模型04相似三角形模型易錯(cuò)模型1：一線三等角（K字）模型模型解讀“一線三等角”型的圖形，因?yàn)橐粭l直線上有三個(gè)相等的角，一般就會(huì)有兩個(gè)三角形的“一對(duì)角相等”，再利用平角為180°，三角形的內(nèi)角和為180°，就可以得到兩個(gè)三角形的另外一對(duì)角也相等（或利用外角定理也可），從而得到兩個(gè)三角形相似．1）一線三等角模型（同側(cè)型）（同側(cè)銳角型）（同側(cè)直角型）（同側(cè)鈍角型）（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED。2）一線三等角模型（異側(cè)型）條件：如圖，∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ADE∽△BEC.3）一線三等角模型（變異型）圖1圖2圖3①特殊中點(diǎn)型：條件：如圖1，若C為AB的中點(diǎn)，且∠1=∠2＝∠3，結(jié)論：△ACE∽△BED∽△ECD.②一線三直角變異型1：條件：如圖2，∠ABD=∠AFE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABC∽△BDE∽△BFC∽△AFB.③一線三直角變異型2：條件：如圖3，∠ABD=∠ACE=∠BDE=90°.結(jié)論：△ABM∽△NDE∽△NCM.易錯(cuò)提醒：未正確識(shí)別或添加輔助線以構(gòu)造“一線三等角”，導(dǎo)致無(wú)法形成相似或全等三角形?。例1．（2023·山東東營(yíng)·統(tǒng)考中考真題）如圖，為等邊三角形，點(diǎn)，分別在邊，上，，若，，則的長(zhǎng)為（

）

A． B． C． D．【答案】C【詳解】解：∵為等邊三角形，∴，∵，，∴，∴∴∵，∴，∴∵∴，故選：C．變式1．（2024·湖北武漢·?？寄M預(yù)測(cè)）【試題再現(xiàn)】如圖1，中，，，直線過(guò)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)、分別作于點(diǎn)，于點(diǎn)，則（不用證明）．

(1)【類比探究】如圖2，在中，，且，上述結(jié)論是否成立？若成立，請(qǐng)說(shuō)明理由：若不成立，請(qǐng)寫(xiě)出一個(gè)你認(rèn)為正確的結(jié)論．(2)【拓展延伸】①如圖3，在中，，且，猜想線段、、之間有什么數(shù)量關(guān)系？并證明你的猜想．②若圖1的中，，，并將直線繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)一定角度后與斜邊相交，分別過(guò)點(diǎn)、作直線的垂線，垂足分別為點(diǎn)和點(diǎn)，請(qǐng)?jiān)趥溆脠D上畫(huà)出圖形，并直接寫(xiě)出線段、、之間滿足的一種數(shù)量關(guān)系（不要求寫(xiě)出證明過(guò)程）．【答案】(1)成立，見(jiàn)解析(2)①，見(jiàn)解析；②或【詳解】（1）猜想．理由：如圖2，

，．，，．在和中，，，，，；（2）①猜想：．理由：如圖3，，．，，．，，，，，；②或．同①可得：，．如圖4，；如圖5，．變式2．（2024·河北滄州·?？级＃┤鐖D，在中，，，點(diǎn)D是線段上的一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作，分別交、于點(diǎn)E、F，與過(guò)點(diǎn)A且垂直于的直線相交于點(diǎn)G，連接，下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（

