“這兩條

直線平行”.

可以改寫成“如果兩條直線

垂直于同一直線,那么這兩條

直線平行”.

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

【變式訓(xùn)練】

判斷下列命題的真假，舉出反

例.

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用①大于銳角的角是鈍角；

②如果一個(gè)實(shí)數(shù)有算術(shù)平方

根，那么它的算術(shù)平方根是整

數(shù).

第5頁共16頁

解：??假命題.

①的反例：90°的角大于銳

角，但不是鈍角.

②的反例：5有算術(shù)平方根，

但算術(shù)平方根不是整數(shù).

師生活動(dòng)：學(xué)生先思考，教師

作適當(dāng)引導(dǎo)，最后呈現(xiàn)結(jié)果.

【課堂檢測】

活動(dòng)四：課堂檢測

1.下列語句中，屬于定義的是

①)

A?兩點(diǎn)確定一條直線艮平

行線的同位角相等

C?兩點(diǎn)之間線段最短。.在

同一平面內(nèi)，不相交的兩條直

線叫作平行線

2?下列命題中，是真命題的

通過設(shè)置當(dāng)堂檢測，進(jìn)一步讓

是(。)

學(xué)生鞏固新知，及時(shí)檢測學(xué)生

A?若a?b>0，貝ija>0，b>0

的學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂清”.

B?若ab<0，則a<0，b<0

C-若ab=O，貝jia=0且b=

0

D?若ab=O，則a=0或b=

0

3?把下列命題改寫成“如

果……那么……”的形式.

(1)對(duì)頂角相等；

第6頁共16頁

(2)同位角相等.

解?：(1)如果兩個(gè)角是對(duì)頂珀，

那么這兩個(gè)角相等.

(2)如果兩個(gè)角是同位角，那

么這兩個(gè)角相等.

師生活動(dòng)：學(xué)生進(jìn)行當(dāng)堂檢

測，完成后，教師進(jìn)行批閱、

點(diǎn)評(píng)、講解.

1.課堂小結(jié)：

(1)你在本節(jié)課中有哪些收

獲？哪些進(jìn)步？

小結(jié)環(huán)節(jié)的設(shè)置能夠讓學(xué)生

(2)學(xué)習(xí)本節(jié)課后，還存在哪

課堂小結(jié)養(yǎng)成自主歸納課堂重點(diǎn)的習(xí)

些困惑？

慣，提高學(xué)生的學(xué)習(xí)能力.

2?布置作業(yè)：

教材第184?185頁隨堂練習(xí)

第1，2題.

第1課時(shí)定義與命題

1.定義和命題.

板書設(shè)計(jì)提綱挈領(lǐng)，重點(diǎn)突出.

2?條件和結(jié)論.

3,真命題和假命題.

教學(xué)借生活與數(shù)學(xué)實(shí)例

引出定義與命題概念，學(xué)生參

與積極.不過，學(xué)生下定義時(shí)

表述不嚴(yán)謹(jǐn)，對(duì)復(fù)雜命題分析

教學(xué)反思困難，且教學(xué)節(jié)奏前松后反思，更進(jìn)一步提升.

緊.后續(xù)教學(xué)將著重完善定義

教學(xué)，引導(dǎo)挖掘命題隱含條

件，合理規(guī)劃時(shí)間，強(qiáng)化學(xué)生

對(duì)知識(shí)的掌握與運(yùn)用能力.

第7頁共16頁

第2課時(shí)定理與證明

一、新課導(dǎo)入設(shè)計(jì)

【歸納導(dǎo)入】

師：前面我們認(rèn)識(shí)了定義和命題的含義，那么什么是命題？你能舉例說明嗎？

生1：判斷一件事情的句子，叫作命題.例如：我是八年級(jí)五班的學(xué)生、我是帥哥.（回

答問題的是位男生，全班同學(xué)大笑）

師：那么他舉的是命題嗎？

生齊答：是.

師：誰還能再舉一個(gè)？

生2：他不是帥哥.（全班同學(xué)哄堂大笑）

師：他說的是命題嗎？（生齊答是，此時(shí)氣氛很活躍）很好，我說一個(gè)你們來辨別一下好

嗎？“如果這個(gè)周FI不下雨，那么我們就去郊游.”這是命題嗎？分析這句話，這個(gè)周日，

我們郊游一定能實(shí)現(xiàn)嗎？為什么？

生2：是命題.我們郊游不一定實(shí)現(xiàn)，因?yàn)橐幌掠甑臈l件成立，我們才能確定去.

