第1章函數(shù)與極限§1.1映射與函數(shù)(1)目錄CONTENTS三、函數(shù)的幾何特性一、基本概念二、反函數(shù)四、小結(jié)01基本概念閉區(qū)間設(shè)和

都是實數(shù)，且

，數(shù)集{x|a≤x≤b}叫做閉區(qū)間，記作[a,b].即[a,b]={x|a≤x≤b}.區(qū)間長度為b-a1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)開區(qū)間半開半閉區(qū)間[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}(a,b)={x|a<x<b}abx(a,b)[a,b)ax(a,b]abx閉區(qū)間[a,b]={x|a≤x≤b}[a,b]abx有限區(qū)間，區(qū)間長度為b-ab1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)關(guān)鍵詞標(biāo)題xaxabxxbx無限區(qū)間無窮大1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)幾何特征鄰域定義中心半徑區(qū)間長度到

的距離小于

的點的集合數(shù)集

稱為點

的

鄰域，記作.設(shè)

與

為兩個實數(shù)，且

，1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)幾何特征去心鄰域定義將鄰域中心去掉，稱為點

的去心鄰域，記作.這里

就表示.到

的距離小于

的點的集合，不包括

.1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)0.1-0.10-0.0100.01無論鄰域半徑大小，都有無數(shù)個點圍繞在中心點周圍鄰域特點分析令=0,=0.1和=0.011.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)半徑為0.01半徑為0.1-0.0100.01

0.10.10數(shù)列極限為0以極限0為中心從鄰域角度看極限無論鄰域多小，數(shù)列中都有無數(shù)點聚集在0的周圍.總結(jié)第二節(jié)極限會詳細研究1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)左鄰域

右鄰域

左去心鄰域右去心鄰域1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)單側(cè)極限的極限過程(在1.3節(jié)詳細講解)

-0

這個極限過程可以用x=0處的左去心鄰域刻畫1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)1.1

區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)按一定規(guī)則查號某教室座位的集合按一定規(guī)則入座某校學(xué)生的集合學(xué)號的集合按一定規(guī)則查號某班學(xué)生的集合按一定規(guī)則入座引例：1.1區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)定義設(shè)X,Y

是兩個非空集合,若存在一個對應(yīng)法則f,使得有唯一確定的與之對應(yīng),則稱

f

為從X

到Y(jié)

的映射,記作元素

y

稱為元素x

在映射

f下的像,記作元素

x稱為元素y

在映射

f

下的原像

.集合X

稱為映射f

的定義域;Y

的子集稱為f

的值域

.1.1區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)注意:1)映射的三要素元素x

的像y

是唯一的,

但y

的原像不一定唯一.定義域?qū)?yīng)法則

值域

對映射若,則稱f

為滿射;若有則稱f

為單射;若f既是滿射又是單射,則稱f

為雙射或一一映射.1.1區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)逆映射單射1.1區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)1.1區(qū)間與鄰域1.2

映射1.3函數(shù)復(fù)合映射函數(shù)——數(shù)集與數(shù)集間的映射設(shè)A、B是兩個實數(shù)集，如果有某一法則

f,對于每個數(shù)x

A,均有一個確定的數(shù)y

B與之對應(yīng)，則稱f是從A到B內(nèi)的函數(shù).或說,y是x的函數(shù).

因變量自變量定義域值域?qū)?yīng)法則對應(yīng)法則就是函數(shù)表達式1.1區(qū)間與鄰域1.2映射1.3函數(shù)函數(shù)定義域的求法使函數(shù)表達式有意義的自變量的取值范圍，稱為函數(shù)的定義域定義域?qū)嶋H意義函數(shù)概念例1確定函數(shù)的三要素定義域?qū)?yīng)法則判斷下列各對函數(shù)是否相同？(1)f(x)=x(不同)(2)f(x)=x(不同)(3)f1(x)=1(相同)f2(x)=sin2x+cos2x函數(shù)概念值域例2求函數(shù)的定義域.解

要使函數(shù)有意義，x必須滿足即因此函數(shù)的定義域為由此有4-x2≥0,x-1>0,函數(shù)概念用區(qū)間表示下列函數(shù)的定義域.練習(xí)102反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)自變量和因變量的對應(yīng)順序進行交換習(xí)慣上用x表示自變量，y表示因變量，因此反函數(shù)常改寫成

y=f-1(x).x=f-1(y),設(shè)給定函數(shù)y=f(x)，其值域為Rf.都有從關(guān)系式y(tǒng)=f(x)中唯一確定的x值與之對應(yīng)，x為因變量的函數(shù)，記為則得到一個定義在Rf上的以y為自變量，x=f-1(y).稱為函數(shù)y=f(x)的反函數(shù),如果對于Rf中的每一個y值，反函數(shù)定義2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)注：直接函數(shù)必須是一一對應(yīng)關(guān)系，才會有反函數(shù)！直接函數(shù)反函數(shù)1、驗證給定函數(shù)y=f(x)在定義域Df和值域Rf上存在一一對應(yīng)關(guān)系根據(jù)定義求反函數(shù)步驟：3、交換字母：2、由

y=f(x)解出

x=f-1(y)，定義域為Rf，值域為Df

(與直接函數(shù)相反)y=f-1(x)，定義域為Rf，值域為Df2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)解：由y=x3解出交換字母：y=x3,x∈(－∞,+∞)，求其反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)例3y=x3定義域為(－∞,+∞)，值域為(－∞,+∞)，一一對應(yīng)，在定義域上存在反函數(shù)y=f-1(x)為

y=f(x)的反函數(shù).

