點和圓、直線和圓的位置關(guān)系

題型1點和圓的位置關(guān)系.........................................................7

題型2三角形的外接圓與外心.....................................................9

題型3直線與圓的位置關(guān)系......................................................14

題型4切線的判定與性質(zhì)........................................................16

題型5切線長定理...............................................................21

題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心....................................................23

知識清單

1.點和圓的位置關(guān)系

(1)點在圓外

(2)點在圓上

(3)點在圓內(nèi)

2.過已知點的圓

(1)經(jīng)過一點的圓有無數(shù)個

(2)經(jīng)過兩點的圓有無數(shù)個

(3)不在同一條直線上的三個點確定一個圓

3.外接圓與外心

4.反證法

5.直線和圓的位置關(guān)系

(1)相交、割線

(2)相切、切線、切點

(3)相離

6.切線

(1)切線的判定定理

(2)切線的性質(zhì)定理

(3)切線長

(4)切線長定理

7.內(nèi)切圓與內(nèi)心

8.圓和圓的位置關(guān)系

(1)外離

⑵外切

(3)相交

(4)內(nèi)切

(5)內(nèi)含

知識儲備

點與圓的位置關(guān)系

(1)點與圓的位置關(guān)系有3種.設(shè)。。的半徑為點P到圓心的距離0P

=d,則有：

①點P在圓外

②點P在圓上=4=八

③點夕在圓內(nèi)QdVr.

(2)符號讀作“等價于”，它表示從符號“廿的左端可以得到右端，從右

端也可以得到左端.

知識點確定圓的條件

不在同一直線上的三點確定一個圓.

注意：這里的“三個點”不是任意的三點，而是不在同一條直線上的三個點,

而在同一直線上的三個點不能畫一個圓.“確定”一詞應(yīng)理解為“有且只有"，即

過不在同一條直線上的三個點有且只有一個圓，過一點可畫無數(shù)個圓，過兩

點也能畫無數(shù)個圓，過不在同一條直線上的三點能畫且只能畫一個圓.

知識點三角形的外接圓與外心

(1)二角形的外接圓：經(jīng)過二角形的二個頂點的圓，叫做二角形的外接圓.

(2)三角形的外心：三角形外接圓的圓心是三角形三條邊垂直平分線的交點,

叫做三角形的外心.

(3)三角形的外心的性質(zhì)：三角形的外心到三角形三個頂點的距離相等，等

于三角形的外接圓的半徑.

(4)任意三角形的外接圓有一個，而一個圓的內(nèi)接三角形有無數(shù)個.

知識點反證法

反設(shè)：假設(shè)命題結(jié)論不成立;

歸繆：從設(shè)出發(fā)，經(jīng)過推理論證，得出矛盾;

下結(jié)論：由矛盾判定假設(shè)不成立，從而肯定命題成立.

知識點直線和圓的位置關(guān)系

(1)相離：一條直線和圓沒有公共點.

(2)相切：一條直線和圓只有一個公共點，叫做這條直線和圓相切，這條直

線叫圓的切線，唯一的公共點叫切點.

三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三

角形的內(nèi)心，這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內(nèi)心就是三角形三

個內(nèi)角角平分線的交點.

圓和圓的位置關(guān)系

公共點圓心距與兩圓半徑

圖示位置關(guān)系

個數(shù)的關(guān)系

外離相離：如果兩個圓

沒有公共點，那么

0

就說這兩個圓相

內(nèi)含離

外切相切：如果兩個圓

只有一個公共點，

1

那么就說這兩個

內(nèi)切圓相切

相交：如果兩個圓有兩個

公共點，那么就說這兩個2

圓相交

技巧總結(jié)

1.理解點和圓的位置關(guān)系的“兩點”技巧:

（1）等價關(guān)系：點和圓的位置關(guān)系。點到圓心的距離（d）和半徑。）的

數(shù)量關(guān)系.

（2）數(shù)形結(jié)合：解決點與圓的位置關(guān)系的捷徑是利用數(shù)形結(jié)合的方法，借助

圖形進行判斷.

