2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——數(shù)學(xué)微分方程模型考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、選擇題（每題4分，共20分。請(qǐng)將正確選項(xiàng)的字母填在題后的括號(hào)內(nèi)）1.下列函數(shù)中，不是微分方程$y''-3y'+2y=0$的解的是（）。(A)$e^x$(B)$e^{2x}$(C)$3e^x+2e^{2x}$(D)$xe^x$2.微分方程$y'+\frac{1}{x}y=x^2$是（）。(A)一階線性齊次微分方程(B)一階線性非齊次微分方程(C)可分離變量方程(D)貝努利方程3.若函數(shù)$y_1(x)$和$y_2(x)$是二階線性齊次微分方程$y''+p(x)y'+q(x)y=0$的兩個(gè)線性無關(guān)的解，則該方程的通解為（）。(A)$y=C_1y_1(x)$(B)$y=C_2y_2(x)$(C)$y=C_1y_1(x)+C_2y_2(x)$(D)$y=C_1y_1(x)-C_2y_2(x)$4.拉普拉斯變換法主要用于求解（）。(A)一階線性微分方程(B)二階常系數(shù)線性微分方程的初值問題(C)可分離變量方程(D)所有類型的微分方程5.微分方程$y''-y=0$的特征方程為（）。(A)$r^2-r=0$(B)$r^2+r=0$(C)$r^2-1=0$(D)$r^2+1=0$二、填空題（每題4分，共20分。請(qǐng)將答案填在題后的橫線上）6.微分方程$y\lny\,dx-x\,dy=0$通過變量代換$u=\lny$可化為可分離變量的方程：_____________________。7.微分方程$y'=\frac{y}{x}+x^2$的一個(gè)特解形式（用待定系數(shù)法）為$y=x(C+Ax^2)$，其中$C$是任意常數(shù)，$A$是待定系數(shù)，則$A=$___________________。8.若$y_1=e^x$是微分方程$(D^2-2D+1)y=0$的解，則該微分方程的另一個(gè)線性無關(guān)解為$y_2=$___________________（其中$D$表示微分算子$\fracq6ai6gc{dx}$）。9.拉普拉斯變換$\mathcal{L}\{e^{-at}\}=\frac{1}{s+a}$（$s>a$），則$\mathcal{L}\{te^{-at}\}$的值為___________________。10.微分方程$y''-4y'+4y=0$的通解為___________________。三、計(jì)算題（每題10分，共30分）11.求微分方程$(x-y)dx+(x+2y)dy=0$的通解。12.求微分方程$y'-\frac{2}{x}y=x^3e^x$的通解。13.求微分方程$y''-3y'+2y=4e^x$的通解。四、應(yīng)用題（每題15分，共30分）14.一曲線通過點(diǎn)$(1,0)$，其切線在橫坐標(biāo)為$x$的點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的$\frac{1}{2}$倍加上$x^2$，求此曲線方程。15.設(shè)某放射性物質(zhì)的衰變速度與其現(xiàn)存質(zhì)量成正比。若初始質(zhì)量為$M_0$，經(jīng)過時(shí)間$T$后，質(zhì)量衰減為初始質(zhì)量的一半，建立描述該物質(zhì)質(zhì)量$M(t)$隨時(shí)間$t$變化的微分方程，并求其通解。試卷答案一、選擇題1.(D)2.(B)3.(C)4.(B)5.(C)二、填空題6.$u\,du-\frac{1}{x}\,dx=0$或$u\,du=\frac{1}{x}\,dx$7.$-1$8.$xe^x$9.$\frac{1}{(s+a)^2}$10.$(C_1+C_2x)e^{2x}$三、計(jì)算題11.解：方程可化為$\frac{dy}{dx}=-1-\frac{x-y}{x+2y}=-1-\frac{x(1-\frac{y}{x})}{x(1+\frac{2y}{x})}=-1-\frac{1-\frac{y}{x}}{1+\frac{2y}{x}}$，令$u=\frac{y}{x}$，則$y=ux$，$y'=u+xu'$。代入得$u+xu'=-1-\frac{1-u}{1+2u}$，整理得$xu'=-1-\frac{1-u}{1+2u}-u=-1-\frac{1-u+2u-2u^2}{1+2u}=-1-\frac{1+u-2u^2}{1+2u}=-\frac{1+2u+1+u-2u^2}{1+2u}=-\frac{2+3u-2u^2}{1+2u}$。分離變量得$\frac{1+2u}{2+3u-2u^2}\,du=-\frac{1}{x}\,dx$。兩邊積分得$\int\frac{1+2u}{2+3u-2u^2}\,du=-\int\frac{1}{x}\,dx$。對(duì)左式積分，令$v=2+3u-2u^2$，則$dv=(3-4u)\,du=3\,du-4u\,du$，即$du=\frac{dv+4u\,du}{3}$。代入得$\int\frac{1+2u}{v}\cdot\frac{dv+4u\,du}{3}=\int\frac{1}{3}\left(\frac{dv}{v}+\frac{2u\,dv}{v}+\frac{4u^2\,du}{3v}\right)$。注意到$v'=3-4u$，故$\frac{dv}{v}=\frac{v'}{v}\,du=\frac{3-4u}{v}\,du$。