2025.2026學(xué)年陜西省西安市西工大附中高三(上)月考

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題：本題共8小題，每小題5分，共40分。在每小題給出的選項中，只有一項是符合題目要求

的。

1.若復(fù)數(shù)z滿足z=一，則|z|二()

A.2B.72C.1D.苧

2.已知向量五=(2,1)范—且G〃僅一B),則實數(shù)m的值為()

A.1B.-1C.2D.-2

3.已知集合4=任氏2一%40｝,B=｛x|^>1],則4nB=()

A.i；0,l]B.(0,1)C.[0,1]D.[1,0)

4.設(shè)S”是等差數(shù)列｛冊｝的前n項和，若57=28,5n=88,則｛斯｝的公差d=()

A.1B.2C.3D.4

5.設(shè)拋物線必=6%的焦點為入準線為1,P是拋物線上位于第一象限內(nèi)的一點，過P作/的垂線，垂足為

Q,若直線"的傾斜角為120。，M|PF|=()

A.3B.6C.9D.12

6.一個圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3,圓心角為耳的扇形，在該圓錐內(nèi)有一個體積為U的球，則該球的

體積V的最大值是()

A9D22/2C行

A.27rB.Qo/TC.—-JTCJ

7.已知函數(shù)/(x)=sina)x+cosa)x(a)>0)的最小正周期為TT,則下列說法正確的是()

A.=1

B1(x)關(guān)于點仁,0)對稱

O

C.將函數(shù)/?(%)的圖象向右平移T個單位長度，得到的函數(shù)圖象恰好關(guān)于原點對稱

D.f(x)在區(qū)間[一今芻上單調(diào)遞增

OO

8.已知函數(shù)/(%)=2QX|X-〃，aH0.若不等式a=f(%)Wb的解集為｛%|aW%W2b｝,則b=()

A.1B.1C.y[2D.2

J

二、多選題：本題共3小題,共18分。在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求。

9.下列說法正確的是()

A.若隨機變量X服從正態(tài)分布X(3M2),月.P(XW4)=0.7,則P(3<XV4)=0.2

B.一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22的第60百分位數(shù)為14

C.若線性相關(guān)系數(shù)|r|越接近1,則兩個變量的線性相關(guān)性越強

D.對具有線性相關(guān)關(guān)系的變量，y,其線性回歸方程為y=0.3x—/n,若樣本點的中心為(m,2.8),則實

數(shù)m的值是-4

10.已知片、尸2分別是雙曲線產(chǎn)一/二1的上、下焦點，點戶是其一條漸近線上一點，且以線段0尸2為

直徑的圓經(jīng)過點P,則()

A.雙曲線C的漸近線方程為y=±x

B.以0尸2為直徑的圓的方程為/+y2=1

C.點P的橫坐標(biāo)為±1

D.APF/2的面積為，2

11.已知函數(shù)/(x)滿足：對任意％,yER,x/(y)+y/(x)=/(xy),且當(dāng)0VxV1時，f(x)>0.下列說法

正確的是()

A./(0)+/(I)=0B./'(%)為偶函數(shù)

C.當(dāng)團>1時，x/(x)<0D./⑴在(1,+8)上單調(diào)遞減

三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分。

12.(2%4-妥T的展開式中常數(shù)項是(用數(shù)字作答).

13.電視臺有6個不同的節(jié)目準備當(dāng)天播出，每半天播出3個節(jié)目，其中某電視劇和某專題報道必須在上午

播出，則不同播出方案的種數(shù)為(用數(shù)字作答)______.

14.設(shè)函數(shù)/(%)=(婚-m)ln(x+n),若f(x)>0,則m+〃的最大值為____.

四、解答題：本題共5小題，共77分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟。

15.(本小題13分)

已知在△力中，角4,B,C所對的邊分別為a,b,c,且sin華=COS(TT-B).

(I)求&

(II)若s出C=^sim4,點8到直線.4C的距離為C，求△48。的周長.

16.(本小題15分)

如圖，在三棱錐P—ABC中，PB=PC,。為BC的中點，平面PAD，平面P8C.

