第07講專題3一次方程（組）中整體思想的應(yīng)用

類型一：不解方程（組）求式子的值

類型二：利用整體代入法求方程組的解

類型三：整體換元法求未知數(shù)的值

類型一：不解方程（組）求式子的值

1.己知…為二元一次方程組卜寸1的解，則…=1.

3x-y=3

【分析】?jī)墒较鄿p即可得出答案.

【解答】解：卜4y"幺，

[3x-y=3②

②-①，得2r-2.y=2,

則x-y=1.

故答案為：1.

2.若，”1,是關(guān)于x和丫的二元一次方程〃a+〃丫=3的解，則2〃??4〃的值等于（）

ly=-2

A.3B.6C.-1D.-2

【分析】把x與），的值代入方程計(jì)算即可求出，〃-2〃=3,把所求式子因式分解后代人計(jì)算即可.

Y=1

【解答】解：將?代入方程爾+〃y=3得：〃?-2〃=3,

ly=-2

/.2m~4n=2（m-2〃）=2X3=6.

故選：B.

Y=3

3.若1__2是二元一次方程a.x+by=-1的一個(gè)解，則3a?2b+2025的值為2024.

【分析】先將方程的解代入方程辦+勿，=-1，求出3a-2b=-l,再整體代入求值即可.

f=3

【解答】解：將（x代入方程如+圾=-?可得，3〃-2。=-I,

.??原式=-1+2025

=2024：

故答案為：2024.

Y=9

4.已知,:是方程心+〃尸5的解，則代數(shù)式樂+6〃-1的值為9.

【分析】把｛言代入方程〃"=5得出2〃汁3〃=5,變形后代入，即可求出答案.

【解答】解:把代入方程〃a+〃y=5得：

2〃?+3〃=5,

所以4〃?+6〃-1=2（2m+3n）-1=2X5-1=9.

故答案為：9.

5.如果＜是方程2x-3y=202（）的一組解，那么代數(shù)式2024-2/〃+3〃=4

y=n

【分析】先根據(jù)方程解的定義求出2〃?-3〃的值，再整體代入求值.

【解答】解：???（“:111是方程緘-3），=2（）20的一和解.

Iy=n

：.2m-3n=2020.

???代數(shù)式2024-2勿+3〃=2024-（2m-3〃）=2024-2020=4.

故答案為：4.

6.若（圻3是二元一次方程依+辦=-1的一個(gè)解，則%-2〃的值為-1.

ly=-2

【分析】把解代入二元一次方程中，可得結(jié)論.

【解答】解：???（尸3是二元一次方程-1的一個(gè)解，

ly=-2

：.3a-2b=-1.

故答案為：-1.

7.已知x、y是二元一次方程組13x-y=l°的解，那么X-），的值是（）

x-3y=-2

A.2B.-2C.3D.-3

【分析】將方程兩式相加得，4x-4），=8,即可求出答案.

【解答】解：將方程兩式相加得，

4x-4y=8,

??x-y=2,

故選:A.

8.己知x、y滿足方程組卜"yX2,則的值為（）

3x-y=4

A.-4B.4C.-2D.2

【分析】直接把兩式相加即可得出結(jié)論.

【解答】解:卜*尸呼

l3x-y=4（2）

①+②得，4x+4y=16,解得x+y=4.

故選:B.

9.已知二元一次方程組門山-2n=3,則，〃+〃的值是（）

4m-n-6

A.9B.3C.-3D.-9

【分析】②-①得：，/〃=3.

【解答】解：f3m_2n=30,

4nrn=6②

②-①得：〃+z〃=3.

故選：B.

10.如果關(guān)于x,y的方程組（x=4與1丫=3的解相同，則的值為（）

（by-ax=5|bx+ay=2

A.IB.2C.-1D.0

【分析】把（x=4代入方程組，>x+ay=2,得到一個(gè)關(guān)于小匕的方程組，將方程組的兩個(gè)方程左右兩邊

y=3（by+ax=5

分別相加，整理即可得出a+b的值.

【解答】解：把卜"代入方程組卜叱2,

y=3by+ax=5

得.[4b+3d=2①

i3b+4a=5②’

①+②，得：7Ca+b）=7,

則a+b=1.

故選:A.

類型二：利用整體代入法求方程組的解

/x+1=

H.解方程組：一―了

I2（x+l）-y=10

【分析】方程組利用代入消元法求解即可.

