習題2-11.設(shè)函數(shù)，求.解：，故.2.下列各題中均假定，按照導數(shù)定義觀察下列極限，求的值：(1)(2)解：（1），故.（2），故.3.設(shè)函數(shù)求解：4.討論函數(shù)在點處的連續(xù)性和可導性.解：,故函數(shù)在點處連續(xù).因,故函數(shù)在點處不可導.5.設(shè)函數(shù)為了使函數(shù)在點處可導，應取什么值？解：因，，要使在處連續(xù)，則有又要使在處可導，則必須，即故當時，在處連續(xù)且可導.習題2-21.計算下列函數(shù)的導數(shù)：(1)；(2)；(3)； (4)；(5)； (6).解：(1)，；；2.使用復合函數(shù)求導法則計算下列函數(shù)的導數(shù)：(1);(2);(3);(4);(5)；(6)（a為常數(shù)）；(7)；(8).解：⑴;⑵;⑶;⑷;⑸；⑹；⑺；⑻；3.已知函數(shù)求.解：，.答案：4.試求曲線在點及點處的切線方程和法線方程.解：，故在點處的切線方程為：，即，法線方程為：，即.在點處不可導，其切線方程為：，法線方程為：.5.求下列隱函數(shù)的導數(shù)：(1)（為常數(shù)）；(2)；(3)；(4)；解：(1)兩邊求導，得：，解得.(2)兩邊求導，得：，解得.(3)兩邊求導，得：，解得.(4)兩邊求導，得：，解得.6.利用對數(shù)求導法求下列函數(shù)的導數(shù)：(1)(2)解：(1)(2)7.求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的導數(shù)：（1）(為常數(shù))；（2）解：（1）（2）.習題2-31.求下列函數(shù)在指定點的高階導數(shù)：(1)，求;(2),求,;(3)求，.解：(1).(2)(3)故，.2.已知存在，求下列函數(shù)的二階導數(shù)：(1)；(2).解：(1)(2)3.求次多項式的階導數(shù).解：4.設(shè)函數(shù)，且，求.5.驗證：函數(shù)滿足關(guān)系式.解：故.6.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的二階導數(shù)：(1)（a,b為常數(shù)）；(2)；(3)；(4).解：(1)兩邊對求導，得.(2)兩邊對求導，得.(3)兩邊對求導，得 (4)兩邊對求導，得答案：（1）（2）（3）（4）7.求由下列參數(shù)方程所確定的函數(shù)的二階導數(shù)：⑴(為常數(shù))；⑵存在且不為0.解：⑴⑵.習題2-41.根據(jù)下列所給的值，求函數(shù)的及：（1）；（2）.解：（1）（2）2．求函數(shù)在處的微分.解：.3.利用微分求下列數(shù)的近似值：⑴；⑵；⑶.解：⑴利用近似公式，有.⑵利用近似公式，有⑶取，令，而，則4.求下列函數(shù)的微分：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹.解：⑴；⑵；⑶；⑷；⑸；⑹答案：（1）（2）（3）（4）（5）（6）5.求由下列方程所確定的隱函數(shù)的微分：⑴；⑵；解：（1）對等式兩端微分，得即，于是（2）對等式兩端微分，得解得6.利用一階微分的形式不變性求函數(shù)的微分，其中和均為可微函數(shù).解：自測題單項選擇題（每小題3分，共15分）1.設(shè)函數(shù)其中是正整數(shù)，則（A）A.B.C.D.解：等于對任意一項求導之后乘以其他項再求和，除了對求導的那一項之外，其余項都由于存在，在時為0，因此只剩一項為，把代入得2.設(shè)函數(shù)，為其導數(shù)，則（C）. A.是當時的無窮小B.是當時的無窮大C.不是當時的無窮小，但在內(nèi)有界D.不是當時的無窮大，但在內(nèi)無界解：，，因此既不是無窮大也不是無窮小，而是有界量，選C.3.設(shè)函數(shù)在點處連續(xù)，下列結(jié)論中錯誤的是（D）.A.若存在，則 B.若存在，則C.若存在，則存在D.若存在，則存在解：若存在，則又函數(shù)在點處連續(xù)，故選項A正確.若存在，則又函數(shù)在點處連續(xù)，故選項B正確.若存在，則存在，即存在.選項C正確.設(shè)此時存在，但不存在.選項D錯誤.4.設(shè)函數(shù)具有二階導數(shù)，且，為自變量在點處的增量，與分別為在點處對應的增量與微分.若，則（A）.A.B.C.D.解：，由于，故.5.設(shè)，函數(shù)，則在內(nèi)（C）.A.處處可導B.恰有一個不可導點C.恰有兩個不可導點D.至少有三個不可導點解：，，，，則是的不可導點，故選.二、填空題（每小題3分，共15分）6.曲線上與直線垂直的切線方程為.解：與直線垂直的切線的斜率為1，曲線上斜率為1的點為，此時，切線方程為7.已知函數(shù)則.解：8.設(shè)，，則.解：9.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，則.解：把代入方程得，對方程兩邊微分得10.設(shè)（為參數(shù)），則.解：，三、計算題（每小題5分，共25分）11.;解：;12．；解：13．；解：設(shè)，求;解：15．，求;解：四、綜合題綜合題（每小題5分，共25分）16.討論函數(shù)在處的連續(xù)性與可導性；解：因為故函數(shù)在處連續(xù).又,故函數(shù)在處可導.求函數(shù)的二階微分；解：,若，，求.解：19.若函數(shù)，求.解：令，則,即.20.設(shè)是由參數(shù)方程所確定的隱函數(shù)，求.解：分別對已知方程組的兩邊關(guān)于求導，得：再對求一次導，得將代入上述各式，得五、應用題（每小題10分，共20分）21.垂直向上拋某個物體，其上升高度h（單位：m）與時間t（單位：s）的關(guān)系式為求：（1）物體從t=1s到t=1.2s的平均速度；（2）速度函數(shù)v(t)；（3）物體到達最高點的時間.解：(1)(2).(3)令,得,即物體到達最高點的時刻為22.設(shè)表示重1單位的金屬從加熱到所吸收的熱量，當金屬從升溫到時，所需熱量為與之比稱為到的平均比熱.⑴如何定義在時金屬的比熱？⑵當(a,b均為常數(shù))時，求比熱.解：（1）.習題3-11.對函數(shù)在區(qū)間上驗證羅爾定理的正確性.