湖北省重點(diǎn)高中智學(xué)聯(lián)盟年秋季高三年級(jí)月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本大題共8小題，每題5分，共計(jì)分．每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的．請(qǐng)把正確的選項(xiàng)填涂在答題卡相應(yīng)的位置上．1.已知集合是小于5的正整數(shù)}，，則元素個(gè)數(shù)為（）A.0B.2C.3D.4【答案】C【解析】【分析】化簡(jiǎn)兩個(gè)集合，再根據(jù)交集的定義運(yùn)算求出.【詳解】由題意可知，，或，則，則元素個(gè)數(shù)為.故選：C2.復(fù)數(shù)滿足，則的虛部為（）A.1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則，化簡(jiǎn)得到，得出，結(jié)合復(fù)數(shù)的概念，即可求解.【詳解】因?yàn)?，可得，所以，所以的虛部?故選：A3.“”是“”（）A.充要條件B.既不充分也不必要條件C.必要不充分條件D.充分不必要條件【答案】D【解析】【分析】首先解對(duì)數(shù)不等式和指數(shù)不等式，即可得到答案.第1頁/共18頁【詳解】，，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：D4.已知等差數(shù)列不是常數(shù)列，若，且，，成等比數(shù)列，則（）A.1B.21C.19D.20【答案】C【解析】【分析】首先根據(jù)已知條件得到，結(jié)合等差數(shù)列不是常數(shù)列，得到，再求即可.【詳解】因?yàn)椋?，，成等比?shù)列，所以，解得或，因?yàn)榈炔顢?shù)列不是常數(shù)列，所以.所以.故選：C5.已知是定義在上且周期為的奇函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則（）A.B.1C.D.【答案】A【解析】【分析】由條件結(jié)合奇函數(shù)性質(zhì)可得，結(jié)合周期函數(shù)性質(zhì)可得，故，再利用條件求可得結(jié)論.【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上的奇函數(shù)，所以，所以，因?yàn)楹瘮?shù)是定義在上且周期為的函數(shù)，所以，所以，第2頁/共18頁因?yàn)楫?dāng)時(shí)，，所以，所以，故選：A.6.已知函數(shù)（在部分的圖象與直線恰好產(chǎn)生了三個(gè)交點(diǎn)，則的取值范圍為（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】利用輔助角公式、誘導(dǎo)公式、兩角和正弦公式把原函數(shù)解析式化成余弦型函數(shù)形式，再利用換元法，結(jié)合余弦函數(shù)性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】令，，，所以，問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)，當(dāng)時(shí)，有三個(gè)交點(diǎn)，由，于是有，故選：C7.已知，在單位向量上投影向量都是與夾角最大的時(shí)候，）A.6B.5C.8D.7第3頁/共18頁【答案】D【解析】【分析】通過建立平面直角坐標(biāo)系，利用兩角差的正切判斷向量所成角的最值后求得對(duì)應(yīng)的數(shù)量積.【詳解】設(shè)單位向量，以單位向量的起點(diǎn)為原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系.因?yàn)?，在單位向量上投影向量都是，設(shè).不妨設(shè)，因?yàn)椋?，則設(shè)兩向量的夾角為，若，則，故此時(shí)若，則，而，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故，綜上，當(dāng)，時(shí)，取最大值，此時(shí).故選：8.若對(duì)任意正實(shí)數(shù)，都有，，且有，下列選項(xiàng)正確的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】第4頁/共18頁的范圍.【詳解】由題意，.記，，則有，，，2.當(dāng)時(shí)，，.累加可得：.即，．當(dāng)時(shí)，..累加可得：.即，則有，.故選：B．二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共分．在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目的要求．