[也=*）

【解答】解：｛3?，

2（x+l）-y=10②

由①得x=3y-1③，

把③代入②，得6y-），=10,

解得）=2,

把），=2代入③，解得x=5,

.x=5

??<?

ly=2

12.解方程組.......①…時(shí)，可把①代入②得：3X8+4V=20,求得），=?1,從而進(jìn)一步

[3（3x-2y）+4y=20-.②--

求得（圻2這種解法為“整體代入法”，請(qǐng)用這樣的方法解下列方程組（2x-3y=12

y=-13（2x-3y）+5y=26

解得x=§，

3

故原方程組的解是：（x節(jié).

y=3

14.先閱讀材料，然后解方程組：

材料：解方程組卜4y=4?_

l3（X4y）4y=14（2）

在本題中，先將x+），看作一個(gè)整體，將①整體代入②，得3義4+），=14,解得y=2.

Y=9

把），=2代入①得x=2,所以1x」

ly=2

這種解法稱為“整體代入法”，你若留心觀察，有很多方程組可采用此法解答，請(qǐng)用這種方法解方程組

x-y-l=O①

4（x-y）-y=5②

【分析】根據(jù)閱讀材料中的方法求出方程組的解即可.

【解答】解：由①得：x-y=l③，

把③代入②得：4-y=5,即y=-\,

把），=-1代入③得：x=0,

則方程組的解為（圻0.

ly=-l

15.整體代入就是把某些部分看成一個(gè)整體，則能使復(fù)雜的問題簡(jiǎn)單化.例如在解方程組/

I4（x-y）-y=50

時(shí)，把①變形：x-），=l③，把③代入②中，求得x=0,v=1；利用整體代入思想，己知

22

f3x-2xy+12y=47mi|.2「

\,則尸+4胃=17.

l2x2+xy+8y=36

【分析】將x-），=l代入4（廠），）-），=5即可求得工，1y的值；給21+與葉8『=36兩邊同乘以2得到方

程@49+2晝+16y=72,然后方程①3/-Ziy+12），2=47力口方程③47+2Vly+16）?=72即可解答.

【解答】解：把x-y=l代入4（x-），）-y=5,

解得y=-I,

故答案為：0,1：

f3x2-2xy+12y2=47（l）

（2x2+xy+8y2=360

②X2得：4/+29+16）2=72③，

③+①得：4?+2xy+16y2+3.r-2xv+12y2=47+72,

/.7?+28r=H9,

A7（7+4/）=||9,

.??/+4）?=17,

故答案為：17.

16.閱讀材料：小強(qiáng)同學(xué)在解方程組（2x+5y=3①時(shí)，采用了一種，，整體代換，，解法：

4x+lly=52②

解：將方程②變形：4x+10y+y=5＞即2（2x+5y）+y=5…③，把方程①代入③得：2X3+y=5即y=-1,

把y=-1代入方程①，得x=4,所以方程組的解為（"=4.

y=-l

請(qǐng)你解決以下問題

（1）模仿小強(qiáng)同學(xué)的“整體代換”法解方程組（3"+5丫=16；

]6x+lly=35

f9o

2x-Xv+3Y=24

（2）已知x.y滿足方程組｛YI;

6x2+4xy+9y2=51

（i）求盯的值；

（//）求出這個(gè)方程組的所有整數(shù)解.

【分析】（1）把3工+5），看做一個(gè)整體，求出3x+5y的值，進(jìn)而可得出結(jié)論；

（2）將①代入方程②求出外。勺值，再由x與），是整數(shù)求出符合條件的x,3，的對(duì)應(yīng)值即可.

【解答】解：⑴（3x+5y=16?,

16x+lly=35②

將方程②變形：6vHOy+），=35,

即2（3x+5j）+y=35③，

把方程①代入③得：2X16+），=35,

解得y=3,

把）=3代入方程①，得x=J，

所以方程組的解為《“方；

y=3

2x2-xy+3y2=24（1）

（2）⑴原方程組化為,丫y產(chǎn),

3（2x2-xy+3y2）+7xy=510

將①代入方程②得：72+7沖=51,

??xy--3；

（/7）由（i）得xy=-3,

???x與y是整數(shù)，

Y=-1x=3.x=l

,X加或?或

y=3y=-iy=ly=-3

rh(/)可求得2?+3y2=21,

x=3符合題意,

和

y=ly=-i

胃或］x=3

故原方程組的所有整數(shù)解是

y=-l

類型三：整體換元法求未知數(shù)的值

31

---+--=8

x+yx-y

17.用換元法解方程組如果」-二v，那么原方程組化為關(guān)于〃、-的方程組是

21x+yx-y

=7

x打x-y

3u+v=8

,2u-v=7-

【分析】結(jié)合已知條件，利用換元法將原二元一次方程組進(jìn)行換元即可.

