專題19二次函數(shù)與圓綜合

第一部分：基礎知識儲備

圓綜合是幾何綜合的最高提現(xiàn)，本身圓這個章節(jié)性質定理推論極其多，綜合性也比較強，加之與全等三角形、相似

三角形、四邊形的結合，使之成為幾何的王者。近些年對于圓綜合考察難度有所下降。但圓與二次函數(shù)的綜合則是

強強聯(lián)手，需要扎實掌握這兩章節(jié)的內容之外,還要學習一些題型和方法。常用到的數(shù)學思想方法有分類思想、數(shù)

學結合思想、化歸思想。常考的題型主要有五大類：

一、與圓有關的位置關系

主要是特殊位置關系，直線與圓相切，抓住半徑等于圓心和切點的距離即可，經(jīng)常也會用到垂徑定理和勾股定理，

復雜一點的計算會用到相似三角形和三角函數(shù)。相切的時候經(jīng)常會產生最值問題，所以求最值的時候要注意一下這

個位置關系。

二、等腰三角形和直角三角形存在性問題

這兩個問題我們在前面系統(tǒng)的講過，解決等腰三角形的存在性是兩囿一中垂，要學會畫圓；其次是直角，直徑所對

圓周角是直角，要學會畫外接圓。

三、阿氏圓

阿氏圓是最值問題非常常見的類型，難度較大，前面系統(tǒng)講過，本質是利用共邊模型構造母子型相似。

四、隱形圓之四點共圓

隱形圓屬于比較難的內容，頻率很高的主要有兩種，一種是四點共圓，一種是定弦定角隱形圓。

條件:如圖△DBC中,NA二ND。結論:A,B,C,D四點在同一個圓上.

【證明】經(jīng)過A,B,C三點作。。,假設點D不在。。上則點D在內或。0外.

⑴當點D在。0內時，延長BD交00于E,連結EC,則有/A=NE,又,??[￡?□￡□□%<[D。這與/A=ND相矛盾。

???點D不在。。內。

⑵當點D在。0外時,不妨設BD交00于E,連結CE,則NA二NBEC,又???NBEOND

???NA>ND。這與NA=ND相矛盾?.點D不在圓外.所以綜合(1)(2),點D在。。上.故點A,B,C,D四點在同一圓上。

AA

D

E

除此之外，四點共圓的還有下面這六種情況，建議重點掌握前面三種即可。

1、如下圖，如果滿足2.4。8=M。8,則A、B、D三點共圓,圓心是C.半徑是CA。延KAC,使得BC=

PC,連接PB,則NADB:NAPB,則A、B、D、P四點共圓。

2、若平面上A、B、C、D四個點滿足NABD=NACD=90。,則A、B、C、D在以AD中點E為圓心、EA長為半徑

的圓上【斜邊中線等于斜邊一半可得EA=EB=EC=ED）.如右圖，若平面上A、B、C、D四個點滿足/ABC=NADC=

90。,兩個角在線段異側,A、B、C、D四點共圓。90。是出現(xiàn)頻率極高的一種情況.大家要注意。

3、若平面上A、B、C、D四個點滿足NBAC+/BDC=180?；蛘逳ACD+NDBA=180。;或者四邊形的一個外角等于

它的內對角,則A、B、C、D四點共圓.

4、兩條線段被一點分成（內分或外分）藥段長的乘積相等，則這兩條線段的四個端點共圓.如下左圖。

四邊形ABCD的對角線AC、BD交于H若AH?CH=BHDH,則A、B、C、D四點共圓.