2.利用點和圓的位置關(guān)系求半徑的取值范圍

（1）若點在圓內(nèi)，則點到圓心的距離小于圓的半徑；若點在圓上，則點到圓

心的距離等于圓的半徑；若點在圓外，則點到圓心的距離大于圓的半徑.12）

解這類題時，常運用轉(zhuǎn)化思想，將點與圓的位置關(guān)系轉(zhuǎn)化成點到圓心的距離

與圓的半徑之間的數(shù)量關(guān)系，從而列出方程或不等式來解答.

3.利用數(shù)量關(guān)系判斷直線與圓的位置關(guān)系

（1）當(dāng)圖形中直線與圓的位置關(guān)系不明顯時，一般不利用交點個數(shù)來判斷直

線與圓的位置關(guān)系，應(yīng)通過比較圓心到直線的距離與半徑的大小來確定它們

之間的位置關(guān)系.（2）在沒有給出d與廠的具體數(shù)值的情況下，可先根據(jù)己

知條件求出d與，?的值，再通過比較它們的大小確定直線與圓的位置關(guān)系.

4.用反證法證明

（1）當(dāng)一個命題直接證明很困難時，可考慮運用反證法證明.證明時要弄清

楚反證法的思想及一般步驟，還要考慮結(jié)論的反面的所有情況，并一一否定.

（2）用反證法證明命題時，準(zhǔn)確寫出與原命題的結(jié)論相反的假設(shè)是關(guān)鍵.”一

定,，“可能”，“全都是，，的否定分別為“不一定”“不可能，“不全是”；特別注意“一

定''的否定不是“一定不

5.切線的性質(zhì)與判定

（1）切線的判定方法———連半徑，證垂直，某直線是圓的切線時，如果已

知直線與圓有公共點，那么可作出經(jīng)過該點的半徑，證明直線垂直于該半徑，

即“有交點，連半徑，證垂直

（2）切線的判定方法二——作垂直，證半徑

證明某直線是圓的切線時，如果未明確說明直線和圓有公共點，那么常過圓

心作直線的垂線段，證明垂線段的長等于半徑，即“無交點，作垂直，證半徑”.

6.有關(guān)三角形內(nèi)心的常用輔助線作法

解答該類問題時一般有兩種作輔助線的方法：一是連接內(nèi)心與三角形的頂點,

即構(gòu)建出三角形的角平分線；二是連接內(nèi)心與切點得到線段垂直的位置關(guān)系,

再連接內(nèi)心與三角形的頂點進而運用直角三角形的相關(guān)知識來解答.

T拓履聯(lián)拓履建停建進重高

圓形，是一個看來簡單，實際上是十分奇妙的形狀.古代人最早是從太陽、

陰歷十五的月亮得到圓的概念的.在一萬八千年前的山頂洞人曾經(jīng)在獸牙、礫石

和石珠上鉆孔，那些孔有的就很像圓.到了陶器時代，許多陶器都是圓的.圓的

陶器是將泥土放在一個轉(zhuǎn)盤上制成的.當(dāng)人們開始紡線，又制出了圓形的石紡錘

或陶紡錘.占代人還發(fā)現(xiàn)搬運圓的木頭時滾著走比較省勁.后來他們在搬運重物

的時候，就把幾段圓木墊在大樹、大石頭下面滾著走，這樣當(dāng)然比扛著走省勁得

多.

約在6000年前，美索不達米亞人，做出了世界上第一個輪子一一圓型的木

盤.大約在4000多年前，人們將圓的木盤固定在木架下，這就成了最初的車子.

會作圓，但不一定就懂得圓的性質(zhì).古代埃及人就認為：圓，是神賜給人的

神圣圖形.一直到兩千多年前中國的墨子（約公元前468前376年）才給圓下了

一個定義：圓，一中同長也.意思是說：圓有一個圓心，圓心到圓周的長都相等.這

個定義比希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得（約公元前330前275年）給圓下定義要早100

年.

他區(qū)mSBft成果展示

題型1點和圓的位置關(guān)系

【典例1】（2025春?荷澤期末）平面內(nèi)，己知。0的半徑是4c〃z,線段OP=

5cm,則點P()

A.在。。外B.在。。上C.在00內(nèi)D.不能確定

【答案】A

【分析】根據(jù)點與圓的位置關(guān)系的判定方法對點P與的位置關(guān)系進行判

斷.

【解答】解：???00的半徑為4o〃，OP=5cm,

???點P到圓心的距離大于圓的半徑，

???點P在。。外.

