第十三章全等三角形

13.1命題與證明

教學目標

1.了解互逆命題，會寫出一個命題的逆命題，了解定理、逆定理和互逆定理；

2.能運用基本事實和相關(guān)定埋進行簡單的證明；

3.體會證明的必要性.

教學重難點

重點：了解互逆命題,會寫出一個命題的逆命題，了解定理、逆定理和互逆定理；

難點：能運用基本事實和相關(guān)定理進行簡單的證明.

舊知回顧

回顧什么是命題？什么是真命題？什么是假命題？

如何將一個命題寫成如果……那么……的形式？你能寫出它的逆命題嗎？

導入新課

1.互逆命題

“外行”的尷尬

有一位田徑教練句領(lǐng)導匯報訓練成績：

田徑教練：小明為百米成績是9秒9.

領(lǐng)導：繼續(xù)努力，爭取達到10秒.

相傳，一位老人在觀看士兵籃球賽，雙方爭搶非常激烈.于是命令：發(fā)給每個人一

個籃球，不要再搶啦.

上邊的對話有錯嗎？（引發(fā)學生的興趣）

對于平行線，我們知道：

1

兩條直線被第二條直線所截，如果1兩條直線被第三條直線所截，如果

;這兩條直線平行，那么同位角相等

同位角相等，那么這兩條直線平行.

條件結(jié)論1------1?____1條件結(jié)論

學生觀察并思考：

（1）在這兩個命題中，其中一個命題的條件和結(jié)論，與另一個命題的條件和結(jié)論有怎樣的

關(guān)系？

（2）請再舉例說明兩個具有這種關(guān)系的命題.

學生總結(jié)，教師評價.

互逆命題的定義：像這樣，一個命題的條件和結(jié)論分別為另一個命題的結(jié)論和條件的兩個命

題，稱為互逆命題.

在兩個互逆的命題中，如果我們將其中一個命題稱為原命題，那么另一個命題就是這個

原命題的逆命題.

如果你了解了互逆命題的定義，你能舉出這樣的例子嗎？（教師引導，學生舉例）

例如：（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行；兩條直線

被第三條直線所截，如果這兩條直線平行，那么內(nèi)錯角相等.它們是互逆命題.

（2）如果一個數(shù)能被2整除，那么這個數(shù)是偶數(shù)；

如果一個數(shù)是偶數(shù)，那么這個數(shù)能被2整除.它們也是互逆命題.

例1判斷下列命題的真假，寫出逆命題，并判斷逆命題的真假：

（1）如果兩條直線相交，那么它們只有一個交點；

（2）如果公＞果那么慶圮/；

（3）如果兩個數(shù)互為相反數(shù)，那么它們的和為零：

（4）如果那么＞0,b＜0.

教師引導，學生分析：

可以先把原命題的條件和結(jié)論寫出來，然后調(diào)換條件和結(jié)論即可得逆命題，最后判斷真假性.

教師提示：寫逆命題并不是簡簡單單地把條件和結(jié)論互換即可，還要使命題的語句具有邏輯

性.

解：（1）命題是真命題.逆命題為：如果兩條直線只有一個交點，那么它們相交.是真命題.

（2）是假命題.逆命題為：如果＞＞從，那么心兒是假命題.

（3）是真命題.逆命題為：如果兩個數(shù)的和為零，那么它們互為相反數(shù)，是真命題.

（4）是假命題.逆命題為：如果a＞0,力＜0,那么.是真命題.

練習：請寫出下列命題的逆命題，并指出原命題和逆命題的真假性：

（1）兩條直線被第三條直線所截，如果內(nèi)錯角相等，那么這兩條直線平行.

（2）如果兩個角是對頂角，那么這兩個角相等.

（3）如果一個數(shù)能被3整除，那么這個數(shù)也能被6整除.

（4）己知兩數(shù)〃，力.如果4+人＞0,那么

學生獨立完成，教師點評：

（1）原命題是真命題，逆命題為：兩條直線被第三條直線所截，如果這兩條直線平行,

那么內(nèi)錯角相等.逆命題也為真命題.

（2）原命題是真命題，逆命題為：如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角.

逆命題為假命題.

（3）原命題是假命題，逆命題為：如果一個數(shù)能被6整除，那么這個數(shù)也能被3整除.

逆命題為真命題.

（4）原命題是假命題，逆命題為：如果4-力＜0,那么°+力＞0.逆命題為假命題.

2.證明

教師提問：剛才你們是怎么判斷一個命題是假命題的？

學生：舉反例推翻這個命題.

教師：那怎么判斷一個命題是真命題呢？也用舉例嗎？僅僅舉幾個例子足以說明它是真命

題嗎？

命題有真命題，也有假命題，要說明一個命題是假命題，只要舉出反例即可；要說明一個命

題是真命題，則需要進行推理論證，即證明.

定義：要說明一個命題是真命題，則要從命題的條件出發(fā)，根據(jù)已學過的基本事實、定義、

性質(zhì)和定理等，進行有理有據(jù)的推理.這種推理的過程叫做證明.

