北京市昌平區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試

卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

I.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（-2,-1）,則Z的共挽復(fù)數(shù)z二（）

A.-2-iB.-2+iC.-l-2iD.-1+2i

2.在VABC中，a<3,6-yi6>cibH~?XIA

A.5B.弓C.*或筋D.*或皂

6aai6h

3.下列函數(shù)中，最小正周期為兀且是奇函數(shù)的為（）

xx

A.>=sm-c.B.y=kinlx

D.y=cos2x-sin2x

4.已知。，。是不重合的平面，〃?，〃是不重合的直線，下列命題中正確的是（）

A.若機(jī)//a,機(jī)//。，則?！?B.若〃？//n，m//a,則〃〃a

C.若機(jī)JLa,ml.p,則aJ_GD.若〃zJLa,機(jī)//￡,則aJ_G

5.將函數(shù)y=sin（x+W）的圖象向右平移:個(gè)單位長(zhǎng)度后，得到的圖象關(guān)于），軸對(duì)稱，則0的

值可以為（）

6.函數(shù)，—j的部分圖象如圖所示，則（）

A.\2sm（2j-B.i-】、1nC—一|

6

C.v2sin(x+—)D.y2sm(x--|

7.在矩形A8CO中?32.IDI.Df:,點(diǎn)尸在邊3c上.若外“-\則讓D/

一

8.在V人BC中，4?；,則“sm8v*”是“a?+〃2Vs''的

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

9.“三斜求積術(shù)”是我國(guó)宋代的數(shù)學(xué)家秦九韶用實(shí)例的形式提出的，其實(shí)質(zhì)是根據(jù)三角形的

三邊長(zhǎng)a,b,C求三角形面積s,即s?jc以旱斗王現(xiàn)有面積為e的VABC滿足

sinsin/?MnC*I<12，貝3ABC最大邊的邊長(zhǎng)為?：）

A.2^2C.4J2

10.已知正三棱錐尸-xsr,PA-PB-PC?3日18:6,點(diǎn)。在VABC內(nèi)部運(yùn)動(dòng)（包

括邊界），則下列四個(gè)結(jié)詒中褶銀的是（）

A.戶AJL平面PBC

B,線段PO長(zhǎng)度的最小值為

C.存在點(diǎn)O,使得OP=OA=on=OC=3

D.點(diǎn)。到三條側(cè)棱PA,PB,PC的距離的平方和的最小值為12

二、填空題

11.若復(fù)數(shù)二=則3二

1

TT、

12.已知向勤，7滿足“=2,卜=1,《力）二600,則協(xié)々一。二.

13.以邊長(zhǎng)為2的正方形的一邊所在的直線為旋轉(zhuǎn)軸，其余三邊旋轉(zhuǎn)一周得到一個(gè)圓柱，則

該圓柱的體積是；表面積是.

14.已知函數(shù)/（J=sin&（②>0）,茍Q）的最小正周期為:，則①;；若存在

為,為2￡［兀，2兀］,使削=T,則。的最小值為.

15.已知函數(shù)"x）=、in1+：、in人」給出下列四個(gè)結(jié)論：

2?

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

①函數(shù)人。是奇函數(shù):

②函數(shù)f(x)在區(qū)間(:；)上是增函數(shù)：

③函數(shù)/U)在區(qū)間?4,4］內(nèi)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn);

④函魁(、)""的值域?yàn)椋邸?31.

sinx4A

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是.

三、解答題

16.在平面直角坐標(biāo)系xQy中，角。的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(1,2).

(1)求tana及ian2a的值;

(、求cm%?、in”々的值

17.如圖，在三棱柱人BC-ABiG中，AB=ACfCC(1AC,平面4CCA_L平面ABC，D,

E,尸分別為8C,AB,AG的中點(diǎn).

(1)求證：AD±DCI；

(2)求證：七///平面4。。.

18.已知函數(shù)/(1)-八"\sin(、?：)<j

(I戌的值;

(2)求/U)的單調(diào)遞增區(qū)間；

(3)若對(duì)任意一I-.都有.八求〃？的最大值.

19.在VA8C中，?tan=2bsinA.

⑴求B的俏:

試卷第3頁(yè)，共4頁(yè)

《北京市昌平區(qū)2024-2025學(xué)年高一下學(xué)期期末質(zhì)量抽測(cè)數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)12345678910

答案BACDDABCBC

I.B

【分析】根據(jù)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)得到復(fù)數(shù)z,再根據(jù)共輯復(fù)數(shù)的定義求出z的共規(guī)復(fù)數(shù)云即

可.