故選：A.

【典例2】（2024秋?嘉興期末）已知。。的半徑為5,點夕在。。外，則OP

的長可能是（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】。

【分析】根據(jù)題意可以求得OP的取值范圍，從而可以解答本題.

【解答】解：:。的半徑為5,點P在。。外，

：.OP>5,

故選：D.

【典例3]（2024秋?延長縣期末）點P到圓O的距離為7,若點P在圓O內(nèi)，

則圓O的半徑片滿足（）

A.0<r<7B.0</<7C.r>7D.r>7

【答案】C

【分析】若點到圓心的距離為d，圓的半徑門則〃時，點在圓外；當(dāng)"=

廠時，點在圓上；當(dāng)dVr時，點在圓內(nèi)，反過來與成立.據(jù)此解答即可.

【解答】解：根據(jù)題意得00=7,點P在圓。內(nèi)，

???OPVr,

：.r>7.

故選：C.

題型2三角形的外接圓與外心

【典例4】（2025?乾縣校級一模）如圖，。。的半徑為2,△A8C是。。的內(nèi)

接三角形，D為沅上一點，連接AD,CD.若NACQ=75。，/BAD=30。,

則弦A8的長為（）

【答案】B

【分析】連接（JB,根據(jù)圓周角定理，圓心角定理，得/AO3=9U。，利

用勾股定理解答即可.

【解答】解：連接。4,OB,

：.ZBCD=30°f

???NACD=75。,

工NACB=45。，

工NAO8=90。，

???。0的半徑為2,

???04=04=2,

：.AB=>JAO2+BO2=2傳

故選：B,

【典例5】（2025?涼州區(qū)校級一模）如圖，等邊三角形ABC的三個頂點均在

OO上，BC=3,80為。。的直徑，則3。的長為（）

A

【答案】C

【分析】連接C。，如圖.根據(jù)aABC是等邊三角形，得出NA8C=60。，根

據(jù)垂徑定理和圓周角定理得出AC_L3。，ZBCD=90°,即可得NC3D=NA3。

=30。，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得出8。=/cD,結(jié)合勾股定理即可求解.

【解答】解：連接8,

??.△ABC是等邊三角形，BC=3,

??.NABC=60。（等邊三角形的每個外角等于60°）,

???BD為O。的直徑，

???N8CQ=90。，AC上BD,

:?NCBD=NABD=30。,

：.CD=匏。，

：.BD2=BC2+CD2=32+（鼻0產(chǎn)，

：.BD=2V3,

故選：C.

【典例6]（2025?濱州模擬）如圖，△ABC的角平分線CD交其外接圓O于

點。，以下說法不正確的是（)

D

A.若/AC6—60。，則6CO=C/1+C8

B.若N4C3=90。，則&C0=C4+C8

C.若NAC3=120。，則CD=CA+CB

D.若NACB=15()c,則(述一V5)CZ)=G4+CB

【答案】。

【分析】連接DA,DB,延長CB至￡使得BE=AC,連接DE,證明

△DBE^/\DAC(SAS),根據(jù)各選項叮得出等腰二角形COE,進而勾股定埋

解直角三角形，即可求解.