例2證明；平行于同一條直線的兩條直線平行.（教師示范）

已知：如圖，直線a,b,c,a//c,h//c.a------------------------------

求證：a//b.c-----------------------------

證明：如圖，作直線d,分別與直線a,4c相交.b

,：Q〃C（已知），

???N1=N2（兩直線平行，同位角相等）.’6a

,:b〃c（已知），匕，/;____________

Z

???N2=N3（兩直線平行，同位角相等）.

:.N1=N3（等量代換）.

????！◤耐唤窍嗟?，兩直線平行）.

即平行于同一條直線的兩條直線平行.

教師：通過這個題，如何做證明題？（學生討論）

證明的步驟：

第一步：根據(jù)題意畫圖，將文字語言轉(zhuǎn)換為符號（圖形）語言；

第二步：根據(jù)條件、結(jié)論、圖形寫出已知、求證；

第三步：根據(jù)基本事實、已有定理等進行證明.

定義：如果一個定理的逆命題是真命題，那么這個逆命題也可以稱為原定理的逆定理.

我們已經(jīng)知道命題“兩直線平行，內(nèi)錯角相等”和它的逆命題“內(nèi)錯角相等，兩直線平

行”都是定理，因此它們就是互逆定理..

練習：

已知：如圖，點。在直線力〃上，OZZOE分別是//OC,/8OC的平分線.

求證：OD1OE.

學生獨立完成，教師點評:

證明：???點。在直線48上,

???ZAOC+ZBOC=\SO°（平角的定義）.

???OD,OE分別是N/OC,N3OC的平分線,

???^DOC=-^AOC,4EOC=-NBOC（角平分線的定義）,

22

???NDOC+NEOC=L(ZAOC+ZBOC)=-X180°=90°.

22

???ODLOE.

課堂練習

1.命題”如果。=力，那么%=3〃”的逆命題是

2.寫出下列命題的逆命題：

(1)如果兩直線都和第三條直線垂直，那么這兩直線平行；

⑵若a+〃>0,則aX),Z?0：

(3)等腰三角形的兩個底角相等.

3.已知：如圖，直線0,8被直線c所截，N1與N2互補.

求證：a//b.

參考答案

1.如果3。=36,那么〃=A

2.解：⑴如果兩直線平行，那么這兩直線都和第三條直線垂直.

(2)若心0,b>0,則4+b>0.

(3)有兩個角相等的三角形是等腰三角形.

3.證明：?「L\和43是對頂角,

...Z1=Z3.

又「N1與N2互補，JZl+Z2=180°.

???N2+N3=180。，JZ1=Z3（等角的補角相等）.

?.a//b（同旁內(nèi)角互補，兩直線平行）.

課堂小結(jié)

（學生總結(jié)，教師點評）

L互逆命題

2.證明

證明的一般步驟：第一步依據(jù)題意畫圖，將文字語言轉(zhuǎn)換為符號（圖形）語言.

第二步，根據(jù)圖形寫出已知、求證.

第三步，根據(jù)基本事實、已有定理等進行證明.

布置作業(yè)

板書設計

13.1命題與證明

一個命題的條件和結(jié)論分別

為另一個命題的結(jié)論和條件

互逆命題的兩個命題，稱為互逆命題.

命題與證明

要說明一個命題是真命題，則要從命

題的條件出發(fā)，根據(jù)已學過的基本事

命題與證明

實、定義、性質(zhì)和定理等，進行有理

有據(jù)的推理.這種推理的過程叫做證

13.2全等圖形

教學目標

1.通過生活中的例子感受全等圖形的特征.

2.體會并感受全等圖形的性質(zhì).

3.能夠辨認兩個或者幾個圖形是不是全等圖形.

教學重難點

【教學重點】

掌握判斷全等圖形的方法.

【教學難點】

對全等圖形的性質(zhì)進行應用

教學過程

一、新課導入

看一看：觀察下圖中的各組圖形，試著發(fā)現(xiàn)它們的規(guī)律.

圖1圖2

師生活動：學生討論交流、總結(jié)發(fā)言，教師補充.

預設答案：圖1中，虛線兩邊的圖象完全一樣，圖2中，4張郵票完全一樣.

設計意困：通過生活中常見的全等圖形作為引入，增強學生的代入感，為后面問題的引入做

銜接.

二、新課講解

1.合作探究

問題1：從同一張底片沖洗出來的兩張尺寸相同的照片上的圖形，放在一起也能夠完全重合

嗎？

師生活動：學生討論交流、總結(jié)發(fā)言，教師補充.

預設答案：完全重合

設計意圖：通過生活中常見問題作為引入，增強學生的代入感，為后面問題的引入做銜接.

問題2：觀察思考：每組中的兩個圖形有什么特點？

師生活動：學生討論交流、總結(jié)發(fā)言，教師補充.

預設答案：每組中的兩個圖形都是完全重合的

設計意圖：通過對具體的圖形進行觀察，歸納得到全等圖形的定義

定義：能夠完全重合的兩個圖形叫做全等圖形.

問題3：觀察下面三組圖形，它們是不是全等圖形？

oO于皿

①②

師生活動：學生討論交流、總結(jié)發(fā)言，教師補充.