【詳解】因?yàn)閺?fù)數(shù)Z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是（一2,一I）,

所以復(fù)數(shù)z二H-i,

所以z的共枕復(fù)數(shù)z=-2+i.

故選：B

2.A

【分析】由正弦定理求得sinA,結(jié)合大邊對(duì)大角，即0<A<6,求得答案.

【廳際】由加8—,></?<?,則8二*,

不立

由正弦定理,而/=竺吧=上工=L

b瓜2

又a<b,則0<A<8,故/=工.

故選：A.

3.C

【分析】利用正余弦函數(shù)1勺周期性及奇偶性逐項(xiàng)判斷即可.

【洋第】對(duì)于A,的最小正周期為2兀，A不是；

對(duì)于B,函數(shù)y=|sin2x是偶函數(shù)，B不是；

對(duì)于C,函數(shù)y二ccq：v+；）-smh最小正周期為兀且是奇函數(shù)，C是；

對(duì)于D,y=cos?x-sin2K=cos2丫是偶函數(shù)，D不是.

故選：C

4.D

【分析】對(duì)于A,由/〃//a,m//P,分析出cr〃8或。，6相交，即可判斷；對(duì)于B,由/〃〃/?,

m//a,分析出〃〃a或〃ua,即可判斷；對(duì)于C,由帆_Lcr,分析出a〃。，即

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

可判斷：對(duì)于D,過(guò)加做平面"，設(shè)Z?ny=/,由加//，根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理可知〃"http://,

又由mJ_a,可得/J_a,根據(jù)線面垂直的判定定理可得=_1〃，即可判斷D.

【詳解】若〃?//a,則a〃夕或a,夕相交，故A錯(cuò)誤；

若小〃〃，mHa,則〃〃a或〃ua,故B錯(cuò)誤；

若〃」a,U0,則。償，故C錯(cuò)誤：

過(guò)加做平面y,設(shè)￡njz=/,若機(jī)//￡,則由線面平行的性質(zhì)定理可知加/〃.

因?yàn)闄C(jī)J_a,所以/_La,乂因?yàn)?L〃，所以由線面垂直的判定定理可得a_L￡,

故D正確.

故選：D

5.D

【分析】求出平移的圖象對(duì)應(yīng)函數(shù)的解析式，再利用偶函數(shù)的意義求解.

【詳解】依題意，平移后所得解析式為；m,因此;**??/,

解得e=當(dāng)&二1時(shí),s=D可以，

n6

不存在整數(shù)&，使得夕取;二,：，ABC不可以.

n4Z

故選：D

6.A

【分析】根據(jù)給定的函數(shù)圖象，利用周期及最大值點(diǎn)求出⑦夕即可.

【詳解】觀察函數(shù)圖象，得這個(gè)函數(shù)的最小正周期7則二，

又當(dāng)時(shí)，％=2,則+0=wZ,而則《二u.a二

’322n

所以l2sin(2x")

故選：A

7.B

【分析】由點(diǎn)“在邊BC上，可設(shè)鼠尸1二不75,才￡[0/根據(jù)e”?；可求得才的值，用不小

和；TQ--表示出入7和￡7，結(jié)合數(shù)量積的運(yùn)算律即可求解.

【詳解】

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

???點(diǎn)F在邊BC上,???設(shè)=值7=/不，

???<。”-；,in（i/j|=A]，瓶?/?。弧ǎ?[=；

：.BF^-AD

i

VDE^-DC

2,

足加=（?亂/見(jiàn)解^痛）三腦\5痛44=;丁嚀。—）

故選：R.

8.C

【分析】先判斷"】8<4是否能推出"+從</,再判斷標(biāo)+b2<c2能否推出sinG（即

44

可求解.

[ilW]由/■1.sin^<—.所以所以4.6V工+：=彳，所以「>+，

2444——

所以cos（-'-U.即/+b~<c<2.

即C>g,又I。1

由"+b2<c2有。2+tr-cr<o,由余弦定理有8sc<0

所以/?「>?.所以B=x-（H-（卜,smS<y

所以一、mH<“/+/<的充分必要條件,

故選：C.

9.B

【分析】利用正弦定理角化邊，再借助給定的面積公式求解.

【詳解】在V4BC中，由而/.E8sme*172:2.得ahc=141?，

則c=2a,b=JLi,因此5■加fa：二2"q：；.:，

解得〃=2,所以VABC最大邊的邊長(zhǎng)c=2a=4.