(1)證明：AB=AC；

(2)若力Bl力C,AB=2,PA=PD=1,求平面24B與平面PAC的夾角的余弦值.

17.(本小題15分)

已知橢圓心務(wù)，=l(a>匕>0),尸為E的右焦點，P為E上的動點，當(dāng)直線“與久軸垂直時，|PF|二

J,R是直線y=2上一動點，|PR|時的最小值為1.

(1)求E的方程；

(2)過R作E的兩條切線分別交工軸于M,N兩點，求△RMN面積的取值范圍.

18.(本小題17分)

已知函數(shù)f(x)=(Inx-2)x2-mx(x>0),g(x)為/(無)的導(dǎo)函數(shù).

(1)當(dāng)m=0時，求曲線g(x)在(l,g(l))處的切線方程；

(2)若/'(%)的兩個極值點分別為占和%2，且V%2.

⑴求實數(shù)m的取值范圍；

(")證明:x2—x1<m+2e.

19.(本小題17分)

甲參加了一場智力問答游戲，每輪游戲均有兩類問題(難度系數(shù)較低的4類問題以及難度系數(shù)較高的8類問

題)供選擇，且每輪游戲只回答兩類問題中的其中一個問題.甲遇到每類問題的概率均為;.甲遇到4類問題時

回答正確的概率為回答正確記1分，否則記0分；甲遇到8類問題時回答正確的概率為"回答正確記2

分,否則記。分.總得分記為X分.甲回答每個問題相互獨立.

(1)當(dāng)進行完2輪游戲時，求甲的總分X的分布列與數(shù)學(xué)期望.

(2)設(shè)甲在每輪游戲中均問答正確且累計得分為n分的概率為G(n).

(i)證明：｛G(n+l)—；G(n)｝為等比數(shù)列.

(的求G(n)的最大值以及對應(yīng)n的值.

5.【答案】B

【解析】解：設(shè)準線與工軸的交點為M,

由題意可知，F(xiàn)(|,0),準線，方程為％=—|,

在RtaQM/中，Z.QFM=60°,\MF\=3,

\QF\=6,

???FQ垂直于準線2，AZ-PQF=Z-QFM=60°,

由拋物線的性質(zhì)可知，|PQ|=|PF|,

??.△PQF為等邊三角形,

\PF\=\QF\=6.

故選：B.

設(shè)準線與工軸的交點為M,在R￡AQM尸中，ZQFM=6O°,|MF|=3,可求出|Q尸|=6,再結(jié)合拋物線的性

質(zhì)nJ知△PQF為等邊三角形,從血可求出|PF|的長.

本題主要考查了拋物線的定義和性質(zhì)，屬于中檔題.

6.【答案】D

【解析】解：圓錐的側(cè)面展開圖是一個半徑為3,圓心角為德的扇形,

由題意得，扇形的弧長1=3x?=2n,

所以該圓錐的底面圓的半徑r=?=1，

所以該圓錐的高h=V32—r2=2>J~2-

設(shè)該圓錐內(nèi)的球的最大半徑為R,圓錐的軸截面如圖所示：

則依題意得S-8C="x2x2/2=|x(3+3+2)X/?,

所以R=苧，

所以該球的體積V的最大值是5/?3=氫苧)37r=等.

故選：D.

根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖可得圓錐的半徑和高，由三角形面積公式即可求解內(nèi)切球半徑，進而由球的體積公式

求出答案.

本題主要考查了球的體積的求解，屬于中檔題.

7.【答案】D

【解析】解：因為/(x)=sinsx+coscox=，^sin(3X+，)，

4中，因為函數(shù)/(%)的最小正周期為乃，且3>0,所以可得等=兀，解得3=2,故A錯誤；

B中,因為f(x)=Csin(2%+》,所以/(/=JIsin(2x//=，！=/(x)max，

所以*=/是函數(shù)/(%)的一條對稱軸，(，0)不是函數(shù)/(%)的對稱中心，故3錯誤；

C中，將函數(shù)/(%)的圖象向右平移^個單位長度，得到的函數(shù)y=Msin(2x-令，不是奇函數(shù)，故。錯

誤；

。中,當(dāng)工￡睛]時，2x+1e[0,f]^

所以/?(%)在區(qū)間[-曙]上單調(diào)遞場故。正確.