預設答案：前2個不是全等圖形，只有圖③是

設計意圖：通過反面例子的講授，深層次對定義進行理眸

問題4：全等圖形有著怎樣的性質(zhì)呢？

師生活動：學生討論交流、總結(jié)發(fā)言，教師補充.

歸納：全等圖形的性質(zhì)：全等圖形的形狀和大小都相同.

對應邊相等，對應角相等

設計意圖：通過對例子的講授，總結(jié)得到全等圖形的性質(zhì)

三、課堂練習

1.吳承恩的《西游記》第五十七回講的是“真假美猴王”，說是六耳猱猴化作孫悟空的模樣,

連觀音菩薩都分辨不出來下面也有幾組“美猴王”一圖形，請你火眼金睛識別，其中不

是全等圖形的一組是（）

69引IE/I7令今

ABCD

答：D

2.如圖，已知4ABD與ACDB是全等圖形，4ABD=/CDB,寫出其對應邊和對應角.

答：BD與DB,AD與CBAB與CD是對應邊；

乙A與乙C,乙ABD與4CDB,乙ADB與4CBD是對應角

師生活動：學生解答，教師展示動畫，給出解釋.

設計意圖：通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生鞏固所學知識.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課所學知識：全等圖形.

設計意圖：通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容.

第十三章全等三角形

13.3全等三角形的判定

第1課時邊邊邊

教學目標

1.進行三角形全等條件的探索，積累數(shù)學活動經(jīng)驗；

2.掌握基本事實一，利用基本事實一證明兩人三角形全等；

3.會利用三角形全等證明線段相等、角相等.

教學重難點

重點：掌握基本事實一，利用基本事實一證明兩個三角形全等；

難點：會利用三角形全等證明線段相等、角相等.

教學過程

導入新課

1.什么叫全等三角形？能夠完全重合的兩個三角形叫全等三角形.

2.如圖，已知44BC三ADEF,找出其中相等的邊與角.

①AB=DE,②BC=EF,③CA=FD；人人

④乙4=乙0,⑤/8=乙￡,@zC=zF./\/\

g占"ABCEF

探究新知

一、探究互動一

思考1：滿足上述六個條件可以保證“臺。三嗎？

思考2：可以用較少的條件判定ZUBC三△。所嗎？

在以上六個條件中，能否選擇其中部分條件，簡捷地判定兩個三角形全等

教師引導，學生探究（小組合作）

探究1只給一個條件，可以分哪幾種情況？能夠判斷兩個三角形全

等嗎？

①一條邊對應相等：如右圖，保證了一條邊重合，但兩個三角形’

不全等；

②一個角對應相等：如右圖，保證了一個角重合，但兩個三角形不

全等；/

結(jié)論：一個條件不能夠判斷兩個三角形全等.

探究2只給兩個條件.c

①兩條邊對應相等：

若AB=DE,4C=O氏但兩個三角形不全等；

②一條邊和一個角對應相等：

若AB=DE,乙4=4Q,但兩個三角形不全等;

③兩個角對應相等：

若41=乙0/。=〃b￡,但兩個三角形不全等.

結(jié)論：兩個條件也不能夠判斷兩個三角形全等.

探究3給出三個條件.

①三角對應相等；

②三邊對應相等；

三個條件《

③兩邊一侑對應相等;

④兩角一邊對應相等.

問題有三個角對應相等的兩個三角形全等嗎?

結(jié)論：不一定全等.

小亮認為，剩下的三種情況才有可能判斷兩個三角形全等，你贊同他的說法

嗎？

二、探究互動二——基本事實一

問題1：準備一些長都是13cm的細鐵絲.和同學一起，每人用一根鐵絲，折成

一個邊長分別是3cm,4cm,6cm的三角形.把你做出的三角形和同學做出的

三角形進行比較，它們能重合嗎？

問題2：準備一些長都是13cm的細鐵絲.和同學一起，每人用一根鐵絲，余下1

cm,用其余部分折成邊長分別是3cm,4cm,5cm的三角形.再和同學做出

的三角形進行比較，它們能重合嗎？

小組互動，教師指導.

歸納：

基本事實一：如果兩個三角形的三邊對應相等，那么這兩個三角形全等（可簡

記為“”或"”).

幾何語言：如圖，在。和中,

AB=,

?CA=,

BC=,

???AABC=△DEF(

例1如圖1,已知點/,D,B,F在一條直線上，AC=FE,BC=DE,AD

=FB.

求證：2ABe"FDE.

教師指導，學生分析：

在兩個三角形中分別找到對應的三條邊，然后證明它們分別相等.

證明：AD=FB,,?,AD^DB=FB+DB,HPAB=FD.

AC=FEy

在△48C和中，??,AB=FD,

BC=DE,

：?AABCNAFDE(SSS).

例2如圖2,已知：AB=AC,AD=AE,BD=CE.

求證：LBAC=Z-DAE.

證明：在△48。和ZUCE中，

(AB=AC,

???\AD=AE,

[BD=CE,

???△d5Z)三△/Cf'(SSS),:?乙BAD=^CAE.