故選：B

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

10.c

【分析】利用線面垂直的判定推理判斷A；利用等體枳法求出點(diǎn)到平面距離判斷B；求出三

楂錐外接球半徑判斷C；構(gòu)造長(zhǎng)方體求解判斷D.

【詳解】對(duì)于A,在正三棱錐尸一A8C中，PA-PB=PC=3Q、AB“6,貝U

PA2+PB2=36=AB-,所以同理PA_LPC,而PBDPC=平面尸8C,

則94_L平囿P8C,A止確；

對(duì)于B,由選項(xiàng)A知，正三棱錐P—ABC的三條側(cè)棱兩兩垂直，設(shè)點(diǎn)尸到平面A/3C距離為力，

由%c=匕-P8c，得;■世x6h』?（3W解得方-,因此線段PD長(zhǎng)度的最小值為無(wú)，

B正確；

對(duì)于C,正三棱錐P—A8C與以PA,P8,PC為棱的正方體有相同的外接球，

該球半徑/?=工力/+/心.球心到點(diǎn)A,B,C,P的距離都等于圣，

又正三棱錐P—A8C的外接球是唯一的，C錯(cuò)誤；

對(duì)于D,由選項(xiàng)B知，正三棱錐P—ABC的三個(gè)側(cè)面兩兩垂直，

當(dāng)點(diǎn)。在4ABC內(nèi)部時(shí)，令點(diǎn)。到正三楂錐P—ABC的三個(gè)側(cè)面的垂線段長(zhǎng)分別為a,Ac,

點(diǎn)戶是以這3條垂線段為棱的長(zhǎng)方體的頂點(diǎn)，即線段尸。為這個(gè)長(zhǎng)方體的體對(duì)角線，

PD2=a2+b2+c2，

則點(diǎn)D到三條側(cè)極/>A,PBQC的距離的平方和等于這個(gè)長(zhǎng)方體共點(diǎn)的3條面對(duì)角線的平方

和，

即S2+/）+（從+C2）+（/+/）=2P。>12,當(dāng)且僅當(dāng)尸。_L平面ABC時(shí)取等號(hào),

當(dāng)點(diǎn)。在△人BC的邊上時(shí)，可得點(diǎn)D到三條側(cè)棱PA.尸仇PC的距離的平方和等于2PD2>12,

D正確.

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

11.-；5

【分析】利用復(fù)數(shù)的除法求出z,進(jìn)而求出其模.

【詳解】依題意.二=土2=27.所以I小廳TTh二行

I

故答案為：、三

12.3

TT

【分析】利用數(shù)量積的定義求出，再利用數(shù)量枳的運(yùn)算律求解.

【詳解】依題意，〃./>=2xlxcos6O=1，所以r；.(4—〃)="—ti.b=3.

故答案為：3

13.8兀16兀

【分析】由題意可知圓柱的底面半徑r=2,高力=2,再根據(jù)圓柱的體積公式V=S慶x/?=〃2/?

及表面積公式S=2s底+S㈣=2兀/」2兀/力計(jì)算即可.

【詳解】由題意可知圓柱￡勺底面半徑r=2,高h(yuǎn)=2,

所以圓柱的體積為V=S底Xh=冗/h=Rx22x2=8n,

表面積為S=2s底+=2itr2+2?！?=2x7：xr+2xjix2x2=16兀.

故答案為：8兀;16兀

5

14.4

【分析】根據(jù)正弦函數(shù)的底期公式7=及⑦的范圍即可求出⑦的值；由存在M,應(yīng)￡［n,27r］,

使得f(M)?/&)=—1，分析出f(M)和/(&)一個(gè)為I，另一個(gè)為一1，也就是［Q次2@］至

少包含半個(gè)周期長(zhǎng)度，并且能取到最值點(diǎn)，進(jìn)而列出不等式組求解即可.

【詳解】因?yàn)?(x)的最小正周期為:，所以7:3;微，

又因?yàn)锧)>0,所以①=4.

若存在打超￡卜,2兀］,使得/*(xJ./GO=-1，

因?yàn)檎液瘮?shù)的值域?yàn)椋邸?」］,

所以/'(修)和/")必然一個(gè)為1，另一個(gè)為一1.

因?yàn)長(zhǎng)rwL，2兀］,所以@XW［G，2。］,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

要使/"(x)=sin6在上能取到1和一1,

也就是至少包含半個(gè)周期長(zhǎng)度，并且能取到最值點(diǎn),

3寅

"*53

所以[.解得24m4工

一

所以②的最小值為1.