全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分分，有選錯(cuò)的得0分．9.已知為虛數(shù)單位，則下列結(jié)論正確的是（）A.若復(fù)數(shù)，滿足，則B.若，，則C.若復(fù)數(shù)，，滿足，則或D.若復(fù)數(shù)滿足，，則最大值為3【答案】CD【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的概念、幾何意義、運(yùn)算法則一一判定選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于B項(xiàng)，復(fù)數(shù)不能直接比較大小，故B錯(cuò)誤；對(duì)于A項(xiàng)，顯然若，，則，但，故A錯(cuò)誤；第5頁/共18頁則有，兩等式同時(shí)平方作差得，則，所以，則或，故C正確；對(duì)于D，設(shè)，則，故D正確.故選：CD10.已知函數(shù)，則下列說法正確的是（）A.的圖象可由的圖象向右平移個(gè)單位得到B.的圖象關(guān)于直線對(duì)稱C.在上值域?yàn)镈.若，則【答案】BC【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式與輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)式，利用三角函數(shù)圖象的變換，對(duì)稱性、單調(diào)性與值域、三角恒等變換計(jì)算即可.【詳解】易知，對(duì)于A，的圖象向右平移得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，時(shí)，，則B正確；對(duì)于C，時(shí)，，則，故C正確；對(duì)于D，易知，設(shè)，第6頁/共18頁顯然，，解之得（舍去）或，故D錯(cuò)誤.故選：BC上的點(diǎn)與軸非負(fù)半軸上的點(diǎn)，構(gòu)成一系列斜邊在軸上的等腰直角三角形，記為，，，（的斜邊長(zhǎng)為，點(diǎn)，的面積為，則下列說法中正確的是（）A.數(shù)列的通項(xiàng)公式B.數(shù)列的通項(xiàng)公式C.D.【答案】ACD【解析】【分析】A根據(jù)幾何特征求出以及化簡(jiǎn)得出數(shù)列B根據(jù)A選項(xiàng)以及C根據(jù)以及平方和公式即可；D由，結(jié)合裂項(xiàng)相消法即可.【詳解】已知，設(shè)，因?yàn)闉榈妊苯侨切?，則直線的斜率為，直線的方程為，聯(lián)立，解得，則，即，則，設(shè)，則，，第7頁/共18頁可得，即，由，可得，故得，所以數(shù)列是以2為首項(xiàng)，以2為公差的等差數(shù)列，則，故A正確；對(duì)于B，，則，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C，因?yàn)槭堑妊苯侨切危涿娣e，則由平方和公式，可得，故C正確；對(duì)于D，因?yàn)椋?，?dāng)時(shí)，，則，故D正確．故選：ACD三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共計(jì)分．12.已知，則______．【答案】##【解析】算可得.第8頁/共18頁所以，所以．故答案為：13.直線是曲線的一條切線，則實(shí)數(shù)___________.【答案】2【解析】【分析】求出導(dǎo)函數(shù)，設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，得切線方程與已知切線方程比較可求得切點(diǎn)坐標(biāo)和．【詳解】設(shè)切點(diǎn)為，，則切線方程為，即，此方程即為，所以，設(shè)，則，時(shí)，，遞增，時(shí)，，遞減，所以，所以方程的解為，從而．故答案為：2．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，已知切線方程時(shí)，解題方法是設(shè)切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義得切線方程，然后與已知方程比較可求得參數(shù)值．14.已知函數(shù)（的最小值為______．【答案】【解析】正負(fù)號(hào)分析可得，，轉(zhuǎn)化成關(guān)第9頁/共18頁于的函數(shù)，求導(dǎo)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)計(jì)算即可.【詳解】函數(shù)的定義域?yàn)?，因恒成立，所以考慮，，三個(gè)因式的正負(fù)號(hào)的問題，下面分三種情況：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，因?yàn)?