故選：D.

首先根據(jù)輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，根據(jù)周期求G，利用代入法判斷選項.

本題考查三角函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

8.【答案】A

【解析】解：由函數(shù)/(%)=2ax\x-b\,得f(b)=0,所以aW

0<b,又a。0,所以a<0Wb；

若b=0,則/(a)=—2a3>0,所以bH0,即av0<b；

所以f(%)=2axlx-b\=％干

八，11k-2ax(x-b\x<b

函數(shù)/(%)的圖象如圖所示：

由不等式a</(x)<b的解集為{x[a<x<2b},結(jié)合函數(shù)的圖象

知，

f(a)=-2a2(a—b)=b

/(1)=2ax|x|>a，解得匕=

f\2b)=2ax2bxb=a

!故選：A.

由題意知/'(b)=0,推得QVOvb,得出/(%)=隹七]孑V畫出函數(shù)/(%)的圖象，根據(jù)不等式

的解集，求解即可得出b的值.

本題考查了函數(shù)與不等式的應(yīng)用問題，也考查了轉(zhuǎn)化思想，是中檔題.

9.【答案】ACD

【解析】解：對于選項A：若隨機變量X服從正態(tài)分布X(3,小),且p(XW4)=0.7,

則P(3<X<4)=P(X<4)-0.5=0.2,故選項A正確；

對于選項8：已知一組數(shù)據(jù)10,11,11,12,13,14,16,18,20,22,

該組數(shù)據(jù)共有10個數(shù)，

因為10x60%=6,

所以第60百分位數(shù)為安=15,故選項8錯誤；

對于選項C：若線性相關(guān)系數(shù)|丁|越接近1，

則兩個變量的線性相關(guān)性越強，故選項C正確；

對于選項。：已知線性回歸方程為y=0.3%-血，

因為樣本點的中心為(m,2.8),

所以2.8=0.3m-m,

解得m=-4,故選項O正確.

故選：ACD.

由題意，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性即可判斷選項A；結(jié)合百分位數(shù)的定義即可判斷選項僅利用相關(guān)系

數(shù)的概念即可判斷選項G根據(jù)線性方程必過樣本點中心，將坐標(biāo)代入即可判斷選項n

本題考查線性回歸方程，相關(guān)系數(shù)、正態(tài)曲線以及百分位數(shù)，考查了邏輯推理和運算能力.

10.【答案】ACD

【解析】解：A中雙曲線p一/=1,可得焦點在“軸上，a2=b2,a>0,b>0,a是實半粕長，匕是虛

半軸長，

所以漸近線方程為y=±x,所以A正確；

8中，y2-x2=l,可得下焦點打(0,—訝)，上焦點尸2(0,，2),所以以F/2為直徑的圓的圓心是(0,0),半

徑為口，

所以圓的方程為/+y2=2,所以B不正確；

C中，聯(lián)立｛：?[=2,解得％=±i,所以。正確.

D中，△P&F2的面積為：：|&F2|-W|=：x2，Ixl=，I,.?./)正確；

故選:ACD.

給出雙曲線方程，可以得出a、匕、c的值，求出上下焦點的坐標(biāo)，漸近線方程，得P的橫縱坐標(biāo)的關(guān)系，再

由P在雙曲線的漸近線上，可求出P的坐標(biāo).進而得命題的真假.

本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，考查運算能力，屬于中檔題.

