2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)課程：高中數(shù)學(xué)教材：高中數(shù)學(xué)人教A版選擇性必修第一冊(cè)章節(jié)：2.3.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)教材分析本節(jié)課通過分析兩條直線方程組成的方程組，揭示其解與交點(diǎn)坐標(biāo)的對(duì)應(yīng)關(guān)系，得出求兩直線交點(diǎn)即為求方程組{A學(xué)情分析針對(duì)本節(jié)知識(shí)內(nèi)容和學(xué)生認(rèn)知水平而言，學(xué)生已掌握直線的方程形式及其幾何意義，理解點(diǎn)在直線上等價(jià)于坐標(biāo)滿足方程的基本思想，并具備解二元一次方程組的能力，這為探究?jī)蓷l直線交點(diǎn)與方程組解的關(guān)系奠定了代數(shù)與幾何基礎(chǔ)；高中階段的學(xué)生具備一定的抽象思維能力和邏輯推理能力，能夠通過觀察、歸納理解方程組解與直線位置關(guān)系的聯(lián)系，但對(duì)代數(shù)運(yùn)算與幾何直觀的結(jié)合仍需加強(qiáng)；本節(jié)課要求學(xué)生能從方程角度理解兩直線交點(diǎn)的存在性與唯一性，掌握通過解方程組{A教學(xué)目標(biāo)理解兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的概念，能夠解釋交點(diǎn)坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系，達(dá)到數(shù)學(xué)抽象核心素養(yǎng)水平一的要求。掌握通過解二元一次方程組求兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，能夠正確求解具體問題，達(dá)到數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng)水平二的要求。能夠運(yùn)用直線交點(diǎn)坐標(biāo)的知識(shí)解決實(shí)際問題，如判斷兩條直線是否相交、求交點(diǎn)坐標(biāo)等，達(dá)到數(shù)學(xué)建模核心素養(yǎng)水平一的要求。理解交點(diǎn)坐標(biāo)的幾何意義，能夠?qū)⒋鷶?shù)解與幾何圖形對(duì)應(yīng)起來(lái)，達(dá)到直觀想象核心素養(yǎng)水平二的要求。重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)與方程組解的關(guān)系，求解兩直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法。

教學(xué)難點(diǎn)：理解兩直線位置關(guān)系對(duì)應(yīng)方程組解的情況，判斷直線相交的條件A1課堂導(dǎo)入同學(xué)們，在平面直角坐標(biāo)系中，我們之前學(xué)習(xí)了直線可以用方程來(lái)表示。那現(xiàn)在想象這樣一個(gè)場(chǎng)景，兩條筆直的道路（可看作直線）相交于一點(diǎn)。這兩條道路對(duì)應(yīng)的直線方程分別為l1:A1x+B兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)探究新知（一）知識(shí)精講

已知兩條直線

l1:A1x+B1y+C1=0，

l2:A2x+B2y+C2=0，這意味著交點(diǎn)P的坐標(biāo)是以下二元一次方程組的解：

{A1x通過代入法或加減法解這個(gè)方程組，即可得到交點(diǎn)的坐標(biāo)(x（二）師生互動(dòng)

教師提問1：如果一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)滿足兩條直線的方程，那么這個(gè)點(diǎn)一定在這兩條直線上嗎？為什么？

學(xué)生回答：是的，因?yàn)橹本€上的所有點(diǎn)都滿足它的方程，反過來(lái)，滿足方程的點(diǎn)也一定在對(duì)應(yīng)的直線上。所以如果一個(gè)點(diǎn)同時(shí)滿足兩個(gè)方程，它就同時(shí)在兩條直線上，也就是它們的公共點(diǎn)。教師提問2：我們說交點(diǎn)坐標(biāo)是方程組的解，那是不是每一個(gè)二元一次方程組都對(duì)應(yīng)兩條直線的交點(diǎn)？

學(xué)生思考后回答：應(yīng)該是的，每個(gè)二元一次方程都可以表示一條直線，所以方程組就對(duì)應(yīng)兩條直線的位置關(guān)系。如果有唯一解，就是相交；如果沒有解，就是平行；如果有無(wú)數(shù)解，就是重合。教師追問：很好！那么你能結(jié)合前面學(xué)過的直線位置關(guān)系，解釋一下為什么相交時(shí)方程組只有唯一解嗎？