師：很好，同學(xué)們已經(jīng)準(zhǔn)確地掌握了命題的含義，那么這節(jié)課讓我們來繼續(xù)研究與命題

相關(guān)的知識(shí)吧！

二、數(shù)學(xué)文化拓展閱讀

《原本》

《原本》，歐幾里得著，約成書于公元前300年，原書已失傳.現(xiàn)在見到的《原本》是

經(jīng)過后來的數(shù)學(xué)家們修改過的，而且有的包含13卷，有的包含15卷，書中大部分內(nèi)容是有

關(guān)圖形的知識(shí)（即幾何知識(shí)）.

《兒何原本》

1582年，意大利人利瑪竇到我國傳教，帶來了15卷本的《原本》.1600年，明代數(shù)學(xué)家

徐光啟（1562—1633）與利瑪竇相識(shí)后，便經(jīng)常來往.1607年，他們把該書的前6卷平面幾何部

分合譯成中文并定名為《幾何原本》.后9卷是1857年由我國清代教學(xué)家李姜蘭（1811—1882）

第8頁共16頁

和英國人偉烈亞力譯完的.

《原本》以公理和原始概念為基礎(chǔ)推演出更多的結(jié)論.這種做法為人們提供了一種研究

問題的方法（稱為公理化方法），標(biāo)志著人類思維的一場革命，是科學(xué)思想史上的一個(gè)里欄碑，

它對(duì)數(shù)學(xué)及其他科學(xué)乃至人類的思想所產(chǎn)生的巨大推動(dòng)作用是其他著作無法取代的.1607年

牛頓在撰寫《自然哲學(xué)的教學(xué)原理》時(shí)就曾受到過《原本》的啟迪.有人說，進(jìn)化論乃至美

國的《獨(dú)立宣言》，都深殳歐幾里得方法的影響.甚至亍，幾百年前有的哲學(xué)家在自己的著

作中也曾設(shè)法從定義、公理推導(dǎo)出定理進(jìn)行論證.

正因如此，《原本》成為流傳最廣、影響最大的一部世界數(shù)學(xué)名著.

教學(xué)設(shè)計(jì)

課題第2課時(shí)定理與證明授課人

L了解公理、定理和證明的概念.

2?會(huì)區(qū)分定理、公理和命題.

3?理解證明命題的思路、書寫的格式，

素養(yǎng)目標(biāo)

對(duì)幾何的重要內(nèi)容之一進(jìn)行推理論證，

有初步的認(rèn)識(shí)，從而培養(yǎng)思維的條理性

和邏輯性.

正確認(rèn)識(shí)公理、定理、命題和定義的區(qū)

教學(xué)重點(diǎn)

別；證明的含義和表述格式.

理解證明的步驟和格式，體會(huì)證明的嚴(yán)

教學(xué)難點(diǎn)

密性.

授課類型新授課課時(shí)

教學(xué)活動(dòng)

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

【課堂引入】

上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了定義與命回顧上節(jié)課知識(shí)，為本節(jié)課的

活動(dòng)一：創(chuàng)設(shè)情境、導(dǎo)入新課

題，還記得什么叫命題嗎？命展開打好基礎(chǔ).

題可以寫成什么形式？命題

第9頁共16頁

都是正確的嗎？怎么證明一

個(gè)命題的真假呢？今天我們

就來學(xué)習(xí)定理與證明.

【探究新知】

1?舉出一個(gè)反例就可以說明

一個(gè)命題是假命題，那么如何

證實(shí)一個(gè)命題是真命題呢？

同學(xué)們用8分鐘時(shí)間，自學(xué)教

材第185?187頁內(nèi)容，解決

1.采取教師講解與學(xué)生習(xí)讀

以下各個(gè)問題：

相結(jié)合的方式，讓學(xué)生了解命

(1)在教材中找出定公理、證

題有真假之分，并且知道怎樣

明和定理的概念.

去判斷真假命題.通過了解

(2)在教材中找出八條基本事

《原本》中的公理、定理、證

實(shí)并嘗試識(shí)記.

明，體會(huì)公理化思想和方法，

師生活動(dòng)：學(xué)生針對(duì)自學(xué)過程

養(yǎng)成科學(xué)、嚴(yán)謹(jǐn)?shù)乃季S習(xí)慣，

活動(dòng)二：實(shí)踐探究、交流新知中出現(xiàn)的問題進(jìn)行討論與交

感受幾何的演繹體系對(duì)數(shù)學(xué)

流，并提出自己的疑問之處，

發(fā)展和人類文明的價(jià)值.

教師在后面講解過程中逐一

2?通過問題的解決，讓學(xué)生

解答.

鞏固課堂上所學(xué)的知識(shí).通過

2?內(nèi)容精講

本節(jié)課的學(xué)習(xí)，讓學(xué)生基本都

(1)公理：公認(rèn)的真命題稱為

能運(yùn)用所學(xué)的知識(shí)解決實(shí)際

公理.