解：顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且而在內(nèi)確存在一點使2.下列函數(shù)在指定區(qū)間上是否滿足羅爾中值定理的三個條件？有沒有滿足定理結(jié)論的？(1)；(2)；(3)(4)解：⑴在上不連續(xù)，不滿足第一個條件.而，即在內(nèi)不存在，使.沒有滿足定理結(jié)論中的.⑵不存在，即在區(qū)間內(nèi)不可導，不滿足第二個條件.而即在內(nèi)不存在，使.沒有滿足定理結(jié)論中的.（3）顯然在上連續(xù)，在內(nèi)可導，且故函數(shù)滿足羅爾中值定理的條件.由方程，可解得.（4）因,且在區(qū)間上不連續(xù)，不滿足第一和第三個條件.而,取，使.有滿足羅爾中值定理結(jié)論的.故羅爾中值定理的三個條件是使結(jié)論成立的充分而非必要條件.答案：（1）不滿足第一個條件，沒有（2）不滿足第二個條件，沒有（3）滿足，有（4）不滿足第一和第三個條件，有3.設(shè)函數(shù)，說明方程在內(nèi)有幾個實根，并指出它們所屬區(qū)間.解：因為是三次多項式，所以方程在內(nèi)最多有3個實根.又由于，在區(qū)間上滿足羅爾定理的條件.故存在，使，即方程在內(nèi)有3個實根，分別屬于區(qū)間.4.（1）設(shè)，，證明：（2）設(shè)，證明：解：（1）取函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理知,至少存在一點,使即又故.因此,即.（2）設(shè),則在區(qū)間上連續(xù),在區(qū)間內(nèi)可導,由拉格朗日中值定理,存在,使,即因為,所以,即5.若在上連續(xù)，在內(nèi)可導，則，使得.證原式可化為.令，有.顯然在上滿足拉格朗日中值定理的條件，，使得成立，故可得所證.6.設(shè)，且,在閉區(qū)間[a，b]上存在.證明：在開區(qū)間（a，b）內(nèi)至少有一點，使得.解：在[a，b]內(nèi)存在，故在[a，b]上連續(xù)，在（a，b）內(nèi)可導，且，故由羅爾中值定理知，，使得，，使得，又在上連續(xù)，在內(nèi)可導，由羅爾中值定理知，，使，即在（a，b）內(nèi)至少有一點，使得.7.設(shè)在上連續(xù)，在(a,b)內(nèi)二階可導，且在(a,b)內(nèi)存在一點c使得,證明：在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得.證對分別在和上應用拉格朗日中值定理可得：,,由于,，因此再對在應用拉格朗日中值定理可得：由于，因此.從而證得在(a,b)內(nèi)至少存在一點使得.證明恒等式.證：設(shè),因為，所以,是常數(shù).又,即故.9.設(shè)函數(shù)在上連續(xù),在內(nèi)可導.試證明至少存在一點,使.證：令，，則，在上滿足柯西中值定理的條件，故在內(nèi)至少存在一點使又，.因此存在一點,使.10.求下列函數(shù)的麥克勞林公式：(1)；(2).解(1) .(2).11.利用泰勒公式求下列極限：(1)(2)；(3).解：⑴利用泰勒公式，有，，于是.故. ⑵由于故(3)由，.得故.12.求下列函數(shù)在指定點處的三階泰勒公式：(1)；(2)解：⑴所以故⑵答案：（1）（2）（另法：）習題3-21.選擇題：（1）已知函數(shù)，則是（）型不定式的極限.A.B.C.D.解：因為，所以這是，選B參考答案：B（2），則此計算（）.A.正確B.錯誤，因為不是型不定式C.錯誤，因為不存在D.錯誤，因為是型不定式解：錯誤，因為不是型不定式.參考答案：B（3）是使用洛必達法則計算不定式的（）.A.必要條件B.充分條件C.充要條件 D.無關(guān)條件解：使用洛必達法則的條件為為或型且，因此是充分條件。選B參考答案：B（4）下列求極限的問題中，能使用洛必達法則的是（）.A.B.C.D.解：使用洛必達法則的條件為為或型且,上面只有選項B中極限符合條件，因此選B.參考答案：B（5）（），其中為非零常數(shù).A.0B.C.1D.解：.參考答案：B求下列極限：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)；(11)；(12)；(13)；(14)；(15)；(16)；(17)；(18)；(19)；(20)；(21)；(22)解：（1）原式.（2）原式（3）原式（4）原式=.（5）原式=.（6）原式（7）原式（8）原式=.（9）原式=.（10）原式=.（11）原式（12）原式.（13）原式（14）原式.（15）原式().（16）原式.（17）原式=.（18）原式()().（19）原式（20）原式（21）原式.又故原式.（22）原式又故原式=e證明極限存在，但不能用洛必達法則求出.證：這是型.但分子分母分別求導后，變成不存在，故不能用洛必達.而原極限是存在的,可用下法求得.4.設(shè),求常數(shù),的值.解：要使成立，則,即又得答案：5.設(shè)，，，求.解：答案：習題3-31.證明：函數(shù)單調(diào)增加.證：函數(shù)在內(nèi)連續(xù)，求導數(shù)得()因此，在內(nèi)，僅當時，；其它點處均有故函數(shù)單調(diào)增加.2.判斷函數(shù)的單調(diào)性解的定義域為，.當時，，故在內(nèi)嚴格單調(diào)增加；當時，，故在內(nèi)嚴格單調(diào)減少.3.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解：(1)所給函數(shù)在定義域上連續(xù)、可導，且可得函數(shù)的兩個駐點：,在上，分別取+，–，+號，故知函數(shù)在上單調(diào)增加，在上單調(diào)減少.(2)函數(shù)定義域為,，則函數(shù)有駐點:,在上，，函數(shù)單調(diào)減少；在上，，函數(shù)單調(diào)增加.(3)函數(shù)定義域為，,故函數(shù)在上單調(diào)增加.(4)函數(shù)有一個間斷點在定義域外，在定義域內(nèi)處處可導，且，則函數(shù)有駐點，在上，；在上，故知函數(shù)在上單調(diào)增加，而在上單調(diào)減少.(5)函數(shù)定義域為，函數(shù)的駐點為,在上，函數(shù)單調(diào)增加；在上，函數(shù)單調(diào)減少.