11.【答案】ACD

【解析】解:因為％,yeR,xf(y)+y/(x)=

令x=0,y=0,可得0/(0)+0/(0)=/(0),

所以/(0)=0,

令X=l,y=1,可得/(I)+f(l)=/(I),

所以/'(1)=0,

所以f(O)+f(l)=O,A止確；

令%=-1,可得一/(一1)一/(一l)=f(l),

所以/(-1)=0,

所以一fO)=/(-X),8錯誤；

當(dāng)x牛。時，將+yfW=/(xy)中的y用g替換，

可得燈(：)+=/⑴=0,即步(X)=-二片)，

當(dāng)%>1時，0<g<1,/(i)>0,所以xf(x)<0,f(x)<0,

又函數(shù)/(%)為奇函數(shù)，所以當(dāng)％<-1時，/(%)>0,x/(x)<0,

所以當(dāng)優(yōu)|>1時，x/(x)<0,C正確；

因為4(y)+yfW=f(孫)，

所以若%ywo,則3+皿=3,

Jyxxy

任?。，x2e(1,+co),且％1<必，

則"2,3=勺")-/。1)=維+3-3=口心)，

X1X1

因為％2>>0，所以合>1,0<—<1?

X1x2

所以國一gVO,所以3〈曲2,

%2勺%2勺

所以函數(shù)竽在(1,+8)上單調(diào)遞減，

設(shè)y=x?

當(dāng)x>i時，/=竽+燈竽］，，

因為/(x)VO,所以號<0,

因為函數(shù)號在(1,+8)上單調(diào)遞減，所以［號/工0,

所以y'V0,

所以/"(%)在(1,+8)上單調(diào)遞減.

故選:ACD.

由關(guān)系W(y)+y/(x)=/(xy)取x=0,〉=0可求/(0),取為=1,丫=1可求/(1),再求f(0)+)(l)，判

斷4取y=—l,可得/'(%),/(-外的關(guān)系，再將x替換為一1,求/(一1)，由此判斷函數(shù)的奇偶性，判斷

B,將好(y)+y/O)=/Qy)中的y用;替換可得WO)=-x3/(^),結(jié)合條件證明當(dāng)x>1時，r/(x)<0,

再結(jié)合函數(shù)的奇偶性判斷C,結(jié)合單調(diào)性定義證明函數(shù)竽在(1,+00)上單調(diào)遞減，再利用導(dǎo)數(shù)證明函數(shù)曠=

》?”在(1,+8)上單調(diào)遞減，判斷。.

本題主要考查了函數(shù)性質(zhì)的綜合應(yīng)用，屬于中檔題.

12.【答案】240

【解析】解：由題意可得二項式的展開式的通項為幾+1二凌(2乃6-氣妥7=26-依的6-3〃，k=0,1,

…，6,

令6-3k=0得k=2,故常數(shù)項為4=2,鬣=240.

故答案為：240.

寫出二項展開式的通項，令％的指數(shù)為0,即可求解進而可求常數(shù)項.

本題考查了二項式定理的應(yīng)用，屬丁基礎(chǔ)題.

13.【答案】144

【解析】解：因為上午要播出某電視劇和某專題報道，所以有用=6種排法，

其他4個節(jié)目有用=24種排法，

根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，不同播出方案的種數(shù)為6X24=144.

故答案為：144.

先把某電視劇和某專題報道排在上午，再結(jié)合全排列計算即可.

本題考查排列的應(yīng)用，采用特殊元素優(yōu)先考慮的原則，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】2

【解析】解：要使，(%)=(ex-m)ln(x+n)>0成立,

則當(dāng)ln(%+九)>0,即％+n>1,%>1—九時，ex—m>0,

即m<e*對%>1—n恒成立,

所以m<e1-n；

當(dāng)M(x+n)=0,即％+九=1,x=1-n0'j,/(x)=0恒成立；

當(dāng)ln(x+7i)v0,BP0<x+n<1,一九<X<1—九時，ex—m<0,

即m>靖對一九<x<1-ri恒成立，

所以m>e1-n,

綜上，m=e1-n,

則ri4-n=e1-n+n,

令g(九)=e1-n+n,

對^(n)求導(dǎo)，g'(n)=-e1-n+1.,

令9'(九)=0，即一e1-n+l=0，解得n=l，

當(dāng)nV1時，gr(n)<0,g(n)單調(diào)遞減;

當(dāng)？2>1時，g(n)>0,9(九)單調(diào)遞增，

所以。(九)在九=1時取得最小值，

且g(l)=e04-1=2,

即機十幾的最小值為2.