因此反函數(shù)

y=f-1(x)與函數(shù)

y=f(x)的圖像關(guān)于直線

y=x對稱

只是自變量與因變量交換了記號，由于對應(yīng)關(guān)系f-1未變，從幾何上看:y=f(x)

2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)已學(xué)函數(shù)中存在反函數(shù)關(guān)系的函數(shù)示例例4正弦函數(shù)

在整個定義域上有反函數(shù)嗎？

任給y存在多個x與之對應(yīng)，沒有反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)例5

是一一對應(yīng)，有反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)正弦函數(shù)在區(qū)間

的反函數(shù)：反正弦函數(shù)反正弦函數(shù)正弦函數(shù)值角度2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)求下列反正弦函數(shù)值注例62.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)余弦函數(shù)在區(qū)間

的反函數(shù)：反余弦函數(shù)反余弦函數(shù)余弦函數(shù)值角度2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)注：求下列反余弦函數(shù)值例72.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)正切函數(shù)的反函數(shù)：反正切函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)注：求下列反正切函數(shù)值例82.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)2.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)余切函數(shù)的反函數(shù)：反余切函數(shù)注：求下列反余切函數(shù)值例92.2反函數(shù)特征2.1反函數(shù)定義回顧2.3三角函數(shù)的反函數(shù)03函數(shù)的幾何特性3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性xyoabf(x)在(a,b)內(nèi)有上界M1.M1xyoabM2f(x)在(a,b)內(nèi)有下界M2.有界性定義1

3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性有界性定義2對任一x

D

都有

f(x)的圖像夾在兩平行直線y=

M之間.

例10Oxy3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性

O112xy在(0,1)無界；有下界無上界.O112xy1/2在(1,2)有界；

判斷

內(nèi)，是否有界.在

例11解：因為

，

所以它是一個有界函數(shù).3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性練習(xí)23.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性判斷函數(shù)

在

內(nèi)是否有上界和下界

解：在內(nèi)無上界，無下界

練習(xí)3在(0,)內(nèi)有上界，有下界3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性判斷函數(shù)

在(0,)內(nèi)是否有上界和下界?單調(diào)增加和單調(diào)減少的函數(shù)統(tǒng)稱為單調(diào)函數(shù).設(shè)函數(shù)f(x)在數(shù)集D上有定義，若對D中的任意兩數(shù)

恒有f(x1)<f(x2),則稱f(x)在區(qū)間D內(nèi)是(嚴格)單調(diào)增加的;x1，x2當(dāng)x1<

x2時，恒有f(x1)>

f(x2),則稱f(x)在區(qū)間D內(nèi)是(嚴格)單調(diào)減少

的;當(dāng)x1<

x2時，3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定義單調(diào)增加函數(shù)圖像是上升的幾何解釋嚴格單調(diào)函數(shù)有反函數(shù)

單調(diào)減少函數(shù)圖像是下降的3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性在(0，+∞)內(nèi)是單調(diào)增加的在(-∞，0)內(nèi)是單調(diào)減少的3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性例12

的單調(diào)性.設(shè)函數(shù)f(x)的定義域Df關(guān)于原點對稱

,(即若x∈Df,則必有

-x∈Df),若對任意的

x∈Df,都有f(-x)=-f(x)[或f(-x)=f(x)],則稱

f(x)是Df上的奇函數(shù),(偶函數(shù)).

偶函數(shù)的圖形關(guān)于y軸對稱，奇函數(shù)的圖形關(guān)于原點對稱.xy3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定義一定過原點嗎？解：有定義知是偶函數(shù).判斷函數(shù)f(x)=3x4-5x2+7的奇偶性例133.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性定義且

f(x

T)=f(x)恒成立，則稱f(x)為周期函數(shù)，T

稱為f(x)的周期.設(shè)f(x)的定義域為Df，如果存在T≠0,通常周期是指最小正周期.周期函數(shù)的圖像每隔一個周期重復(fù)出現(xiàn).對x

Df，都有(x

T)

Df，3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性例14寫出下列函數(shù)的周期.3.2單調(diào)性3.1有界性3.3奇偶性3.4周期性04小結(jié)1.區(qū)間、鄰域3.反函數(shù)知識點回顧因變量自變量定義域值域?qū)?yīng)關(guān)系2.函數(shù)的概念y=f(x)開區(qū)間半開半閉區(qū)間[a,b)={x|a≤x<b},(a,b]={x|a<x≤b}(a,b)={x|a<x<b}閉區(qū)間[a,b]={x|a≤x≤b}反三角函數(shù)鄰域4.函數(shù)的特性有界性單調(diào)性奇偶性周期性知識點回顧f(x

T)=f(x)

恒成立奇函數(shù)：f(-x)=-f(x)；偶函數(shù)：f

(-x)=f(x)當(dāng)x1<

x2時，單調(diào)增加：f(x1)≤f(x2)；單調(diào)減少：f(x1)≥f(x2)

