2025?2026學(xué)年山東省荷澤一中高三（上）開學(xué)數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求

的。

1.已知集合M={xe/V|-l<x<4},集合N={xeR\x2eM）,貝nN）=（）

A.{3,4}B.{-1,3,4}C.[0,1,2}D.{-1,0,1,2}

2.設(shè)復(fù)數(shù)z滿足|z-l|=|z+i|,則z在復(fù)平面上表示的圖形是（）

A.直線y=xB.直線y=—xC.圓/+y2=1D.拋物線y=x2

3.記％為數(shù)列但工的前幾項(xiàng)和.下列說法正確的是（）

A.數(shù)列{冊(cè)}成等差數(shù)列的充要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)九，都有2即+1=冊(cè)+冊(cè)+2

B.數(shù)列{即}成等比數(shù)列的充分不必要條件是對(duì)于任意的正整數(shù)九，都有W+1=M即+2

C.已知數(shù)列{斯}的前n項(xiàng)和Sn=n（n+1）-a,則數(shù)列{&J是等差數(shù)列的充分不必要條件是實(shí)數(shù)a=0

D.巳知數(shù)列{%J的前71項(xiàng)和Sn=2“-a,則數(shù)列{a〃}是等比數(shù)列的充要條件是a=-1

4.滿足條件猶=嫂=耳，且工-：+?=0的一組必，x2?%3為（）

（I0C

A.=4,%2=3,x3=2B.xx=4,x2=2,x3=3

C.;q=3,x2=9,x3=2D.=18?x2=12,x3=2

5.函數(shù)/'（x）=2sin2（x一力+Ccos2x的最小正周期為（）

4rr?

A.27rB.—C.nD.-n

6.甲、乙輪流拋一枚均勻硬幣，先拋出正面者獲勝.若甲先拋，則甲獲勝的概率為（）

A/C!Dl

7.函數(shù)f（%）=2X+4X+6X+-+2024%-2025%的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（）

A.0B.1C.2D.3

8.設(shè)止四棱錐S-/BCD的底面/BCD是邊長為2的正方形，高為h（h>0）,若該四棱錐的外接球與內(nèi)切球的

球心重合，則外接球半徑與內(nèi)切球半徑之比為（）

A./2-1B./2C.yp3D上+1

二、多選題：本題共3小題，共18分。在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求。

9.己知向量2=（cos。,O,b=[l,sin0^若度+山=|五一瓦,則?？赡転椋ǎ?/p>

八A,--6B-—3C—6D—6

10.設(shè)隨機(jī)變量X?N(1,M),<0)=0.2,順)

A.P(0<X<2)=0.4B.P(X<2)=0.8

C.Y=2X+1的方差為4dD.若。增大，則P(|X-1|<1)增大

11.已知集合M={1,2,3,…,19},現(xiàn)隨機(jī)選取集合M中3個(gè)元素組成子集(簡稱3元子集)，記該子集中的最小

數(shù)為此()

A.k的最小取值為1,最大取值為19

B.集合M中以k為最小數(shù)的3元子集共有CKT個(gè)

C.取到“集合M中以k為最小數(shù)的3元子集”的概率為年

D.E(k)=5

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.已知函數(shù)/⑶斗/：］；。，若—(巾)))=拳則〃叫=____.

13.(1+n)sx(1+彥)6展開式中的系數(shù)為____.

14.平面上的整點(diǎn)(橫縱坐標(biāo)都是整數(shù)的點(diǎn))到直線15%+20y+23=0的距離的最小值為.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

在八48c中，已知角力=60。，邊BC=6,且483+力。3=28.

(1)證明：AB+AC=4：

(2)若點(diǎn)。在8C上，且40為角平分線，求AD的長度.

16.(本小題15分)

在四棱錐P-48co中，底面/BCD為邊長為2的菱形，ABAD=60°,241底面4BCO,且點(diǎn)E

為P8中點(diǎn)，點(diǎn)M為P。上靠近點(diǎn)。的一個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)F在線段PC上的動(dòng)點(diǎn).

(1)若MF〃平面/MB,求出點(diǎn)F的位置；

(2)求直線EF與平面POC所成角的正弦值的最大值.