可以發(fā)現(xiàn)仆ADH-ABCH,對應角相等可得/HDA;NHCB,變成上面第I種情況。這就是相交弦定理基本內容,

條件結論互換而已。

5、四邊形ABCD的對邊BA、CD的延長線交于P,若PAPB=PDPC則A、B、C、D四點共圓?？梢园l(fā)現(xiàn)^PAD-

△PCB,對應角相等可得NPDA二NPBC,變成上面第3種情況。這就是割線定理基本內容,條件結論互換而已。

6、如果四邊形ABCD是凸四邊形,ABCD+AD?BC=ACBD,則A、B、C、D四點共圓。

由JW空不等式由ABCD+ADBC2ACBD,當取等時,B、E、D共線啟BH+ED=BD.此時NABH=NACD,由I可知

A、B、C、D四點共圓。本質是構造旋轉相似。

五、隱形圓之定弦定角

1、若AB是定線段,P是動點,NAPB=90。,則P在以AB為直徑的圓（?。┥?，如下左圖。

2、若AB是定線段，P點是動點，NAPB=a是一個定值，則P點的軌跡是一個圓（?。?如中圖。

如何確定圓心和半徑呢？可以利用外接圓，先做AB中垂線，再在中垂線上找點0,使得NA0B=2a,O即為圓心。

過。作AB垂線交于D,則匚<PB=O=1H/1OB=JDOB所以？=）?=垣=3^（此時a為銳角）。當a為鈍角時，如右

2'MD-sina_2sina

圖，方法同上，可以得到180-aJjOAiQOB，=OB=/'（不用管這個三角函數(shù)怎么化簡的,因為屬

2'sink180-a）2sina

于高一才講，知道結論是一樣的就可以。而且題目中給的角度一般都是銳角，而且是特殊值。不是特殊值，一般會

告訴你其三角函數(shù)值）

第二部分：典型例題分析

例1如圖，在平面直角坐標系xOy中，經(jīng)過C（1,1）的拋物線產式2+方/4如頂點為M,與x軸正半軸交于A,

B兩點

⑴如圖1,連接OC,將線段OC繞點O逆時針旋轉使得C落在y軸的正半軸上，求線段OC過的面積；

⑵如圖2,延長線段OC至N,使得（ON=匝OC若NONA=NOBN且tan□相小?，求拋物線的解析式；

⑶如圖3,已知以直線產;為對稱軸的拋物線尸/+bx+c交y軸丁。5）,交直線l:y=kx+m（k>0）丁C,D兩點，若在

x軸上有且僅有一點P,使.□bD=9。，求k的值.

(2)點P是第一象限拋物線上的點，連接OP交直線AB于點Q.設點P的橫坐標為m,PQ與0Q的比值為y,求y

與m的關系式,并求出PQ與OQ的比值的最大值；

(3)點D是拋物線對稱軸上的一動點,連接OD、CD,設口00心卜接圓的圓心為M,當sinDOQ逸值最大時，求

點M的坐標.

【解答】⑴在片-%+3中，令廣。得I,令x=0得x=0y=3,,???點A(4,0)、B(0,3)把A(4,0)、B(0,3)代入廠一標+加也,

±x4，+4b+c=。解得：｛/>=；.??拋物線解析式為尸、

得：

c=3

⑵如圖I,過點P作y軸的平行線交AB于點E,貝U口尸EQnOAQ,□黑=*，□鑿=乂。4=3匚尸)反門尸

w-g〃產+4〃計3)、E("-:w+3),

貝!JPE=(-;m2+;m+3)-(-:m+?>)=-:m2+；m,

□尸;m2+:〃?)=-:〃/+:m=-:(〃L2)2+:,

ZoLoZ

,??0<m<3,???當m=2時,y最大值=：.PQ與0Q的比值的最大值為:;

⑶如圖，由拋物線產一;.d+5+3易求C(2。).對稱軸為直線x二L

???AODC的外心為點M,?,.點M在CO的垂直平分線上，

設CO的垂直平分線與CO交于點N,連接OM、CM、DM,

貝！JDODC=：匚CMO=UOMN、MC=MO=MD

□sin□f?DC=sinHOMN=又MO=MD,???當MD取最小值時,sin/ODC最大.此時°M與直線x=l相切，.

MOMO'

MD=2,MN=/O"-OG=4,,,點

根據(jù)對稱性,另一點(t，F(xiàn))也符合題意；

綜上所述，點M的坐標為（_］，叮）或島一⑥

例3如圖，拋物線產+力什,與x軸交于A、B（A左B右）與y軸交于C,直線y=-x+3經(jīng)過點B、C.⑴求拋物線

的解析式；（2）點P為第二象限拋物線上一點，設點P橫坐標為m,點P到直線BC的距離為d,求d與m的函數(shù)解

析式:⑶在⑵的條件下若/PCB+NPOB=180。*d的值.

【解答】⑴：直線y=?x+5經(jīng)過點B、C,???B（5,0）,C（0,5）把B、C坐標代入產」f+6+c得到：（H解得

y2”以《U,

2+56+C-=0

{b=；???二次函數(shù)的解析式為

\2+2X+5;

c=5'

⑵如圖I中，作PE_LBC于E,作PF〃AB交BC于F.Dp（w>_lw2+2w+5）

???PF〃AB,???點F的縱坐標為一；病+1+5,則有一；〃/+1+5=_+5,

□x=2加2—；加,□PF=2m-m=；〃/一；加,3OB=OC,□80c=9（）1

□□"尸=口。8。=45,□尸后口藥口口尸足厚等腰直角三角形，

□□CPSB=90，口777=；8。=中,口尸（〃1,一；〃/+；加+5,〃6；）,

匚（止費+（_"+）+5_；）2=會整理得：病吐5%〃2-廣2人0,解得止。或5或/或2,4在第二象限,

Q22^2

□機=T,□”=：〃？一小片2?

