第2章正弦交流電路2.1正弦量的三要素2.2正弦交流電的向量表示法2.3單一參數(shù)的正弦交流電路2.4三相交流電路

正弦交流電在工業(yè)中得到了廣泛的應(yīng)用,它在生產(chǎn)、輸送和應(yīng)用上比起直流電來有不少優(yōu)勢,而且正弦交流電變化平滑且不易產(chǎn)生高次諧波,這有利于保護電器設(shè)備的絕緣性能和減少電器設(shè)備運行中的能量損耗。

非正弦交流電可能引起電器(如電動機)的額外功率損耗,可能使電路的某些部分出現(xiàn)有害高電壓,并可能對電信線路造成干擾。因此發(fā)電廠提供工業(yè)和民用的交流電普遍使用正弦交流電。正弦函數(shù)規(guī)律比較簡單,且任一周期函數(shù)都可寫成許多不同頻率的正弦函數(shù)之和。

利用正弦交流電的規(guī)律可把任何交流電分解為正弦交流電進行討論,這在電工學(xué)和電子學(xué)中用處極廣。正弦交流電在生活中也有著廣泛的應(yīng)用,最基礎(chǔ)的是照明,還有各類小電器,另外汽車的蓄電池也是由它轉(zhuǎn)換的。因此無論從電能生產(chǎn)的角度還是從用戶使用的角度,正弦交流電都是最方便的能源,學(xué)習(xí)正弦交流電的一些基礎(chǔ)知識也顯得格外重要。2.1

正弦量的三要素

大小和方向均隨時間變化的電壓或電流稱為交流電,其常見的幾種波形如圖2-1所示。其中大小和方向均隨時間按正弦規(guī)律變化的電壓或電流稱為正弦交流電。正弦交流電廣泛應(yīng)用于工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)、科學(xué)研究及日常生活中,我們需要了解和掌握正弦交流電的基本特點,學(xué)會正弦交流電路的基本分析方法。

正弦電壓、電流等物理量統(tǒng)稱為正弦量。正弦量可以用正弦函數(shù),也可以用余弦函數(shù)表示。本書采用正弦函數(shù)的形式表示正弦量。

正弦交流電的特征表現(xiàn)在其變化的大小、快慢和相位初始值三方面,用于描述上述三方面特征的即是正弦交流電的三要素:振幅、角頻率、初相。圖2-1幾種交流電的波形2.1.1頻率與周期

交流電隨時間變化的快慢程度可以由頻率、周期和角頻率從不同的角度反映。

1.頻率

單位時間內(nèi),正弦交流電重復(fù)變化的循環(huán)數(shù)稱為頻率,用符號f表示,單位是赫茲(Hz)。我國電力工業(yè)的交流電頻率規(guī)定為50Hz,簡稱工頻;少數(shù)國家采用的工頻是60Hz。在無線電工程中,常用兆赫來計量,如電視廣播的頻率是幾十到幾百兆赫茲,手機與基站間的無線信號頻率是幾百到幾千兆赫茲。

很顯然,頻率越高,交流電隨時間變化得越快。

2.周期

正弦量完整變化一周所需要的時間稱為一個周期,用符號T表示,如圖2-2所示,其單位是秒(s)。圖2-2正弦交流電示意圖

顯然,周期與頻率互為倒數(shù)關(guān)系,即

可見,周期越短,頻率越高。周期的大小同樣可以表征正弦量隨時間變化的快慢程度。

3.角頻率

正弦量一秒鐘內(nèi)經(jīng)歷的弧度數(shù)稱為角頻率,用ω表示,單位為弧度每秒(rad/s)。由于正弦量每變化一周所經(jīng)歷的角弧度是2π,因此角頻率與周期及頻率的關(guān)系為

可見,正弦量的周期越短,頻率或角頻率越高,正弦量的變化就越快;反之,正弦量的變化越慢。2.1.2振幅與有效值

振幅與有效值是用于描述正弦量數(shù)值大小的參數(shù)。

1.瞬時值

正弦交流電隨時間按正弦規(guī)律變化,正弦量對應(yīng)各個時刻的數(shù)值稱為瞬時值,可見瞬時值是隨時間變化的量,通常用小寫字母表示,如u、i分別表示正弦交流電的瞬時電壓值與瞬時電流值。瞬時值是用正弦函數(shù)式來表示的,即

2.振幅

正弦交流電隨時間振蕩的最高點稱為振幅,如圖2-3所示。其中正向振幅稱為正弦量的最大值,一般用大寫字母Um(或Im)表示。顯然,最大值恒為正值。圖2-3正弦量的振幅與最大值3.有效值