故答案為：2.

分ln(x+九)>0,ln(x+九)=0,ln(x+幾)V0,可得m=ei-n,從而有m+八=eif+n,令g(〃)=

爐-n十〃利用導(dǎo)數(shù)求解即可.

本題考查了恒成立問題、轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想，考查了導(dǎo)數(shù)的綜合運用，屬于中檔題.

15.【答案】解：(I)依題意，sin=sin與=coscos(?r-B)=-cosB,

故cos8+cos?=2cos2?+cosj-1=0,

解得cos曰=1或cos?=-1,

因為0<8<TT,故則cos號>0,

所以cos*土解得5則8=手

(II)由正弦定理得鬻毛當(dāng)，

不妨設(shè)c=5m(tn>0),則Q=3m,

由余弦定理得川=a2+c2-2accosB=9m2+25m24-2x37nx5mx|=49m2,得b=7m.

因為S&A8c=2(icsi7zB=2xZJxv3,

即］x3mx5mx|x7mx照,所以m=帶，

故G+b+c=15m=14,即△/BC的周長為14.

【解析】詳細解答和解析過程見【答案】

16.【答案】證明見解析3

【解析】(1)證明：因為。為8C的中點，PB=PC,所以BC1PD,

因為平面P/W_L平面P8C,平面PAOn平面尸8C=PD,BCu平面P8C,

所以8CJL平面240,

乂因為u平面04D,

所以BC14D,

因為。為BC的中點，

所以48=AC.

(2)如圖，以4為坐標(biāo)原點，AB,4。所在直線分別為x,y軸，過點4垂直平面為z軸，建立空間直角坐

標(biāo)系4-xyz.

則＜(0,0,0),8(2,0,0),C(0,2,0),

取4。的中點0,連接P0.因為/M=P0,所以P01AD,

由(1)8CJ_平面尸40,BCu平面/8C,

所以平面P4DJ.平面ABC,

因為平面PADn平面力BC=AD,POu平面PAD,POLAD,

所以PO_L平面為BC,所以苧)，

所以存=("；,苧)，AB=(2,0,0)>AC=(0,2,0)>

設(shè)平面PB4的一個法向量為比,=(XpVpZi),

?C

一11

一o++o

=-/-由

所以

竺12

nl即?22

一=1

小O20

與-

nrX

可取近=(0,，1,一1).

同理，可得平面H4C的一個法向量為芯=(，2,0,—1),

設(shè)平面PB4與平面/MC的夾角為仇

則cos。=|cos何，勵=j=j^j=|?

所以平面PBA與平面P4C的夾角為;.

(1)由面面垂直的性質(zhì)，可證平面24D,再由線面垂直的性質(zhì)，可證根據(jù)三線合一可知△

48c為等腰三角形，即可證明；

(2)以A為坐標(biāo)原點，AB,4c所在直線分別為％,y軸，建立空間直角坐標(biāo)系，分別求出平面PBA與平面

PAC的法向量，利用向量法即可求出平面P84與平面24c的夾角的余弦值.

本題考查線面、面面垂直的性質(zhì)定理的應(yīng)用，以及向量法求二面角，屬于中檔題.

17.【答案】3+y2=i；

［亍,+8).