）A．B．若點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，則C．當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，D．若，則【答案】D【詳解】解：依題意可得，∴，∴，又，∴．故A項(xiàng)正確；如圖，∵，，∴．在與中，，∴，∴，又∵，∴；∵為等腰直角三角形，∴；∴；∵，∴，∴，∴．故B項(xiàng)正確；當(dāng)B、C、F、D四點(diǎn)在同一個(gè)圓上時(shí)，由圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)可得，∴是B、C、F、D四點(diǎn)所在圓的直徑，∵，∴，∴，故C項(xiàng)正確；∵，，，∴，∴，，∴，∴；∴．故D項(xiàng)錯(cuò)誤．故選：D．易錯(cuò)模型2：手拉手模型模型解讀“手拉手”旋轉(zhuǎn)型定義：如果將一個(gè)三角形繞著它的項(xiàng)點(diǎn)旋轉(zhuǎn)并放大或縮小(這個(gè)頂點(diǎn)不變)，我們稱這樣的圖形變換為旋轉(zhuǎn)相似變換，這個(gè)頂點(diǎn)稱為旋轉(zhuǎn)相似中心，所得的三角形稱為原三角形的旋轉(zhuǎn)相似三角形。1）手拉手相似模型（任意三角形）條件:如圖，∠BAC=∠DAE=，；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△ABD∽△ACE；；∠BFC=∠BAC。2）手拉手相似模型（直角三角形）條件:如圖，，；結(jié)論：△AOC∽△BOD；，AC⊥BD，.3）手拉手相似模型（特殊的等邊三角形與等腰直角三角形）條件:M為等邊三角形ABC和DEF的邊AC和DF的中點(diǎn)；結(jié)論：△BME∽△CMF；.條件:△ABC和ADE是等腰直角三角形；結(jié)論：△ABD∽△ACE；∠ACE=90°；.易錯(cuò)提醒：1）忽略“共頂點(diǎn)、雙等腰、頂角相等”三個(gè)必要條件，誤將非手拉手模型圖形強(qiáng)行套用結(jié)論?；2）未遵循“左手拉左手，右手拉右手”原則，錯(cuò)誤連接對(duì)應(yīng)點(diǎn)（如將頂點(diǎn)B與D連接而非B與E）。?例1．（2024·江西·一模）圖形的旋轉(zhuǎn)變換是研究數(shù)學(xué)相關(guān)問(wèn)題的重要手段之一，小麗和小亮對(duì)等腰只角形的旋轉(zhuǎn)變換進(jìn)行研究．(1)[觀察猜想]如圖1，△ABC是以AB、AC為腰的等腰三角形，點(diǎn)D、點(diǎn)E分別在AB、AC上．且DE∥BC，將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（0°≤a≤360°）．請(qǐng)直接寫(xiě)出旋轉(zhuǎn)后BD與CE的數(shù)量關(guān)系；(2)[探究證明]如圖2，△ACB是以∠C為直角頂點(diǎn)的等腰直角三角形，DE∥BC分別交AC與AB兩邊于點(diǎn)E、點(diǎn)D．將△ADE繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)至圖中所示的位置時(shí)，（1）中結(jié)論是否仍然成立．若成立，請(qǐng)給出證明；若不成立，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)[拓展延伸]如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，若等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，當(dāng)AB⊥BE時(shí)，求出DF2的值．【答案】(1)結(jié)論BD=CE．證明見(jiàn)解析；(2)結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．證明見(jiàn)解析；(3)28【詳解】（1）結(jié)論BD=CE．理由：如圖1中，∵∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE，∵AB=AC，AD=AE，∴△ABD≌△ACE（），∴BD=EC．故答案為：BD=CE．（2）結(jié)論不成立．BD與CE的數(shù)量關(guān)系：BD=CE．理由：∵△ABC，△AED都是等腰直角三角形，∴∠CAB=∠EAD=45°，，∵∠DAB=∠EAC，∴△DAB∽△EAC，∴，∴BD=CE（3）如圖3，BD是等邊△ABC底邊AC的中線，AE⊥BE，AE∥BC．，將△ABE繞點(diǎn)B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到△FBE，點(diǎn)A落在點(diǎn)F的位置，當(dāng)AB⊥BE時(shí)，ABC是等邊△，等邊三角形的邊長(zhǎng)為4，，變式1．（2024·廣東深圳·二模）如圖，在等腰直角中，，D為上一點(diǎn)，E為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且，，則．【答案】【詳解】過(guò)點(diǎn)E作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)H，，，，，，，，，，，，，，，，，．故答案為：．變式2．（2024·四川成都·中考真題）數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，同學(xué)們將兩個(gè)全等的三角形紙片完全重合放置，固定一個(gè)頂點(diǎn)，然后將其中一個(gè)紙片繞這個(gè)頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，來(lái)探究圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)．已知三角形紙片和中，，，．【初步感知】（1）如圖1，連接，，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究的值．【深入探究】（2）如圖2，在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)恰好落在的中線的延長(zhǎng)線上時(shí)，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，求的長(zhǎng)．【拓展延伸】（3）在紙片繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，試探究，，三點(diǎn)能否構(gòu)成直角三角形．若能，直接寫(xiě)出所有直角三角形的面積；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）的值為；（2）；（3）直角三角形的面積分別為4，16，12，【詳解】（1）∵，，．∴，∴，，∴即，∵∴，∴．（2）連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)Q，根據(jù)(1)得，∴，∵是中線∴，∴，∵，∴即，∴，∴，∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形，∵∴四邊形矩形，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則，∵，∴，∴，∵，∴，解得；∴，，∵，∴，∴，∴，∴，解得．（3）如圖，當(dāng)與重合時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)，此時(shí)是直角三角形，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，∵，∴，∵，，，∴四邊形是矩形，∴，∴，故；如圖，當(dāng)時(shí)，此時(shí)是直角三角形，過(guò)點(diǎn)A作于點(diǎn)Q，交于點(diǎn)N，∴，，∴，∴，，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，解得；故．變式3．（2024·山西·模擬預(yù)測(cè)）綜合與實(shí)踐問(wèn)題背景：在數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，老師帶領(lǐng)同學(xué)們進(jìn)行三角形旋轉(zhuǎn)的探究，已知和均為等邊三角形，O是和的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)O順時(shí)針旋轉(zhuǎn)．猜想證明：(1)如圖①，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好在的延長(zhǎng)線上時(shí)，交于點(diǎn)H，試判斷的形狀，并說(shuō)明理由；(2)如圖②，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)E恰好落在邊上時(shí)，連接，試猜想線段與線段的數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖③，若，連接，設(shè)所在直線與所在直線交于點(diǎn)M，在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)B，F(xiàn)，E在同一直線上時(shí)，在M，O兩點(diǎn)中的其中一點(diǎn)恰好是另一點(diǎn)與點(diǎn)C構(gòu)成的線段的中點(diǎn)，請(qǐng)直接寫(xiě)出此時(shí)的長(zhǎng)．【答案】(1)為等腰三角形，理由見(jiàn)詳解(2)，證明見(jiàn)詳解(3)1或2【詳解】（1）解：為等腰三角形，理由：∵為等邊三角形，∴，，∵O是的中點(diǎn)∴，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，∴，∴為等腰三角形；（2）解：，證明如下：連接，∵均是等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O為的中點(diǎn)，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：情況一，如圖①，當(dāng)點(diǎn)在同一直線上，連接，∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∵點(diǎn)M為的中點(diǎn)，點(diǎn)O為中點(diǎn)，∴，∴，即，解得：；情況二：∵為等邊三角形，∴，∵點(diǎn)O為中點(diǎn)，，∴，，如圖②，當(dāng)點(diǎn)O為中點(diǎn)時(shí)，，∵等邊邊長(zhǎng)為2，∴在中，，∴，∵此時(shí)三點(diǎn)共線，∴點(diǎn)B和點(diǎn)E重合，又∵點(diǎn)M是直線與直線的交點(diǎn)，∴三點(diǎn)重合，∴此時(shí)的長(zhǎng)為的長(zhǎng)，即，綜上所述，此時(shí)的長(zhǎng)為1或2．易錯(cuò)模型3：半角模型模型解讀半角模型特征：①共端點(diǎn)的等線段；②共頂點(diǎn)的倍半角；半角模型輔助線的作法：由旋轉(zhuǎn)（或翻折）構(gòu)造兩對(duì)全等，從而將邊轉(zhuǎn)化，找到邊與邊的關(guān)系（將分散的條件集中，隱蔽的關(guān)系顯現(xiàn)）。常見(jiàn)的考法包括：90°與45°（正方形、直角三角形）；120°與60°（等邊三角形）等。1）半角模型（正方形（或等腰直角三角形）中的半角相似模型）條件：已知，如圖，在正方形ABCD中，∠EAF的兩邊分別交BC、CD邊于M、N兩點(diǎn)，且∠EAF＝45°圖1圖2結(jié)論：如圖1，△MDA∽△MAN∽△ABN；結(jié)論：如圖2，△BME∽△AMN∽△DFN.結(jié)論：如圖3，連接AC，則△AMB∽△AFC，△AND∽△AEC．且；圖3圖4結(jié)論：如圖4，△AMN∽△AFE且．2）半角模型（含120-60°半角模型）圖5條件：如圖5，已知∠BAC＝120°，；結(jié)論：①△ABD∽△CAE∽△CBA；②；③（）。易錯(cuò)提醒：1）誤將半角模型結(jié)論套用于非半角場(chǎng)景（如普通三角形）?；2）動(dòng)態(tài)問(wèn)題中未保持半角恒定性（如旋轉(zhuǎn)后角度變化未重新驗(yàn)證）.?例1．（23-24九年級(jí)上·廣東深圳·期中）如圖，在正方形ABCD中，E、F分別是BC、CD上的點(diǎn)，且∠EAF=45°，AE、AF分別交BD于M、N，連按EN、EF，有以下結(jié)論：①△ABM∽△NEM；②△AEN是等腰直角三角形；③當(dāng)AE=AF時(shí)，；④BE+DF=EF；⑤若點(diǎn)F是DC的中點(diǎn)，則CECB．其中正確的個(gè)數(shù)是()A．2 B．3 C．4 D．5【答案】C【詳解】如圖，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠EBM=∠ADM=∠FDN=∠ABD=45°．∵∠MAN=∠EBM=45°，∠AMN=∠BME，∴△AMN∽△BME，∴，∴，∵∠AMB=∠EMN，∴△AMB∽△NME，故①正確，∴∠AEN=∠ABD=45°，∴∠NAE=∠AEN=45°，∴△AEN是等腰直角三角形，故②正確，在△ABE和△ADF中，∵，∴Rt△ABE≌Rt△ADF(HL)，∴BE=DF．∵BC=CD，∴CE=CF，假設(shè)正方形邊長(zhǎng)為1，設(shè)CE=x，則BE=1﹣x，如圖2，連接AC，交EF于H，∵AE=AF，CE=CF，∴AC是EF的垂直平分線，∴AC⊥EF，OE=OF，Rt△CEF中，OCEFx，在△EAF中，∠EAO=∠FAO=22.5°=∠BAE=22.5°，∴OE=BE．∵AE=AE，∴Rt△ABE≌Rt△AOE(HL)，∴AO=AB=1，∴ACAO+OC，∴1x，∴x=2，∴，故③不正確，③如圖3，∴將△ADF繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到△ABH，則AF=AH，∠DAF=∠BAH．∵∠EAF=45°=∠DAF+∠BAE=∠HAE．∵∠ABE=∠ABH=90°，∴H、B、E三點(diǎn)共線，在△AEF和△AEH中，，∴△AEF≌△AEH(SAS)，∴EF=EH=BE+BH=BE+DF，故④正確，如圖4中，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2a，則DF=CF=a，AFa，∵DF∥AB，∴，∴AN=NEAFa，∴AEANa，∴BEa，∴ECaBC，故⑤正確．故選：C．變式1．（2024·遼寧·模擬預(yù)測(cè)）（1）如圖，等腰中，，，、在線段上，且，，，求的長(zhǎng)．（2）如圖，在中，，如果，在直線上，在上，在的右側(cè)，，若，，求的長(zhǎng)．（3）如圖，在中，若，、是線段上的兩點(diǎn)，，若，，探究與的數(shù)量關(guān)系．【答案】（1）；（2）或；（3）【詳解】（1）如圖，過(guò)點(diǎn)作，且使得，連接，，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，在中，，，解得：，；（2）①當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，作，，連接，作交于點(diǎn)，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，即，解得：，；②當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，作，，連接，作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，，，，，，在和中，，，，，，，，在和中，，，，設(shè)，則，，，，，，，在中，，即，解得：，；綜上所述，或；（3）作，且令，連接，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，．變式2．（2024·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考二模）在菱形中，．點(diǎn)，分別在邊，上，且．連接，．（1）如圖1，連接，求證：是等邊三角形；（2）平分交于點(diǎn)．①如圖2，交于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．②如圖3，是的中點(diǎn)，點(diǎn)是線段上一動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)與點(diǎn)，點(diǎn)不重合）．當(dāng)，時(shí)，是否存在直線將分成三角形和四邊形兩部分，其中三角形的面積與四邊形的面積比為1∶3．若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）①；②或【詳解】解：（1）四邊形是菱形，，∵，∴△ABC是等邊三角形，∴，，，；，，，是等邊三角形；（2）①連接，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，，由（1）知，是等邊三角形，，平分，，，，即，，，②如圖，當(dāng)點(diǎn)H為AG中點(diǎn)時(shí)，即；∵是的中點(diǎn)，∴OH∥EC，∴△AMO∽△AEC,∵，∴，即；同理，如圖所示，當(dāng)點(diǎn)N為EC中點(diǎn)時(shí)，ON∥AE，；連接FG，作FP⊥BC，交BC延長(zhǎng)線與點(diǎn)P，∵，，∴,∵CD∥AB，∴∠B=∠DCP=60°，∴∠CFP=30°，∴CP=2，，∵AE=AF，AG=AG，∠EAG=∠FAG，∴△EAG≌△FAG，∴EG=FG，設(shè)EG=x,CG=8-x，PG=10-x，，解得，，∵EN=CN=4，；綜上，的值為：或．易錯(cuò)模型4：對(duì)角互補(bǔ)模型模型解讀四邊形或多邊形構(gòu)成的幾何圖形中，相對(duì)的角互補(bǔ)。該題型常用到的輔助線主要是頂定點(diǎn)向兩邊做垂線，從而證明兩個(gè)三角形相似。1）對(duì)角互補(bǔ)相似1 條件：如圖，在Rt△ABC中，∠C＝∠EOF＝90°，點(diǎn)O是AB的中點(diǎn)，結(jié)論：如圖，過(guò)點(diǎn)O作OD⊥AC，OH⊥BC，垂足分別為D，H，則：①△ODE～△OHF；②2）對(duì)角互補(bǔ)相似 2條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論1：如圖1，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OA，CG⊥OB，垂足分別為F，G；則①△ECG～△DCF；②CE＝CD·.條件：如圖，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，∠BOC＝.結(jié)論2：如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CF⊥OC，交OB于F；則：①△CFE～△COD；②CE＝CD·.3）對(duì)角互補(bǔ)相似3 條件：已知如圖，四邊形ABCD中，∠B+∠D=180°。結(jié)論：如圖，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥BA，DF⊥BC，垂足分別為E、F；則：①△DAE～△DCF；②A、B、C、D四點(diǎn)共圓。易錯(cuò)提醒：1）誤將“全等型對(duì)角互補(bǔ)”結(jié)論套用于相似場(chǎng)景；2）?區(qū)分相似對(duì)角互補(bǔ)模型與普通相似模型的區(qū)別（如是否需滿足∠A+∠C=180°）。?例1．（2024·江蘇淮安·一模）探究式學(xué)習(xí)是新課程倡導(dǎo)的重要學(xué)習(xí)方式，我們做以下探究．在中，，，是邊上一點(diǎn)，且(為正整數(shù)），、分別是邊和邊上的點(diǎn)，連接，且．【初步感知】（）如圖，當(dāng)時(shí)，興趣小組探究得出結(jié)論：，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程．【深入探究】（）如圖，當(dāng)，試探究線段，，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出線段，，之間數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（直接寫(xiě)出結(jié)論，不必證明）．【拓展運(yùn)用】（）如圖，點(diǎn)為靠近的四等分點(diǎn)，連接，設(shè)的中點(diǎn)為，若，求點(diǎn)從點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)的過(guò)程中，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)．【答案】（）見(jiàn)解析；（），理由見(jiàn)解析；；（）【詳解】（）證明：連接，∵，，且當(dāng)時(shí)，，，，，，，，∴∠EDF，，在和中，，∴，，，即；（），理由如下：過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，，，設(shè)，則，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；如圖4，當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，過(guò)點(diǎn)作于，于，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，設(shè)，，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；當(dāng)點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖5，，，，，，和是等腰直角三角形，，，，，，∴，，設(shè)，，，，，，，，四邊形是矩形，，，又，，，，；綜上所述：當(dāng)點(diǎn)在射線上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在延長(zhǎng)線上時(shí)，；（3）解：連接，，，如圖（1），的中點(diǎn)為，，，∴點(diǎn)在線段的垂直平分線上運(yùn)動(dòng)，∵點(diǎn)D為靠近B的四等分點(diǎn)，∴，由（2）得，∴當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)A重合時(shí)，過(guò)點(diǎn)M作于點(diǎn)H，如圖，∴，∴，∴∴，∴，∵，代入得，∴；當(dāng)點(diǎn)E與點(diǎn)C重合時(shí)，假設(shè)此時(shí)的中點(diǎn)為N，即為原來(lái)的點(diǎn)M，如圖， ∵，代入得，∴，∴如圖，點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)軌跡即為的長(zhǎng)，∵在Rt中，∴∴∴點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑長(zhǎng)為變式1．（23-24九年級(jí)上·四川成都·期中）如圖1，等邊中，為邊上的一點(diǎn)，且，分別為上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，始終保持.(1)若，求證：①，②；(2)①如圖2，若，試探究之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出證明過(guò)程；②請(qǐng)通過(guò)類比、歸納、猜想，探究出之間的數(shù)量關(guān)系的一般結(jié)論（用含有的代數(shù)式直接寫(xiě)出，不用證明）；(3)如圖3，為邊上的中點(diǎn)，，連接，當(dāng)點(diǎn)分別在線段上運(yùn)動(dòng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，直接寫(xiě)出線段掃過(guò)的圖形的面積.【答案】(1)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(2)①；②；(3)【詳解】（1）證明：①如圖所示，過(guò)點(diǎn)分別作的垂線，垂足分別為，連接，∵是等邊三角形，∴，∵，∴，，又∵，∴，，∴，∴，∴，即，在中，，∴，∴；②證明：∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（2）①證明：如圖，過(guò)的中點(diǎn)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，，即，是的中點(diǎn)，，，