在電工技術(shù)中,有時并不需要知道交流電的瞬時值,因而規(guī)定一個能夠表征其大小的特定值,即有效值。

有效值是根據(jù)電流熱效應(yīng)來規(guī)定的。如圖2-4所示,讓正弦交流電流i與直流電流I分別通過兩個大小相同的電阻,如果在相同的時間t內(nèi),兩種電流在兩個電阻上產(chǎn)生的熱量相等,那么就把該直流電流定義為交流電流的有效值。由于有效值是根據(jù)熱效應(yīng)相同的直流電數(shù)值而得的,因此引用直流電的符號,即有效值用U或I表示。通過有效值可確切地反映正弦交流電的大小。

理論和實踐都可以證明,正弦交流電的有效值和最大值之間具有特定的數(shù)量關(guān)系,即圖2-4正弦量的有效值

在交流電路中,如果沒有特別說明,一般所說的電流或電壓的大小都是指有效值。例如通常所說的220V市電,實際是指該正弦交流電壓的有效值U為220V,其最大值為310V,在測量交流電路的電壓、電流時,儀表指示的數(shù)值通常也都是交流電的有效值。各種交流電器設(shè)備銘牌上的額定電壓與額定電流一般均指有效值。

總結(jié):正弦交流電的瞬時值可以精確地描述正弦量隨時間變化的情況,而振幅表征了正弦交流電隨時間振蕩的最高點,其有效值則確切地反映出正弦交流電的做功能力。三者從不同的角度說明正弦交流電的大小。2.1.3相位、初相與相位差

1.相位與初相

如圖2-5(a)所示的波形圖是一種特定波形:當(dāng)t=0時,i=0。而實際中,當(dāng)t=0時,i不一定為零,如圖2-5(b)所示。因此,正弦電壓與正弦電流的瞬時表達式表述為

上述公式中(ωt+φu)稱為正弦量的相位,它是表示正弦量隨時間變化進程的物理量。

例如:當(dāng)相位ωt+φu=90°時,u=Um;當(dāng)ωt+φu=180°時,u=0。

對應(yīng)t=0時的相位φu

稱為正弦量的初相角,簡稱初相。初相確定了正弦量計時起點的狀態(tài)。初相規(guī)定不得超過±180°。圖2-5正弦量的相位與初相2.相位差

在正弦交流電中經(jīng)常要進行同頻率正弦量之間相位的比較(比如電壓和電流之間)。同頻率正弦量的相位之差稱為相位差,用φ表示。

已知同頻率的正弦量:

則u

與i的相位差為

可見相位差即為兩正弦量初相之差。雖然相位是時間的函數(shù),但相位差則是不隨時間而變化的常數(shù)。相位差與初相的規(guī)定相同,其大小不得超過±180°。相位差是比較兩個同頻率正弦量之間關(guān)系的重要參數(shù)之一。

注意:相位差的概念建立在同頻率正弦量的基礎(chǔ)之上,不同頻率的正弦量不能進行相位比較,因為不同頻率的正弦量間,其相位差隨時間變化。

根據(jù)相位差的正負(fù)可以判斷兩個同頻率正弦量的超前、滯后關(guān)系。由于相位差的取值范圍為-180°≤φ≤180°,因此兩同頻率的正弦量間相位差有以下幾種情況:

(1)φ=0。如果兩同頻率正弦量的初相相等,相位差為零,我們稱它們同相,即它們同時達到正或負(fù)的最大值,同時到達零值,如圖2-6(a)所示。

(2)φ>0。此時u超前i,如圖2-6(b)所示。

(3)φ<0。此時u滯后i,如圖2-6(c)所示。

還有兩種特例:當(dāng)φ=±180°時,稱u與i反向,即在任意瞬間,它們的方向總是相反的,如圖2-6(d)所示;當(dāng)φ=±90°時,稱u與i正交。圖2-6正弦交流電u與i的相位關(guān)系

瞬時值表達式和波形圖可以完整地表示正弦交流電隨時間變化的情況,因此是正弦交流電的基本表示方法。但當(dāng)遇到正弦量的加、減等運算時,若用這兩種表示方法來進行分析、計算,則顯得麻煩、費時,為此引入了相量表示法,從而使正弦交流電路的分析和計算大為簡化。

