2025年大學(xué)《數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——組合數(shù)學(xué)中的排列與組合的計(jì)算考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每小題3分，共15分）1.從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素，允許重復(fù)的排列數(shù)是________。A.C(n,k)B.P(n,k)C.P(n,n)D.C(n+k-1,k)2.(1+x)^n的二項(xiàng)展開式中，第r項(xiàng)的系數(shù)是________。A.C(n,r-1)B.C(n,r)C.C(n,n-r)D.C(n+1,r)3.從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素，且這k個(gè)元素按照一定的順序排列，這樣的組合數(shù)是________。A.C(n,k)B.P(n,k)C.P(n,n)D.C(n+k-1,k)4.如果一個(gè)排列中，每個(gè)元素都不在其原來(lái)的位置上，這樣的排列稱為________。A.排列B.組合C.錯(cuò)位排列D.二項(xiàng)式系數(shù)5.C(n,k)+C(n,k-1)=________。A.C(n+1,k)B.C(n,k+1)C.C(n-1,k-1)D.P(n,k)二、填空題（每小題4分，共20分）1.從5個(gè)不同的元素a,b,c,d,e中取出3個(gè)元素的組合數(shù)是________。2.用排列組合的知識(shí)證明：5!=5*4*3*2*1。3.從10個(gè)不同的元素中取出4個(gè)元素，組成一個(gè)沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，這樣的四位數(shù)共有________個(gè)。4.在(1+x)^10的展開式中，x^5的系數(shù)是________。5.有10件不同的商品，從中選出3件送給三位朋友，每人送一件，不同的送法共有________種。三、解答題（共65分）1.（10分）有10個(gè)不同的書架，要放置6本不同的書，如果每本書都要放，且每本書都要放在不同的書架上，問有多少種不同的放置方法？2.（10分）一個(gè)小組有10個(gè)人，要選出3個(gè)人組成一個(gè)委員會(huì)，如果組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)不能同時(shí)當(dāng)選，問有多少種不同的選法？3.（10分）用排列組合的知識(shí)證明組合數(shù)性質(zhì)：C(n,k)=C(n,n-k)。4.（10分）在一場(chǎng)羽毛球比賽中，有8名選手參加單打比賽，比賽采用單循環(huán)賽制，即每?jī)擅x手之間都要進(jìn)行一場(chǎng)比賽。問一共需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？5.（15分）一個(gè)盒子里有10個(gè)紅球，8個(gè)藍(lán)球，6個(gè)綠球，從中任意取出5個(gè)球，問取出3個(gè)紅球、1個(gè)藍(lán)球、1個(gè)綠球的方法有多少種？6.（10分）計(jì)算錯(cuò)位排列數(shù)D_4，即4個(gè)元素錯(cuò)位排列的個(gè)數(shù)。試卷答案一、選擇題1.D2.B3.B4.C5.A二、填空題1.102.略3.50404.2525.720三、解答題1.解析：首先將6本書進(jìn)行全排列，共有P(6,6)種方法。然后考慮書架的排列，10個(gè)不同的書架也進(jìn)行全排列，共有P(10,10)種方法。根據(jù)乘法原理，總的放置方法數(shù)為P(6,6)*P(10,10)=6!*10!=720*3628800=2612736000種。答案：2612736000種2.解析：首先計(jì)算沒有限制條件的委員會(huì)選法，共有C(10,3)種。然后計(jì)算組長(zhǎng)和副組長(zhǎng)同時(shí)當(dāng)選的選法，共有C(8,1)*C(7,1)種（先從8個(gè)人中選出組長(zhǎng)，再?gòu)氖Ｏ碌?個(gè)人中選出副組長(zhǎng)）。根據(jù)容斥原理，滿足條件的選法數(shù)為C(10,3)-C(8,1)*C(7,1)=120-56=64種。答案：64種3.解析：從n個(gè)不同元素中取出k個(gè)元素的組合，與從n個(gè)不同元素中取出n-k個(gè)元素的組合，其本質(zhì)是相同的，只是選取的角度不同。因此，C(n,k)=C(n,n-k)。答案：略4.解析：8名選手單循環(huán)賽制，每?jī)擅x手之間進(jìn)行一場(chǎng)比賽，相當(dāng)于從8個(gè)元素中取出2個(gè)元素的組合，共有C(8,2)種。即C(8,2)=8*7/2=28場(chǎng)。答案：28場(chǎng)5.解析：首先從10個(gè)紅球中取出3個(gè)，共有C(10,3)種方法。然后從8個(gè)藍(lán)球中取出1個(gè)，共有C(8,1)種方法。最后從6個(gè)綠球中取出1個(gè)，共有C(6,1)種方法。根據(jù)乘法原理，總的取法數(shù)為C(10,3)*C(8,1)*C(6,1)=120*8*6=5760種。答案：5760種6.解析：利用遞