乙BAD+乙DAC=LCAE+乙DAC,

即4B4C=4D4￡

練習：1.如圖，下列三角形中，與△43c全等的是

2.已知：如圖，AB=DE,AC=DF,BF=CE.

求證:(1)2=4。;(2)/8||?！?/p>

學生獨立完成，教師評價

1.③

2.證明：(1)?:BF=CE,

??.BF+FC=FC+CE,HPBC=EF.

在△/BC和中，

AB=DE,

,：＜BC=EF,

AC=DF,

△NBC三△QE"SSS),

???Z-A=Z.D.

(2)由(1)AABC三dDEF,可得乙B=iE,AABWE.

三、三%形的穩(wěn)定性

問題1：猜想三角形和四邊形哪一種結(jié)構(gòu)更加牢靠?

問題2：觀察右面兩組木架,如果分別扭動它們，會得到怎樣的結(jié)果？

教師歸納：

A三角形#四邊形

三角形的特性：

三角形木架的形狀,也就是說三角形是具有的圖形.

四邊形的特性：

四邊形木架的形狀,也就是說四邊形是的圖形.

理解“穩(wěn)定性”

只要三角形三條邊的長度固定，這個三角形的形狀和大小也就完全確定，三

角形的這種性質(zhì)叫做“三角形的穩(wěn)定性”.

這就是說，三角形的穩(wěn)定性不是“拉得動、拉不動”的問題，其實質(zhì)應是“三

角形邊長確定，其形狀和大小就確定了

想一想：在我們?nèi)粘Ｉ钪校€有哪些地方運用到了三角形的穩(wěn)定性？你能

舉出例子來嗎？

課堂練習

1.如圖，在△彳中，AB=AC,BE=CE,則由“SSS”可以判定（）

B"~D_c

MABD毛2ACDB.&BDE三ACDE

CAABECACED.以上者B不對

2.下列關(guān)于三角形穩(wěn)定性和四邊形不穩(wěn)定性的說法中正確的是（）

A.穩(wěn)定性總是有益的，而不穩(wěn)定性總是有害的

B.穩(wěn)定性有利用價值，而不穩(wěn)定性沒有利用價值

C.穩(wěn)定性和不穩(wěn)定性均有利用價值

D.以上說法都不對

3.在生活中我們常常會看見如圖所示的情況加固電線桿，這是利用了三角形

的.

4.如圖3,在方格紙中，以45為一邊作△力?「，使之與△48C全等，從尸1,P?,

P3,尸4四個點中找出符合條件的點尸，則點尸有（）

A,1個R2個C.3個D.4個

5.如圖4,D,尸是線段BC上的兩點，AB=CE,AF=DE,要使A4BF三AECD,

還需要條件（填一個條件即可）.

6.如圖5,AD=BC,力。=4￡）.求證：zC=zD.

參考答案

l.C2.C3.穩(wěn)定性4.C5.&）=CF（答案不唯一）

[AD=BC,

6.證明：連接45（圖略），在△48。和△84C中，BD=AC,

[AB=BA.

???△/BOwa34C（SSS）,???乙D=^C.

課堂小結(jié)

1.基本事實一；

2.基本事實一的應用；

3.三角形的穩(wěn)定性.

布置作業(yè)

板書設計

133全等三角形的判定

第1課時邊邊邊

如果兩個三角形的三邊對應相

[■內(nèi)容[l）等，那么這兩個三角形全等（而

寫成“邊邊邊”或“SSS”）

結(jié)合圖形找隱含條件和現(xiàn)有

廣解題思路

條件.我出三邊對應相箏

邊邊邊應用Y

1.證明兩三角形全等所需的條件應

L注意事項r2按對應邊的順序書寫.

2.結(jié)論中所出現(xiàn)的邊必須在所證明

13.3全等三角形的判定一邊角邊定理

教學目標

1.掌握“邊角邊”基本事實的內(nèi)容.

2.能初步應用“邊角邊”判定兩個三角形全等.

3.體會利用轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想和方法解決問題的過程.

教學重難點

【教學重點】

“邊角邊”基本事實的理解和應用.

【教學難點】

指導學生分析問題,尋找判定三角形全等的條件.

教學過程

一、新課導入

小明不小心將一塊大撿貓的玻璃摔成了三塊（如圖所示），為了配一塊和原來完全一樣的

玻璃，他帶哪一塊玻璃就可以了？你能替他解決這個難題嗎？帶著問題我們還是一塊兒來

學習一下這節(jié)的內(nèi)容吧！

師生活動：學生思考，教師巡視觀察學生做的情況，有問題及時糾正.學生通過回顧、討論

得出結(jié)論.

設計意圖：從生活實物引出本節(jié)課的學習內(nèi)容，直觀形象，激發(fā)學生學習興趣.

二、新課講解

1.合作探究

問題1：畫一個三角形，使它的兩條邊長分別是1.5cm,2.5cm,并且使長為L5cm的這

條邊所對的角是30。.小明的畫圖過程如圖所示：能畫出唯一確定的三角形嗎？

師生活動：教師引導學生復習，啟發(fā)學生對比學習今天所學內(nèi)容

預設答案：不能畫出唯一確定的三角形，可以畫出2個

設計意圖：設計這個活動，目的是使得學生經(jīng)過對比理解，能更好地理解今天的學習內(nèi)容

結(jié)論：

小明根據(jù)所給的條件，畫出了兩個形狀不同的三角形，這說明兩個三角形的兩條邊和其中一

邊的對角對應相等時，這樣的兩個三角形不一定全等.