相量表示法也具有幅值、頻率及初相這3個主要特征。

1.用旋轉(zhuǎn)有向線段表示正弦量

設(shè)有一旋轉(zhuǎn)矢量,矢量的長度正比于正弦量的幅值im,矢量的初始角(即t=0時矢量的初始位置與橫坐標(biāo)正方向之間的夾角)等于正弦量的初相位φ,并以正弦量的角頻率ω作逆時針勻速旋轉(zhuǎn)。這個旋轉(zhuǎn)矢量任何時刻在縱軸上的投影,正好等于正弦量在同一時刻的瞬時值,如圖2-7所示。圖2-7旋轉(zhuǎn)有向線段表示正弦量2.2正弦交流電的相量表示法

考慮到在同一個正弦交流電路中,各電壓和電流均為同一頻率,因此在任何瞬時各旋轉(zhuǎn)矢量間的夾角都是不變的,這樣即可用一個不旋轉(zhuǎn)的矢量來表示正弦交流電,即只需確定正弦量的幅和初相就能將它表達。矢量的長度與正弦交流電的最大值(或有效值)的大小成正比,矢量與橫軸正方向的夾角等于正弦交流電的初相位角,如圖2-8所示。圖2-8向量圖表示正弦量2.相量表示法

在集中參數(shù)的正弦交流電路中,實際元器件的電特性往往多元且復(fù)雜,但是在一定條件下,當(dāng)某一電特性為影響電路的主要因素時,我們可以忽略其他次要因素,從而簡化電路的分析,這樣就構(gòu)成了單一參數(shù)的正弦交流電路模型。2.3單一參數(shù)的正弦交流電路2.3.1純電阻電路

純電阻電路就是除電源外,只有電阻元件的電路,這個電路中也可能有電感和電容元件,但它們對電路的影響可忽略。在純電阻電路中,電阻將從電源獲得的能量全部轉(zhuǎn)變成內(nèi)能。

在實際生活中,發(fā)動機、電風(fēng)扇等電氣設(shè)備在工作時除了發(fā)熱以外,還對外做功,因此這些是非純電阻電路。白熾燈把90%以上的電能轉(zhuǎn)化為熱能,只有很少一部分轉(zhuǎn)化為光能,所以,在中學(xué)電學(xué)計算中,白熾燈也近似看作純電阻元件。而節(jié)能燈則將大部分能量轉(zhuǎn)換成了光能,所以節(jié)能燈屬于非純電阻元件,這也是白熾燈遠(yuǎn)比節(jié)能燈耗電的原因。

1.電阻元件的電壓電流關(guān)系

電阻元件在正弦交流電路中的電路模型如圖2-9所示。圖2-9電阻元件交流電路模型

設(shè)加在電阻元件兩端的電壓為

加在電阻兩端的電壓與電流取關(guān)聯(lián)參考方向時,任一瞬間通過電阻元件上的電流與端電壓成正比,即

可見,電阻元件上的瞬時電壓和瞬時電流遵循歐姆定律的即時對應(yīng)關(guān)系,相位上也是同相關(guān)系,電阻元件上電壓最大值與電流最大值之間的數(shù)量關(guān)系為

電壓的幅值與電流幅值的比值就是電阻R。同理,有效值之間也滿足歐姆定律的關(guān)系,即

這里的U與I是指正弦交流電的電壓有效值與電流有效值,注意不要與直流電壓、電流相混淆。2.電阻元件的功率

1)瞬時功率

在正弦交流電路中,任意時刻的瞬時電壓與電流是隨時間變化的,因此在不同時刻電阻元件上吸收的功率也不同。瞬時功率即是指電路在瞬時吸收的功率,其大小等于瞬時電壓與瞬時電流的乘積。瞬時功率的引出是由于電力系統(tǒng)中非線性負(fù)荷造成了電壓、電流的波形相對于標(biāo)準(zhǔn)正弦波發(fā)生了畸變。通常用小寫英文字母p表示瞬時功率,它的計算公式為

可見瞬時功率由兩部分組成,其中UI是瞬時功率的恒定分量,-UIcos2ωt是瞬時功率的交變分量。電阻元件瞬時功率波形圖如圖2-10所示。圖2-10電阻元件瞬時功率波形圖

顯然,在任何瞬時,恒有p≥0,說明電阻只要有電流就消耗能量,將電能轉(zhuǎn)換為熱能,它是一種耗能元件。由于電阻電壓與電流同相,所以當(dāng)電壓、電流同時為零時,瞬時功率也為零;當(dāng)電壓、電流到達最大值時,瞬時功率也達最大值。

2)平均功率

交流電的瞬時功率不是一個恒定值,因此無法確切地度量電阻元件上的能量轉(zhuǎn)換規(guī)模。功率在一個周期內(nèi)的平均值即為平均功率,又叫有功功率。平均功率以大寫字母P表示,單位是瓦特(W),它的計算公式為