，，，，是等邊三角形，，，根據(jù)（1）中的結(jié)論可得，；故線段之間的數(shù)量關(guān)系為；②解：如圖，在上取一點(diǎn)使得，過(guò)作的平行線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，同①，可得，，，，，同①可得，，即線段之間數(shù)量關(guān)系為；（3）解：如圖，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，取的中點(diǎn)，當(dāng)與重合時(shí)，，則，∴是等邊三角形，當(dāng)與重合時(shí)，同理可得是等邊三角形，∵，∴，∴，∵分別為的中點(diǎn)，∴則∴，則又∵∴∴∴是等邊三角形；則掃過(guò)的圖形的面積即為的面積，，，，以點(diǎn)為原點(diǎn)，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示，，如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，∴∵是等邊三角形，∴，∴，∴，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，則，∴，∴，即線段掃過(guò)的圖形的面積為．變式2．（2024·四川成都·二模）如圖，在矩形中，（n為正整數(shù)），點(diǎn)E是邊上一動(dòng)點(diǎn)，P為中點(diǎn)，連接，將射線繞點(diǎn)P按逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，與矩形的邊交于點(diǎn)F．【嘗試初探】（1）在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，試探究線段，之間的數(shù)量關(guān)系，請(qǐng)寫(xiě)出結(jié)論并證明；【深入探究】（2）若，在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，當(dāng)點(diǎn)F在邊上時(shí)，求的最小值；【拓展運(yùn)用】（3）若，設(shè)的中點(diǎn)為M，求點(diǎn)E從點(diǎn)B運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C的過(guò)程中，點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路程（用含n的代數(shù)式表示）．【答案】（1），理由見(jiàn)解析；（2）的最小值為；（3）點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．【詳解】解：（1）結(jié)論：，理由：如圖1，過(guò)點(diǎn)作于，于，則，四邊形是矩形，，，四邊形是矩形，，，，由旋轉(zhuǎn)得：，，即，，，，為中點(diǎn)，，∵，，，，，，，，，，，；（2）當(dāng)時(shí)，，設(shè)，，，過(guò)點(diǎn)作于，如圖2，則，，，，，，，，，，，，點(diǎn)在邊上，，即，，，的最小值為；（3），，，在中，，為中點(diǎn)，，當(dāng)點(diǎn)在點(diǎn)處時(shí)，如圖3，，，，，即，，的中點(diǎn)為，；當(dāng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)處時(shí)，如圖4，是斜邊的中點(diǎn)，，，，，即，，的中點(diǎn)為，，；當(dāng)點(diǎn)在邊上時(shí)，如圖5，過(guò)點(diǎn)作于，則，，，點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為．易錯(cuò)模型5：十字架模型模型解讀矩形的十字架模型：矩形相對(duì)兩邊上的任意兩點(diǎn)聯(lián)結(jié)的線段是互相垂直的，此時(shí)這兩條線段的的比等于矩形的兩邊之比。通過(guò)平移線段構(gòu)造基本圖形，再借助相似三角形和平行四邊的性質(zhì)求得線段間的比例關(guān)系。1）條件：如圖，在矩形ABCD中，若E是AB上的點(diǎn)，且DE⊥AC，結(jié)論：。2）條件：如圖，在矩形ABCD中，若E、F分別是AB、CD上的點(diǎn)，且EF⊥AC，結(jié)論：。3）條件：如圖，矩形ABCD中，若E、F、M、N分別是AB、CD、AD、BC上的點(diǎn)，EF⊥MN，結(jié)論：。4）條件：如圖，已知等邊△ABC，BD=EC（或CD=AE），結(jié)論：①AD=BE，②AD和BE夾角為60°，③。5）條件：如圖，在△ABC中，AB=BC，AB⊥BC，結(jié)論：①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：1，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。6）如圖，在三角形ABC中，BC=kAB，AB⊥BC，①D為BC中點(diǎn)，②BF⊥AD，③AF：FC=2：k2，④∠BDA=∠CDF，⑤∠AFB=∠CFD，⑥∠AEC=135°，⑦，以上七個(gè)結(jié)論中，可“知二得五”。（全等+相似）易錯(cuò)提醒：1）在等腰直角三角形中，未補(bǔ)齊正方形結(jié)構(gòu)或誤用平行線構(gòu)造相似三角形?；2）如延長(zhǎng)垂直線段構(gòu)造正方形，顯化全等或相似關(guān)系。例1．（23-24下·衢州·二模）在矩形中，E是邊的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)F，射線與直線交于點(diǎn)P，設(shè)．(1)如圖①，若，求證：；(2)如圖②，當(dāng)點(diǎn)P恰好與點(diǎn)D重合時(shí)，試確定m的值；(3)作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)，當(dāng)以點(diǎn)P，D，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)(3)或2或【詳解】（1）如圖，∵=1，四邊形ABCD是矩形，∴AD=AB，∴四邊形ABCD是正方形，∴AB=BC，∠ABC=∠BCP=90°，∵，∴∠BAE=∠CBP，∴△ABE≌△BCP，∴AE=BP．（2）∵矩形中，E是邊的中點(diǎn)，∴設(shè)BE=EC=x，則BC=AD=2x，∠BAD=90°．∵，∠ADF=∠BDA，∴△ADF∽△BDA，∴，∵四邊形是矩形，∴AD∥BC，∴△ADF∽△EBF，∴，∴，解得，（舍去），∴BD=DF+EF=3EF=，∴，∴．（3）當(dāng)時(shí)，∵四邊形是矩形，∴AB=DC，AD=BC，∠ADC=∠ABC=∠BCP=90°，∵E是邊的中點(diǎn)，，∴AD=BC=2BE，∠PFE=90°，∵P，D，為頂點(diǎn)的三角形是等腰三角形，∴，∴，∴，∴∠AED=∠ADE，∴AD=AE，∴sin∠BAE=，∴∠BAE=30°，根據(jù)（1）證明，得∠BAE=∠CBP=30°，∴tan∠BAE=tan30°=，tan∠CBP=tan30°=，∴，，∴=．如圖，當(dāng)點(diǎn)P在CD的延長(zhǎng)線上時(shí)，此時(shí)落在AD上，根據(jù)題意，得∠BAF=∠AF=45°，∴∠PD=∠PD=45°，∴，∵∠BAF=45°，∴∠BEA=45°，∴四邊形ABE是正方形，故是AD的中點(diǎn)，∴=CD，∴=．如圖，∵，設(shè)AB=x，則AD=mx，BE=，∵∠ABG=90°-∠FBE，∠AEB=90°-∠FBE，∴∠ABG=∠AEB，∴tan∠ABG=tan∠AEB，∴，∴，解得AG=，∵四邊形ABCD是矩形，∴AB∥CD，∴，∴，∴，∴，∴．變式1．（23·24·南通·模擬預(yù)測(cè)）如圖，已知是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，延長(zhǎng)，，分別交，于點(diǎn)D，E．若，，則的周長(zhǎng)等于．