2.5cm2.5cm

問題2:兩邊和它們的夾角對應相等時,這樣的兩個三角形又將是怎樣的呢?如何驗證呢？

AB=A'B'AC=AfCZA=ZA'

師生活動：教師引導學生完成并討論，引導學生進行實餞性學習

設計意圖：設計這個活動，目的是使得學生動手實踐，驗證定理，幫助學生更好地理解今天

的學習內(nèi)容

預設答案：

答案：△48g△Z'8'C'

驗證過程：已知：如藥，在和△/'夕。'中,AB=A'B,.乙B:乙B.BC=B'C.

（1）將△力8。疊放在△46。上，使頂點夕與頂點8重合，邊水:落在邊8c

上，點力與點4在邊8c的同側(cè).點。與點C是否重合，邊8C與邊8c重合，邊船是

否落在邊84上，點力與點4也重合

⑵由“兩點確定一條直線”，得到邊力。與邊4c重合，從而說明和△48C全等

小結(jié)：

基本事實二

如果兩個三角形的兩邊和它們的夾角對應相等，那么這兩個三角形全等.（可簡寫成

M_SAS"或"邊角邊”）

幾何語言：

在△48。和4DEF中、

AB=_DE一

乙力二乙

AC=_DF_

XABCDEF（_SAS_）.

例：已知：如圖，AD//BC,AD=CB.

求證：△ADCW4CBA.

證明：（已知），

???N1=N2（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

在△4。。和中，

??

?

3=C3（已知），

/1=/2（己推出），

NC=C4（公共邊），

.,.△JZ）C^AC^J（SAS）.

歸納：

⑴相等的元素：兩邊及這兩邊的夾角；

⑵在書寫兩個三角形全等的條件邊角邊時，要按邊、角、邊的順序來寫，即把夾角相等寫

在中間，以突出兩邊及其夾角對應相等；

⑶在三角形全等的條件中，要注意“SAS”和“SSA”的區(qū)別，“SAS”指的是兩邊及其夾

角對應相等；而“SSA”指的是有兩邊和一邊的對角對應相等，它是不能證明兩個三角形全

等的

師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑.

設計意圖：鞏固所學知識，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力

三、課堂練習

1.如圖，ZX/lbC中，口知彳。垂直6C,D為BC的中點，則下列結(jié)論不正確的是（）

A.△ABD*AACD

A

B.Z5=ZCA

C.力。是的N4平分線/\

D.△/HC是等邊三角形/I\

答案：D3。c

2.如果兩個三角形兩邊對應相等，且其中一邊所對的角也相等，那么這兩個三角形（）

A.一定全等B.一定不全等

C.不一定全等D.面枳相等

答案：C〃

ACE

3.如圖，AB,CD,4交于點。且它們都被點\I/

。平分，則圖中共有一對全等三角形.

答案：3/\

FDB

4.如圖，△48C和△EFQ分別在線段4E的兩側(cè)，點C,D在線段4E上，AC=DE,AB//EF,

AB=EF.

求證：△ABCW4EFD.

B

證明：???力3〃￡產(chǎn)，/

/.ZJ=ZF,/I//￡

在△/14C和中y

AODEt

AB^EF,

:.△ABgAEFD（SAS）.

師生活動：學生解答，教師展示動畫，給出解釋.

設計意圖：通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生鞏固所學知識.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課所學知識：邊角邊判定

設計意圖：通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容.

第十三章全等三角形

13.3全等三角形的判定

第3課時角邊角、角角邊

教學目標

1.分不同情況探索“兩角一邊”條件下兩個三角形是否全等：

2.掌握AAS或ASA,并會利用其證明兩個三角形全等；

3.會利用三角形全等證明線段相等、角相等.

教學重難點

重點：掌握AAS或ASA,并會利用其證明兩個三角形全等；

難點：分不同情況探索“兩角一邊”條件下兩個三帶形是否全等.

教學過程

導入新課

完成下列表格:

圖形條件是否能判定三角

形全等

AA'三邊相等

兩邊和它們的夾角相等

兩邊和其中一邊的對角相等

探究新知

1.角邊角、角角邊

問題1：如圖，在△/8C和△力'B'Cf中，，BC=B'C.ZC=ZC/.

把△Z8C和44'B'C'登放在一起，它們能夠完全重合嗎？

問題2：提出你的猜想，并試著說明理由.

學生討論會發(fā)現(xiàn):

將疊放在上，使邊AC落在邊ZTC上，頂點力與頂點力’在邊/C的同側(cè).由

BC:ZTC可得邊4C與邊夕C完全重合.因為48二

乙B',ZC=ZC,的另一邊切落在邊8W上，乙。的另一邊落在邊C4上，所以乙8與

乙夕完全重合，4c與乙C完全重合.由于“兩條直線相交只有一個交點"，所以點力與點力,

重合.所以，△4AC和△力5C全等.