第一節(jié)：映射與函數(shù)(2)第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS三、初等函數(shù)一、基本初等函數(shù)二、兩種特殊函數(shù)四、小結(jié)01基本初等函數(shù)(2)冪函數(shù):(α是常數(shù))(3)指數(shù)函數(shù)：(4)對數(shù)函數(shù)(5)三角函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)(6)反三角函數(shù)基本初等函數(shù)這些基本初等函數(shù)中哪些在定義域上是有界函數(shù)，哪些是無界函數(shù)？思考(1)常數(shù)函數(shù):(C是常數(shù))0c常數(shù)函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)(α是常數(shù))冪函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)無界函數(shù)指數(shù)函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)無界函數(shù)對數(shù)函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)無界函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)無界函數(shù)正割函數(shù)余割函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)無界函數(shù)反正弦函數(shù)正弦函數(shù)值角度冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)反余弦函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)反正切函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)反余切函數(shù)冪函數(shù)常數(shù)函數(shù)指數(shù)函數(shù)對數(shù)函數(shù)三角函數(shù)反三角函數(shù)有界函數(shù)常用公式拓展知識求其他三角函數(shù)值.2.已知拓展練習(xí)計算下列函數(shù)值練習(xí)102兩種特殊函數(shù)2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)分段函數(shù)的定義域是各段函數(shù)定義域的并集.有時一個函數(shù)在其定義域的不同子集上要用不同的表達式來表示對應(yīng)法則，稱這種函數(shù)為分段函數(shù)..

.

.

.

.

.

.

.

..0··13513定義例1例3符號函數(shù)例2絕對值函數(shù)Df=(-∞,+∞)Rf=[0,∞)Df=(-∞,+∞)Rf={-1,0,1}-12.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)例4取整函數(shù)f(x)=[x]向下取整，不超過x的最大整數(shù)如[3.2]=3[-4.5]=-5Rf={整數(shù)}Df=(-∞,∞)??????2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)例5D(f)=[0,∞)R(f)=[0,∞)2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)解故D(f):[-3,-1]例62.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)

設(shè)f(x)=10≤x≤1-21<x≤2求函數(shù)f(x+3)的定義域練習(xí)2解:..........-4-3-2-10123.求f(-π),f(1),=-sinπ

=0∵1∈[1,3)∴f(-π)

=sin(-π)

2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)

引例：發(fā)電量與風(fēng)力等級的函數(shù)關(guān)系？發(fā)電量y葉片轉(zhuǎn)速u風(fēng)力xy=f(u)u=g(x)y=f(g(x))2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)

設(shè)函數(shù)y=f(u)的定義域為

,函數(shù)u=g(x)在D上有定義，,則由下式確定的函數(shù)稱為由函數(shù)y=f(u)與函數(shù)u=g(x)構(gòu)成的復(fù)合函數(shù)，

D為定義域,x為自變量，u為中間變量.記作兩個函數(shù)的復(fù)合也可推廣到多個函數(shù)復(fù)合的情形.簡單的說:復(fù)合函數(shù)就是函數(shù)套函數(shù)或函數(shù)的函數(shù).定義:y=f(g(x))x

D且g(D)

=f(g(x))x

D2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)例7解:u=2x3+5,將y表示成x的函數(shù)已知將u=2x3+5,

代入可得復(fù)合函數(shù)的復(fù)合本質(zhì)上就是函數(shù)的代入.2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)練習(xí)3解:將y表示成x的函數(shù)已知將可得代入再將可得2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)注意:不是任何兩個函數(shù)都可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù)不可以復(fù)合成一個復(fù)合函數(shù);空集合∴y≠arcsin(2+x2)例如y=arcsinu,∵Df

=[-1,1],Rf

=[2,+∞)Df

∩Rf

=Ф2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)例8解:復(fù)合而成.y=ln(sinx)由哪些函數(shù)復(fù)合而成y=ln(sinx)是由y=lnu與u=sinx復(fù)合函數(shù)的分解要分解到每一層都是初等函數(shù).2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)1、由外向內(nèi)，逐層分解2、內(nèi)層看作一個整體，用中間變量代替3、直至分解到x的基本初等函數(shù)或其四則運算得到的函數(shù)例9解:復(fù)合而成.是由由哪些函數(shù)復(fù)合而成2.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)解寫出的復(fù)合過程是由復(fù)合而成.練習(xí)42.2復(fù)合函數(shù)2.1分段函數(shù)03初等函數(shù)1.基本初等函數(shù)2.初等函數(shù)由常數(shù)函數(shù)，基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算，并且能夠用一個式子表示出的函數(shù).初等函數(shù)例10判斷下列函數(shù)是否是初等函數(shù)不滿足有限次運算不是一個解析式子表達的因此都不是初等函數(shù)初等函數(shù)由基本初等函數(shù)

和

復(fù)合而成因此是初等函數(shù)解：絕對值函數(shù)也可以表示為：初等函數(shù)例11判斷下列函數(shù)是否是初等函數(shù)04小結(jié)(1)冪函數(shù):(α是常數(shù))(2)指數(shù)函數(shù)：(3)對數(shù)函數(shù)基本初等函數(shù)(4)三角函數(shù)(5)反三角函數(shù)2.初等函數(shù)3.分段函數(shù)4.復(fù)合函數(shù)知識點回顧基本初等函數(shù)經(jīng)過有限次四則運算或復(fù)合運算，并且能夠用一個式子表示出的函數(shù)=f(g(x))x

D·作業(yè)P17習(xí)題1一11、3、46、7、8課后練習(xí)第二節(jié)：數(shù)列的極限第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部0導(dǎo)言“趨勢分析”生活中趨勢分析舉例在游戲，生活中，研究事物的變化趨勢很常見。吃雞游戲中，隨著游戲進行，時間的無限延長，安全區(qū)域會呈現(xiàn)逐步縮小的趨勢生活中趨勢分析舉例割圓術(shù)“割之彌細，所失彌少，割之又割，以至于不可割，則與圓周合體而無所失矣”——劉徽古代趨勢分析思想目錄CONTENTS三、數(shù)列極限幾何意義四、數(shù)列極限的性質(zhì)一、數(shù)列極限定性描述二、數(shù)列極限定量描述五、小結(jié)01數(shù)列極限定性描述1.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧數(shù)列