函數(shù)定義域為,則函數(shù)有駐點:,在上，，函數(shù)單調(diào)減少；在上，，函數(shù)單調(diào)增加.(7)函數(shù)定義域為.函數(shù)駐點為,導數(shù)不存在的點在上，,函數(shù)單調(diào)減少；在上，,函數(shù)單調(diào)增加；在上，,函數(shù)單調(diào)減少；在上，,函數(shù)單調(diào)增加.故函數(shù)的單調(diào)增加區(qū)間為:，，單調(diào)減少區(qū)間為，.4.證明:當時,.證令,則.當時,，故，因此在上單調(diào)減少,從而.由于,故,即,所以當x1時,.5.設(shè)，證明：證設(shè)，當時，，函數(shù)單調(diào)遞增，綜上所述,.6.證明:方程有且只有一個小于1的正根.證令，因在閉區(qū)間連續(xù)，且，.根據(jù)零點定理在內(nèi)有一個零點,即方程至少有一個小于1的正根.在內(nèi)，，所以在內(nèi)單調(diào)增加，即曲線在內(nèi)與軸至多只有一個交點.綜上所述，方程有且只有一個小于1的正根.7.求下列函數(shù)的極值:(1)；(2)；(3)；(4)；(5)；(6)；(7).解：(1),令，得駐點.又因，故為極小值點，且極小值為.(2),令，得駐點,,,故極大值為，極小值為.(3),令，得駐點.,,故極大值為，極小值為.(4)，令，得駐點.,故為極小值.(5)；得駐點；；因，所以函數(shù)有極小值；因，所以不能用極值判別法Ⅱ，改用極值判別法Ⅰ進行判別，易知在的左右兩側(cè)均有，故函數(shù)在無極值.(6),令，得駐點且在定義域內(nèi)有一不可導點，當時，;當時，,故為極大值點，且極大值為.因為函數(shù)定義域為，故不是極值點.（7)函數(shù)的定義域為，求導數(shù)得；駐點，不可導點.在上，,函數(shù)單調(diào)增加；在上，,函數(shù)單調(diào)減少；在上，,函數(shù)單調(diào)增加.極大值為，極小值為.8.設(shè)為常數(shù)，證明：如果函數(shù)滿足條件，那么該函數(shù)沒有極值.解：，令，得方程，由于，那么無實數(shù)根，從而y無極值.9.試問常數(shù)a為何值時，函數(shù)在點處取得極值？它是極大值還是極小值？并求此極值.解：f(x)為可導函數(shù)，故在處取得極值，必有，得.又，所以是極大值點，極大值為.答案：，極大值為.習題3-41.求下列函數(shù)的最值：；；；，.解：(1)定義域為，，得唯一駐點x=－3，且當時，，y單調(diào)遞減；當時，，y單調(diào)遞增,因此x=－3為y的最小值點，最小值為.又，故f(x)無最大值.(2)，在上得唯一駐點，又,故函數(shù)在[－5，1]上的最大值為，最小值為.(3)函數(shù)在(－2，2)中有三個駐點x=0，x=－1及x=1，而y(－1)=0，y(0)=1，y(1)=0，y(－2)=9，y(2)=9,故在[－2，2]上，函數(shù)的最大值是9，最小值為0.(4)在上連續(xù)，求得駐點和不可導點;而，由，，，故在上的最大值為，最小值為.2.求函數(shù)在上的最大值及最小值.解在上連續(xù)，，令，得駐點為，.計算，，，.故在上的最大值為，最小值為.3.某工廠需要圍建一個面積為的矩形堆料場，一邊可以利用原有的墻壁，其他三邊需要砌新的墻壁.問：堆料場的長和寬各為多少時，才能使砌墻所用的材料最省？xx解：要求原料最省，就是要求新砌的墻壁總長度最短.如圖2-63所示，設(shè)場地的寬為，為使場地面積等于，則長為因此新墻的總長度為這就是目標函數(shù).下面討論為何值時，取得最小值。為此，求對的導數(shù).解方程，得.目標函數(shù)在區(qū)間內(nèi)只有一個駐點，故當時，取得極小值，從而這個極小值也是目標函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最小值.因此，當堆料場的寬為、長為時，可以使砌墻所用的材料最省.4.某房地產(chǎn)公司有50套公寓要出租，當租金定為每月180元時，公寓會全部租出去.當租金每月增加10元時，就有一套公寓租不出去，而租出去的房子每月需花費20元的整修維護費.試問：房租定為多少可獲得最高收入？解：設(shè)房租為每月元，租出去的房子有套，每月總收入為解得（唯一駐點）.故每月每套租金為350元時，收入最高。最高收入為（元）.5.欲做一個底為正方形，容積為108立方米的長方體開口容器，怎樣做才能使用料最省？解：設(shè)底邊長為，高為，則其表面積為，令，得唯一駐點，所以當時用料最省。6.已知圓柱形易拉罐飲料的容積V是一個標準定值，假設(shè)易拉罐頂部和底面的厚度相同且為側(cè)面厚度的2倍.問如何設(shè)計易拉罐的高和底面直徑，才能使假設(shè)易拉罐的材料最省？解設(shè)圓柱形易拉罐高為h，底面半徑為r，并假定側(cè)面厚度為m，則頂部和底面的厚度分別為2m，故所需材料為.由于容積V是一個標準定值，故，即.因此得到目標函數(shù)為，求導數(shù)，令，得為唯一駐點.又二階導數(shù)，故為唯一的極小值點，也為最小值點.因此，設(shè)計易拉罐的底面直徑為：，高為：時，才能使假設(shè)易拉罐的材料最省.此時，易拉罐的高與底面直徑之比為.7.在半徑為r的球中內(nèi)接一正圓柱體，為使其體積為最大，求此圓柱體的高.解：設(shè)圓柱體的高為h,則圓柱體底圓半徑為，令,得即圓柱體的高為時，其體積為最大.答案：8.某鐵路隧道的截面擬建成矩形加半圓形的形狀，如圖所示.設(shè)截面積為am2，問底寬x為多少時，才能使所用建造材料最省?解：由題設(shè)知得截面的周長令得唯一駐點，即為最小值點.即當時，所用建造材料最省.答案：9.甲、乙兩用戶共用一臺變壓器，如圖所示，問變壓器設(shè)在輸電干線AB的何處時，所需電線最短？解：所需電線為在得唯一駐點(km)，即變壓器設(shè)在輸電干線離A處1.2km時，所需電線最短.答案：變壓器設(shè)在輸電干線離A處1.2km.10.在邊長為a的一塊正方形鐵皮的四個角上各截出一個小正方形，將四邊上折焊成一個無蓋方盒，問截去的小正方形邊長為多大時，方盒的容積最大？解：設(shè)小正方形邊長為x時方盒的容積最大.令得駐點(不合題意，舍去)，.即小正方形邊長為時方盒容積最大.答案：習題3-51.判定下列曲線的凹凸性：；；；.