例4已知，在平面直角坐標系xOy中，拋物線產ad+；x+2交x軸于A,B.交y軸于C,連接AC、f^c,tan1ABC=\.

⑴求拋物線的函數(shù)表達式；

(2)將拋物線向左平移m個單位，使拋物線與□48c的邊有且只有一個交點，求m的值;

(3)點M是位于直線BC上方拋物線上一點，連接MC,MB

①若滿足swc8=K(k為常數(shù))的點M有且只有一個,求點M的坐標；

②在①的條件下，以M為圓心的圓與y軸相切，過。M上一點E，作直線BC的垂線,垂足為G,與x軸于點F,

當"的值最小時，求E點坐標.

【解答】⑴由尸Q.J+：X+2,令x=0,得產2,口。02),。。=2,由tanDJZ?C=^E=^,匚04=4,即B(4,0),將B(4,0)代入產々

/\.JD/

/+；x+2彳導：0-16a+；K4+2,解得：“一：,?二拋物線的函數(shù)表達式是：尸-12十：戶2;

⑵由題意，當且僅當拋物線對稱軸右側與x軸交點與A重合時，此時拋物線與△ABC的邊恰有一個交點，由產_

M+2令y=o廁勺=-。2=4,□力(廣0).對稱軸V，當拋物線平移后，得其與X軸交點為(4,o),(_?o),對

稱軸為X=-3，，此時新拋物線向左平移了._3-；口="單位長度，故〃尸:；

(3)(1)平移BC(向上平移)與拋物線切于M,(圖中位置)，則此時$的反.“恰有一個M,否則：當直線人交拋物線％,

此時，有S必8c=5一出心故此時有2個M,不成立，由C(O,2),B(40)知:BC為產、+2QR8C，設1方程：尸-:

/4由｛,聯(lián)立：《y+s/Gybo,且此方程只有一個限，

產->2+；/2

???△=9+3(2-b尸口得b=5,

將b=5代，入_%2+3.什(2-6)=0,

解得x=2,則%尸2,.%=4,；?點M的坐標為(2.4);

②作DE切OM于點E,作EG_LBC交DC于G,交x軸于F,則點最小，連接MB,則加小在灑而不=2延，

[BE」MA-MFH,

作MQJ_x軸交BE于K,作EP_LMQ交MQ于P,

??ZMEK=ZBQK,ZMKE=ZBKQ,ME=BQ=2,

/.△MEK^ABQK,

AEK=QK,BK=MK,

???設EK=QK=x,則BK=MK=4-x,

匚西+西/吐即/+22=(4-工)2,解得x=2，

□EK=QK=：,BK=：,

???EP〃x軸,.?.△EPKS/XBQK,

￡P._EK_1

BQ~HK~5,

C；,MP=』ME'EP^5,

CP0=f,n￡(^f).

第三部分：針對提高訓練

練I如圖，拋物線產權2+2”_34弓和當X軸交于A、B兩點，與y軸交于點C,且(OA=OC,直線y=-x與該拋物

線交于E,F兩點.

(I)求拋物線的解析式.

(2)P是直線EF下方拋物線上的一個幻點，作PHE尸于點H,求PH的最大值.

(3)以點C為圓心，I為半徑作圓，0C上是否存在點D,使得匚8CQ是以CD為直角邊的直角三角形?若存在,直

接寫出D點坐標；若不存在，請說明理由.

練2(福建福州九年級期中)如圖，拋物線尸+以+c與直線AB交于A(-4,-4),B(0,4)兩點，直線AC:產一「6交丫

軸與點C,點E是直線AB上的動點，過點.口軸交AC于點F,交拋物線于點G.

⑴直接寫出拋物線尸什的解析式為；

⑵在，軸上存在一點H,連接EH,HF,當點E運動到什么位置時，以A,E,F,H為頂點的四邊形是矩形?求出

此時點E,H的坐標；

⑶在⑵的前提下，以點E為圓心，EH長為半徑作圓，點M為圓E上一動點,求最小值.

練3(浙江南湖二模)定義：平面直角坐標系xOy中，過二次函數(shù)圖象與坐標軸交點的圓，稱為該二次函數(shù)的坐標

圓.