【解析】解:(1)設(shè)/(c,0)(c>0),

當(dāng)直線P尸與％軸垂直時，

易得P(c』)，

因為點P在橢圓E上，

所以務(wù)岑=1,

因為|PR|的最小值為1,

所以2-b=1,

解得b=1,

又a=b2+c2,

解得Q=2,c=>/~3,

則橢圓￡1的方程為3+產(chǎn)=1；

(2)設(shè)M(m,O),N(n,O),R(￡,2),

易知直線RM,RN斜率不為0,

設(shè)AM；x=+m,RN：x=+n,

2

上=1

4

聯(lián)立4t_m,消去”并整理得[16+(t-7M)2]y2+曲￡-m)7ny+4(7n2—4)=0,

x=-^L-y+m

因為直線RM與橢圓E相切,

所以d=[4(t—m)m]2—4[164-(t—m)2]-4(m2—4)=0,

整理得3ni?+2tm—t2—16=0,

同理得3n2+2m-t2-16=0,

所以m,n是一元二次方程3/+2tx-t2-16=0的兩根，

此時m+n=-y,mn=-1

所以|MN|=\m-n\=J(?n+幾1-4ml=J(-y)2-4x(-

因為yNO,

所卜JC-1lAyfA/1o_4Jf2+12^^0+12_8/3

所以SARMN=E|MN|?2=------->—--=

則4RMN面積的取值范圍為[號,+8).

(1)根據(jù)題目所給信息以及a,b,c之間的關(guān)系，列出等式求解即可；

(2)設(shè)出直線RM,RN的方程，將直線方程與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理、弦長公式以及三角形面積公式

求解即可.

本題考查橢圓的方程以及直線與圓錐曲線的綜合問題，考查了邏輯推理和運算能力，屬丁中檔題.

18.【答案】x+y+2=0；

(i)(-2-/e,0)；(ii)證明見解析.

【解析】解：(1)當(dāng)m=0時,f(x)=(Inx-2)/,則g(x)=f'{x}=2xlnx-3x,g(l)=-3,

求導(dǎo)得g'(x)=2Inx-1,則g'(l)=-1,

所以曲線g(x)在(l,g(l))處的切線方程為y+3=-(x-l),即x+y+2=0.

(2)⑴g(%)=/'(%)=2xlnx—3x-m,且定義域％E(0,4-oo).

因為若f(x)有兩個極值點，所以勺，必是方程2%仇X-3x-m=0的兩個正根，

即2力nx-3x=7n,x{2lnx-3)=m,

令九(%)=x(2lnx—3),則h'(x)=2lnx—1,

所以，當(dāng)h'Q)>0時，x>\Te,當(dāng)Zt'(x)v0時，0<x<\J~e,

因此,當(dāng)xe(0,，5)時，九(x)單調(diào)遞減；當(dāng)不￡(，》,+8)時，五(乃單調(diào)遞增,

所以當(dāng)工=，^時，h(x)有最小值/t(VT)=—2V^,2/nx—3=0時，x—ez?

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又因為0<x<e2時，2仇》—3<0,所以當(dāng)OvxveW時，/i(x)<0,

所以mE(—2\/~e,0).

(〃)證明：由(i)可知m=/i(%2)，且九(%)=0時，x=e/e,又與〈小，所以，3<必<。，3，

令p(%2)=h(無2)+2e一無2，

P,CQ)=2lnx2-2,p'(%2)單調(diào)遞增，且P'(e)=0,

所以gW(VT,e)時，p'(%2)<0，xze時，p'(%2)>0，

所以p(g)在(，飛〃)單調(diào)遞減，在(e,e，3)單調(diào)遞增，

所以p(%2)NP(e)=2e—3e+2e—e=0,

即M%2)+2e—X2>0,九(&)+2e>x2,

又因為Ov%iV，Z,所以一yi，

所以h(%2)+2e>x2-xx,即&-%i<m+2e.

(1)利用導(dǎo)數(shù)的運算求出gQ),再對g(x)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可得切線方程；

(2)(i)由題意可得方程g(x)=O有兩個正根，參變量分離，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出新函數(shù)的單調(diào)性與

最值，從而可得參數(shù)m的取值范圍；

(〃)確定n2的范圍，令P(%2)=以?)+2e-如利用導(dǎo)數(shù)可得P〔%2)>0從而可得證明不等式成立.

本題主要考杳利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點的切線方程，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的極值，考查運算求解能力，屬于

難題.

19.【答案】解：(1)由題意可得X的所有可能取值為0,1,2,3,4,

每次回答”類問題且回答正確的概率為:x|=i,

回答4類問題且回答不正確的概率為1x1=i,

每次回答8類問題且回答正確的概率為x1=i,

回答8類問題且回答不正確的概率為:x