解：(1)，故知曲線在上的圖形是凸的.(2)故函數(shù)的圖形在上是凹的.(3)，故曲線圖形在上是凹的.(4)，故曲線圖形在上是凹的.2.求下列曲線的拐點及凹凸區(qū)間：；；；；；.解：(1)解方程，得.當時，，故曲線在上是凸的；當時，，故曲線在上是凹的.又，因此點是曲線的拐點.(2)令，得x=2當x>2時，，即曲線在上是凹的；當x<2時，，即曲線在上是凸的.因此為唯一的拐點.(3)函數(shù)的定義域為令得，.當時，，故曲線在上是凸的；當時，，所以，曲線的凹區(qū)間為,；凸區(qū)間為.拐點為和.(4)令得x=－1或x=1.當－1<x<1時，，即曲線在[－1，1]上是凹的.當x>1或x<－1時，，即在上曲線都是凸的.因此拐點為(－1，ln2)，(1，ln2).(5)令得.當時，，即曲線在上是凸的；當時，，即曲線在上是凹的，故有唯一拐點.(6)函數(shù)在處不可導，但時，曲線是凸的，時，曲線是凹的.因此是凸區(qū)間，是凹區(qū)間，點為曲線的拐點.3.利用曲線的凹凸性證明下列不等式：；；.解：(1)令，則曲線y=f(x)是凹的，因此，,即.(2)令f(x)=ex.則曲線y=f(x)是凹的，則即.(3)令則曲線是凹的，，x≠y，有即，即.4.求曲線的拐點.解：，令，得當時，；當時，；當時，；當時，,因此，曲線有三個拐點(－1，－1)，.5.問常數(shù)a，b為何值時，(1,3)為曲線的拐點？解：依題意有解得.答案：習題3-61.選擇題：（1）曲線（）.A.只有水平漸近線B.只有垂直漸近線C.沒有漸近線D.有水平漸近線，也有垂直漸近線解：首先，在處函數(shù)趨近于無窮大，因此是垂直漸近線，又由于，因此存在水平漸近線，故選D.參考答案：D（2）函數(shù)的水平漸近線方程為（）.A.B.C.D.解：，因此水平漸近線為.參考答案：C（3）曲線（）.A.只有水平漸近線B.只有垂直漸近線C.沒有水平漸近線和垂直漸近線D.有水平漸近線，也有垂直漸近線解：，存在水平漸近線，沒有垂直漸近線.參考答案：A（4）曲線有（）.A.水平漸近線B.水平漸近線C.垂直漸近線D.垂直漸近線解：，存在垂直漸近線，，并存在水平漸近線，因此選C參考答案：C2.求下列曲線的漸近線：（1）；（2）；（3）；（4）.解：（1）（2）（3）（4）函數(shù)的定義域為.因為，所以直線是曲線的鉛直漸近線.又因為，，，所以直線是曲線的斜漸近線3.描繪下列函數(shù)的圖形：；；；；.解：(1)定義域為.為間斷點，為奇函數(shù)，故關(guān)于原點對稱.(2)，故在定義域內(nèi)無駐點；，令，得，此時，所以為拐點嫌疑點.(3)列表0+++0+-拐點間斷點(4)，，故有鉛直漸近線；又，故有水平漸近線(5)取輔助點，描繪出函數(shù)在上的圖形，再利用對稱性便得內(nèi)的圖形，如圖所示.(2)函數(shù)定義域為(－∞，+∞)，且為奇函數(shù),令y′=0，可得x=±1，令y″=0，可得x=0.列表討論如下：x0(0，1)1(1，∞)y′-－0+y″0+++y0極小值又且故是斜漸近線，由對稱性知亦是漸近線.函數(shù)有極小值，極大值.(0，0)為拐點.作圖如上所示.(3)函數(shù)的定義域為.令得x=0，x=－2. 當時，單調(diào)增加，曲線是凸的；當時，單調(diào)減少，曲線是凸的；當時，單調(diào)減少，曲線是凹的；當時，單調(diào)增加,曲線是凹的.故函數(shù)有極大值f(－2)=－4，有極小值f(0)=0又，故有x=－1為無窮間斷點且為垂直漸近線.又因，且，故曲線另有一斜漸近線y=x－1.綜上所述，曲線圖形為：(4)函數(shù)定義域為(－∞，+∞).令，得x=1.令，得.當時，函數(shù)單調(diào)增加；當時，函數(shù)單調(diào)減少；當時，，曲線是凹的；當時，，曲線是凸的,故函數(shù)有極大值f(1)=1，兩個拐點：，又，故曲線有水平漸近線y=0.圖形如下：（5）(1)定義域為，且.(2)由，得駐點及不存在的點；，無零點，不存在的點為.(3)列表046-不存在+0-不存在--不存在---不存在+極小值0極大值拐點(4)，，故有斜漸近線.此外當時，；時，，即這時有鉛直切線.(5)作圖形，如圖所示.習題3-71.求直線上各點的曲率.xRMOAy解：直線上各點處切線的傾斜角是常量，xRMOAy這與我們直觀認識到的“直線沒有彎曲”一致.2.求半徑為的圓上任意一點處的曲率.解：在圓周上任意兩點、處圓的切線所夾角等于中心角（見圖），且，因此即這表明圓上各點處的曲率都等于半徑的倒數(shù)，這與我們直觀認識到的“圓的彎曲程度處處一樣（且彎曲程度與半徑成反比）”一致.3.求拋物線在它頂點處的曲率.解：，故拋物線頂點為(2，4)當時，，故答案：4.求正弦曲線在區(qū)間上各點處的曲率.解：由，，得在及處，，即在點及點的附近，正弦曲線接近直線.在處，分母最小且分子取最大值.所以曲率取最大值1，也就是正弦曲線在點處彎曲最厲害.5.求曲線在點處的曲率及曲率半徑.解：故.答案：6.求曲線在點處的曲率.解：，，故且當t=t0時，.答案：7.設(shè)一工件上的橢圓孔形為橢圓上的一段弧（見圖2-73）若用砂輪磨削其內(nèi)表面，問:砂輪的直徑最大可選為多少?解：求弧在點處的曲率.弧的方程為，xyDCBxyDCBO在點處，，，代入曲率公式得點處的曲率，曲率半徑，所以砂輪的直徑不得超過64個單位.自測題三一、單項選擇題（每小題3分，共15分）.1.函數(shù)在區(qū)間[0,1]上的單調(diào)性為（）.A.先減后增B.先增后減C.單調(diào)遞增D.單調(diào)遞減2.設(shè)函數(shù)二階可導，如果，那么點（）.A.是極大值點B.是極小值點C.不是極值點D.不是駐點3.若函數(shù)在處取極值，則（）.A.B.C.D.4.設(shè)函數(shù)在開區(qū)間內(nèi)有且，則該函數(shù)在內(nèi)（）.A.單調(diào)增加，圖形為凹B.單調(diào)增加，圖形為凸C.單調(diào)減少，圖形為凹D.單調(diào)減少，圖形為凸5.函數(shù)的水平漸近線是().A.B.C.D.答案：DBBDD二、填空題（每小題3分，共15分）6.函數(shù)在區(qū)間上滿足羅爾定理的.7.函數(shù)的區(qū)間上的單調(diào)性為（填“增加”或“減少”）.8.極限.解：9.函數(shù)的拐點是.10.若函數(shù)在處取極值，則.答案：1；增加；1；；4三、計算題（本大題共4小題，每小題5分，共20分）11.