問題.

(2)證明：除了公理外，其他

命題的真假都需要通過演繹

推理的方法進(jìn)行判斷.演繹推

理的過程稱為證明.

(3)定理：經(jīng)過證明的真命題

稱為定理.

第10頁共16頁

本套教科書選用九條基本事

實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依據(jù)，

我們已經(jīng)認(rèn)識(shí)了其中的八條：

①兩點(diǎn)確定一條直線.

②兩點(diǎn)之間線段最短.

③同一平面內(nèi)，過一點(diǎn)有且只

有一條直線與已知直線垂直.

④兩條直線被第三條直線所

截，如果同位角相等，那么這

兩條直線平行（簡述為：同位

角相等，兩直線平行）.

⑤過直線外一點(diǎn)有且只有一

條直線與這條直線平行.

⑥兩邊及其夾角分別相等的

兩個(gè)三角形全等.

⑦兩角及其夾邊分別相等的

兩個(gè)三角形全等.

⑧三邊分別相等的兩個(gè)三角

形全等.

此外，數(shù)與式的運(yùn)算律和運(yùn)算

法則、等式的有關(guān)性質(zhì)以及反

映大小關(guān)系的有關(guān)性質(zhì)都作

為證明的依據(jù).

例如：在等式中，一個(gè)審可以

用它的等量來代替.這一性質(zhì)

也可以作為證明的依據(jù)稱為

“等量代換”.

師生活動(dòng)：教師引導(dǎo)學(xué)生理解

公理與定理的區(qū)別與聯(lián)系以

第11頁共16頁

及證明的必要性，著重強(qiáng)調(diào)學(xué)

生認(rèn)知已經(jīng)學(xué)過的八條基本

事實(shí)作為證明的出發(fā)點(diǎn)和依

據(jù).

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活司設(shè)計(jì)意圖

【典型例題】

活動(dòng)三：開放訓(xùn)練、體現(xiàn)應(yīng)用

例（教村第187頁例）已知：

如圖，直線AB與直線CD相交于

點(diǎn)O，ZAOC與NBOD是對(duì)頂

角.求證：ZAOC=ZBOD.

：X

證明：???直線AB與直線CD相交

于點(diǎn)0，

通過練習(xí)，進(jìn)一步鞏固學(xué)生所學(xué)知

???ZAOB和NCOD都是平角（平

識(shí)，強(qiáng)調(diào)證明過程的嚴(yán)謹(jǐn)性，提高

角的定義）.

學(xué)生的邏輯思維能力.

AZAOC和NBOD都是/AOD

的補(bǔ)角（補(bǔ)角的定義）.

???NAOC=NBOD（同角的補(bǔ)角

相等）.

【變式訓(xùn)練】

第12頁共16頁

請(qǐng)你完成定理"等角的余角相

等”的證明.

解：已知：Z1=Z2，Z3是N1

的余角，N4是N2的余角.

求證：Z3=Z4.

證明：:/3是N1的余角，Z4

是N2的余角，

???N3=90°-ZI?Z4=90°-

Z2.

又=，

/.Z3=Z4.

師生活動(dòng)：師用多媒體展示證明過

程，學(xué)生完善自己的證明過程、總

結(jié)證明時(shí)存在的問題.學(xué)生遇到困

難時(shí)，教師要適時(shí)指導(dǎo).例如：證

明文字定理的步驟和使用的公理

等.

【課堂檢測】

活動(dòng)四：課堂檢測

1,下列說法正確的是(8)

A?真命題都可以作為定理

第13頁共16頁

B?公理不需要證明

C?定理必須要證明

。?證明只能根據(jù)定義、公理進(jìn)行

2?把定理“有兩個(gè)角互余的三角

形是直角三角形"，寫成''如

果……那么……”的形式:如果一

個(gè)三角形有兩個(gè)角互余，那么這個(gè)

三角形是直角三角形.

續(xù)表

教學(xué)步驟師生活動(dòng)設(shè)計(jì)意圖

3.如圖，已知NA=NC，AE，

CF分別與BD交于點(diǎn)E，F(xiàn).

請(qǐng)你從下面三項(xiàng)中再選出兩

個(gè)作為條件，另一個(gè)作為結(jié)

論，寫出一個(gè)真命題，并加以

證明.

?AB/7DC;②AE〃CF；

③DE=BF.

通過設(shè)置當(dāng)堂檢測，進(jìn)一步讓

工

學(xué)生鞏固新知，及時(shí)檢測學(xué)生

活動(dòng)四：課堂檢測

的學(xué)習(xí)效果，做到“堂堂

DC