4

故答案為：4；

15.①@@

【分析】利用奇函數(shù)定義判斷①；求出判斷②；利用和角的正弦及二倍角式化簡(jiǎn)

f(x),求出零點(diǎn)判斷③；借助二次函數(shù)求出值域判斷④.

【訃解'】函數(shù)'一1sm2A---11UVGR,

43

對(duì)于「1'/(”=、向x)-i、m?sin|-3.T>=/(T|,函數(shù),/HI是奇函數(shù)，①正確;

什小哈，入6.36&IG2Al

對(duì)于2,?/|??-,〃)?一????-?

7V24474226M2

而3&3927289I2?1即g例號(hào)

而---<----=—<—=—??—<4-.即/(二)>/(：)?誤；

44520201025247

對(duì)于③,sin3,v=sin2xcosx+cos2xsinx=sin.v(4cos2x-1),

/(jr)=sinx>smxcos.t?^stnx(4cos;xl)=^sinx(4co5:x+3cos*2).

3.23

而4a?'x+3cOT+2=(2awx+T'+——>0.由Xx)=0,得sinx=o,

416

當(dāng)x￡[7,4],解得xW{F,0,7t},凡r)在[-4,4]內(nèi)恰有3個(gè)不同的零點(diǎn)，③正確;

對(duì)于④，當(dāng)sinx￥0,即一1<coax<I時(shí).鼠小犯」4??5：x+3co/2)

KinrX

115115171

=(2cmxi?—,z1i'-Q時(shí)，g⑶_=元.g")<3,即函數(shù)g(x)的值域?yàn)?/p>

④正確.

故答案為：①③④

16.(I)lancr■2itan2a=-

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

【分析】（1）設(shè)角。的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)P（l,2）,先求出r-依4-4,再根據(jù)三角函數(shù)的定義求

出tana的值，再根據(jù)二倍角的正切公式即可求出tan2a的值；

.r3寅]

（2）先根據(jù)三角函數(shù)的定義求出sina,cosa的值，再將節(jié)、舊？利用二倍角公式

及誘導(dǎo)公式變形，再將sina.cosa的值代入計(jì)算即可.

【詳解】（1）設(shè)角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)p（l,2）,則r\（）r/,

所以由三角函數(shù)的定義可知una二'二2,

口-I、I.2tana2x24

l-un2/yI-227

（2）由（1）根據(jù)三角函數(shù)的定義可知!wn”-=^.a?a=-=—.

r5r5

所以口心以?</?[-a?su

■使[6363*6

5555

17.（1）證明見(jiàn)詳解

（2）證明見(jiàn)詳解

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理可得CGJ_平面人8C,再由線面垂直的判定定理證明

AOJL平面8CC5,進(jìn)而得證;

（2）連接EQ,可證四邊形OEFG是平行四邊形，可得EF//DG,利用線面平行的判定定

理得證.

【詳解】（I）因?yàn)槠矫?CGAJ_平面ABC,平面ACCAn平面/WC=AC,CQu平面

ACCA,CC,1AC,

所以CGJ?平面ABC,又A?！钙矫鍭BC,

所以CG~LA。，

又/IB=AC,。是BC的0點(diǎn)，所以ADU.BC,

又CG,8CU平面BCG",CCtri8C=c,

所以人Q_L平面BCGBI，

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

又DC、L平面3CG4,所以AO_1_QG.

(2)如圖，連接ED,

因?yàn)椤?￡尸分別是8C,AAA|G的中點(diǎn)，

所以。/)￡=；＜「，又4C//A|G，AC=A}Cif

所以力E//產(chǎn)G，DE=FC\,

所以四邊形OErG是平行四邊形，故EFIIDC、,

又EF丈平而ADC.,DC.r-平面ADC,,

18.I2：

[2)卜得+A貢.wZh

%.

【分析】(1)代入函數(shù)式求出函數(shù)值.

(2)利用和角的正弦、二倍角公式及輔助角公式化簡(jiǎn)函數(shù)/*),再利用正弦函數(shù)單調(diào)性求

出遞增區(qū)間.

(3)求出在指定區(qū)間內(nèi)相位的范圍，再利用恒成立的不等式列式求解.

【詳解】⑴依題意./⑴二185%11(乙―當(dāng)一6=4x由6=，

fifiX2

2函數(shù)/(x)=4cosx(^sinJ?^cojx)-6,2Mnx8Sx+

yfilCQSi-1)

ssin2jr*73COS2.X=2sm(2x*：,

由-：?2H42x?14：?2kx.keZ(川4xM*AwZ.