計算極限.解：原式==.12.計算極限.解：原式.13.計算極限.解：.14.計算極限.解：原式.四、綜合題（本大題共5小題，每小題6分，共30分）15.求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值.解：,由解得駐點：；解得：；解得：或，故單調(diào)遞增區(qū)間為：，單調(diào)遞減區(qū)間為：，.在處取得極小值為：.16.求在區(qū)間上的最大值和最小值.解：,從而有駐點,而且還有兩端點,由于,,，則最大值為,最小值為.17．求曲線的凹凸區(qū)間和拐點.解：令得01+0-0+凹拐點（0,1）凸拐點（1,-2）凹所以函數(shù)的凹區(qū)間為，凸區(qū)間為，拐點為（0,1）和（1,-2）.18.證明：當時，.證：令,，,所以當嚴格單調(diào)增加；，即.19.證明：當時，.證：令,，所以嚴格單調(diào)增加，，即.五、應用題（本大題共2小題，每小題10分，共20分）.20.如果要做一個容積為300立方米的無蓋圓柱形蓄水池，池底的單位造價是周圍單位造價的兩倍，問蓄水池的尺寸如何設(shè)計，使得總造價最低.解：設(shè)水池的地面半徑為r，高h，總造價為y，周圍的單位造價為k，那么有,從而，由得：，則，這個尺寸造價最省.21.某商場欲建設(shè)一總面積為的矩形庫房，并要求在該矩形庫房中間用一堵墻將其分為兩個小的矩形庫房，問如何設(shè)置長與寬的尺寸可以使用料最?。拷猓涸O(shè)長為（），則寬為，根據(jù)題意可將用料問題轉(zhuǎn)化為周長問題，于是，即求的最小值.求導，令得（舍去）,由于是唯一駐點，根據(jù)實際問題函數(shù)必有最小值，故就是最小值點，于是當長為寬為時，用料最省。習題4-1選擇題CBC計算題設(shè)為的一個原函數(shù)，求；已知的導數(shù)是，求f(x)的原函數(shù).根據(jù)基本積分表，求下列不定積分：(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) 設(shè)曲線通過點，且其上任一點處的切線斜率為，求此曲線方程．解：已知曲線在任一點處的切線斜率為，由導數(shù)幾何意義知曲線的導數(shù)。對求不定積分：。因為曲線過點，將，代入可得：，即，解得。所以曲線方程為。5.已知平面曲線上任意一點處的切線斜率為，且曲線經(jīng)過點，求該曲線方程．解：已知曲線在任一點處的切線斜率為，由導數(shù)幾何意義可知。對求不定積分得，所以。因為曲線經(jīng)過點，將，代入：，解得。所以曲線方程為。6.已知，且，求．解：已知，由導數(shù)與不定積分的關(guān)系，，所以。又因為，代入可得：解得。所以。習題4-21．在下列各式等號右端的空白處填入適當?shù)南禂?shù)，使等式成立：(1)；(2)；(3)(4)(5)；(6)；(7)；(8)；(9)；(10)．2．用第一類換元法求下列不定積分。(1) (2) (3) (4) (5) (6) (7) (8) (9) (10) (11) (12) (13) (14) (15) (16) (17) (18) (19) (20) (21) (22) (23) (24) (25) (26) (27) (28) (29) (30) (31) (32) (33) (34) (35) (36) (37) (38) (39) (40) (41) (42) (43) 令，則，所以(44) 3.用第二類換元法求下列不定積分.(1)令，則。(2)令，則，。(3)令，則，。(4)令，。(5)(6)令，。(7)令，。(8)令，。(9)令，。(10)令，。(11)令，。（12）令，。(13)令，。(14)令，。（15）令，，(16)令，則，。習題4-31、用分部積分法求下列不定積分。(1) (2) (3) (4) ，移項可得，所以。(5) (6) (7)（8），，(9)，移項可得，所以。。。。(15)。(16)。。。。令，，。。，移項可得，所以。(22)。(23)。(24)令，，。。習題4-4將變形為，則。先對配方得，，。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，。所以。因為，設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，。則。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，。所以。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，。則。，設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，。。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，，。。。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，，。。將，設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，，。。設(shè)，通分得到。由等式兩邊系數(shù)相等可得：，解得，，，。對，先計算；對于，其中對于，令，則。而對于，令，（即），則積分變?yōu)?。根?jù)積分公式（），當時，。把，代回得：-。。則。所以原積分結(jié)果為令，則，。令，則，。令，則，。對配方得，則令，則，，。令，則，，。，對配方：則(18)令，則，。令，則，。令，則，。令，則，。令，則，。，再本章自測題1、選擇題答案：DCCBB2、填空題(1)已知，對等式兩邊求導得，則，所以。令，，則。(2)令，則，因為，所以。，即。(3)已知是的一個原函數(shù)，則。由分部積分法，，，所以(4)。(5)令，，。，因為，，所以，可記為。求下列不定積分。(1) (2) (3)令，則，， (4)令，則， (5) (6)設(shè)，，則，， (7)令，則，， (8)令，， (9) (10)4.由曲線在點處切線斜率，則，將，代入得，因，所以，曲線方程為。5.因為曲線在任意一點處切線斜率，所以，把點即，代入得，由于，故，曲線方程為。習題5-1利用定積分的幾何意義求定積分.定積分表示由直線，，以及軸所圍成的矩形的面積，該矩形的底為，高為，所以。函數(shù)在區(qū)間上關(guān)于原點對稱，根據(jù)定積分的幾何意義，對稱區(qū)間上奇函數(shù)的定積分值為，所以。