:我們把這無窮多個數(shù)排成的序列稱為數(shù)列，其中

稱為數(shù)列的首項，稱為數(shù)列的第n項，或稱為數(shù)列的一般項.數(shù)列定義例如注:數(shù)列實質(zhì)是定義在正整數(shù)集

上自變量為

的函數(shù)，記為

數(shù)列由其函數(shù)值構(gòu)成，即觀察法求數(shù)列極限數(shù)列觀察當(dāng)

n無限增大時，xn的變化趨勢。發(fā)現(xiàn)：

這個數(shù)列當(dāng)

n無限增大時,對應(yīng)的項

xn會無限接近于

1。常數(shù)

1就是數(shù)列{xn}當(dāng)

n趨向于無窮大時的極限。1.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧

練習(xí)11.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧極限是01.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧極限是01.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧沒有極限1.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧數(shù)列極限的定義（定性描述）記作，或發(fā)散1.2定性描述1.1數(shù)列知識回顧?

思考：常數(shù)數(shù)列是否收斂02數(shù)列極限定量描述2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路如何定量表述？n

無限增大

n=100，n=10000……無限接近于0即無限小n

…………2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路先列舉這兩個變量的部分數(shù)值情況，并觀察其特征n

無限增大

…………2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路數(shù)列極限的定義（定量描述）2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路

注

定義中，

刻畫了和的接近程度，的“任意”性極其重要.只有這樣，

才能體現(xiàn)和“無限接近”.NN?

x?

2.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路例1練習(xí)22.2數(shù)列極限的定量描述2.1定量描述思路（1）錯

（2）錯

03數(shù)列極限的幾何意義3.1

n>N3.3小結(jié)3.2

n=101,102,103……，從數(shù)列的第101項開始從數(shù)列的第N+1項開始n=N+1,N+2,N+3……，3.1

n>N3.3小結(jié)3.2

11.010.990.010.01

3.1

n>N3.3小結(jié)3.2

從第N+1項開始都在鄰域里面意味著什么？a-2a+

從N+1項開始是無限項還是有限項？前面的N項是無限項還是有限項？幾乎所有項都在此鄰域里,最多有限項在鄰域外3.1

n>N3.3小結(jié)3.2

04數(shù)列極限的性質(zhì)收斂數(shù)列性質(zhì)

極限唯一性定理1.

若數(shù)列收斂,則其極限唯一.有界性定理2.

若數(shù)列收斂,則數(shù)列有界.收斂數(shù)列性質(zhì)

保號性定理3.

若,而a>0,則存在N，從N+1項開始，xn>0。反之亦然。子列收斂定理4.

若數(shù)列收斂,則其任意子列也收斂到相同的極限值.05小結(jié)2.

數(shù)列極限的

–N定義3.

數(shù)列極限的幾何意義1.數(shù)列極限的定量描述;寄語如果不復(fù)習(xí)，知識點記憶率越來越少，6個月后不到25%P23習(xí)題1-2

1第三節(jié)：函數(shù)的極限第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部0導(dǎo)言數(shù)列是一種特殊函數(shù)數(shù)列極限回顧一般函數(shù)yx

O1y1O1x(1,1)函數(shù)“極限”yx

O1y1O1x(1,1)觀察函數(shù)極限函數(shù)“極限”目錄CONTENTS

五、函數(shù)極限性質(zhì)

六、小結(jié)

01

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

練習(xí)11.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義f(x)無限接近常數(shù)Ax無限增大

…………1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

x>1001.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

x>1000.01-0.01

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義

1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義幾何意義

A

xy0f(x)A總結(jié)對任意一個以y=A為中心的綠色帶狀區(qū)域，都可以找到x軸上一個無限向右延伸的紅色區(qū)域，其對應(yīng)的函數(shù)圖像落在綠色帶狀區(qū)域.1.2定量描述1.1定性描述1.3幾何意義02

觀察函數(shù)極限y1O1x(1,1)

定量描述與幾何意義

0.01-0.01幾何含義

練習(xí)2

yx

O1

y0f(x)A-X

03

yx

O1y1O1x(1,1)觀察函數(shù)極限

0.01-0.01

定量描述與幾何意義

練習(xí)3

xy0f(x)AX–XA+

A–

片段小結(jié)

04

x1O-112

4.2單側(cè)極限

4.2單側(cè)極限觀察下列函數(shù)當(dāng)x→1時的極限.練習(xí)3

4.2單側(cè)極限

x1O-112

x1O-112

x1O-112

4.2單側(cè)極限在考慮某一點處極限時，只需考慮其去心鄰域內(nèi)函數(shù)取值情況.

|f(x)1|無限接近0

4.2單側(cè)極限定量描述？

|f(x)1|無限接近0|

f(x)1|<0.01

4.2單側(cè)極限

|f(x)1|<0.00001

3.2單側(cè)極限xy0f(x)AA+

A–

4.2單側(cè)極限

藍色定義域?qū)?yīng)的函數(shù)圖像（紅色部分）落在綠色帶狀區(qū)域.求下列函數(shù)當(dāng)x→0時的極限.練習(xí)4

4.2單側(cè)極限代入法求基本初等函數(shù)極限

練習(xí)5

4.2單側(cè)極限

左極限右極限

4.2單側(cè)極限左極限與右極限統(tǒng)稱為單側(cè)極限.左極限右極限4.2單側(cè)極限

觀察y=[x]當(dāng)x→0時的左、右極限.練習(xí)6??????