代入得$\int\frac{1}{3}\left(\frac{3-4u}{v}+2u\frac{3-4u}{v}+\frac{4u^2}{3v}\right)\,du=\int\frac{1}{3}\left(\frac{3}{v}-\frac{4u}{v}+\frac{6u}{v}-\frac{8u^2}{v}+\frac{4u^2}{3v}\right)\,du=\int\frac{1}{3}\left(\frac{3}{v}+\frac{2u}{v}-\frac{4u^2}{3v}\right)\,du=\int\frac{1}{v}\,du+\frac{2}{3}\int\frac{u}{v}\,du-\frac{4}{9}\int\frac{u^2}{v}\,du$。由于$\int\frac{u}{v}\,du$和$\int\frac{u^2}{v}\,du$的積分形式復(fù)雜，考慮換元$u=\frac{1}{2}\pm\frac{\sqrt{3}}{2}\tan\theta$，或直接求解積分$\int\frac{1+2u}{2+3u-2u^2}\,du=-\frac{1}{2}\ln|2+3u-2u^2|+C_1$。故原方程通解為$-\frac{1}{2}\ln|2+3\frac{y}{x}-2\left(\frac{y}{x}\right)^2|=-\ln|x|+C_1$，即$\ln|2x+3y-2xy^2|=C_2x^2$或$2x+3y-2xy^2=Cx^2$。12.解：此為標(biāo)準(zhǔn)的一階線性非齊次微分方程$y'+P(x)y=Q(x)$，其中$P(x)=-\frac{2}{x}$，$Q(x)=x^3e^x$。先求對(duì)應(yīng)齊次方程$y'-\frac{2}{x}y=0$的通解，即$\frac{dy}{dx}=\frac{2}{x}y$，分離變量得$\frac{1}{y}\,dy=\frac{2}{x}\,dx$，積分得$\ln|y|=2\ln|x|+C_1$，即$y=Cx^2$。再用常數(shù)變易法，設(shè)原方程的解為$y=v(x)x^2$，代入原方程得$(v'x^2+2vx)-\frac{2}{x}(vx^2)=x^3e^x$，即$v'x^2=x^3e^x$，故$v'=xe^x$。積分得$v=\intxe^x\,dx=(x-1)e^x+C_2$。因此，原方程通解為$y=[(x-1)e^x+C_2]x^2=(x^3-x^2)e^x+C_2x^2$。13.解：對(duì)應(yīng)齊次方程$y''-3y'+2y=0$的特征方程為$r^2-3r+2=0$，解得$r_1=1$,$r_2=2$。故齊次方程通解為$y_h=C_1e^x+C_2e^{2x}$。非齊次方程右邊$4e^x$的形式與齊次方程的一個(gè)解$e^x$相同，故設(shè)特解為$y_p=Axe^x$。代入非齊次方程得$(Axe^x)''-3(Axe^x)'+2(Axe^x)=4e^x$，即$(Ae^x+Axe^x)-3(Ae^x+Axe^x)+2Axe^x=4e^x$，即$Ae^x-3Ae^x-3Axe^x+2Axe^x=4e^x$，即$-2Ae^x-Axe^x=4e^x$，即$-A(x+2)e^x=4e^x$。比較系數(shù)得$-A=4$，故$A=-4$。所以特解為$y_p=-4xe^x$。原方程通解為$y=y_h+y_p=C_1e^x+C_2e^{2x}-4xe^x$。四、應(yīng)用題14.解：設(shè)曲線方程為$y=f(x)$。根據(jù)題意，曲線在點(diǎn)$(x,y)$處的切線斜率為$y'$，切線方程為$Y-y=y'(X-x)$。該切線在橫坐標(biāo)為$x$的點(diǎn)的縱坐標(biāo)為$y$，即當(dāng)$X=x$時(shí)，$Y=y$。又根據(jù)題意，該點(diǎn)的縱坐標(biāo)等于該點(diǎn)縱坐標(biāo)的$\frac{1}{2}$倍加上$x^2$，即$y=\frac{1}{2}y+x^2$。整理得$\frac{1}{2}y=x^2$，即$y=2x^2$。又曲線通過點(diǎn)$(1,0)$，代入$y=2x^2$得$0=2(1)^2=2$，矛盾。檢查題意理解，應(yīng)為切線在點(diǎn)$(x,y)$處，且過點(diǎn)$(x,\frac{1}{2}y+x^2)$。切線方程為$Y-y=y'(X-x)$。令$X=x$，則$Y=y+y'(x-x)=y$。切線也過點(diǎn)$(x,\frac{1}{2}y+x^2)$，代入得$\frac{1}{2}y+x^2-y=y'$，即$y'=-\frac{1}{2}y+x^2$。這是一階線性非齊次微分方程。對(duì)應(yīng)齊次方程$y'+\frac{1}{2}y=0$的通解為$y_h=C_1e^{-\frac{1}{2}x}$。設(shè)非齊次方程特解為$y_p=Ax^2+Bx+C$。代入非齊次方程得$2A+\frac{1}{2}(Ax^2+Bx+C)=x^2$，即$\left(\frac{1}{2}A\right)x^2+\frac{1}{2}Bx+(2A+\frac{1}{2}C)=x^2$。比較系數(shù)得$\frac{1}{2}A=1\RightarrowA=2$，$\frac{1}{2}B=0\RightarrowB=0$，$2A+\frac{1}{2}C=0\Rightarrow4+\frac{1}{2}C=0\RightarrowC=-8$。故特解為$y_p=2x^2-8$。原方程通解為$y=y_h+y_p=C_1e^{-\frac{1}{2}x}+2x^2-8$。曲線通過點(diǎn)$(1,0)$，代入得$0=C_1e^{-\frac{1}{2}(1)}+2(1)^2-8=C_1e^{-\frac{1}{2}}-6$。解得$C_1=6e^{\frac{1}{2}}=6\sqrt{e}$。因此，曲線方程為$y=6\sqrt{e}e^{-\frac{1}{2}x}+2x^2-8$。15.解：設(shè)放射性物質(zhì)的質(zhì)量為$M(t)$，根據(jù)放射性衰變速度與其現(xiàn)存質(zhì)量成正比，建立微分方程$\f