函數(shù)可化為，表示單位圓的上半圓的面積，所以。根據(jù)定積分的性質(zhì)，比較積分值的大小.當時，，即，由定積分的保序性可知。當時，，則，即，由定積分的保序性可知。估計下列各積分值的范圍(1)設(shè)，在上成立，所以在上單調(diào)遞增。，，根據(jù)定積分的估值定理，，即，也就是。(2)因為在上是偶函數(shù)，所以。又因為在上單調(diào)遞減，，所以。證明.因為在上成立，且，，由夾逼準則可知。(2)因為在上成立，且在上滿足，，，由夾逼準則可知。習題5-21．求下列導數(shù)：(1)(2)(3)(4)(x＞0)．(5)(6)(7)(8)(9)(10)求下列極限由洛必達法則，對于，因為它是型，根據(jù)變上限積分求導公式以及洛必達法則，有：，又因為當時，，所以。同樣由洛必達法則，對于，它是型。先對分子分母分別求導，根據(jù)復合函數(shù)求導的鏈式法則以及變上限積分求導公式，分子的導數(shù)為，分母的導數(shù)為，則：，再次使用洛必達法則，。對于，它是型，使用洛必達法則，根據(jù)變上限積分求導公式可得：，求由方程所確定的隱函數(shù)的導數(shù)方程兩邊對求導，根據(jù)變上限積分求導公式以及復合函數(shù)求導法則：，，解得。計算下列定積分根據(jù)定積分基本公式，。先分析絕對值內(nèi)函數(shù)的正負性，在上，在上。則。。。根據(jù)，。。。。先化簡被積函數(shù)，則。。。因為，則。在上，在上。。5.對求導，則。由積分中值定理，，其中。所以。因為，所以在內(nèi)單調(diào)遞減，又，則，即，且，所以在內(nèi)成立。習題5-3用第一類換元法求下列定積分。。。。。。。，，，所以。。。，，，所以。。，，，所以。。。。。，。用第二類換元法求下列定積分。令，則，。當時，；當時，。。令，則，。當時，；當時，。。令，則，。當時，；當時，。。令，。當時，；當時，，。。令，。當時，；當時，。。令，。當時，；當時，。。3.用分部積分法計算下列定積分.根據(jù)分部積分公式，令，，則，。令，，則，。。令，，則，。。令，，則，。對于，再用一次分部積分法，令，，，。所以。令，，則，。。令，，則，。。令，，則，。。令，，則，。對于，再令，，，。設(shè)，則，，。先將變形為，令，，則，。。先將展開為。對于，令，，，，經(jīng)過兩次分部積分可得結(jié)果，最終。令，，則，。對于，令，，，再進行計算，最終.先將化簡為，令，，則，。。令，則，。因為是奇函數(shù)，，，所以。令，，則，。對于，令，，，，經(jīng)過計算可得。4．利用被積函數(shù)的奇偶性計算下列積分.(1)設(shè)。因為是偶函數(shù)（），是奇函數(shù)（）。根據(jù)定積分性質(zhì)（偶，奇），，。所以.(2)設(shè)，因為，所以是奇函數(shù)。則。(3)設(shè)，因為，所以是奇函數(shù)。則。(4)設(shè)，其中是偶函數(shù)（），是奇函數(shù)（同(2)）。所以(5)設(shè)，，所以是奇函數(shù)。則。(6)設(shè)，其中是奇函數(shù)，是偶函數(shù)（）。所以。令，，當時，；當時，。。(7)設(shè)，因為，所以是偶函數(shù)。。根據(jù)，。。令，則，。當時，；當時，。，等式得證。利用分部積分法，令，。先求，，所以，。根據(jù)分部積分公式，有：。令，則，。當時，；當時，。。已知，則，，，，，解得。設(shè)，則。所以。對于；令，，；。則，即，因式分解得，解得或。所以或。習題5-41．判斷下列反常積分的斂散性，若收斂，則求其值.(1)，收斂，值為。(2)，發(fā)散。(3)，收斂，值為。(4)，極限不存在，發(fā)散。(5)，令，則，收斂，值為。(6)，收斂，值為。(7)，令，，，則，收斂，值為。(8)，用分部積分法，令，，，，則，收斂，值為。(9)，收斂，值為。(10)，令，，則，收斂，值為。(11)，，發(fā)散。(12)，收斂，值為。(13)，，，發(fā)散。(14)，令，，，則，收斂，值為。(15)，令，，則，收斂，值為。(16)，收斂，值為。(17)，令，，則，收斂，值為。2*令，則，當時，，。當時，，收斂；當時，若，，若，，發(fā)散。綜上，時收斂，時發(fā)散。3*用分部積分法，令，，則，。，（利用洛必達法則多次可得），所以。又，通過遞推可得。習題5-5求由下列曲線所圍成的平面圖形的面積.先求交點，令，即，解得，。與的交點為，。與的交點為，。。。。(7)求交點，令，即，解得或，。（8）與的交點為和，。(9)與交點為，；與交點為，，。2、用極坐標系下平面圖形面積公式證明圓的面積為.證明：在極坐標系中，，，則圓可化為，即（）。極坐標系下平面圖形面積公式為。對于圓，，，（）。則，得證。3.求下列曲線段的弧長：（參考不定積分公式：）（1）曲線的弧長(2)曲線，上自至的一段弧；（4）求對數(shù)螺線相應θ=0到θ=φ的一段弧長．解（1）：，（2）：如圖，．從而(3)（4）求阿基米德螺線上相應于從0到的弧長。解：.4.計算由橢圓所圍圖形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積．解這個旋轉(zhuǎn)體實際上就是半個橢圓及軸所圍曲邊梯形繞軸旋轉(zhuǎn)而成的立體，取作積分變量，，體積元素所以，所求體積5.求直線與拋物線所圍的圖形分別繞x軸和y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積.解與有兩個交點，分別是（0，0）和（2，4）.因此，直線與拋物線所圍的圖形繞x軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為：＝＝＝又由與可得與，因此，直線與拋物線所圍的圖形繞y軸旋轉(zhuǎn)一周所成的旋轉(zhuǎn)體體積為：.＝＝＝本章自測題1、選擇題答案：BCBCB2、填空題(1)，根據(jù)乘積求導法則，其中，。，由變上限積分求導公式，，所以。(2)先求，則，，，所以。(3)設(shè)，則，所以，解得，所以。(4)令，，，當時，；當時，，則。已知，兩邊求導得，即，令，得。(5)令，，，當時，.當時，，則.3.計算題。(1)設(shè)，，所以是奇函數(shù)，。(2)，令，，當時，；當時，，則。(3)令，，當時，；當時，，。(4)令，，，當時，；當時，，。