4.2單側(cè)極限

函數(shù)極限與單側(cè)極限的關(guān)系x1O-112

極限不存在極限存在

4.2單側(cè)極限當(dāng)x→0時當(dāng)x→1時使用單側(cè)極限求絕對值函數(shù)當(dāng)x→0時的極限.練習(xí)7

4.2單側(cè)極限

探討符號函數(shù)當(dāng)x→0時極限的存在性.練習(xí)8-1解：由于左右極限不相等，所以極限不存在

4.2單側(cè)極限

證明不存在.證：不存在.練習(xí)104.2單側(cè)極限

05函數(shù)極限性質(zhì)函數(shù)極限性質(zhì)

極限唯一性若limf(x)存在，則極限唯一.局部有界性局部保號性若且A>0,（或A<0）則存在

>0,

使得對一切滿足不等式0<|x-x0|<δ

的x,

[或f(x)<0].有f(x)>0,，使得當(dāng)時，有若，那么存在常數(shù)和(函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系)定理子列收斂性函數(shù)極限性質(zhì)

例如,函數(shù)極限與數(shù)列極限的關(guān)系函數(shù)極限存在的充要條件是它的任何子列的極限都存在,且相等.函數(shù)極限性質(zhì)

06小結(jié)函數(shù)極限的四種形式函數(shù)“極限”學(xué)習(xí)方法與思想類比思維，極限思想xy0f(x)AA+

A–

y0f(x)Axy0f(x)Axy0f(x)AX–XA+

A–

xy0f(x)AA+

A–

xy0f(x)A極限存在的充要條件是兩個單側(cè)極限存在且相等極限存在的充要條件

P31習(xí)題1-3

1、2、3作業(yè)第四節(jié)：極限的運算法則第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS一、

極限四則運算法則二、復(fù)合函數(shù)的極限三、小結(jié)01極限四則運算法則定理一、極限四則運算規(guī)則1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

上述極限包括“”，“”.1、核心:拆開的極限要各自存在2、有限項3、分母極限不為0例1求解:（代入法）1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

例2求解:上述結(jié)果說明

（代入法）1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

練

習(xí)求解:1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

多項式除多項式1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

例3求解:練習(xí)求

解:1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

例7求解:1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

練習(xí)5求

解：1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

=21.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

例4求解:練習(xí)3=0=1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

總結(jié)：求多項式相除的極限1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

=0=解:先變形再求極限.無限多個無窮小量之和不一定是無窮小量例6（綜合題）1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

例5求解:通分約去零因子例8求.分子、分母同乘解:1.1極限四則運算法則1.2函數(shù)變形求極限

02復(fù)合函數(shù)的極限

復(fù)合函數(shù)極限求解方法設(shè)y=f[

(x)]由y=f(u),u=

(x)復(fù)合而成.且在x0的某去心鄰域?(x0)內(nèi),

(x)u0定理二、復(fù)合函數(shù)極限意義：換元法

例9原式解:

復(fù)合函數(shù)極限求解方法

解：令

因為

，所以

1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則例10求解：1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則例11解:1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則例12小結(jié)

復(fù)合函數(shù)極限求解方法

代入法（x0在定義域內(nèi)）

例13求也可以直接用代入法

復(fù)合函數(shù)極限求解方法

也可以交換次序

例14求

復(fù)合函數(shù)極限求解方法解:令

也可以交換次序求下列函數(shù)的極限.1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則課堂練習(xí)答案求復(fù)合函數(shù)極限求解方法解:令

也可以用方法二1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則解:例15解:1.極限的四則運算法則2.復(fù)合函數(shù)的極限運算法則例16提高題題1計算解:

題2解:計算提高題1.極限運算法則(1)極限四則運算法則(2)復(fù)合函數(shù)極限運算法則2.求函數(shù)極限的方法(1)分式函數(shù)極限求法（

也可以轉(zhuǎn)為下列形式）時,用代入法(分母不為0)時,對(2)復(fù)合函數(shù)極限求法小結(jié)型：約去公因子；根式有理化時,分子分母同除最高次冪

習(xí)題1-4

1、2、3作業(yè)課后思考題課后思考題拓展練習(xí)課后思考題課后思考題拓展練習(xí)拓展練習(xí)拓展練習(xí)1求極限2求極限

(１)

（2）

3已知,求

之值.第五節(jié)：極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限(1)第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS三、小結(jié)一、夾逼準(zhǔn)則二、第一個重要極限01夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則（數(shù)列）如果數(shù)列

xn,yn及zn滿足下列條件:(1)yn≤xn≤zn

(n=1,2,3,…)那么數(shù)列

xn的極限存在，且1.夾逼準(zhǔn)則夾逼準(zhǔn)則（函數(shù)）1.夾逼準(zhǔn)則

1.夾逼準(zhǔn)則例1解由夾逼準(zhǔn)則得02第一個重要極限2.1第一重要極限

極限是否存在?

結(jié)果如何?2.1第一個重要極限用函數(shù)的夾逼準(zhǔn)則來證明:證明證:110xyAxDBC所以(1)先證然后令x→0+(2)再證（根據(jù)函數(shù)對稱性觀察和證明）2.1第一個重要極限例1求

解:=3·1=33一般不寫,其中,□

可以為函數(shù).