歸納：基本事實三

如果兩個三角形的兩個角和它們的夾邊對應相等，那么這兩個三角形全等.（可簡寫成“角

邊角”或“ASA”）

幾何語言：如圖，在△48。和4DEF中,

'ZA=NQ,

AB=DE,

/B=ZF,

:.AABCDEF（ASA）.

問題3：已知：如問題1中的圖，在△力4c和△/'B'C1中，ZA=ZA',N8=N

Bf,BC=B'C.

求證：△力8c名△/'B'C.

教師引導，學生觀察：可將N/f=NT這個條件轉(zhuǎn)化為NC=NC'.

證明：???N/+N8+NC=180°,

ZH+ZB'+NC=180°（三角形內(nèi)角和定理）,

又：ZA=ZA',4B=N4'（已知），

???NC=/C'（等量代換）.

/B=/B；

在△ABC和△/'BrC中，■BC=B'C,

ZC=ZC；

/.△48C咨△/'B'C(ASA).

想一想：從中我們可以得到什么規(guī)律？

歸納：全等三角形的判定定理

如果兩個三角形的兩角及其中一個角的對邊對應用等，那么這兩個三角形全等.（可

簡寫成“角角邊”或“AAS”）

幾何語言：在△力8。和4。所中,

/B=NE,

ZJ=ZD,

BC=EF，

△力3cDEF(AAS).

例已知：如圖，AD=BE,NA=/FDE,BC//EF.

求證：AABCWADEF.

教師引導，學生分析.

通過8C〃E凡可得//8C=/E,再根據(jù)等量代換可得力8=?！?/p>

證明：:力。=32（已知）,

JAB=DE（等式的性質(zhì)）.

VBC//EF(已知),

.?.N,48C=NE（兩直線平行，同位角相等）.

ZJ=ZFDE,

在△月8c和△￡）￡>"中，.AB=DE,

/ABC=NE,

，△力尸（ASA）.

練習：1.如圖1,已知△4BC的三條邊和三個角，則甲、乙兩個三角形中和△48C全等的圖

形是（)

A.甲B.乙C甲、乙D.甲、乙都不是

2.如圖2,點。，E分別在線段4c上，BE,CO相交于點O,AE=AD,要使△力BE

g△/CO,根據(jù)“AAS”需添加的一個條件是.

學生獨立完成，教師評價.

答案：1.B2.N3=NC（答案不唯一）

課堂練習

I.在△48c與△，B'C'中，已知N力=44°,N8=67°,NC'=69°,N/T=44°,

且力C=4'C',那么這兩個三角形.

2,如圖1,在中，己知N1=N2.BE=CD,AB=5.AE=2,Oil]CE=_______.

3.如圖2,Z)是上一點，DF交AC于點、E,DE=FE,FC//AB,若BD=

2cm,CF=4cm,則的長為(

A.2cmB.4cmC.6cmD.8cm

4.如圖3,Z1=Z2,/3=N4.求證：△AB834BD.

5.己知：如圖4,AB1BC,ADYDC,Z1=Z2,求證：AB=AD.

參考答案

1.全等2.33.C

4.證明:VN3=N4,

NABC=NABD.

Z1=Z2,

在。和力中，\AB=AB.

ZABC=NABD,

:.^XABC^^ABD(ASA).

5.證明：?/ABIBC,ADLDC,

乙j?=ZD=90°.

Z1=Z2,

在^力夕。和△ZQC中，-ZB=ZD,

力C=<C（公共邊），

^ABC^^ADC（AAS）,

AB=AD.

課堂小結(jié)

1.角邊角、角角邊的內(nèi)容；

2.利用角邊角、角角邊解決問題.

布置作業(yè)

完成教材習題.

板書設計

13.3全等三角形的判定

第3課時角邊角、角角邊

如果兩個三角形的兩個角和它們的夾邊

對應相等，那么這兩個三角形全等（簡寫

成“ASA”）

內(nèi)容

如果兩個三角形的兩角及其中一個角的對

角邊角邊對應相等，那么這兩個三角形全等（簡寫

角角邊-成"AAS"）

-------注意“AAS""ASA”中兩

應用?）角與邊的區(qū)別

13.3.4具有特殊位置關(guān)系的三角形的全等

教學目標

1.掌握三角形全等中的兩個三角形的特殊位置關(guān)系，能利用平移或旋轉(zhuǎn)這兩種變換證明兩個

三角形全等.

2.能熟練使用三角形全等的判定方法證明兩個三角形全等.

3.經(jīng)歷探索的過程，讓學生體會平移或旋轉(zhuǎn)這兩種變換，培養(yǎng)學生的探究能力和合作精神.

4.通過觀察、思考、合作，培養(yǎng)學生不斷總結(jié)的良好習慣，體會知識間的密切聯(lián)系.

教學重難點

【教學重點】

“角邊角”及“角角邊”的內(nèi)容.

【教學難點】

分析問題，尋找判定兩個三角形全等的條件.

教學過程

一、新課導入

下圖每組中的兩個三角形是全等的嗎？他們的位置關(guān)系是怎么樣的呢？

AD

D

BCEF

BC

D

(1)(2)(3)

師生活動：學生觀察圖片得出結(jié)論，教師引導糾正.