可見,平均功率是瞬時功率的恒定分量。通常交流用電設(shè)備銘牌上標(biāo)識的額定功率指的就是平均功率。一般情況下,人們只關(guān)注平均功率,因為它可以用來衡量實際的耗電量。2.3.2純電感電路

1.電感的電壓電流關(guān)系

若把線圈的電阻略去不計,則線圈就僅含有電感,這種線圈被認(rèn)為是純電感線圈,如圖2-11所示。實際應(yīng)用中線圈總是有些電阻的。

當(dāng)線圈中通過交流電流i時,就產(chǎn)生自感電動勢eL

來反抗電流的變化。根據(jù)電感元件上的伏安關(guān)系,可得圖2-11純電感元件交流電路2.感抗的概念

式(2-17)中電感電壓有效值(或最大值)與電流有效值(或最大值)的比值為ωL,它的單位是歐姆(Ω)。當(dāng)電壓UL

一定時,ωL

越大,則電流I越小。可見電感具有對交流電流起阻礙作用的物理性質(zhì),所以稱為感抗,用XL表示,即

感抗是交流電路中的一個重要概念,它表示線圈對交流電流阻礙作用的大小。從式(2-18)可見,感抗的大小與線圈本身的電感量L和通過線圈電流的頻率有關(guān)。f越高,XL

越大,意味著線圈對電流的阻礙作用越大;f越低,XL越小,即線圈對電流的阻礙作用也越小。當(dāng)f=0時,XL=0,表明線圈對于直流電流相當(dāng)于短路。這就是線圈本身所固有的“直流暢通,高頻受阻”特性。由于這個特性,電感線圈在電工電子技術(shù)中有著廣泛的應(yīng)用。

3.電感元件的功率

1)瞬時功率

知道了電壓u和電流i的變化規(guī)律和相互關(guān)系后,便可找出瞬時功率的變化規(guī)律,即

由式(2-19)可見,電感的瞬時功率pL

仍是一個按正弦規(guī)律變化的正弦量,只是變化頻率是電源頻率的兩倍。正弦交流電路中的理想電感不斷地與電源進行能量交換,但卻不消耗能量。2)無功功率

純電感電路中僅有能量的交換而沒有能量的損耗。由式(2-19)可見,電感元件的平均功率為

可見電感元件在電路中不斷地進行能量交換,或?qū)⑽盏碾娔苻D(zhuǎn)換為磁能,或把磁能以電能的形式還給電路,整個能量轉(zhuǎn)換的過程可逆,因此,電感是儲能元件。

純電感L雖不消耗功率,但是它與電源之間有能量交換。工程中為了表示能量交換的規(guī)模大小,將電感瞬時功率的最大值定義為電感的無功功率,簡稱感性無功功率,用QL表示,它的計算公式為

為了區(qū)別于有功功率,無功功率QL

的基本單位用乏(var)計量。

無功功率并不是“無用”的功率,它表示的是電源與感性負(fù)載之間能量的交換。許多設(shè)備在工作中都和電源存在著能量的交換。如異步電動機、變壓器等要依靠大磁場的變化來工作,磁場的變化會引起磁場能量的變化,這就說明設(shè)備和電源之間存在能量的交換,因此發(fā)電機除了發(fā)出有功功率以外,還要發(fā)出適量的無功功率以滿足這些設(shè)備的需要。2.3.3純電容電路

1.電容的電壓電流關(guān)系

純電容的交流電路如圖2-12所示。圖2-12純電容元件的交流電路2.容抗的概念3.電容元件的功率

1)瞬時功率

電容元件瞬時功率等于電壓瞬時值與電流瞬時值的乘積,即

由式(2-26)可見,電容元件的瞬時功率是一個幅值為UI,以2ω角頻率隨時間變化的交變量,在正弦交流電作用下,純電容不斷地與電源進行能量交換,但卻不消耗能量。

2)無功功率

由式(2-26)可見,純電容元件的平均功率P=0。雖然電容不消耗功率,但是它與電源之間存在能量交換。為了表示能量交換的規(guī)模大小,將電容瞬時功率的最大值定義為電容的無功功率,或稱為容性無功功率,用QC表示,即

QC的單位也是乏(var)。

在計算無功功率時,電感元件的無功功率通常取正值,電容元件的無功功率通常取負(fù)值。這是因為當(dāng)這兩種元件串聯(lián)時,電流相同,而電壓反相;當(dāng)它們并聯(lián)時,電壓相同,兩支路電流反相。反相說明電容充電時,電感恰好釋放磁場能量,電容放電時,電感恰好儲存磁場能量。