(5)令，，當時，；當時，，。(6)令，，當時，；當時，，，根據(jù)，，可得。(7)用分部積分法，令，，，，。(8)用分部積分法，令，，，，。(9)，用分部積分法，令，，，，。(10)用分部積分法，令，，，，，再對用分部積分法，令，，，，，設(shè)，則，解得。(11)，，，用分部積分法得，所以。(12)令，令，則。當時，；當時，。，4.綜合題(1)令，則，當時，；當時，。，令，則，。(2)(a)，令，，則。(2)(b)，用分部積分法，，，，。(2)(c)，令，，，令，，所以。(2)(d)。5、對兩邊求導得，在點處，，，則法線斜率為，法線方程為，即。聯(lián)立，消去得，解得或。。6、對兩邊求導，根據(jù)變上限積分求導法則，，。第六章習題答案習題6-11.指出下列微分方程的階數(shù):(1)；(2)；(3)； (4).解：（1）一階（2）二階（3）三階（4）一階答案：（1）一階（2）二階（3）三階（4）一階2.指出下列函數(shù)是否為所給微分方程的解：;;;解：（1）由得，代入方程得故是方程的解.（2）代入方程得.故是方程的解.（3）代入方程得.故不是方程的解.（4）代入方程得故是方程的解.答案：（1）是（2）是（3）不是（4）是3.驗證下列函數(shù)（隱函數(shù)）為所給微分方程的解：解：（1）方程兩端對x求導：得代入微分方程，等式恒成立.故是微分方程的解.（2）方程兩端對x求導：(*)得.(*)式兩端對x再求導得將代入到微分方程，等式恒成立，故是微分方程的解.習題6-21.求下列微分方程的通解：（1）（2）； （3）（4）答案(1)解：當時，分離變量，得兩邊積分，得即為通解（2）解：當時，方程化為兩端積分，即得即得到通解解：當時，分離變量，得兩邊同時積分，得通解為所求微分方程的通解為（4）解：當時，分離變量，得積分得通解為：（其中）2.求下列微分方程滿足所給初始條件的特解:;.解：(1)分離變量，得積分得.以代入上式得故方程特解為.(2)分離變量，得積分得將代入上式得故所求特解為.答案：（1）（2）習題6-31.求微分方程的通解。解：（0）變形得（1）變量代換令，則代入方程消去y，得（2）分離變量得，（3）兩邊積分，得（4）回代微分方程的通解為2.求微分方程的通解．解把原方程化為．令，則，．代入上式并整理得．兩端分別積分得．將回代到上式，得通解為，或.3.求微分方程的通解，并解其初值問題.解原方程變形為,令則代入原方程并整理兩邊積分得即變量回代得所求通解由代入通解，得，故所求初值問題的解為4.求解微分方程解：原方程是齊次微分方程．（1）變量代換令，，即，代入原方程，化簡得即（2）分離變量得（3）兩邊積分，得（4）回代得齊次方程的通解．（5）代入初始條件得所求特解為5.求解微分方程解法一：原方程化為令，則分離變量得積分得即得方程通解為以代入上式得．所求特解為解法二：原方程化為令，則分離變量得積分得得方程通解為以代入上式得．所求特解為習題6-41.求方程的通解．解：套公式，2.求解初值問題定性：x是y的函數(shù)，一階線性微分方程指出套公式得特解為3.解方程解：定性，是一階非齊線性微分方程套公式得特解為求方程的通解.解這是一個非齊次線性方程.先求對應的齊次線性方程的通解.分離變量得,兩邊積分得lny=2ln(x+1)+lnC,故齊次線性方程的通解為y=C(x+1)2.用常數(shù)變易法，把C換成,即令y=C(x)·(x+1)2,代入所給非齊次線性方程,得，即,兩邊積分,得.再把上式代入y=C(x)(x+1)2中,即得所求方程的通解為.求微分方程的通解及滿足初始條件的特解．解把方程化為標準形式，于是．首先求出(積分后，不再加任意常數(shù))，然后用公式(10-6)可得所求通解為．當時，．當時，．綜上所述，原方程的通解為.將初始條件代入上式，可得，故所求特解為．注：有些方程本身并非線性方程，但經(jīng)過適當變形后可轉(zhuǎn)化為線性方程．6.求微分方程的通解及滿足初始條件的特解．解這個方程不是一階線性微分方程，不便求解.如果將x看作y的函數(shù)，即對進行求解，可將原方程化為未知函數(shù)為的線性方程，即．于是，．首先求出，然后代入通解公式，可得所求通解為 .將初始條件代入上式，可得．故所求特解為．7.設(shè)某企業(yè)在t時刻產(chǎn)值y(t)的增長率與產(chǎn)值以及新增投資2bt有關(guān)，并有如下關(guān)系：，其中a,b均為正常數(shù)，,求產(chǎn)值函數(shù).解方程是一階線性非齊次方程，化為標準形式，于是．由，代入通解公式，可得通解為 .將初始條件代入上式，可得．故所求產(chǎn)值函數(shù)為.習題6-51.求方程的通解.解對所給方程相繼積分兩次,得上式即為所求通解.求解微分方程的初值問題.;;;.解：(1)令，則,原方程可化為由知，，從而有由,得故或.(2)令，則.原方程可化為則以代入上式得則當x=1時，y=0代入得故所求特解為.(3)當，得以x=0,y=0代入上式得故所求特解為.（4）題設(shè)方程屬型.令代入方程并分離變量后,有兩端積分，得即由條件得所以兩端再積分,得又由條件得.于是所求初值問題的解為習題6-61.設(shè)微分方程，則（其中為任意常數(shù)）（）.A.是這個方程的通解 B.是這個方程的特解C.不是這個方程的解 D.是這個方程的解，但既非它的通解也非它的特解解：齊次方程只有通解，沒有特解，但是這個方程代入此方程后滿足，因此是這個方程的解但不是特解，而上述方程的通解應為，因此也不是通解，選D.參考答案：D設(shè)線性無關(guān)的函數(shù)都是二階非齊次線性微分方程的解，是任意常數(shù)，則該非齊方程的通解是（）. B.C.D.解：非齊次線性方程的任意兩個解之差都是對應齊次方程的解，因此對應齊次方程的一個解為，另一個解為，且線性無關(guān)，通解為任意特解加相應齊次方程的通解，因此通解為.參考答案：D3.下列函數(shù)組在其定義區(qū)間內(nèi)是線性無關(guān)的（）A. B.；C.，；D..答案為ABD4.證明：與是方程的線性無關(guān)解，并寫出其通解.答案：通解為5.求方程的通解.解特征方程為，.特征根為，.故所求微分方程的通解為.6.求方程的通解及滿足條件的特解．解特征方程為．特征根為重根.故所求微分方程的通解為.由代入上式得，從而.求導得．將代入上式得.故所求特解為：.7.求方程的通解．解從特征方程得出.故所求通解為.8.求方程的一個特解．解因為是x的三次多項式，且，，所以?。