設計意圖：通過這個弓1入增強學生的代入感，為后面問題的弓1入做銜接。

q

D

(1)(2)(3)

答：在圖(1)中，把△力AC沿直線AC平移，可得到

在圖(2)中，把△ABC沿直線8c翻折180。，得到△O8C

在圖(3)中，把△力8c繞點力旋轉(zhuǎn)，得到△/￡)￡

各圖中的兩個三角形是全等的.

歸納：

一個圖形經(jīng)過平移、翻折、旋轉(zhuǎn)后，位置變化了，但形狀、大小都沒有改變，即平移、

翻折、旋轉(zhuǎn)前后的圖形全等.

E

二、新課講解

1.合作探究

問題1：如圖.觀察每組中的兩個三角形，請你說出其中一個三角形經(jīng)過怎樣的變

答案：（1）、（2）平移變換,（3）、（4）、（5）、（6）平移變換

師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑.

設計意圖：鞏固所學知識，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力

例：己知：如圖，在中，D是BC的中點，交AC于點E,DF//AC,

交44于點E求證：△BDg/\DCE.

證明：??,。是4c的中點（已知）,

???8。=。。（線段中點定義）.

■:DE//AB,DF//AC,（已知）

:,NB=NEDC,/BDF=NC,

（兩直線平行，同位角相等）

在ABDF和4DCE中，

??

?fZB=ZEDC,

BD=DC,

NBDF=NC,

:>DCE（AS'

師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑.

設計意圖：鞏固所學知識，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力

例：已知：如圖，在中，D,E分別是48,4c的中點，CF//AB,交OE的延長

線于點反求證：DE=FE.

證明：?.?。/〃/例已知），

（兩直線平行，內(nèi)錯角相等）.

在△口。和中，

?*?

.（ZA=ZECF,

AE=CE,

ZAED=ZCEF,

^^EAD^^EC^ASA）.

???OE=/^（全等三角形的對應邊相等）.

師生活動：學生獨立完成，教師巡視指導，解答學生在自主學習中遇到的困惑.

設計意圖：鞏固所學知識，加深對所學知識的理解，提高學生知識的綜合運用能力

三、課堂練習

1.如圖，由N1=N2,BC=DC,AC=EC,得的根據(jù)是（）

A.SAS

B.ASA

C.AAS

D.SSS

答：A

2.如圖，在△48C中，分別以力。，8c為邊作等邊三角形4CO和等邊三角形8CE,連接

4E,BD交于點、O,則N4O8的度數(shù)為

D

3.如圖，有兩個長度相同的滑梯靠在一面墻上.已知左邊滑梯的高度4c與右邊滑梯水平

方向的長度QE相等，則這兩個滑梯與地面夾角N48C與/。匹￡的度數(shù)和是（）

A.60°

B.90°

C.120°

D.150°

答：B

4.如圖，小敏做了一個角平分儀力4CQ,其中3C=OC將儀器上的點力與NPRQ

的頂點R重合，調(diào)整48卻力。，使它們分別落在角的兩邊上，過點。畫一條射線力七，

力￡就是NPA。的平分線.此角平分儀的畫圖原理是：根據(jù)儀器結(jié)構(gòu)，可得△44C0△1。。,

這樣就有N0/E=N4￡則說明這兩個三角形全等的依據(jù)是（）

A.SAS

B.ASA

C.AAS

D.SSS

答：D

師生活動：學生解答，教師展示動畫，給出解釋.

設計意圖：通過本環(huán)節(jié)的學習，讓學生鞏固所學知識.

四、課堂小結(jié)

本節(jié)課所學知識：具有特殊位置關(guān)系的三角形全等

平移變換

具有特殊位置關(guān)系

旋轉(zhuǎn)變換

的三角形的全等

全等變換的應用

設計意圖：通過小結(jié)，使學生梳理本節(jié)課所學內(nèi)容，掌握本節(jié)課的核心內(nèi)容.

第十三章全等三角形

13.4三角形的尺規(guī)作圖

教學目標

1.會寫出作三角形的已知、求作；

2.會利用尺規(guī)作三角形；

3.知道作圖的依據(jù)，會利用兩個三角形全等的條件解釋作圖的合理性.

教學重、難點

重點：會寫出作三角形的已知、求作，并知道作圖的依據(jù)；

難點：會利用尺規(guī)作三角形.

教具準備

【教師準備】直尺、圓規(guī)、短視頻、PPT

【學生準備】直尺］沒有刻度）、圓規(guī).

教學過程

導入新課

豆豆書上的三角形被墨跡污染了一部分，他想在作業(yè)本上畫出一個與書上完全一樣的三

角形，他該怎么辦？你能幫幫他嗎？/一

由學生分析出可利用兩邊夾角證明三角形全等的方法畫圖。進而引出三角形/人、一

全等方法，師板書：：SSS、SAS、ASA、AAS/

師繼續(xù)提問：需要哪些作圖工具，分析后師板書：

工具：直尺（沒有刻變）圓規(guī)

［設計意圖］情境導入，讓學生帶著問題進入本節(jié)的學習，體現(xiàn)學習數(shù)學知識的重要性

及數(shù)學應用的價值.引出尺規(guī)作圖相關(guān)知識。

探究新知

尺規(guī)作圖

問題：我們前面所畫的圖形大都是用刻度尺、三角尺、量角器和圓規(guī)等各種工具畫出的.