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

所以函數(shù)/(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為［:/\

1212

13'當(dāng)尸w［—,iw］時(shí).2x+q.Im?^|,而/(—：)=—4，

而)，:sin］在［?：，；］上單調(diào)遞增，在比單調(diào)遞減，

由/(x)N—得-：<2nt*：4.解WOVS5，

所以/〃的最大值是：.

19.(I)：

(2)答案見(jiàn)詳解

【分析】(1)利用正弦定理及商數(shù)關(guān)系將atanB=2/，sinA變形化簡(jiǎn)，再結(jié)合角A,8的范圍

即可求出角B；

(2)若選擇條件①，由余弦定理可得/-6c+11=0,此時(shí)AvO,方程無(wú)實(shí)數(shù)解，VABC不

存在；若選擇條件②，先由cosA求出sinA,由正弦定理求出/“再求出sinC,即可根據(jù)三

角形的面枳公式求出VABC的面積；若選擇條件③，設(shè)BC的中點(diǎn)為。，則在448。中，由

余弦定理求出A8的值，即可根據(jù)三角形的面積公式求出VA8C的面積.

【詳解】(1)因?yàn)閍tan3=2bsinA,所以由正弦定理可得wn.I空或=2sm」由

8ss

在VABC中，因?yàn)锳I￡(O,兀)，所以sinA>0,sin8>0,

所以COSA-1,所以H:;

(2)若選擇條件①：h=5,

則a=6,h=5,8二;，

22

則由余弦定理"=a+c-2accosB,可得25=36+J-2，6,c；,

整理口「得r2-6r4-11=0,此時(shí)A=(-6)--4x1I=-X<0,

方程無(wú)實(shí)數(shù)解，所以VABC不存在；

若選擇條件LC2孑

因?yàn)锳￡(0,7T),所以、mIv'l-c(?s:1^11

又因?yàn)閍=6,"=：，

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

6_b

所以由正弦定理二可得3.耳，解得。=x/5?

sin/<inHT

52

又因?yàn)镃=兀-（A+8）,

所以=sin(.4>H)-”n/cos8.cos/sing(它.

525210

所以VABC的面積,S二?jhsmC=-x6x5/3x—-----------??

，，in?

若選擇條件③：8c邊上的中線的長(zhǎng)為、不，,

設(shè)8c的中點(diǎn)為/）,則以）二:二3,jg,

X-*

則在△A3。中，由余弦定理AD2=AB2+BD--2AB.BD.cosB

可得卜R[加+）?-"4〃7二.

整理可得A"-3AB-10=0,解得A8=5或A8=-2（舍屋

所以VABC的面積、■?-6?5?、'■?°3

2222

20.（1）證明見(jiàn)解析；

（2）（i）證明見(jiàn)解析；Gi）存在，G,W=—.

【分析】（1）根據(jù)給定條件，利用線面垂直的判定性質(zhì)、面面垂直的判斷推理得證.

（i）利用線面平行的判定性質(zhì)證得HM/化尸即可得證；Gi）利用錐體體積公式列式求解.

【詳解】（1）在等腰梯形人BCD中，AD//BC,由4￡_18。,。尸_1_8。，得人E//DF,

在圖（2）中，AE_LEF,AEd_EG,EFnEG=E,EF,EG3^FG,貝UAE_L平面￡”G,

而GFU平面EFG,則AE±FG,由=/G=0?"-ID-2.得初,+=E/，

于是EG_LR7,而4EDEG=E,AE,EGL平面AEG,貝ijFG_L平面AEG,

又FGL平面G,所以平面AEG_L平面O/G.

（2）G）由力。//石凡石/仁平面EFG,4。丈平面E/G,得4。//平面EFG,

ADL平面AO”,平面EFG0平面月?！ǘ∕,因此HM//A。//E/，

而〃為EG的中點(diǎn)，所以M為G尸的中點(diǎn).

答案第10頁(yè)，共12頁(yè)

II）由DF_LFG,得SGNN.GV。"，

由人E/IDF,DFrYiftlDFG,AE丈平面。“G,得八E//平面DFG,

點(diǎn)A到平而QPG的距離等于點(diǎn)E到平面。FG的距離,

由（1）同理可得EG±平面。"G，三棱錐A-DMG的體枳I，?SG?匕M?跖,

三棱錐人-〃MG的體積I…