31

---+----=8

x+yx-y

【解答】解:已知?

2____L

=7

x打x-y

設(shè)——=u,—

x+yx-y

3u+v=8

那么原方程組化為：

2u-v=7

j3u+v=8

故答案為:

12u-v=7

x+y,x-y

—T—+-=6

18.解方程組〈23

4（x+y）-5（x-y）=2

【分析1先把方程組化簡(jiǎn)后，再用適當(dāng)?shù)姆椒ㄟM(jìn)行求解.

5x+y=36(1)

【解答】解：原方程組可化為:

-x+9y=2(2)

(2)X5+⑴得：46)，=46,

y=1,

把y=l代入（1）得：x=7.

x=7

y=l

2ax+3y=18（其中小是常數(shù)）的解為x=3,則方程組,r2a(x-^)+3(x-y)=18

19.關(guān)于工，），的方程組.h

-x+5by=17y=4(x+y)-5b(x-y)=-17

的解為()

Afx=3Dfx=7

y=4y=-l

Pp=3.5x=3.5

(y=-0.5(y=0.5

【分析】由原方程組的解及兩方程組的特點(diǎn)知，x+y、x-y分別相當(dāng)于原方程組中的X、)，，據(jù)此列出方

程組，解之可得.

【解答】解：由題意知，卜3=3?

x-y=4②

①+②，得：2x=7,x=3.5,

①-②，得：2y=-1,y=~0.5?

所以方程組的解為5,

ly=-0.5

故選：C.

20.閱讀材料，解答問題：

材料:解方程組(3(x+y)-(x-y)=2,我們可以設(shè)計(jì)產(chǎn)小1一),=從則原方程組可以變形為償-b=2,

［5(x+y)+3(x-y)=8(5a+3b=8

解得將火人轉(zhuǎn)化為，、弓尸1,再解這個(gè)方程組得［xl.這種解方程的過程，就是把某個(gè)式子看

Ib=l(x-y=1Iy=0

作一個(gè)整體，用一個(gè)字母代替他，這種解方程組得方法叫做換元法.

請(qǐng)用換元法解方程組：('('⑺-2(x-y)=1.

I(x+y)+(x-y)=7

【分析】設(shè)x+.v=mx?.v=/3則原方程組可以變形為I%-2b=1,用加減消元法解得［-3,再解方程

la+b=7Ib=4

組卜4y=3即可求解

Ix-y=4

【解答】解：設(shè)x+)，=〃，X-)，=/?,則原方程組可以變形為(力-2b=1,

la+b=7

用加減消元法解得，A，

lb=4

再將4、人轉(zhuǎn)化為卜?3,

x-y=4

21.閱讀下列材料，解答問題:

材料：解方程組(5(x5-3(x-y)=2,若設(shè)a……_尸〃，則原方程組可變形為(5nr3n=2,用

2(x+y)+4(x-y)=62m+4n=6

加減消元法得所以在解這個(gè)方程組得[x=l,由此可以看出，上述解方程組過程中，

In=l[x-y=1y=0

把某個(gè)式子看成一個(gè)整體，用一個(gè)字母去代替它，我們把解這個(gè)方程組的方法叫換元法.

'x+y_x-y

問題：請(qǐng)你用上述方法解方程解2二3

2(x+y)-Rx+Ry=26

【分析】設(shè)x+y=4,x-y=B,方程變形后，利用加減消元法求出A與8的值，進(jìn)而確定出x與)，的值

即可.

【解答】解：設(shè)x+y=A,x-y=8,

A』

方程組變形得：｛5W,

2A-3B=25

整理得:13A-2B=0①,

2A-3B=25②

①X3-②X2得：5A=-50,即4=-10,

把人=-10代入①得：B=-15,

x+y=-10

x-y=-15

fx=-12.5

解得:

ly=2.5

22.閱讀探索：

材料一：解方程組((a-D+ZT+Z)就時(shí)，采用了一種，，換元法，，的解法，解法如下：

l2(a-l)+(b+2)=6

解：設(shè)a?l=x,H2=y,原方程組可化為卜+2丫=6,

2x+y=6

解得卜",即1T=2,解得卜=3

y=2b+2=2Ib=0

材料二：解方程組,4x+i0y;6Q時(shí)，采用了--種“整體代換”的解法，解法如下：

18x+22y=10②

解：將方程②8x+20y+2)，=10,變形為2(4x+10y)+2y=10@,把方程①代入③得，2X6+2)，=10,則y

r=4

=-1;把)，=-1代入①得，/=4,所以方程組的解為：IXx'.