你可以用沒有刻度的直尺和圓規(guī)作圖嗎？

定義：實際上，只用直尺（沒有刻度）和圓規(guī)也可以畫出一些圖形，這種畫圖的方法被稱為尺

規(guī)作圖.

這種作圖方法不必用具體數(shù)值，只按給定圖形進行再作圖.這也是它與畫圖的區(qū)別所在.

我們已經(jīng)學過的尺規(guī)作圖有：作一條線段等于已知線段；作一個角等于己知角，在這個基礎

上我們可以用尺規(guī)作三角形了.

［知識拓展］畫圖一般不限定工具，既可以用直.尺和圓規(guī)，也可以用其他輔助工具，比

如量角器、三角板、刻度尺等.在尺規(guī)作圖中，直尺的作用只能用來連接兩點之間的線段或

過兩點畫直線和射線.

我們學過的基本作圖有哪些？——作一條線段等于已知線段、作一個角等于已知角.由

學生回憶，師放視頻。

【課件+導學案】由學生獨立完成畫圖。組內(nèi)自檢。

I.如圖所示，已知線段a,求作線段,48，使得"=a

2.如圖所示,已知,求作乙408,使乙4。8二乙a

［設計意圖］:對于兩種基本作圖，師找了視頻，視頻里演示的非常清楚，輔助學生回憶。

然后讓學生在練習本上完成.完成后，組K檢查，最后請學生試著敘述作法，教師規(guī)范學生

的語言.

對兩個基本作圖的復:習，是為后面的學習做鋪墊.教師應對做得好的學生給予鼓勵，說

明學習知識要扎實，基礎要打好，后續(xù)的學習才會比較容易.

探究:尺規(guī)作三角形

師生共同探索、研究、交流、經(jīng)歷利用尺規(guī)作三角形，學生用自己的語言表述作圖的過

根本環(huán)節(jié)學生要按要求完成尺規(guī)作三角形的內(nèi)容：先完成已知三角形的三邊，求作這個三角

形.

再完成(1)已知三角形的兩角及一邊，求作這個三角形；

(2)已知三角形的兩邊及其夾角，求作這個三角形；

說明:在此環(huán)節(jié)中要求學生小組合作完成，對于學生出現(xiàn)的問題，教師巡視指導，再全

班講評，并用多媒體、演示畫圖的過程.

活動一：：思考

1.如圖1,以點O為圓心，以1為半徑，畫一條弧，請指出到。點距離為I的點，這樣的

點有個？

2.如圖2,分別以44為圓心，以1,1.5為半徑，畫出兩條弧，圖中到4點距離為1的

點有個？到8點距離為1.5的點有個?到力點距離為I并且到8點距離為1.5的

點有個？°

活動二:已知三角形的三條邊，求作這個三角形.'-'~~'

如圖所示，已知線段a,b,c,

求作AJ8C,使/8=c,AC=b,BC=a*4

作法:(1)作一條線段48=c；(2)分別以4,8為圓心，以b,a為'?六??

不一步第二人

半徑畫弧，兩弧交于C點；(3)連接4C,BC.作線設八”等于?，"點八為,為*及螞％

?

就N步

如圖所示的A48C就是所求作的三角形.

課件展示：

想一想:你作的三角形和其他同學作的三角形是什么關(guān)系?為什么？

想一想:三條線段滿足什么條件時，才能作出三角形？

活動三:已知三角形的兩角夾邊，求作三角形.已知三角形的兩邊和夾角，求作三角形。

找兩個同學到黑板上畫，不寫作法，保留作圖痕跡。師巡視，再由學生講解作圖步驟，師點

評。

(1)已知三角形的兩邊及夾角，求作這個三角形.

如圖所示，已知線段a,b,Z?,

求作:A/8C,使BC=a,AB=b,乙ABC=Ca.

作法:(1)作乙。(2)在射線8。，8E上分別截取BC=a,⑶連接4C,LABC

就是所求作的三角形./

(2)已知三角形的兩角及其夾邊，求作這個?a?/

三角形.，/

_??巫_________

如圖所示，已知ZQ,邛,線段C，

求作AJ8C,使41=4口，(B=￡[i,AB=c.

作法:⑴作乙。大戶=Na；(2)在射線//上截取線段彳B=c；(3)以

8為頂點，以切為一邊，作8￡交4。于點C.則AJ8C//

就是所求作的三角形.//

【規(guī)律方法小結(jié)】要掌握尺規(guī)作圖的具體操作方法，當作

c

圖要求寫作法時，要注意語言的規(guī)范性.

(1)用直尺作圖時的規(guī)范性語言:①過點X作直線XX，作線段XX,以點X為端點作射線

X又②連接XX,以點X為端點作線段XX,延長線段XX到點X,使xx=xx.

(2)用圓