【答案】【詳解】解：如圖，作于點(diǎn)F，∵在等邊中，，∴，

由勾股定理得，，∵，∴，在中，，∵P是等邊內(nèi)的一點(diǎn)，且，∴，∵，∴，又∵，∴，∴，即，解得，，∴，∴的周長(zhǎng)．故答案為：．變式2．（23·24下·三明·期末）如圖①，在中，，，點(diǎn)D在邊上，過(guò)點(diǎn)C作，垂足為M，交于點(diǎn)E．(1)小亮通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(2)如圖②，平分交于點(diǎn)N，小明通過(guò)度量猜想有，他的猜想正確嗎？請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由；(3)如圖③，連接，若D是的中點(diǎn)，小剛通過(guò)探究得到結(jié)論，請(qǐng)你幫他說(shuō)明理由．

【答案】(1)理由見(jiàn)解析；(2)正確，理由見(jiàn)解析；(3)理由見(jiàn)解析【詳解】（1）解：，，，，，；（2）解：猜想正確，理由如下：，，，平分，，，在和中，，，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)C作平分交于點(diǎn)N，由（2）可知，，，，

平分，，D是的中點(diǎn)，，在和中，，，，，即．易錯(cuò)模型6：（雙）A字模型模型解讀“A”字模型圖形（通常只有一個(gè)公共頂點(diǎn)）的兩個(gè)三角形有一個(gè)“公共角”（是對(duì)應(yīng)角），再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例，就可以判定這兩個(gè)三角形相似。①“A”字模型②反“A”字模型③同向雙“A”字模型④內(nèi)接矩形模型圖1圖2圖3圖4①“A”字模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC?eq\f(AD,AB)＝eq\f(AE,AC)＝eq\f(DE,BC)。②反“A”字模型條件：如圖2，∠AED＝∠B；結(jié)論：△ADE∽△ACB?eq\f(AD,AC)＝eq\f(AE,AB)＝eq\f(DE,BC)。③同向雙“A”字模型條件：如圖3，EF∥BC；結(jié)論：△AEF∽△ABC，△AEG∽△ABD，△AGF∽△ADC?。④內(nèi)接矩形模型條件：如圖4，△ABC的內(nèi)接矩形DEFG的邊EF在BC邊上，D、G分別在AB、AC邊上，且AM⊥BC；結(jié)論：△ADG∽△ABC，△ADN∽△ABM，△AGN∽△ACM?。易錯(cuò)提醒：1）未過(guò)“截點(diǎn)”作平行線構(gòu)造A字型，直接利用已知線段推導(dǎo)比例關(guān)系?；2）A字模型需結(jié)合幾何直觀與代數(shù)計(jì)算，避免因圖形復(fù)雜度忽略共角與平行線兩大核心條件。?例1．（2024·吉林長(zhǎng)春·三模）如圖，在中，點(diǎn)、為邊的三等分點(diǎn)，點(diǎn)、在邊上，，交于點(diǎn)．若，則的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，，，，，點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，點(diǎn)，為邊的三等分點(diǎn)，，，，，．故答案為：變式1．（2023·廣東廣州·模擬預(yù)測(cè)）如圖，正方形內(nèi)接于，點(diǎn)，在上，點(diǎn)，分別在和邊上，且邊上的高，，則正方形的面積為．【答案】【詳解】解：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，則，∵四邊形是正方形，，，，，，，，，解得：，正方形的面積為故答案為：變式2．（23-24九年級(jí)上·廣西南寧·階段練習(xí)）如圖，，垂足為，，垂足為，與相交于點(diǎn)，(1)判斷與是相似三角形嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；(2)連接，求證：；(3)若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)．【詳解】（1），理由如下，∵，，∴，∵，，∴；（2）由（）得，∴，∴，∵，∴，∴，∴；（3）∵，，∴，∴，∴，由（）得，∵，∴，∵，∴，∴．易錯(cuò)模型7：（雙）8字模型模型解讀“8”字模型圖形的兩個(gè)三角形有“對(duì)頂角”，再有一個(gè)角相等或夾對(duì)頂角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似．①“8”字模型②反“8”字模型③平行雙“8”字模型④斜雙“8”字模型圖1圖2圖3圖4①“8”字模型條件：如圖1，AB∥CD；結(jié)論：△AOB∽△COD?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OC)＝eq\f(OB,OD)。②反“8”字模型條件：如圖2，∠A＝∠D；結(jié)論：△AOB∽△DOC?eq\f(AB,CD)＝eq\f(OA,OD)＝eq\f(OB,OC)。③平行雙“8”字模型條件：如圖3，AB∥CD；結(jié)論：。④斜雙“8”字模型條件：如圖4，∠1＝∠2；結(jié)論：△AOD∽△BOC，△AOB∽△DOC?∠3＝∠4。①一“A”+“8”模型②兩“A”+“8”模型（反向雙“A”字模型）③四“A”+“8”模型圖1圖2圖3①一“A”+“8”模型條件：如圖1，DE∥BC；結(jié)論：△ADE∽△ABC，△DEF∽△CBF，?。②兩“A”+“8”模型條件：如圖2，DE∥AF∥BC；結(jié)論：△DAF∽△DBC，△CAF∽△CED，?。③四“A”+“8”模型3條件：如圖3，DE∥GF∥BC；結(jié)論：AF=AG，。易錯(cuò)提醒：1）混淆“全等型8字”與“相似型8字”的輔助線構(gòu)造方法（如誤用全等結(jié)論解決相似問(wèn)題）?；2）復(fù)雜圖形（如折疊或組合圖形）中未發(fā)現(xiàn)隱藏的8字結(jié)構(gòu)（如誤將相交線視為普通線段）。?例1.（23-24九年級(jí)上·浙江杭州·期中）如圖，與交于點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)，．（1）求證：．（2）若，求．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）【詳解】證明：（1）．，．（2）變式1．（23-24九年級(jí)上·安徽蚌埠·期中）閱讀材料：三角形的三條中線必交于一點(diǎn)，這個(gè)交點(diǎn)稱為三角形的重心．(1)特例感知：如圖一，已知邊長(zhǎng)為3的等邊的重心為點(diǎn)O，求與的面積；(2)性質(zhì)探究：如圖二，已知的重心為點(diǎn)O，請(qǐng)判斷、是否都為定值？如果是，分別求出這兩個(gè)定值；如果不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；(3)性質(zhì)應(yīng)用：如圖三，在正方形ABCD中，點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，連接BE交對(duì)角線AC于點(diǎn)M．若正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，求EM的長(zhǎng)度；若，求正方形ABCD的面積

【答案】(1)(2)是定值；是定值；詳見(jiàn)解析(3)①；②【詳解】（1）解：如圖，連接由題意可知：為的中位線∴∴

∴由題意得：∴∴，；（2）解：由（1）同理可得，是定值；∵∴故點(diǎn)到的距離和點(diǎn)到的距離之比也為的底相等故，是定值；（3）解：四邊形ABCD是正方形，，，，，為CD的中點(diǎn)，，，，，即；，且，，，，，，正方形ABCD的面積為：．變式2．（2024·湖北·模擬預(yù)測(cè)）（1）【問(wèn)題背景】如圖1，，與相交于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上．求證：；

小雅同學(xué)的想法是將結(jié)論轉(zhuǎn)化為來(lái)證明，請(qǐng)你按照小雅的思路完成原題的證明過(guò)程．（2）【類比探究】如圖2，，，，與相交于點(diǎn)G，點(diǎn)H在上，．求證：．（3）【拓展運(yùn)用】如圖3，在四邊形中，，連接，交于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)M作，交于點(diǎn)E，交于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)N，過(guò)點(diǎn)N作，交于點(diǎn)G，交于點(diǎn)H，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）【詳解】（1）證明：∵，∴，∴．同理可得：，∴，兩邊同時(shí)除以，得．（2）證明：∵，，，，∴，，∵，∴，∴，同理，，∴，∴，兩邊同時(shí)除以得，，∴；（3）解：由（1）可知，，，∴，解得，，∴，解得，，∴．易錯(cuò)模型8：母子型（共邊共角模型）模型解讀“母子”模型的圖形（通常有一個(gè)公共頂點(diǎn)和另外一個(gè)不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個(gè)“公共角”，再有一個(gè)角相等或夾這個(gè)公共角的兩邊對(duì)應(yīng)成比例就可以判定這兩個(gè)三角形相似。圖1圖2圖3圖41）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件：如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件：如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；4）共邊模型條件：如圖1，在四邊形中，對(duì)角線平分，，結(jié)論：；母子型相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個(gè)三角形、分母和分母組成一個(gè)三角形；③第②步成立，直接從證這兩個(gè)三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個(gè)別線段，之后再重復(fù)第③步。易錯(cuò)提醒：混淆“母子型”與“雙垂直模型”的射影定理結(jié)論（如誤用AC2=AD·AB解決非垂直問(wèn)題）。?例1．（2024·湖北孝感·模擬預(yù)測(cè)）閱讀：兩千多年前，古希臘數(shù)學(xué)家歐多克索斯發(fā)現(xiàn)了黃金分割，即：點(diǎn)是線段上一點(diǎn)，若滿足，則稱點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．黃金分割在我們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中也處處可見(jiàn)，比如我們把有一個(gè)內(nèi)角為的等腰三角形稱為“黃金三角形”．

(1)應(yīng)用：如圖1，若點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，若，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．(2)運(yùn)用：如圖2，已知等腰三角形為“黃金三角形”，，，為的平分線．求證：點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．(3)如圖3中，，，平分交于F，取的中點(diǎn)E，連接并延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于M．，請(qǐng)你直接寫(xiě)出的長(zhǎng)為_(kāi)_________．【答案】(1)(2)證明見(jiàn)解析(3)【詳解】（1）解：∵點(diǎn)是線段的黃金分割點(diǎn)，，設(shè)，則，∴，即，∴，∴，解得：（負(fù)根舍去），∴；（2）證明：∵，，∴，又∵平分，∴，∴，∴，，即，又∵，，∴，∴，∴，∴D點(diǎn)是的黃金分割點(diǎn)．（3）如圖，連接，同理可得：，，∴，∵為的中點(diǎn)，，∴，∴，