學(xué)生回答：因?yàn)閮蓷l直線相交只有一個(gè)公共點(diǎn)，而這個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)必須同時(shí)滿足兩個(gè)方程，所以只能有一組解。如果有兩組不同的解，就意味著有兩個(gè)交點(diǎn)，這和直線相交的基本性質(zhì)矛盾。（三）設(shè)計(jì)意圖

通過引導(dǎo)學(xué)生理解交點(diǎn)與方程組解之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系，幫助學(xué)生建立“幾何位置關(guān)系”與“代數(shù)方程解的情況”之間的聯(lián)系，實(shí)現(xiàn)從直觀圖形到抽象代數(shù)的轉(zhuǎn)化，達(dá)成數(shù)形結(jié)合的知識(shí)目標(biāo)。在分析過程中，強(qiáng)調(diào)方程思想和邏輯推理的應(yīng)用，提升學(xué)生運(yùn)用代數(shù)工具解決幾何問題的能力，注重培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象和邏輯思維能力。采用問題驅(qū)動(dòng)的方式展開師生對(duì)話，促使學(xué)生在已有知識(shí)基礎(chǔ)上主動(dòng)建構(gòu)新知，形成以探究為核心的學(xué)習(xí)方式。整個(gè)過程滲透了用代數(shù)方法研究幾何問題的基本思想，引導(dǎo)學(xué)生體會(huì)解析幾何的本質(zhì)，增強(qiáng)對(duì)數(shù)學(xué)統(tǒng)一性的認(rèn)識(shí)，體現(xiàn)數(shù)學(xué)學(xué)科的科學(xué)價(jià)值和理性精神。新知應(yīng)用例1題目：求下列兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，并畫出圖形：

l1:解答：要求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，需解由它們的方程組成的方程組：

{我們使用代入法或加減法來(lái)解這個(gè)方程組。這里選擇代入法。從方程(2)解出y：

2將(3)代入方程(1)：

3將x=?2代入(3)所以交點(diǎn)坐標(biāo)為M(接下來(lái)畫圖驗(yàn)證：對(duì)于l1:3x+4y對(duì)于l2:2x+y+在坐標(biāo)系中作出這兩條直線，可見它們相交于點(diǎn)(?2,總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容①兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的定義與幾何意義；

②聯(lián)立二元一次方程組求解交點(diǎn)的方法；

③數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用（通過圖像驗(yàn)證代數(shù)結(jié)果）。2.題目求解要點(diǎn)①理解“交點(diǎn)”是同時(shí)滿足兩條直線方程的公共解；

②正確列出并求解二元一次方程組，注意運(yùn)算準(zhǔn)確性；

③掌握代入法或加減法解方程組的基本步驟；

④能根據(jù)方程大致畫出直線，進(jìn)行圖形驗(yàn)證。例2題目：判斷下列各對(duì)直線的位置關(guān)系，如果相交，求出交點(diǎn)的坐標(biāo)：

(1)l1:x?y=0,l解答：(1)解方程組：

{由(1)得：x=y，代入(2)：所以兩直線相交，交點(diǎn)為M((2)解方程組：

{將(1)×2得：

6用(3)減去(2)：

(出現(xiàn)矛盾等式9=進(jìn)一步觀察斜率：l1:l2:斜率相同，截距不同，故l1(3)解方程組：

{將(1)×2得：

6這與方程(2)完全相同，說明兩個(gè)方程表示的是同一條直線。因此，方程組有無(wú)窮多解，兩條直線重合?？偨Y(jié)：1.題目考查內(nèi)容①兩條直線位置關(guān)系的代數(shù)判定方法（相交、平行、重合）；

②利用方程組解的情況判斷直線關(guān)系：唯一解→相交；無(wú)解→平行；無(wú)窮解→重合；

③方程之間的倍數(shù)關(guān)系與直線重合的聯(lián)系。2.題目求解要點(diǎn)①正確建立并求解二元一次方程組；

②當(dāng)方程組無(wú)解時(shí)，能識(shí)別矛盾等式并得出“平行”結(jié)論；

③當(dāng)兩個(gè)方程成比例（可化為同一方程）時(shí)，判斷為“重合”；

④注意觀察系數(shù)之間的倍數(shù)關(guān)系，避免重復(fù)計(jì)算；

⑤理解代數(shù)解法背后的幾何意義，實(shí)現(xiàn)數(shù)形統(tǒng)一分析。新知鞏固題目：已知兩直線y+x+2m=0與y?x+解答：我們已知兩條直線：ll要求它們的交點(diǎn)在圓x2+y2=4的內(nèi)部，即交點(diǎn)坐標(biāo)第一步：求兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)解方程組：