O(shè)方程的特解為．按例5的方法進行求導、代入、比較系數(shù)等環(huán)節(jié)(此處省略，請讀者自己完成)．最后求得特解為．9.求方程的一個特解．解不是特征方程的根，取，所以可設(shè)原方程的特解為，則，代入原方程得．解得，故方程有一特解為.10.求方程的通解．解可以看成是與之和．所以分別考察方程與方程的特解．容易求得方程的一個特解為：．類似求得方程的一個特解為：．于是原方程的一個特解為＝．又原方程所對應的齊次方程的通解為，故原方程的通解為=.本章自測題1、選擇題（1）.函數(shù)(其中是任意常數(shù))是微分方程的（）(A)通解；(B)特解；(C)是解，但既非通解，也非特解；(D)不是解。答案：C（2）.微分方程階數(shù)是（）(A)4階(B)3階(C)2階(D)1階答案：B（3）.在下列微分方程中，通解為的是（）(A)(B)(C)(D)（4）設(shè)非齊次線性微分方程y′+P(x)y=Q(x)有兩個不同的解y1(x)與y2(x)，C是任意常數(shù)，則該方程的通解是.AC［y1(x)+y2(x)］ BC［y1(x)-y2(x)］Cy1(x)+C［y1(x)-y2(x)］ Dy1(x)+C［y1(x)+y2(x)］解非齊次通解=齊次通解+非齊次特解，齊次通解，非齊次特解為：所以選擇C.（5）微分方程y″+4y=sin2x的一個特解形式是.ACcos2x+Dsin2x BDsin2xCx［Ccos2x+Dsin2x］ Dx·Dsin2x解因為，，是特征方程的根，所以?。O(shè)特解為．選擇C.2、填空題（1）微分方程的通解中應含的獨立常數(shù)的個數(shù)為()。答案：3（2）微分方程的通解是.答案： （3）微分方程xdy-(x2e－x+y)dx=0的通解是.解方程可化為，通解為.（4）微分方程xy′+y=0滿足初始條件y(1)=1的特解是.解分離變量得，通解為，初始條件y(1)=1特解為（5）通解為y=C1ex+C2e2x的微分方程是.解易見這是二階常系數(shù)方程的解，特征根為,特征方程為所以微分方程為.3、解下列一階微分方程：(1)(1+y2)dx=xy(x+1)dy； (2)x(y′+1)+sin(x+y)=0；(3)； (4)xy′+2y=sinx；(5)tanydx=(siny-x)dy； (6)(y-2xy2)dx=xdy.解(1)分離變量，積分得，化簡得；(2)令，原方程化為，積分得，化簡并整理得通解：.(3)，原方程化為，積分得方程通解為(4)這是一階線性非齊次方程，，所以方程通解為(5))設(shè)，方程化為，這是一階線性非齊次方程，，所以方程通解為(6)方程可化，這是伯努利方程，其中，所以方程通解為即.4、解下列二階微分方程：(1)(1+x)y″+y′=ln(1+x)； (2)y″+3y′+2y=2x2+x+1；(3)y″+2y′-3y=2ex； (4)y″+y=x+cosx.解(1)易見不顯含y，令代入方程得，即，所以，兩邊積分.(2)這是二階常系數(shù)非齊次方程，由設(shè)特解為，帶入方程并對比兩端的系數(shù)，得，故非齊次特解為；齊次通解為，從而方程通解為.(3)這是二階常系數(shù)非齊次方程，因為是特征方程的單根，所以?。O(shè)特解為，代入原方程后，解得，故方程的一個特解為：.所求的通解為.(4)可以看成是與之和．所以分別考察方程與方程的特解．容易求得方程的一個特解為：．容易求得方程的一個特解為：．于是原方程的一個特解為＝．又原方程所對應的齊次方程的通解為，故原方程的通解為.考研真題解析1.（2006，數(shù)一，二）微分方程的通解是解：原方程可化為分離變量為兩邊積分得故通解為：2.（2008，數(shù)二，四）微分方程的通解是．解：可化為由線性方程通解公式得于是得通解為，其中C為任意常數(shù)3.（2010，數(shù)二）三階常系數(shù)線性齊次微分方程的通解為．解：特征方程為分解因式為：于是得：則該方程通解為4.（2007，數(shù)一，二）二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的通解為．解：齊次微分方程的特征方程為特征解為：則齊次方程通解為令非齊次方程特解為代入原方程得則，則原方程通解為競賽真題賞析1.（第六屆全國初賽題，2014）已知和是齊次二階常系數(shù)線性微分方程的解，則該方程為解由解可知，該方程的特征方程有二重根，故特征方程為因此，所求微分方程為2.（第九屆全國初賽題，2017）已知可導函數(shù)滿足，則=解對方程兩邊求導，得，整理得這是一階線性微分方程，利用求解公式得.由原方程可知，代入上式得，因此3.（第七屆全國初賽題，2015）設(shè)在內(nèi)二階可導，且存在常數(shù)，使得對任意，有，證明：在內(nèi)無窮次可導.解分為兩種情形：當時，，這是可分離變量的一階微分方程，易知其通解為當時，方程可化為這是二階常系數(shù)齊次線性微分方程，其通解為指數(shù)函數(shù)或三角函數(shù).因此，無論哪種情形，在內(nèi)無窮次可導.考研真題解析1．（2024，數(shù)二）函數(shù)f(x)=|x|1(1?x)(x?2)的第一類間斷點的個數(shù)是

A．3

B．2

C．1

D．lim所以f(x)的第一類間斷點只有x=1，選C．

2．（2024，數(shù)二）設(shè)函數(shù)y=f(x)由參數(shù)方程x=1+t3y=et2確定，則limx→+∞?xf2+2x?f(2)=

A．2e

Blim選B．競賽真題賞析1.（第十二屆全國初賽題，2020）設(shè)f(x),g(x)在x=0的某一鄰域U內(nèi)有定義，對任意x∈U,f(x)≠g(x)，且limx→0?f(x)=limx→0

=

習題參考答案習題2-11.2.(1)-1，(2)-13.4.連續(xù)不可導5.習題2-21.（1）（2）（3）（4）（5）（6）2.（1）（2）（3）（4）（5）（6）（7）（8）3.4.，；，.5.（1）（2）（3）（4）6.（1）（2）7.（1）（2）習題2-31.（1）（2），（3）7200,7202.（1）（2）3.4.5.略6.（1）（2）（3）（4）7.（1）（2）習題2-41.（1）0.21，0.2，0.01；（2）0.0201，0.02，0.0001.2.3.（1）2.0083（2）-0.0100（3）0.79544.（1）（2）（3）（4）（5）（6）5.（1）（2）6.自測題一、1.A2.C