∴，，∴，同理可得是的黃金分割點(diǎn)，且，∴，設(shè)，∴，整理得：，解得：（負(fù)根舍去），∴.變式1．（2024·河北石家莊·二模）如圖，在平行四邊形中，為對(duì)角線，，，，則長(zhǎng)為（

）A． B．3 C．9 D．【答案】A【詳解】∵平行四邊形，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，解得，故，選A．變式2．（2023·山東淄博·九年級(jí)期末）如圖，已知，點(diǎn)，在邊上，連接，，使，且．(1)請(qǐng)判定的形狀，并說(shuō)明理由；(2)若，，求的面積．

【答案】(1)是等邊三角形，理由見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）解：是等邊三角形，理由如下，∵，∴，∴，∴是等邊三角形，（2）解：∵是等邊三角形，設(shè)等邊三角形的邊長(zhǎng)為，∵，∴，又∵，，∴，解得：（負(fù)值舍去），如圖所示，過(guò)點(diǎn)，作于點(diǎn)，∴，∴，∴的面積為。

變式3．（2024·四川廣元·中考真題）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)，能增加學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的樂(lè)趣，還能經(jīng)歷知識(shí)“再創(chuàng)造”的過(guò)程，更是培養(yǎng)動(dòng)手能力，創(chuàng)新能力的一種手段．小強(qiáng)在學(xué)習(xí)《相似》一章中對(duì)“直角三角形斜邊上作高”這一基本圖形（如圖1）產(chǎn)生了如下問(wèn)題，請(qǐng)同學(xué)們幫他解決．在中，點(diǎn)為邊上一點(diǎn)，連接．(1)初步探究：如圖2，若，求證：；(2)嘗試應(yīng)用：如圖3，在（1）的條件下，若點(diǎn)為中點(diǎn)，，求的長(zhǎng)；(3)創(chuàng)新提升：如圖4，點(diǎn)為中點(diǎn)，連接，若，，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)(3)【詳解】（1）證明：∵，，∴，∴，∴；（2）解：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，由（1）知，∴，∴，∴與的相似比為，∴，∵∴；（3）解：過(guò)點(diǎn)作的平行線交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)作，如圖1所示：∵點(diǎn)為中點(diǎn)，∴設(shè)，∵，∴，，在中，，則由勾股定理可得，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，如圖2所示：∴，∴，∴，∴，，∴，∴，∵，點(diǎn)為中點(diǎn)，∴，，，又∵，∴，，∴，又∵，∴，，∴，即，∴，∴．易錯(cuò)模型9：梅涅勞斯、塞瓦（定理）模型模型解讀梅涅勞斯（定理）模型：如圖1，如果一條直線與的三邊AB、BC、CA或其延長(zhǎng)線交于F、D、E點(diǎn)，那么。其中：這條直線叫的梅氏線，叫梅氏三角形。梅涅勞斯（定理）特征是三點(diǎn)共線；我們用梅涅勞斯（定理）解決的大部分問(wèn)題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來(lái)解決。塞瓦（定理）模型：塞瓦定理是指在△ABC內(nèi)任取一點(diǎn)O，延長(zhǎng)AO、BO、CO分別交對(duì)邊于D、E、F，如圖3，則。塞瓦（定理）的特征是三線共點(diǎn)，我們用塞瓦（定理）解決的大部分問(wèn)題，也可添加輔助線后用平行線分線段成比例和相似來(lái)解決。易錯(cuò)提醒：將梅涅勞斯定理（三點(diǎn)共線）誤用于塞瓦定理（三線共點(diǎn)）場(chǎng)景，導(dǎo)致比例式錯(cuò)誤?。例1．（24-25·廣東·九年級(jí)校聯(lián)考期中）梅涅勞斯（Menelaus）是古希臘數(shù)學(xué)家，他首先證明了梅涅勞斯定理，定理的內(nèi)容是：如圖1，如果一條直線與的三邊或它們的延長(zhǎng)線交于三點(diǎn)，那么一定有．下面是利用相似三角形的有關(guān)知識(shí)證明該定理的部分過(guò)程：證明：如圖2，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，則有，，∴，．請(qǐng)用上述定理的證明方法解決以下問(wèn)題：

（1）如圖3，三邊的延長(zhǎng)線分別交直線于三點(diǎn)，證明：．請(qǐng)用上述定理的證明方法或結(jié)論解決以下問(wèn)題：（2）如圖4，等邊的邊長(zhǎng)為3，點(diǎn)為的中點(diǎn)，點(diǎn)在上，且與交于點(diǎn)，試求的長(zhǎng)．（3）如圖5，的面積為4，F(xiàn)為中點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使，連接交于，求四邊形的面積．【答案】（1）詳見(jiàn)解析；（2）；（3）【分析】(1)過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，根據(jù)平行線分線段成比例定理列出比例，化簡(jiǎn)計(jì)算即可．(2)根據(jù)定理，勾股定理，等邊三角形的性質(zhì)解答即可．(3)根據(jù)定理，計(jì)算比值，后解答即可．【詳解】（1）證明：如圖，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，則．故：．

（2）解：如圖，根據(jù)梅涅勞斯定理得：．又，∴，．在等邊中，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，．由勾股定理知：．（3）解：線段是的梅氏線，由梅涅勞斯定理得，，即，則．如圖，連接，，于是．變式1．（23-24九年級(jí)上·福建泉州·階段練習(xí)）如圖，已知，是的中線，是的中點(diǎn)，則．【答案】【分析】法1：這道題是梅氏定理的直接應(yīng)用，難點(diǎn)在于找梅氏線：直線FEB。法2：過(guò)點(diǎn)作，交于，根據(jù)平行線分線段成比例定理得到，，根據(jù)線段中點(diǎn)的性質(zhì)得到，得到，，計(jì)算即可．本題考查的是平行線分線段成比例定理，靈活運(yùn)用定理、找準(zhǔn)對(duì)應(yīng)關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】法1：∵直線EBF是的梅氏線，∴．∵是的中線，∴，∵是的中點(diǎn)，∴，∴，．故答案為：．法2：過(guò)點(diǎn)作交于，則，是的中線，是的中點(diǎn)，，，，．故答案為：．變式2．（2024·山西·?？家荒＃┱?qǐng)閱讀下列材料，并完成相應(yīng)任務(wù)：塞瓦定理：塞瓦定理載于1678年發(fā)表的《直線論》，是意大利數(shù)學(xué)家塞瓦的重大發(fā)現(xiàn)．塞瓦是意大利偉大的水利工程師，數(shù)學(xué)家．定理內(nèi)容：如圖1，塞瓦定理是指在內(nèi)任取一點(diǎn)，延長(zhǎng)AO，BO，CO分別交對(duì)邊于D，E，F(xiàn)，則．?dāng)?shù)學(xué)意義：使用塞瓦定理可以進(jìn)行直線形中線段長(zhǎng)度比例的計(jì)算，其逆定理還可以用來(lái)進(jìn)行三點(diǎn)共線、三線共點(diǎn)等問(wèn)題的判定方法，是平面幾何學(xué)以及射影幾何學(xué)中的一項(xiàng)基本定理，具有重要的作用．任務(wù)解決：(1)如圖2，當(dāng)點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)時(shí)，求證：點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；(2)若為等邊三角形（圖3），，，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，求BF的長(zhǎng)，并直接寫(xiě)出的面積．【答案】(1)證明見(jiàn)解析(2)；的面積為【詳解】（1）證明：在中，∵點(diǎn)D，E分別為邊BC，AC的中點(diǎn)，∴，．由賽瓦定理可得：．∴，∴．即點(diǎn)F為AB的中點(diǎn)；（2）解：∵為等邊三角形，，∴∵點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴，∵，∴．由賽瓦定理可得：；過(guò)點(diǎn)F作FG⊥BC于G，∴，，∴CG=BC-BG=8，∵AB=AC，BD=CD，∴AD⊥BC，∴，∴，∴，即，∴，∴，∵AB=12，BF=8，∴AF=AB-BF=4，∴，∴又，∴，∴．易錯(cuò)模型10：托勒密定理模型模型解讀托勒密定理：四邊形ABCD內(nèi)接于圓，求證：．特例：（1）當(dāng)△ABC是等邊三角形時(shí)，如圖1，根據(jù)托勒密定理有：，又等邊△ABC有AB=AC=BC，故：．特例：（2）當(dāng)△ABC是等腰直角三角形，如圖2，根據(jù)托勒密定理：，又，代入可得結(jié)論：．特例：（3）當(dāng)△ABC是一般三角形時(shí)，如圖2，根據(jù)托勒密定理可得：又BC：AC：AB=a：b：c，代入可得結(jié)論：．易錯(cuò)提醒：1）將托勒密定理（四點(diǎn)共圓）誤用于非共圓四邊形，導(dǎo)致錯(cuò)誤使用等式結(jié)論?；2）混淆托勒密定理與圓冪定理、中位線定理的應(yīng)用條件（如誤用圓冪定理替代乘積關(guān)系）?。例1．（2024·河南商丘·模擬預(yù)測(cè)）請(qǐng)閱讀下列材料，完成相應(yīng)的任務(wù)：克羅狄斯?托勒密（，約90年-168年），“地心說(shuō)”的集大成者，生于埃及，著名的天文學(xué)家，地理學(xué)家，占星學(xué)家和光學(xué)家．托勒密定理實(shí)出自依巴谷（）之手，托勒密從他的書(shū)中摘出并加以完善．托勒密定理：圓的內(nèi)接四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積．已知：如圖1，四邊形內(nèi)接于，求證：下面是該結(jié)論的證明過(guò)程：證明：如圖1，作，交于點(diǎn).，（依據(jù)1），（依據(jù)2），，，.，，即，，，．任務(wù)：(1)托勒密定理的逆命題是______；上述證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為_(kāi)_____；“依據(jù)2”為_(kāi)_____．(2)當(dāng)圓內(nèi)接四邊形是矩形時(shí)，托勒密定理就是我們非常熟知的一個(gè)定理：______．(3)如圖2，以為直徑的中，點(diǎn)為上一點(diǎn)，且，的角平分線交于點(diǎn)，連接，，若，求的長(zhǎng)．【答案】(1)如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(2)勾股定理(3)【詳解】（1）解：托勒密定理的逆命題是如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形．證明過(guò)程中的“依據(jù)1”為：同弧所對(duì)的圓周角相等；依據(jù)2”為：兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似．故答案為：如果一個(gè)四邊形兩對(duì)對(duì)邊乘積的和等于兩條對(duì)角線的乘積，那么這個(gè)四邊形是圓的內(nèi)接四邊形；同弧所對(duì)的圓周角相等；兩個(gè)角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）解：如圖，作，交于點(diǎn)，，，，，，，，，，即．，，．．，四邊形是矩形，，，故答案為：勾股定理；（3）解：為直徑，，，，，．的角平分線交于點(diǎn)，，，為等腰直角三角形，．四邊形為圓的內(nèi)接四邊形，．．變式1．（2024·浙江·模擬預(yù)測(cè)）某著作講述了制作弦表的原理，其中涉及如下定理：任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)．如圖，四邊形內(nèi)接于半徑為的圓，，，，則四邊形的周長(zhǎng)為(