第一個重要極限練習(xí)題1求解:=1一般不寫2.1第一個重要極限例題求

（1）我們由第一個重要極限很容易得到下列重要極限的結(jié)果。（2）（3）（4）（5）2.1第一個重要極限下面通過例題和練習(xí)求解.2.1第一個重要極限練習(xí)1求

解:=1·1=1這個重要極限,可寫成u0uu其中,u可以為函數(shù).2.1第一個重要極限例2求

解:令則2.1第一個重要極限練習(xí)2求

解:令則2.1第一個重要極限三角函數(shù)變換回顧半角公式：倍角公式：常用公式2.1第一個重要極限三角函數(shù)變換回顧和差化積公式：2.1第一個重要極限例3求

解:注意到三角公式例4求解:2.1第一個重要極限小結(jié)1、函數(shù)極限存在的準(zhǔn)則2、第一重要極限（夾逼準(zhǔn)則）P41習(xí)題1-5

1作業(yè)

第一個重要極限備用題1求解:=1一般不寫

第一個重要極限備用題2求解:由于x

.所以x

0.因此,令u=x

,當(dāng)x

時,u0,代入=1第五節(jié)：極限存在準(zhǔn)則與兩個重要極限(2)第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS三、小結(jié)二、第二個重要極限一、單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則0冪指函數(shù)求極限性質(zhì)設(shè)冪指函數(shù)為,其中:冪指函數(shù)求極限冪指函數(shù)求極限01單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則單調(diào)有界收斂準(zhǔn)則準(zhǔn)則II單調(diào)增加有上界的數(shù)列必有極限；單調(diào)減少有下界的數(shù)列必有極限.02第二個重要極限第二個重要極限第一步證明數(shù)列{xn}極限存在

第二個重要極限第二個重要極限n…10102103104105……2.593742.704812.716922.718152.71827…數(shù)列{xn}是數(shù)值不超過3的單調(diào)增加數(shù)列,由極限存在準(zhǔn)則Ⅱ

可知，該數(shù)列存在極限，其極限就是無理數(shù)e=2.71828…第二個重要極限第二個重要極限證:

利用二項式公式,有大大正又比較可知根據(jù)單調(diào)收斂準(zhǔn)則

可知數(shù)列記此極限為e,

e

為無理數(shù),其值為即有極限.第二個重要極限第二步證明

應(yīng)用夾逼準(zhǔn)則得證

第二個重要極限

第二個重要極限第二個重要極限用來求解

例1求

解:第二個重要極限例2求

2、變形解:換元解：第二個重要極限例3例4求

解:

第二個重要極限課堂練習(xí)求下列極限第二個重要極限例5求

解:第二個重要極限思考求

第二個重要極限例6求證

第二個重要極限解：解：第二個重要極限例7第二個重要極限匯總第二個重要極限結(jié)論：

求極限都可以轉(zhuǎn)化為

的形式，變形前先確定

例8求

解:

第二個重要極限例9求

解：第二個重要極限練習(xí)求

第二個重要極限求

答案求

解:第二個重要極限答案求

解:第二個重要極限而，則解：

第二個重要極限例1003小結(jié)小結(jié)1、第二重要極限作業(yè)P41習(xí)題1-52備用題求

第二個重要極限解第六節(jié)：無窮小與無窮大第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS一、無窮小的概念四、無窮大的概念二、無窮小的性質(zhì)三、無窮小的比較01無窮小的概念函數(shù)極限為0的情形

y1O1x(1,1)無窮小量（定性描述）

記作

“極限為零的變量”：無窮小量無窮小的概念簡稱無窮小，判斷下列函數(shù)是否是無窮小量。練習(xí)1無窮小的概念

2、

1、

注

意因此，它不是

時的無窮小量。如sinx是x0時的無窮小量，但（1）無窮小是變量,不能與很小的數(shù)混淆;（2）零是可以作為無窮小的唯一的常數(shù).（3）說一個量是無窮小，必須指明其變化過程容易出錯的地方無窮小的概念判斷下列說法是否正確。練習(xí)21、0是無窮小中唯一的常數(shù)函數(shù).2、0是任何極限過程的無窮小量.1：√2：√無窮小的概念無窮小的概念定理1【意義】02無窮小的性質(zhì)無窮小的性質(zhì)性質(zhì)1則α(x)±β(x)

也是無窮小量.在某一極限過程中，如果α(x)，β(x)是無窮小量，性質(zhì)2在某一極限過程中，則α(x)

f(x)仍是無窮小量.f(x)是有界變量，若α(x)是無窮小量，性質(zhì)3在某一極限過程中，是無窮小量，如果α(x)

f(x)以A為極限，且A≠0,則仍為無窮小量.注：可參考極限四則運算規(guī)則無窮小的性質(zhì)例1

求解：因為|sinx|<1,對任意的x(-∞,∞)成立，且故由性質(zhì)2得（有界量乘以無窮小量還是無窮小量）O-11yy=sinxxx無窮小的性質(zhì)

有限個無窮小的乘積也是無窮小.推論2推論3推論1在同一極限過程中的有限個無窮小的代數(shù)和仍為無窮小.(無窮多個無窮小的代數(shù)和未必是無窮小).常數(shù)與無窮小的乘積是無窮小.解:但是無限多個無窮小之和不一定是無窮小例2無窮小的性質(zhì)03無窮小的比較無窮小的比較設(shè)