{將兩個(gè)方程相加，消去x：

(將y=?m?1所以交點(diǎn)坐標(biāo)為：

P第二步：判斷該點(diǎn)在圓x2+將交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程左邊，判斷是否小于4：

x計(jì)算每一項(xiàng)：

(1?相加：

x要求點(diǎn)在圓內(nèi)部，即：

2所以m的取值范圍是：

(對(duì)應(yīng)選項(xiàng)為C。總結(jié)：1.題目考查內(nèi)容本題考查以下知識(shí)點(diǎn)：兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求法（聯(lián)立方程組求解）點(diǎn)與圓的位置關(guān)系判斷（點(diǎn)在圓內(nèi)?x代數(shù)運(yùn)算與不等式求解2.題目求解要點(diǎn)正確聯(lián)立直線方程，求出交點(diǎn)坐標(biāo)（含參數(shù)m）將交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的方程左側(cè)，構(gòu)造關(guān)于m的表達(dá)式利用“點(diǎn)在圓內(nèi)”的條件建立不等式x化簡(jiǎn)并解不等式得到m的范圍3.同類型題目解題步驟對(duì)于“兩直線交點(diǎn)在某曲線（如圓）內(nèi)部/外部/上”的問題，通用解題步驟如下：聯(lián)立方程求交點(diǎn)：將兩條直線方程聯(lián)立，解出交點(diǎn)坐標(biāo)（可能含參數(shù)）代入曲線表達(dá)式：將交點(diǎn)坐標(biāo)代入圓（或其他曲線）的方程左側(cè)根據(jù)位置關(guān)系列不等式或等式：在圓內(nèi)：x在圓上：x在圓外：x化簡(jiǎn)并求解參數(shù)范圍寫出最終結(jié)果并檢驗(yàn)合理性（如定義域、是否有增解等）板書設(shè)計(jì)兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

├─交點(diǎn)定義：兩直線公共點(diǎn)P(x,y)

├─方程關(guān)系

│├─點(diǎn)P在l1上：A1x+B1y+C1=0

│└─點(diǎn)P在l2上：A2x+B2y+C2=0

├─聯(lián)立方程組

│└─{A1x+B1y教學(xué)反思本教學(xué)設(shè)計(jì)以教材中對(duì)兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的探究為切入點(diǎn)，引導(dǎo)學(xué)生思考交點(diǎn)坐標(biāo)與直線方程的關(guān)系，得出求交點(diǎn)坐標(biāo)的方法，通過講解、練習(xí)等環(huán)節(jié)幫助學(xué)生掌握該知識(shí)。通過教學(xué)，基本完成教學(xué)任務(wù)，多數(shù)學(xué)生能理解求兩條相交直線交點(diǎn)坐標(biāo)的方法。成功之處在于緊扣教材探究，引導(dǎo)學(xué)生自主思考，理解知識(shí)形成過程；不足之處在于練習(xí)環(huán)節(jié)對(duì)基礎(chǔ)薄弱學(xué)生關(guān)注不足，部分學(xué)生在運(yùn)用方程組求解交點(diǎn)坐標(biāo)時(shí)計(jì)算易出錯(cuò)，后續(xù)應(yīng)加強(qiáng)對(duì)這類學(xué)生的指導(dǎo)。課堂練習(xí)第1題【題文】已知兩直線y+x+2m=0與yA．(B．(C．(D．(【答案】C第2題【題文】過點(diǎn)P(3,0)作直線l，使它被兩條相交直線2x?y?A．8B．8C．xD．x【答案】B第3題【題文】萊莫恩（Lemoine）定理指出：過△ABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C作它的外接圓的切線，分別和BC，CA，AB所在直線交于點(diǎn)P，Q，R，則P，Q，R三點(diǎn)在同一條直線上，這條直線被稱為三角形的Lemoine線．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，若三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)分別為A(0,1)A．2B．2C．3D．2【答案】A課前任務(wù)1.知識(shí)回顧

我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了直線的一般式方程及其幾何意義，掌握了兩直線平行和重合的條件。請(qǐng)回顧直線方程Ax+B2.預(yù)習(xí)教材

閱讀教材“兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)”部分，了解兩條直線交點(diǎn)坐標(biāo)的求解原理。重點(diǎn)關(guān)注教材中給出的方程組

{A1x+B13.問題思考

如果兩條直