17.(本小題15分)

某游戲有三個(gè)骰子，其面數(shù)如下：骰子兒四個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1,1,3,4；骰子B：四個(gè)面，分別標(biāo)

有數(shù)字2,4,5,6；骰子C：六個(gè)面，分別標(biāo)有數(shù)字1,3,5,7,9,11；玩家按骰子面數(shù)比例隨機(jī)選擇

一個(gè)骰子(即選擇概率等于其面數(shù)占總面數(shù)的比例)，然后擲該骰子兩次，記錄兩次結(jié)果的最大值.請(qǐng)解答以

下問題：

(1)若玩家選擇骰子4求兩次投擲的最大值為4的概率；

(2)求兩次投擲的最大值為4的概率；

(3)設(shè)獎(jiǎng)金為最大值的平方(單位：元)，若玩家獲得的獎(jiǎng)金超過16元，求玩家選擇骰子8的概率.

18.(本小題17分)

己知函數(shù)/'(%)=Inx-(a+l)x2+3ax-2,其中a為常數(shù).

(1)當(dāng)Q=2時(shí)，求曲線y="%)在點(diǎn)(1/(1))處的切線方程；

(2)討論函數(shù)/(%)的單調(diào)性；

(3)若函數(shù)/(外在區(qū)間(0,3)內(nèi)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，求Q的取值范圍.

19.(本小題17分)

已知橢圓圣+，=l(a>b>0)和雙曲線。2：5有共同的焦點(diǎn)，設(shè)橢圓和雙

曲線的離心率分別為&和

(1)求證：a2-m2=b2+n2i

(2)設(shè)點(diǎn)P為橢圓G與雙曲線C2在第一象限的交點(diǎn)，且土尸小尸2=60。，求3e：+我的最小值，并求此時(shí)e】與

七的值;

(3)在(2)的條件下，設(shè)點(diǎn)Q為橢圓Ci上任意一點(diǎn)，過點(diǎn)。作雙曲線的兩條漸近線的垂線(點(diǎn)Q不在兩條漸近線

上)，垂足分別為M和N,試問△QMN面積S是否有最大值，如果有最大值，求出此時(shí)的值，如果沒有最

大值，請(qǐng)說明理由.

:.MF//CD,

vAB//CD,

MF//AB,

又?；MFU平面PAB,ABu平面PAB,

MF//平面尸48,

所以尸為PC上靠近。的三等分點(diǎn).

(2)在平面4BCD內(nèi)，過點(diǎn)力作/。垂線4》,

vPA1底面4BCD,PA1Ax,

vAx1AD,PAC\AD=A,PA,ADu平面PAD,

..Ax_L平面尸力D,

以＞1為原點(diǎn)，Ax,AD,4P所在直線分別為無、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系,

則尸(0,0,2心)，D(0,2,0),C(73,3,0)，R(C,l,0)，

：?E(停t'O)’

設(shè)兩=4正=AE[0,1],

AF(xf31,3A,2^2-2/2A)，AG[0,1],

AEF=(/31-^,3A-1,/2-2/2A)?

且而=(0,2,-2心)，CD=

設(shè)平面PCO的一個(gè)法向量五=(x,y,z),

則可空=0,則[2;2m=0,

mCD=0{—yf3x—y=0

取書=(一

設(shè)直線EF與平面PCD所成角為仇

則加"的(殖孫=繇=*章嬴,

當(dāng)"看時(shí)，"20平一142+3)哂=舟(sin0)max=

即直線EF與平面PCD所成角的正弦值的最大值為空.

17.(1)骰子4的面為1,1,3,4,每個(gè)面出現(xiàn)的概率為/兩次投擲共有16種可能的結(jié)果組合，

最大值是4的情況包括至少有一次擲出4,兩次都不出現(xiàn)4的概率為?2=得，

因此至少有一次出現(xiàn)4的概率為1-與=白；

1O1O

(2)玩家選擇骰子力的概率為小骰子8的概率為白，假子C的概率為急

骰子4最大值為4的概率為

10

骰子B最大值為4的概率：兩次投擲共有4X4=16個(gè)結(jié)果，兩次投擲的最大值為4的情況是兩次結(jié)果都不

超過4月.至少有一次為4,

共有3種情況((2,4),(4,2),(4,4)),故概率為淀,

1O

骰子C最大值為4的概率：沒有數(shù)字4,因此概率為0,

總0例概中率,為人.P=—14X1—64-1—4X1—64-1-4XO—2—8,?