(1)已知點P(2,2),以P為圓心，盤為半徑作圓.請判斷。P是不是二次函數(shù)12_敘+3的坐標圓，并說明理由；

(2)已知二次函數(shù)嚴，以+4圖象的頂點為A，坐標圓的圓心為P,婦圖1,求匚QO力周長的最小值；

(3)已知二次函數(shù)產一-4.什4(0?/<1)圖象交x軸于點A,B,交y軸于點C,與坐標圓的第四個交點為D,連結PC,

練4(2023江蘇蘇州)如圖，二次函數(shù)12_6什8的圖象與x軸分別交于點A,B(點A在點B的左側),直線I是對

稱軸.點P在函數(shù)圖象上，其橫坐標大于4,連接PA,PB,過點P作尸””垂足為M,以點M為圓心，作半徑為

1的圓，PT與OM相切,切點為T.

⑴求點A,B的坐標；

(2)若以。M的切線長PT為邊長的正方形的面積與的面積相等，且。M不經(jīng)過點(3,2),求PM長的取值范

圍.

專題19：二次函數(shù)與圓綜合

［絳I］解:⑴令x=0,則y=-3a,可知點C(0,-3a)「「OA=OC..??點A(-3a,0),<$-(”+2?x-3a=0,即a(x-l)(x+3)=0,解得:

5=一3網(wǎng)=1,‘點A(-3,0),B(l,0),，-3a=-3,???a=lJ拋物線的解析式y(tǒng)=x1+2x~3

(2過點P作PM±y軸交直線EF于點M”?直線EF的解析式為y=-x,，NMOA=45。,，/PMH=45。,設點.尸

G，X2+2L3),點M(x,-x),；?PH二yPM=y(-x-x2-2x+3)=-y1)+半，當時，PH的值最大為警，

⑶當/BCD=90。時.如圖2左側圖所示，當點D在BC的右側時，過點D作DM±y軸于點M,則CD=OB=1,OC

=3,tanZBCO=g

lan/CDM=tana,則sina=^,cosa=W，口切=(：。856(=嚶,同理.力=-3-噂,故點-耳

同理當點D在BC的左側時，點D的坐標(-嚓，-3+噂)芻/CDB=90。時，如圖2右側圖所示，當點D在BC

的右側時，CD=OB=1廁點D(l,-3).當點D在BC的左側時,由點的對稱性，同理可得：點D

綜上所述，點D的坐標為(普一3嘲或(一架，-3+噂)或(1,-3)或(七-W

【練2】解:⑴將點A(44),B(0,4)代入拋物線解析式可得：｛；［：T*c=-4,解得拋物線的解析式

為尸---2x+4

［一軟+6=—4

⑵設直線AB解析式為產kx+b,將A(-4,-4),B(0,4)代入得卜=4'解得｛窗

由題意可得:C(0「6),設E(a,2a+4),H(0,p),則F

匚A/?=V42+82=4V5,/?C=10,4oV42+22=2心,4C2+4R2=RC2,

???△ABC為直角三角形,NBAO90。.

結合圖形可得，以A,E,F,H為頂點的矩形為矩形AFHE,EF為矩形的對角線.由矩形的性質可得，線段A

H、FE的中點重合，則“-4+0)=；("a)164+p片;〃a+46/

解得a=-2,p=-lE(-2,0),H(0,?l),由E點坐標可知，E在x軸上

(3?EG的中點P,如圖2:

由⑵可知,E(-2,0),H(0,-I),A(-4,-4),???EHM,AE=26UPE=；EG=￡

連接CP交圓E于點M,連接EM、AM..?.EM=七〃=氏□箓

ME2AE

又〈NPEM=LJM￡4匚匚尸EMLMEN,□黑=竿=；匚PC當P、C、M三點共線

時，等號成立.設P(p,2P+4)屋=e+2>+(2p+4)2=(爭二化簡得53+2)2=：解得或尸―冷去P在點(E的左邊),

匚尸6，T),"C=J2)2+(?]+6)2=?即“A/+CI做最小值為

【練3】解：(1)匚尸x2-4X+3=(.L3)(.L1),匚拋物線與坐標軸的交點A(3,O),B(1,O),C(O,3),□。(2,2),4=6,28=

V5,PC=V5,EPA=P4=PC=v5=".0P是二次函數(shù)jf2-4x+3的坐標圓.

(2)y=x2-4x+4=(x-2)2,???A(2,0),C(0,4),??.過兩點A,C的圓的圓心在線段AC的中垂線上，"△POA=PO+PA+O

A=PO+PC+2>OC+2=