)A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：連接，BD，設(shè)圓心為，連接并延長(zhǎng)交于，連接，過(guò)作交CD延長(zhǎng)線于，如圖：，，，，是的直徑，，，半徑為，，，，，，是等腰直角三角形，，，，，在中，，由托勒密定理任意凸四邊形中，兩條對(duì)角線的乘積小于或等于兩組對(duì)邊乘積之和，當(dāng)且僅當(dāng)凸四邊形的對(duì)角互補(bǔ)時(shí)取等號(hào)．，，，，四邊形的周長(zhǎng)為，故選：A．變式2．（2024·山東德州·一模）△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，點(diǎn)P是⊙O上一點(diǎn)，且點(diǎn)P與點(diǎn)A在BC的兩側(cè)，連接PA，PB，PC．(1)如圖①，若△ABC是等邊三角形，則線段PA，PB，PC之間有怎樣的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖②，把（1）中的△ABC改為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，其他條件不變，三條線段PA，PB，PC還有以上的數(shù)量關(guān)系嗎？說(shuō)明理由．(3)如圖③，把（1）中△ABC改為任意三角形，AB＝c，AC＝b，BC＝a時(shí)，其他條件不變，則PA，PB，PC三條線段的數(shù)量關(guān)系為_(kāi)________（直接寫(xiě)結(jié)果）(4)由以上你能發(fā)現(xiàn)圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對(duì)角線有什么關(guān)系？【答案】(1)；(2)沒(méi)有，理由見(jiàn)詳解；(3)；(4)圓內(nèi)接四邊形中對(duì)角線的乘積等于四邊形對(duì)邊乘積的和．【詳解】（1）解：，證明：如圖4，延長(zhǎng)PB到點(diǎn)D，使得，連接DA，∵為等邊三角形，∴，，∵四邊形ABPC內(nèi)接于圓，∴，∵，∴，在和中，，∴（SAS）∴，∵，∴為等邊三角形，∴，∵，∴；（2）若△ABC為等腰直角三角形，，三條線段PA，PB，PC沒(méi)有（1）中的數(shù)量關(guān)系，理由如下：如圖5，延長(zhǎng)PB到點(diǎn)E，使得，連接AE，∵△ABC為等腰直角三角形，∠BAC＝90°，∴，，∵四邊形ABPC內(nèi)接于圓，∴，∵，∴，在和中，，∴（SAS）∴，，∵，又∵，∴，∴，∵，∴，∴三條線段PA，PB，PC沒(méi)有（1）中的數(shù)量關(guān)系；（3）如圖6，在中，以點(diǎn)A為頂點(diǎn)，AC為邊，作，點(diǎn)F在BC上，∵，又∵，∴，∴，∴，∵，，∴，∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，∴，當(dāng)AB＝c，AC＝b，BC＝a時(shí)，∴，即．故答案為：；（4）由（3）的結(jié)論，可知圓內(nèi)接四邊形的四條邊和對(duì)角線的關(guān)系為：圓內(nèi)接四邊形中對(duì)角線的乘積等于四邊形對(duì)邊乘積的和．1-1．（2023·黑龍江·統(tǒng)考中考真題）在以“矩形的折疊”為主題的數(shù)學(xué)活動(dòng)課上，某位同學(xué)進(jìn)行了如下操作：第一步：將矩形紙片的一端，利用圖①的方法折出一個(gè)正方形，然后把紙片展平；第二步：將圖①中的矩形紙片折疊，使點(diǎn)C恰好落在點(diǎn)F處，得到折痕，如圖②．根據(jù)以上的操作，若，，則線段的長(zhǎng)是（

）

A．3 B． C．2 D．1【答案】C【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)作，交于點(diǎn)，

在和中，設(shè)，則，，即：，解得：，，，，，，，故選：C．1-2．（2023·浙江寧波·二模）【基礎(chǔ)鞏固】如圖1，P是內(nèi)部一點(diǎn)，在射線上取點(diǎn)D、E，使得．求證：；【嘗試應(yīng)用】如圖2，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E、F，連接，使得．若，求CE的長(zhǎng)；【拓展提高】如圖3，在中，，，D是上一點(diǎn)，連接BD，在BD上取點(diǎn)E，連接CE．若，，求的正切值．

【答案】【基礎(chǔ)鞏固】見(jiàn)解析【嘗試應(yīng)用】【拓展提高】【詳解】【基礎(chǔ)鞏固】證明：∵,，∴,又∵,,，∴,∴.【嘗試應(yīng)用】解：∵,∴，,即：，又∵，，即：，又.∴,又∵，，∴,∴,∴，∴，故CE的長(zhǎng)為：.【拓展提高】解：如圖所示，在BD上取點(diǎn)F，使，作于點(diǎn)，

∵，∴，.即：，又∵，∴，又，，∴，∴，∴，，∴，∵，∴令，則∴，又∵∴在中，，∴，由勾股定理可得：，又∵，∴∠，∴，∴，∴，設(shè)，則，.∴，解得：,∴,∴故的正切值為：．1-3．（2024·廣東深圳·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【基礎(chǔ)鞏固】（1）如圖1，在中，，，D是邊上一點(diǎn)，F(xiàn)是邊上一點(diǎn)，．求證：；【嘗試應(yīng)用】（2）如圖2，在四邊形ABFC中，點(diǎn)D是邊的中點(diǎn)，，若，，求線段的長(zhǎng)．【拓展提高】（3）在中．，，以A為直角頂點(diǎn)作等腰直角三角形，點(diǎn)D在上，點(diǎn)E在上．若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析；（2）5；（3）10【詳解】（1）證明：，，，，∴，，，，；（2）解：如圖2中，延長(zhǎng)交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．，，，，，，，，，，，，，，；（3）解：如圖，過(guò)點(diǎn)作與交于點(diǎn)，使，，，，，，，，，，，，，，，，，．2-1．（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考中考真題）綜合與實(shí)踐數(shù)學(xué)模型可以用來(lái)解決一類問(wèn)題，是數(shù)學(xué)應(yīng)用的基本途徑．通過(guò)探究圖形的變化規(guī)律，再結(jié)合其他數(shù)學(xué)知識(shí)的內(nèi)在聯(lián)系，最終可以獲得寶貴的數(shù)學(xué)經(jīng)驗(yàn)，并將其運(yùn)用到更廣闊的數(shù)學(xué)天地．

(1)發(fā)現(xiàn)問(wèn)題：如圖1，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)交于點(diǎn)．則與的數(shù)量關(guān)系：______，______；(2)類比探究：如圖2，在和中，，，，連接，，延長(zhǎng)，交于點(diǎn)．請(qǐng)猜想與的數(shù)量關(guān)系及的度數(shù)，并說(shuō)明理由；(3)拓展延伸：如圖3，和均為等腰直角三角形，，連接，，且點(diǎn)，，在一條直線上，過(guò)點(diǎn)作，垂足為點(diǎn)．則，，之間的數(shù)量關(guān)系：______；(4)實(shí)踐應(yīng)用：正方形中，，若平面內(nèi)存在點(diǎn)滿足，，則______．【答案】(1)，(2)，，證明見(jiàn)解析(3)(4)或【詳解】（1）解：∵，∴，又∵，，∴，∴，設(shè)交于點(diǎn)，∵∴，故答案為：，．