三相交流電是電能的一種輸送形式,簡稱為三相電。我國電能的生產(chǎn)、配送都是采用三相交流電的形式,這是因為它和單相交流電相比具有許多優(yōu)點:

(1)制造三相交流發(fā)電機和變壓器都較制造單相發(fā)電機和變壓器省材料,而且構(gòu)造簡單、性能優(yōu)良。

(2)用同樣材料制造的三相電機,其容量比單相電機大50%。

(3)若要輸送同樣的電能,三相輸電線同單相輸電線相比,可節(jié)省有色金屬25%,且電能損耗較單相輸電時少。

三相交流電的用途很多,工業(yè)中大部分的交流用電設(shè)備都采用三相交流電。而在日常生活中,多使用單相電源,也稱為照明電。當(dāng)采用照明電供電時,使用三相電其中的一相給用電設(shè)備供電,例如各種家用電器。2.4三相交流電路2.4.1三相電源

三相交流電源是由三個頻率相同、振幅相等、相位依次互差120°的正弦電壓源按一定方式連接而成的。

最常用的三相電源是三相交流發(fā)電機。它由電樞和繞組組成。電樞是固定的,稱為定子,磁極是轉(zhuǎn)動的,稱為轉(zhuǎn)子。在三相交流發(fā)電機中有3個相同的繞組,如圖213所示。其中A、B、C表示發(fā)電機三相繞組的首端,X、Y、Z表示三相繞組的尾端。三相繞組分別稱為A相、B相和C相,它們在空間的位置依次相隔120°,稱為對稱三相繞組。

我們知道導(dǎo)線切割磁力線就會產(chǎn)生電流,當(dāng)發(fā)電機由原動機拖動勻速轉(zhuǎn)動時,各相繞組均與磁場相切割而產(chǎn)生感應(yīng)電壓,由于三相繞組的匝數(shù)相等、切割磁力線的角速度相同,且空間位置互差120°,因此三相繞組感應(yīng)電壓的最大值相等、角頻率相同、相位互差120°,由此便得到三相交流電。圖2-13三相交流電的產(chǎn)生

可見,三相交流電的表達式可以描述為

三相交流電的波形圖可用圖2-14表示。

由圖2-14可見,在任何瞬間,對稱三相電源的電壓之和恒為零,即

圖2-14三相交流電的波形圖

三相電源中各相電壓超前或滯后的排列次序稱為相序。若A相電壓超前B相電壓,B相電壓又超前C相電壓,這樣的相序是A—B—C相序,稱為正序;反之,若是C—B—A相序,則稱為負(fù)序(又稱逆序)。三相電動機在正序電壓供電時正轉(zhuǎn),改成負(fù)序電壓供電則反轉(zhuǎn),因此,使用三相電源時必須注意它的相序。但是,許多需要正反轉(zhuǎn)的生產(chǎn)設(shè)備可利用改變相序來實現(xiàn)三相電動機的正反轉(zhuǎn)控制。在電力系統(tǒng)中一般用黃、綠、紅三種顏色區(qū)分A、B、C三相。

2.4.2三相電源的連接

三相電源包括三個電源,它們之間是以一定的方式連接后向用戶供電的。三相電源的連接方式有兩種:星形連接和三角形連接。

1.星形連接

把三相電源繞組的尾端X、Y、Z連在一起,分別從三相電源的首端A、B、C引出三根輸電線,這種連接方式即為星形連接。三根輸電線稱為相線或端線,就是俗稱的火線,分別用L1、L2、L3表示。而X、Y、Z的連接點稱為中性點或零點,從中性點引出的導(dǎo)線稱為中性線或零線,用N表示。這種有中性線的供電方式稱為三相四線制,如圖215所示。圖2-15三相電源的星形連接

三相四線制中,加在負(fù)載上的電壓可以取自兩根相線之間,也可以取自相線與零線之間。相線與相線之間的電壓稱為線電壓,而相線與零線之間的電壓稱為相電壓。

由于三相電壓對稱,因此線電壓也是對稱的,線電壓的大小是相應(yīng)相電壓的3倍。我國日常電路中,相電壓是220V,線電壓是380V。工程上,討論三相電源電壓大小時,通常指的是電源的線電壓。如三相四線制電源電壓380V,指的即是線電壓380V。

2.三角形連接

如果把電源的三相繞組中一相的始端與另一相的末端依次相連成三角形,并由三角形的三個頂點引出三條相線給用戶供電,