(3)獎(jiǎng)金超過16元意味著最大值超過4,

骰子A最大值超過4的概率：不可能超過4,概率為0,

骰于8最大值超過4的概率：至少有一次擲出5或6共有16-4=12種，故概率為白=

164

骰子C最大值超過4的概率：共有6x6=36個(gè)結(jié)果，至少有一次擲出超過4,共有36-4=32,故概率為

328

36=?

設(shè)最大值超過4為事件M,選擇骰子8為事件N,

計(jì)算全概率：P(M)=^xO+^x|+=

''1414414942

18.(1)當(dāng)a=2時(shí),/(x)=lnx-3x2+6x-2,/(I)=1,

f(x)=：-6%+6,此時(shí)/(1)=1,

因此曲線y=f(x)在點(diǎn)(l,f(l))處的切線方程為y=x.

(2)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)?0,+8),f(x)=i-2(a+l)x+3a=-2(Q+D：+3ax+i

當(dāng)a+l=0,即。=一1時(shí),f（x）=i-3,令尸@）=0,解得無二；,

令/'(無)>0得XG(0,1),令<。得％G4,+8),

此時(shí)函數(shù)/（%）在（0,3上單調(diào)遞增，在（；,+8）上單調(diào)遞減:

當(dāng)G+1H0時(shí)，-2(Q+1)/+3QX+1=0中，4=9Q2+8(Q+1)=9(a+《)2+音>0,

當(dāng)G+l<0,即Q<-1時(shí),

方程一2（。+I）%2+3ax+1=0在（0,+8）上有兩個(gè)不等正根,

八口/a,3a+J9a2+8a+83a—J9a2+8a+8

分別為勺=4(a+l)—，乂2=4(a+l)，

3a+V9a2+8fl+83a-V9a2+8a+82V9a2+8a+8

Xl-X<0,故與<x?

24(a+l)4(a+1)4(a+l)2

令f＜X）＞0得％W（0,%）U（X2,+8）,令/'（X）＜0得XG（X1，%2），

3、和（亞需嚴(yán)，+3）上單調(diào)遞增，

此時(shí)函數(shù)/（x）在（0,3a+J9a2+8a+8

4(a+l)

Q+J9a2+8Q+83a-J9a2+8。+&

在3）上單調(diào)遞減.

4(a+l)4(a+l)

當(dāng)G+1＞0,即。＞一1時(shí),

方程一2（a+l）x2+3ax+1=0在（0,+8）上僅有一個(gè)正根々=史、翳赍擔(dān)

令廣（X）＞。得%W（0，%0），令f'（x）V0得%W（%0，+8），

此時(shí)函數(shù)/（%）在（0/叱器:叫上單調(diào)遞增,在可叱器j型,+8）上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)。二一1時(shí)，函數(shù)/'（%）在（0,§上單調(diào)遞增，在弓,+8）上單調(diào)遞減;

當(dāng)a＜一1時(shí)，函數(shù)在（0產(chǎn)?器,+8）和產(chǎn)一嚷j,+8,+8）上單調(diào)遞增,

a+v9a2+8a+83a—J9a2+8a+8.

在3）上單調(diào)遞減;

4(a+l)4(a+l)

當(dāng)。＞一1時(shí)，函數(shù)/"）在（0,亞嗯薩馬上單調(diào)遞增,

在蘆二需還，+8）上單調(diào)遞減；

（3）由（2）可知，若函數(shù)/（外在區(qū)間（0,3）內(nèi)存在兩個(gè)不同的極值點(diǎn)，則a＜-L

函數(shù)g(x)=-2(a+l)x2+3ax+1的對(duì)稱軸為4=M含y且磯。)=L

故°＜品5＜3,月。（3）＞