（2）結(jié)論：，；證明：∵，∴，即，又∵，，∴∴，∵，，∴，∴，（3），理由如下，∵，∴，即，又∵和均為等腰直角三角形∴，∴，∴，在中，，∴，∴；（4）解：如圖所示，連接，以為直徑,的中點(diǎn)為圓心作圓，以點(diǎn)為圓心，為半徑作圓，兩圓交于點(diǎn)，延長(zhǎng)至，使得，則是等腰直角三角形，∵,∴，∵，∴∴，∴，∵，在中，，∴∴過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，設(shè)，則，在中，，在中，∴∴解得：，則，設(shè)交于點(diǎn)，則是等腰直角三角形，∴在中，∴∴又，∴∴∴，∴∴，在中，∴，綜上所述，或故答案為：或．2-2．（2024·山東棗莊·二模）綜合實(shí)踐問(wèn)題背景：借助三角形的中位線可構(gòu)造一組相似三角形，若將它們繞公共頂點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，對(duì)應(yīng)頂點(diǎn)連線的長(zhǎng)度存在特殊的數(shù)量關(guān)系，數(shù)學(xué)小組對(duì)此進(jìn)行了研究，如圖1，在中，，，分別取，的中點(diǎn)D，E，作．如圖2所示，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，．(1)探究發(fā)現(xiàn)：旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，線段和的長(zhǎng)度存在怎樣的數(shù)量關(guān)系？寫(xiě)出你的猜想，并證明．(2)性質(zhì)應(yīng)用：如圖3，當(dāng)所在直線首次經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，求的長(zhǎng)．【答案】(1)，證明見(jiàn)解析；(2)【詳解】（1）解：猜想，證明如下：在中，，，，的中點(diǎn)分別為D，E，∴，，，則，，，，，，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，連接，，根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得：，，，，；（2）解：，分別取，的中點(diǎn)D，E，，，，，∴當(dāng)所在直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)B時(shí)，，，在中，根據(jù)勾股定理可得：，由（1）可得：，，解得：；2-3．（2024·山東濟(jì)南·模擬預(yù)測(cè)）(1)問(wèn)題發(fā)現(xiàn)：如圖1，矩形與矩形相似，且矩形的兩邊分別在矩形的邊和上，，連接．線段F與的數(shù)量關(guān)系為；(2)拓展探究：如圖2，將矩形繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)，其它條件不變．在旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，（1）中的結(jié)論是否仍然成立，請(qǐng)利用圖2進(jìn)行說(shuō)理．(3)解決問(wèn)題：當(dāng)矩形的邊時(shí)，點(diǎn)E為直線上異于D，C的一點(diǎn)，以為邊作正方形，點(diǎn)H為正方形的中心，連接，若，，直接寫(xiě)出的長(zhǎng)．【答案】(1)(2)（1）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解析．(3)的長(zhǎng)為或【詳解】（1）解：如圖1，延長(zhǎng)，交于H，連接，∵四邊形和四邊形都是矩形，∴，∴，∴四邊形是矩形，∴，，∵矩形與矩形相似，，∴，∴，即，在中，由勾股定理得：，∴，故答案為：．（2）解：（1）中的結(jié)論仍然成立理由如下：如圖2，連接、，∵矩形與矩形相似，∴，由旋轉(zhuǎn)可得：，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∴；（3）解：①如圖3，當(dāng)點(diǎn)E在線段上時(shí)，連接、，∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴；②如圖4，當(dāng)點(diǎn)E在線段延長(zhǎng)線上時(shí)，連接、，∵四邊形，四邊形為正方形，∴，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴，綜上所述，的長(zhǎng)為或．3-1．（2023·江蘇宿遷·三模）如圖，平面直角坐標(biāo)系中，長(zhǎng)方形，點(diǎn)A，C分別在y軸，x軸的正半軸上，，，，、分別交，于點(diǎn)D、E，且，則的長(zhǎng)為（

）

A．1 B． C．2 D．【答案】C【詳解】解：如圖，過(guò)點(diǎn)E作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作交延長(zhǎng)線于點(diǎn)G，作于H，，，，，

，，，在和中，，，，，，，，∴四邊形是矩形，，，，，，，∴，∴，，故選：C．3-2．（23-24九年級(jí)上·河北唐山·階段練習(xí)）在同一平面內(nèi)，將兩個(gè)全等的等腰直角三角形擺放在一起，如圖1所示，點(diǎn)A為公共頂點(diǎn)，點(diǎn)D在的延長(zhǎng)線上，，．若將固定不動(dòng)，把繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)a（），此時(shí)線段，射線分別與射線交于點(diǎn)M，N．(1)當(dāng)旋轉(zhuǎn)到如圖2所示的位置時(shí)，①求證：；②在圖2中除外還有哪些相似三角形，直接寫(xiě)出；③如圖2，若，求的長(zhǎng)；(2)在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的長(zhǎng)_________（用含d的式子表示）．

【答案】(1)①見(jiàn)詳解；②，；③；(2)或．【詳解】（1）①證明：∵

②，，∵，∴，∵、都是等腰直角三角形，∴，，∴，；③在中，，，則，，，，，，，，即，解得：；（2）如圖2，當(dāng)點(diǎn)在線段上時(shí)，由②可知：，，即，解得：，；如圖3，當(dāng)點(diǎn)在線段的延長(zhǎng)線上時(shí)，，綜上所述：的長(zhǎng)為或．3-3．（2024·山東煙臺(tái)·一模）如圖①，在正方形中，點(diǎn)N、M分別在邊、上，連結(jié)、、．，將繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，得到．易證：，從而得．

【實(shí)踐探究】（1）在圖①條件下，若，，則正方形的邊長(zhǎng)是_________．（2）如圖②，點(diǎn)M、N分別在邊、上，且．點(diǎn)E、F分別在、上，，連接，猜想三條線段、、之間滿足的數(shù)量關(guān)系，并說(shuō)明理由．【拓展應(yīng)用】（3）如圖③，在矩形中，，，點(diǎn)M、N分別在邊、上，連結(jié)，，已知，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）12；（2），見(jiàn)解析；（3）4【詳解】（1）解法提示：∵四邊形是正方形，∴，.由旋轉(zhuǎn)得，∴，，，，∴，∴E，B，N在同一條直線上.∵，，∴，∴，∴，∴.在與中，∴，∴.∵，∴∴.在中，由勾股定理得∴.∴；（2）三條線段，，之間滿足的數(shù)量關(guān)系為，理由如下：

圖（1）

如圖（1），過(guò)點(diǎn)D作，且，連接，，則，∴.∵四邊形是正方形，∴，∵，∴四邊形是平行四邊形，∴，∴.在與中，∴，∴，.∵，，∴在和中，∴，∴，在中，由勾股定理得，∴；（3）如圖（2），把矩形補(bǔ)成正方形，延長(zhǎng)交于G，連接，則.∵四邊形是矩形，∴，∴，∴，∴，∴，設(shè)，則.∵四邊形是正方形，，∴由（1）中證明知，.在中，由勾股定理得，即，解得，∴長(zhǎng)為4．4-1．（23-24九年級(jí)上·山西臨汾·期中）綜合與探究問(wèn)題解決：如圖1，中，，過(guò)點(diǎn)C作于點(diǎn)D，小明把一個(gè)三角板的直角頂點(diǎn)放置在點(diǎn)D處，兩條直角邊分別交線段于點(diǎn)E，交線段于點(diǎn)F，在三角板繞著點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中，若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)嗎？（注：可以用知識(shí)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半）。“陽(yáng)光”小組的解答是：若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．理由如下：∵于點(diǎn)D，．∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，．，．是等邊三角形．，．．又，．．即若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．反思交流（1）“群星”小組認(rèn)為在這個(gè)題中，可以去掉條件“”，其他條件不變（如圖2），若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)．請(qǐng)你根據(jù)條件證明這個(gè)結(jié)論；拓廣探索（2）去掉條件“”，其他條件不變旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若（如圖3），那么等式成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）去掉條件“”，其他條件不變．若點(diǎn)E是上任意一點(diǎn)（如圖4），（2）中的結(jié)論還成立嗎？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】（1）若點(diǎn)E是的中點(diǎn)，則點(diǎn)F也是的中點(diǎn)，理由見(jiàn)解；（2）成立，理由見(jiàn)解；（3）若點(diǎn)E是上任意一點(diǎn)，（2）中的結(jié)論仍然成立，理由見(jiàn)解．【詳解】解：（1）于點(diǎn)D，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，，，，，，又，，，，即點(diǎn)F是的中點(diǎn)；（2）旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，若，那么等式成立．理由如下：，∴四邊形是矩形，，，，；（3）若點(diǎn)E是上任意一點(diǎn)（如圖4），（2）中的結(jié)論仍然成立．理由如下：，，，，同理證得，則，，同理證得，則，，即．4-2．（2023·河南信陽(yáng)·統(tǒng)考二模）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，CD⊥AB于點(diǎn)D，點(diǎn)E是直線AC上一動(dòng)點(diǎn)，連接DE，過(guò)點(diǎn)D作FD⊥ED，交直線BC于點(diǎn)F．（1）探究發(fā)現(xiàn)：如圖1，若m＝n，點(diǎn)E在線段AC上，則＝；（2）數(shù)學(xué)思考：①如圖2，若點(diǎn)E在線段AC上，則＝（用含m，n的代數(shù)式表示）；②當(dāng)點(diǎn)E在直線AC上運(yùn)動(dòng)時(shí)，①中的結(jié)論是否仍然成立？請(qǐng)僅就圖3的情形給出證明；（3）拓展應(yīng)用：若AC＝，BC＝2，DF＝4，請(qǐng)直接寫(xiě)出CE的長(zhǎng)．【答案】（1）1；；（2）①；②；（3）或【詳解】解：當(dāng)時(shí)，即：，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，，，，，，，，即，∽，，，，∽，，成立如圖3，，，又，，，，，即，∽，，，，∽，，．由有，∽，，，，如圖4圖5圖6，連接EF．在中，，，，如圖4，當(dāng)E在線段AC上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，或舍如圖5，當(dāng)E在AC延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或舍，③如圖6，當(dāng)E在CA延長(zhǎng)線上時(shí)，在中，，，根據(jù)勾股定理得，，，，或（舍），綜上：或．5-1．（2024·山西大同·模擬預(yù)測(cè)）矩形中，E為AD邊上一點(diǎn)，且，．將沿翻折到處，延長(zhǎng)交邊于G點(diǎn)，延長(zhǎng)交CD邊于點(diǎn)H，且，則線段的長(zhǎng)為．【答案】/3.5【詳解】解：過(guò)E作于M，如圖，則，∵四邊形是矩形，，∴，，∵沿翻折到處，，∴，，，設(shè)，則，在中，由勾股定理得，∴，則，∴，，∵，，∴，∴，即，∴，，