α(x),β(x)是自變量同一變化過程中的無窮小量,即limα(x)=0,limβ(x)=0,高階無窮小量同階無窮小量等價無窮小量所以，x2=o(x),

(x→0)證明例3

無窮小的比較證明例4

無窮小的比較觀察并比較下列兩個無窮小量的數(shù)量級及變化趨勢。

x2=o(x),

(x→0)無窮小的比較像素壓縮當(dāng)網(wǎng)絡(luò)運行不暢時，視頻清晰度會降低，即進行了像素壓縮其本質(zhì)是進行了近似計算高階無窮小被忽略近似計算二者數(shù)量級相同，都線性趨于0，沒有本質(zhì)差異觀察并比較下列兩個同階無窮小量的數(shù)量級及變化趨勢。無窮小的比較k階無窮小量則稱

(x)是關(guān)于

(x)的k階無窮小量;若在某極限過程中，

練習(xí)

解:由第六節(jié)可知

無窮小的比較設(shè)

α(x),β(x)是自變量同一變化過程中的無窮小,即limα(x)=0,limβ(x)=0,等價無窮小量特別當(dāng)x→0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx,等價無窮小的應(yīng)用練習(xí)3

解:

等價無窮小的應(yīng)用常用的等價無窮小量當(dāng)x→0時，若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小而不會改變原式的極限．代換，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx等價無窮小的應(yīng)用填空1.當(dāng)時，2.當(dāng)時，3.當(dāng)時，4.當(dāng)時，練習(xí)4等價無窮小的應(yīng)用x~sinxx可以替換為任意一個極限為0的式子定理等價代換法則證：等價無窮小的應(yīng)用例5求

；等價無窮小的應(yīng)用練習(xí)求解:因為

x→0時，所以,tan7x~7x,sin5x~5x,等價無窮小的應(yīng)用例6求解：

當(dāng)

時，

，所以

等價無窮小的應(yīng)用例7等價無窮小的應(yīng)用例8解:解:錯等價無窮小的應(yīng)用例9求

等價無窮小解:復(fù)合函數(shù)的極限法則例10求

等價無窮小例11

解:

=1

等價無窮小常用的等價無窮小量當(dāng)x→0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1等價無窮小等價無窮小的變式填空5.當(dāng)時，6.當(dāng)時，7.當(dāng)時，練習(xí)練習(xí)求答案求解:故當(dāng)x→∞時，答案練習(xí)解:=1

求04無窮大的概念觀察函數(shù)趨勢4.2無窮大與無窮小4.1無窮大的定義

4.1無窮大的定義觀察函數(shù)趨勢4.2無窮大與無窮小

4.1無窮大的定義4.2無窮大與無窮小判斷下列函數(shù)極限過程中是否是無窮大量。練習(xí)

解：這兩個極限過程都是無窮大量4.1無窮大的定義無窮大（定量描述）若用f(x)>M

代替|f(x)|>M,

則得到正無窮大量

對于任意給定的正數(shù)M總存在正數(shù)X>0,使得當(dāng)x滿足（無論它多么大）對應(yīng)的函數(shù)值f(x)都滿足不等式|f(x)|>M.時是無窮大量，記作

x>X(x<-X,|x|>X)時，

若用f(x)<-M

代替|f(x)|>M,

則得到負無窮大量

4.2無窮大與無窮小無窮大量（與無窮小的關(guān)系）4.1無窮大的定義4.2無窮大與無窮小在自變量的同一變化過程中，一個不為0的無窮小倒過來就是無窮大。

例12則

則4.1無窮大量定義4.2無窮大量與無窮小量觀察下列無窮小量與無窮大量的關(guān)系。判斷下列函數(shù)是否是無窮大量。練習(xí)

4.1無窮大量定義4.2無窮大量與無窮小量

所以解：

所以小結(jié)

1.無窮小與無窮大的定義2.無窮小與函數(shù)極限的關(guān)系3.無窮小與無窮大的關(guān)系(1)無窮?。ù螅┦亲兞?不能與很小（大）的數(shù)混淆，(2)無窮多個無窮小的代數(shù)和（乘積）未必是無窮??；(3)無界變量未必是無窮大.零是唯一的無窮小的數(shù)；4.幾點注意:小結(jié)0，1，A，當(dāng)x→0時，x~sinx~tanx~arcsinx~arctanx~ln(1+x)~ex-1常用的等價無窮小量若未定式的分子或分母為若干個因子的乘積，則可對其中的任意一個或幾個無窮小因子作等價無窮小而不會改變原式的極限．代換，作業(yè)習(xí)題1-62、3、4、5第七節(jié)：函數(shù)的連續(xù)與間斷第一章：函數(shù)與極限講解：數(shù)學(xué)教研室單位：公共課部目錄CONTENTS三、連續(xù)函數(shù)的運算一、函數(shù)連續(xù)的定義二、函數(shù)的間斷點常見的“連續(xù)性”導(dǎo)言以植物生長為例，連綿不斷曲線導(dǎo)言反應(yīng)在函數(shù)上，就是函數(shù)的連續(xù)性01函數(shù)連續(xù)的定義1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)

設(shè)函數(shù)f(x)在x0的某鄰域U(x0)內(nèi)有定義,則稱函數(shù)f(x)在點x0連續(xù),且有x0稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)點.例1判斷下列兩個函數(shù)在x=1處是否連續(xù).x1O-112

x1O-112

實心點，連續(xù)函數(shù)斷開，不連續(xù)

1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)練習(xí)1

證明函數(shù)y=f(x)=|x|在x=0處連續(xù).證:y=f(x)=|x|在x=0處的鄰域內(nèi)有定義，且f(0)=0

所以,

y=f(x)在x=0處連續(xù).=0=f(0)

函數(shù)圖像在x=0處連續(xù)不斷.1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)函數(shù)的單側(cè)連續(xù)性設(shè)函數(shù)f(x)在點x0及其某個左(右)鄰域內(nèi)有定義.且有則稱函數(shù)f(x)在點x0是左（右）連續(xù)的函數(shù)f(x)在點x0的左、右連續(xù)性，統(tǒng)稱為函數(shù)的單側(cè)連續(xù)性.f(x)在點x0連續(xù)的充要條件是：f(x)在點x0左連續(xù)且右連續(xù).定理

1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)例2問a為何值時,f(x)在x=0連續(xù).

