第二節(jié)：換元積分法第四章：不定積分講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部第一類換元積分法不定積分的計(jì)算

即利用基本積分公式、積分性質(zhì)及恒等變形進(jìn)行積分.常用恒等變形方法分項(xiàng)積分加項(xiàng)減項(xiàng)利用三角公式。?方法1：直接積分法回顧02常見題型分類101第一類換元積分法的概念CONTENTS目錄01第一類換元積分法的概念引例引例求分析：此時(shí)被積函數(shù)為復(fù)合函數(shù)，無法直接使用基本積分公式，應(yīng)變形，在計(jì)算。引例總結(jié)：（湊微分，再整體換元，最后回代）做題的切入點(diǎn)下面將給出更具一般性的計(jì)算公式及證明

定

理4-4第一類換元公式（湊微分法）1第一類換元積分法的概念

由復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法有證：故F(φ(x))是f(

(x))

φ′(x)的一個(gè)原函數(shù)，(F(φ(x)))′=F′(u)·φ′(x)=f(u)

φ′(x)=f(φ(x))

φ′(x)所以換元積分！即設(shè)f(u)的一個(gè)原函數(shù)為F(u)，則

湊微分換元積分過程：求微分2.第二類換元積分法1.第一類換元積分法核心：湊出微分02第一類換元積分法的計(jì)算(1)第一類換元積分法——常見被積函數(shù)類型（1）被積函數(shù)形式為

（2）被積函數(shù)形式為

（3）被積函數(shù)形式為

（4）被積函數(shù)形式為

（5）被積函數(shù)形式為（6）被積函數(shù)形式為

換元回代湊-5x+2的微分2.1被積函數(shù)形式為例4-17湊-5x+2的微分2.1被積函數(shù)形式為例4-18湊2x+3的微分

熟悉后這步可以省略，直接湊微分，最后配系數(shù)練習(xí)2.1被積函數(shù)形式為練習(xí)x的一次表達(dá)式可以直接湊得配平系數(shù)即可例4-19湊3x+2的微分

求解:u

=3x+2

例4-20解:u

=3+2x將u

=3+2x回代湊3+2x的微分例4-21解:u

=1-2x將u

=1-2x回代湊1-2x的微分熟悉后，可以不用換元練習(xí)

P154習(xí)題4-2第2題答案解:原式湊2x+4的微分答案湊1-x的微分解:原式答案解:原式湊2-3x的微分例4-23湊x2的微分

求2.2被積函數(shù)形式為湊x2的微分冪函數(shù)求原函數(shù)次數(shù)會(huì)升一次，因此看到xn可以湊再配平系數(shù)例4-242.2被積函數(shù)形式為熟悉后這步可以省略，直接湊微分，最后配系數(shù)湊x4的微分例4-25解：

2.2被積函數(shù)形式為湊(x2-3)的微分例4-26解:

2.2被積函數(shù)形式為xn還可以湊練習(xí)2.2被積函數(shù)形式為求下列不定積分：（4）P154習(xí)題4-2第2題湊x2的微分答案解：

例4-272.3被積函數(shù)形式為解:

練習(xí)2.3被積函數(shù)形式為解:P154習(xí)題4-2第2題（6）

例4-282.4被積函數(shù)形式為解：原式

練習(xí)2.4被積函數(shù)形式為解：原式P154習(xí)題4-2第2題（7）例4-292.5被積函數(shù)形式為解：原式湊

的微分練習(xí)2.5被積函數(shù)形式為P154習(xí)題4-2第2題（8）（9）答案2.5被積函數(shù)形式為解：原式湊

的微分答案2.5被積函數(shù)形式為解：原式湊

的微分例4-302.6被積函數(shù)形式為解：原式湊

的微分練習(xí)2.6被積函數(shù)形式為（10）P154習(xí)題4-2第2題換元回代2.6被積函數(shù)形式為

答案例4-312.7其他形式的被積函數(shù)解：原式湊

的微分例4-362.7其他形式的被積函數(shù)湊

的微分解:類似地，可得例題結(jié)論可作為公式，添加到基本積分表中：例4-382.7其他形式的被積函數(shù)

求解：練習(xí)2.7其他形式的被積函數(shù)

P154習(xí)題4-2第2題答案2.7其他形式的被積函數(shù)

求解：答案2.7其他形式的被積函數(shù)

求解：例4-322.7其他形式的被積函數(shù)解：原式湊

的微分湊微分:湊微分

注意:根據(jù)被積函數(shù)實(shí)際情況，添加常數(shù)C。幾個(gè)常用公式總結(jié)