設(shè)，∵∴四邊形是矩形，∴，，在中，，，由勾股定理得，則，解得，∴．∴故答案為：．5-2．（23·24下·吉安·模擬預(yù)測(cè)）課本再現(xiàn)：(1)如圖1，D，E分別是等邊三角形的兩邊上的點(diǎn)，且．求證：．下面是小涵同學(xué)的證明過(guò)程：證明：∵是等邊三角形，∴．∵，∴，∴．小涵同學(xué)認(rèn)為此題還可以得到另一個(gè)結(jié)論：的度數(shù)是；

遷移應(yīng)用：(2)如圖2，將圖1中的延長(zhǎng)至點(diǎn)G，使，連接．利用（1）中的結(jié)論完成下面的問(wèn)題．①求證：；②若，求證：；拓展提升：(3)在等邊中，若點(diǎn)D，E分別在射線上，連接交于點(diǎn)F，且，將繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，且使得．直線與直線交于點(diǎn)P，若，則的值為【答案】(1)60°(2)①見(jiàn)解析；②見(jiàn)解析(3)2或3【詳解】（1）解：∵，∴，∵，∴，故答案為：；（2）證明：①由（1）知，∴，又∵，∴是等邊三角形，∴．∴，∴，又∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴；②∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴；（3）解：如圖3，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在上時(shí)，

∵，∴，∵，，∴，∵，∴，∵，∴是等邊三角形，∴，∴，∴，由②知AD=2BD，∴；如圖4，當(dāng)點(diǎn)D，點(diǎn)E分別在的延長(zhǎng)線，的延長(zhǎng)線上時(shí)，∵,∴.∵,∴,∵,∴∴是等邊三角形，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴CB=2BD，∴CP=3BP，∴，故答案為：2或3．5-3．（23·24上·深圳·期中）如圖，在中，，，點(diǎn)D為邊上的中點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)B作于點(diǎn)E，延長(zhǎng)交于點(diǎn)F．則的長(zhǎng)為．【答案】【詳解】解：以為鄰邊作正方形，延長(zhǎng)交為，如下圖：，，，在和中，，，，，，即為的中點(diǎn)，，，，，，，故答案為：．6-1．（2024·山東·中考真題）如圖，點(diǎn)為的對(duì)角線上一點(diǎn)，，，連接并延長(zhǎng)至點(diǎn)，使得，連接，則為（

）A． B．3 C． D．4【答案】B【詳解】解：延長(zhǎng)和，交于點(diǎn)，∵四邊形是平行四邊形，∴，即，∴∴，∵，，∴，∴，又∵，，∴，∵，，∴，∴，∴∴，∴，∴；∵，∴．故選：B．6-2．（2024·湖南永州·模擬預(yù)測(cè)）如圖：中，，，，把邊長(zhǎng)分別為，，，…的n個(gè)正方形依次放在中；第一個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上；第二個(gè)正方形的頂點(diǎn)分別放在的各邊上，其他正方形依次放入，則第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為．【答案】/【詳解】解：∵四邊形是正方形，∴，，∴，∴，即，∴，∴，同理可證，∴，即，∴，同理可求得，∴可以推出第n個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，∴第2024個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，故答案為：．6-3．（2024·陜西西安·一模）如圖，在中，D，M是邊的三等分點(diǎn)，N，E是邊的三等分點(diǎn)．連接并延長(zhǎng)與的延長(zhǎng)線相交于點(diǎn)P．若，則線段的長(zhǎng)為（）A．5 B．7 C．6 D．8【答案】D【詳解】解：由題意知，，，∵，，∴，∴，∴，∴，，又∵，∴，∴，∴是的中位線，∴，故選：D．7-1．（2024·吉林·中考真題）如圖，正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是的中點(diǎn)，點(diǎn)F是上一點(diǎn)．連接．若，則的值為．【答案】【詳解】解：∵正方形的對(duì)角線相交于點(diǎn)O，∴，，∵點(diǎn)E是的中點(diǎn)，∴，∵，∴，∴，∴，即，故答案為：．7-2．（2024·四川眉山·中考真題）如圖，菱形的邊長(zhǎng)為6，，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連結(jié)分別交，于點(diǎn)，，則的長(zhǎng)為．【答案】/【詳解】解：菱形的邊長(zhǎng)為6，，，，，，，，在中，，，，，，，在中，，，，，，，，，，．故答案為：．7-3．（2023·安徽·三模）如圖，已知、，與相交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，點(diǎn)是的中點(diǎn)，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，若，，則值為（

）

A． B． C． D．【答案】A【詳解】解：、，，∴，，，∴，，∴，，∴，，∴，點(diǎn)是的中點(diǎn)，，，，∴，，∴，∴，故選：．7-4．（2024·江蘇泰州·三模）綜合與實(shí)踐在初中物理學(xué)中，凸透鏡成像原理與相似三角形有密切的聯(lián)系．請(qǐng)耐心閱讀以下材料：【光學(xué)模型】如圖1，通過(guò)凸透鏡光心的光線，其傳播方向不變，經(jīng)過(guò)焦點(diǎn)的光線經(jīng)凸透鏡折射后平行于主光軸沿射出，與光線交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作主光軸的垂線段，垂足為，即可得出物體所成的像．【模型驗(yàn)證】設(shè)焦點(diǎn)到光心的距離稱為焦距，記為；物體到光心的距離稱為物距，記為；像到光心的距離稱為像距，記為．已知，，當(dāng)時(shí)，求證：．證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即①，∴②，∴，∴，即．請(qǐng)結(jié)合上述材料，解決以下問(wèn)題：(1)請(qǐng)補(bǔ)充上述證明過(guò)程中①②所缺的內(nèi)容(用含的代數(shù)式表示)；(2)若該凸透鏡的焦距為20，物體距凸透鏡的距離為30，物高為10，則物體所成的像的高度為_(kāi)_________；(3)如圖2，由物理學(xué)知識(shí)知“經(jīng)過(guò)點(diǎn)且平行于主光軸的光線經(jīng)凸透鏡折射后經(jīng)過(guò)點(diǎn)”，小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時(shí)，不斷改變物距發(fā)現(xiàn)光線始終經(jīng)過(guò)主光軸上一定點(diǎn)．若該凸透鏡的焦距為20，物高為10，試說(shuō)明這一物理現(xiàn)象．【答案】(1)①②(2)20(3)見(jiàn)解析【詳解】（1）證明：∵，，∴又∵，∴，∴，即，同理可得，∴，即，∴，∴，∴，即．故答案為：①；②；（2）由（1）可知，，，當(dāng)，，時(shí)，可得，解得，∴可有，解得，即物體所成的像的高度為．故答案為：20；（3）如下圖，設(shè)與交于點(diǎn)，根據(jù)題意，，∵，∴，∴四邊形為矩形，∴，∵，，∴，∴，即，由（1）可知，，∴，∴，∴，即，∴，∵，∴，∴小明在做凸透鏡成像實(shí)驗(yàn)時(shí)，不斷改變物距，光線始終經(jīng)過(guò)主光軸上一定點(diǎn)，該定點(diǎn)透鏡為焦點(diǎn)．8-1．（2024·廣西南寧·三模）閱讀與思考，完成后面的問(wèn)題．射影定理，又稱“歐幾里得定理”，是數(shù)學(xué)圖形計(jì)算的重要定理．如圖，在中，，是斜邊上的高，則有如下結(jié)論：①；②；③．下面是該定理的證明過(guò)程（部分）：∵是斜邊上的高，∴．∵，，∴．∴（依據(jù)）．∴．即．(1)材料中的“依據(jù)”是指；(2)選擇②或③其中一個(gè)結(jié)論加以證明；(3)應(yīng)用：中，，，，點(diǎn)A在y軸上，求頂點(diǎn)A的坐標(biāo)．【答案】(1)兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似(2)見(jiàn)解析(3)頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或【詳解】（1）解：“依據(jù)”是：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似，故答案為：兩角分別對(duì)應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似；（2）證明：②，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；③，理由如下：∵，，∴，∵，∴，∴∴；（3）解：如圖，根據(jù)題意以為坐標(biāo)原點(diǎn)建立平面直角坐標(biāo)系，∵，，∴，，∵，，∴，∴，∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為或．8-2．（2024·浙江溫州·三模）如圖，在銳角三角形中，．以點(diǎn)為圓心長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交邊于點(diǎn)，連接．點(diǎn)是延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接，若平分．(1)求證：．(2)當(dāng)時(shí)，求的值．【答案】(1)見(jiàn)解析(2)【詳解】（1）證明：由題意得：，，，平分，，；（2）解：，，，，．8-3．（2024·河南·二模）三角形的布洛卡點(diǎn)（Brocardpoint）是法國(guó)數(shù)學(xué)家和數(shù)學(xué)教育家克洛爾（A．LCrelle1780-1855）于1816年首次發(fā)現(xiàn)，但他的發(fā)現(xiàn)并未被當(dāng)時(shí)的人們所注意．1875年，布洛卡點(diǎn)被一個(gè)數(shù)學(xué)愛(ài)好者法國(guó)軍官布洛卡（Brocard1845-1922）重新發(fā)現(xiàn)，并用他的名字命名．如圖1，若內(nèi)一點(diǎn)P滿足，則點(diǎn)P是的布洛卡點(diǎn)，是布洛卡角．（1）如圖2，點(diǎn)P為等邊三角形ABC的布洛卡點(diǎn)，則布洛卡角的度數(shù)是______；PA、PB、PC的數(shù)量關(guān)系是______；（2）如圖3，點(diǎn)P為等腰直角三角形ABC（其中）的布洛卡點(diǎn)，且．①請(qǐng)找出圖中的一對(duì)相似三角形，并給出證明；②若的面積為，求的面積．【答案】（1）30°，；（2）①，證明見(jiàn)解析；（3）．【詳解】解：（1）由題意知：，為等邊三角形，，AB=BC=AC,，，，，，同理可證得出：，，故答案是：30°，．（2）①證明：∵是等腰直