1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)例2解:=3f(x)在x=0右連續(xù).為使f(x)在x=0連續(xù),必須f(0–)=f(0)=f(0+)即,a=3.=af(0)=3問a為何值時,f(x)在x=0連續(xù).1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)練習(xí)2怎樣選取a的值，使在x=0處連續(xù)？解：且f(0)=a即a=1所以，當(dāng)a=1時，∴當(dāng)f(x)在x=0處連續(xù)時.f(0–)=f

(0+)=f(0),f(x)在x=0處連續(xù).1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)變量增量注：(1)Δu是一個記號，是一個不可分割的整體.(2)

Δu可正,可負,可為零.變量u從一個初值u1變到終值u2，

即增量,....則u2-u1稱為變量u的記做Δu,Δu=u2-u1,u2=u1+Δu,1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)從增量判斷函數(shù)連續(xù)有自變量的增量Δx

函數(shù)f(x)的增量0對函數(shù)f(x)來說，f(x)連續(xù)的意思是?x很小時，?y也很小.即：當(dāng)Δx→0時，

?y→0。?y=f(x0+Δx

)-f(x0)1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)從增量判斷函數(shù)連續(xù)左連續(xù)右連續(xù)連續(xù)有下列等價命題:函數(shù)f(x)在點x01.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)證明當(dāng)自變量的增量為

時，函數(shù)

對應(yīng)的增量為

，例3用增量形式證明在

處連續(xù).由于

，因此

在

處連續(xù).1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)函數(shù)在區(qū)間上連續(xù)定義如果f(x)在(a,b)內(nèi)每一點都連續(xù).則稱f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù).這時，區(qū)間(a,b)稱為函數(shù)f(x)的連續(xù)區(qū)間.如果f(x)在(a,b)內(nèi)連續(xù)，且在a點右連續(xù)，在b點左連續(xù)，則稱f(x)在[a,b]上連續(xù).1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)例4問a為何值時,f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù).f(x)在(-,0),（0,+)上都是連續(xù)不斷的曲線，只需在0點處連續(xù)即可。1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)例4問a為何值時,f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù).解：f(x)在(-,0),（0,+)上顯然連續(xù)=0，=0，所以a=0時f(x)在(－∞,+∞)上連續(xù).此時f(x)函數(shù)圖像在(－∞,+∞)上連續(xù)不斷.1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)練習(xí)3

y1O11x

解：由于f(x)在(-,0),(0,+)上顯然連續(xù)，所以，當(dāng)a=1時，f(x)在(-,+)連續(xù)；此時函數(shù)圖像在(-,+)連續(xù)不斷1.1函數(shù)的點連續(xù)1.2函數(shù)的區(qū)間連續(xù)02函數(shù)的間斷點函數(shù)的間斷點

而f(x)在x0處不連續(xù)，則稱

x0是函數(shù)f(x)的一個間斷點.設(shè)y=f(x)在點x0的任何去心鄰域內(nèi)存在有定義的點無定義;(1)f(x)在

x0不存在;(2)

(3)

≠f(x0)例5判斷下列函數(shù)在x=0處是否間斷xO

解：函數(shù)的間斷點例6判斷下列函數(shù)在x=0處是否間斷xO

1解：函數(shù)的間斷點左右極限存在且相等xO

xO

1只要改變或者補充間斷點處函數(shù)的定義,

則可使其變?yōu)檫B續(xù)點.可去間斷點函數(shù)的間斷點例6判斷下列函數(shù)在x=0處是否間斷跳躍間斷點左右極限存在但不相等解：函數(shù)的間斷點第一類間斷點可去間斷點跳躍間斷點（左右極限都存在）第二類間斷點（左右極限至少有一個不存在）除了第一類間斷點以外其他間斷點：左右極限存在且相等左右極限存在但不相等函數(shù)的間斷點無窮間斷點xyO

振蕩間斷點π

xy

左右極限至少有一個為無窮大呈振蕩無極限狀態(tài)第二類間斷點：左右極限至少有一個不存在函數(shù)的間斷點練習(xí)4下列哪些函數(shù)的間斷點是什么類型間斷點？可去間斷點無窮間斷點跳躍間斷點y1O-11x

1-1函數(shù)的間斷點練習(xí)5判斷函數(shù)的間斷點及其類型。

解：x=2是無窮間斷點x=1是可去間斷點函數(shù)的間斷點02連續(xù)函數(shù)的運算連續(xù)函數(shù)的運算定理(連續(xù)函數(shù)的和、積及商的連續(xù)性)若f(x),g(x)在點x0處連續(xù),則(1)

af(x)+bg(x)(2)

f(x)·g(x)(3)當(dāng)g(x0)0時,例如,均在x0處連續(xù),其中a,b為常數(shù).

——f(x)g(x)連續(xù)函數(shù)的運算定理(反函數(shù)的連續(xù)性)若函數(shù)y=f(x)是在區(qū)間(a,b)內(nèi)單調(diào)的連續(xù)函數(shù),則其