，所以，①?dāng)時(shí)，因，所以，，而時(shí)，，所以不滿足；②當(dāng)時(shí)，因，當(dāng)時(shí)，，，，所以也不滿足；③當(dāng)時(shí)，因，所以，要使，必須．而函數(shù)及在上都是單調(diào)遞增的．要使在上恒成立，必須兩個(gè)函數(shù)值的正負(fù)號(hào)在相同，所以兩個(gè)函數(shù)的零點(diǎn)也相同，即且．綜上①②③得，當(dāng)，時(shí)，恒成立．所以（令（當(dāng)時(shí)，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，則．故的最小值為．故答案為：．四、解答題：本題共5小題，共分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知函數(shù)，．（1）當(dāng)，求的極值；第10頁/共18頁【答案】（1）極小值為，無極大值；（2）答案見解析【解析】1得到，的定義求解.（2）由，分，，由，求解.【小問1詳解】時(shí)，，（）當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．故，且無極大值．【小問2詳解】（）（i）當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞減；（ii）當(dāng)，時(shí)，，，單調(diào)遞減；時(shí)，，，單調(diào)遞增．綜上，時(shí)，的減區(qū)間是，無增區(qū)間；時(shí)，的減區(qū)間是，增區(qū)間是．16.數(shù)列滿足，且時(shí)，有．第11頁/共18頁（2）記的前項(xiàng)和為，試求．【答案】（1）；（2）．【解析】1）利用遞推公式結(jié)合等差數(shù)列的判定計(jì)算即可；（2）利用錯(cuò)位相減法計(jì)算即可.【小問1詳解】依題意，顯然，當(dāng)時(shí)，有，即，，故構(gòu)成了以1為首項(xiàng)，2為公差的等差數(shù)列，且，則，符合上式，故；【小問2詳解】記，則，且①，②則②①，可得即.第12頁/共18頁17.已知中，內(nèi)角，，所對(duì)的邊分別為，，，且，．（1）求；（2）若內(nèi)心為，求的周長(zhǎng)范圍．【答案】（1）；（2）【解析】1）利用二倍角公式和正、余弦定理化簡(jiǎn)已知式，結(jié)合三角形內(nèi)角范圍即可求得；（2求得弦定理求出和,表示出可求得周長(zhǎng)范圍；方法二：同法求得，設(shè)，，由余弦定理得，利用基本不等式即可求得的范圍，即得周長(zhǎng)范圍.【小問1詳解】由可得：，化簡(jiǎn)得，由正弦定理，，又由余弦定理，，因，則．【小問2詳解】第13頁/共18頁則，則．設(shè)，則有，，，由，可得，在中，，由正弦定理，，則，，則，又，，則則的周長(zhǎng)范圍為．方法二：與方法一同法求得，設(shè)，，在中，由余弦定理可得，，即，則，因?yàn)?，所以，即，且，可得，即，?dāng)且僅當(dāng)時(shí)，即時(shí)等號(hào)成立．綜上的周長(zhǎng)范圍為．18.已知數(shù)列滿足，，，．第14頁/共18頁（2）的前項(xiàng)和記為，試求；（3）若，且對(duì)任意的正整數(shù)，都有恒成立，求的取值范圍．【答案】（1），（2），（3）【解析】1）通過對(duì)已知條件變形，構(gòu)成新的數(shù)列，利用累加法求出新的數(shù)列通項(xiàng)，進(jìn)而得到的通項(xiàng)公式.（2）根據(jù)的奇偶性，分別計(jì)算前項(xiàng)和.（3）先求出的表達(dá)式，再將不等式變形，通過數(shù)列的最大值來確定的范圍.【小問1詳解】已知數(shù)列滿足．當(dāng)時(shí)，，兩式相減得：，即．則，，且時(shí)，.，，且時(shí)，.經(jīng)檢驗(yàn)，也符合通式．綜上．【小問2詳解】依題意，當(dāng)，，且時(shí).第15頁/共18頁當(dāng)，，且時(shí)，．綜上．【小問3詳解】由（2）中結(jié)論，.則時(shí)，原式等價(jià)于，恒成立，即恒成立.記.則時(shí)，.即在時(shí)，單調(diào)遞減．可知，可得．19.已知，（1）時(shí)，證明：；（2）若對(duì)任意的，恒成立，求的取值范圍；（3）證明：對(duì)任意的正整數(shù)，總有．【答案】（1）證明見解析（2）（3）證明見解析【解析】1）構(gòu)造，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、最值計(jì)算即可；第16頁/共18頁（3）根據(jù)（2）的結(jié)論得出，利用放縮法累加即可證明.【小問1詳解】構(gòu)造，當(dāng)時(shí)，，．可知，，單調(diào)遞增；，，單調(diào)遞減．則，故，