【解答】解：連接DA,DB,延長C5至石，使得8E=AC,連接OE,

E

「△ABC的角平分線CD交其外接圓。于點D,

：.ZACD=NBCO,

：.AD=BDf

：.AD=BD,

四邊形4。8c是園內(nèi)接四邊形,

???NAOB+N4CB=18()。,

,?ZACB=60°,

AZADB=120°,ZACD=ZBCD=30°f

「NCAO+NCBD=180°,ZCBD+ZDBE=180°,

:?/DBE=/DAC,

，：DB=DA,BE=AC,

在^DBE和4QAC中，

(DB=DA

乙DBE=Z.DAC,

[BE=AC

：./\DBE^/\DAC(SAS),

???ZE=NOC4=NOCE=30。，

過點。作。凡LCE于點R

:?CD=2DF,CF=EF,

f5

ACF=V3DF=^CD,

：.CB+AC=CB+BE=CE=2CF=aCD,

即bCO=C4+C5,故A正確；

如圖所示，NAC8=9()。，同理可得△(SAS),

???NE=NDCE=45。,

:.五CD=CE=CA+CB,故8正確；

D

如圖，ZACB=120°,同理可得△QBEgZiDAC(SAS),

：.ZE=ZDCE=60°f

：.CD=CE=CA+CB,故C正確；

D

N4C8=150。，同理可得△OBE絲△D4C(SAS),

：.ZE=ZDCE=15°fCE=CA+CB,

作△CQE的外接圓0P,連接PC,PD,PE,延長。尸交CE于點Q,

丁ZCDE=1800-2ZDCF=180°-2x75°=30°,

???ZCPE=2ZCDE=60°，

?：PC=PE,

???△PCE是等邊三角形,

VDC=DE,PC=PE,

：.DQ±CE,

___________反

:?PQ=yjPC2-CQ2=V3CQ=

：.DQ=DP+PQ=*E+CE=(1+空)CE,

在RtACDQ中，CD=yJCQ2+DQ2=J(1)2+(1+^)2CF=J收+2CE,

2

V3+2=|x(2V3+4)=(1+產(chǎn))、

?__1+點_&+、''6?

??rCnD=-7=~rCvE=—5—rCE9

、/22

曰nrr以CD、'6一值rn

.V6-V2

CD=CA+CF,故。不正確,

2

故選：D.

題型3直線與圓的位置關(guān)系

【典例7]（2025?虹口區(qū)三模）已知G）。的半徑3c7%直線1上有一點到圓心

。的距離為3cm,那么直線/與。。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相交

C.相離或相切D.相切或相交

【答案】D

【分析】沒有明確OP的長度就是圓心到直線的距離，所以直線與圓的位置關(guān)

系要分情況討論.

【解答】解：由于。0=3（7〃，且。為圓心；

①當(dāng)OPL直線L時，圓心到直線L的距離等于半徑，即直線L與OO相切;

②當(dāng)OP不與直線人垂直時，根據(jù)“垂線段最短”知：圓心O到直線L的柜離

要小于OO的半徑，即直線L與OO相交；

因此存在兩種位置關(guān)系：相切或相交，

故選：D.

【典例8]（2025?越秀區(qū)一模）在平面直角坐標(biāo)系xQy中，。0的半徑為2.5,

直線/的解析式為y=1x+3,那么直線I與。。的位置關(guān)系是（）

A.相離B.相切C.相交D.無法確定

【答案】C

【分析】求出OA=3,03=4,由勾股定理得到AB=5,由三角形面積公式求

出OH=2.4,而。。的半徑r=2.5,即可判斷直線/與OO的位置關(guān)系.

【解答】解：如圖，直線y=r+3分別與x、y軸交于A、B,

過。作OHLAB于H,

當(dāng)x=0時，y=3,

???。4=3,

3

當(dāng)），=0時，-x+3=0,

Ax=-4,

???。8=4,

?*AB=70A2+OB?=5,

???/\AOB的面積=累B?OH=初8?04

乙乙

，5xO”=3x4,

/.OH=2.4,

??.O到直線/的距離d=2.4,

???。。的半徑r=2.5,

:?d<r,

???直線/與O。的位置關(guān)系是相交.

故選：C.

【典例9]（2025?新城區(qū)校級開學(xué)）已知OO的半徑為2,圓心O到直線I的

距離OP=3,則直線/與O。的位置關(guān)系是（）

A.相切B.相離C.相交D.無法判斷

【答案】B

【分析】根據(jù)直線和圓的位置關(guān)系的判斷方法直接判斷即可得出答案.

【解答】解：??,0。的半徑為2,圓心。到直線/的距離0。=3,2<3,

?,?直線/與OO的位置關(guān)系是：相離，

故選：B.

題型4切線的判定與性質(zhì)

【典例10]（2024秋?韶關(guān)期末）如圖，在RtAABC中，NAC8=90。，D為

邊AC上的點，以AD為直徑作。0,連接BD并延長交。。于點E,連接CE,

CE=BC.

（1）求證：c石是的切線；

（2）連接AE,若。。=1,BC=2,求AE的長.

【答案】（1）詳見解析；

（2）=詳見解析.

【分析】（1）連接。￡則/OEQ=NOOE=/8。。，由CE=BC,得NCEB

=/CBE,而NACB=90。，則NOEC=NOED+/CEB=N8。。+/CBE=90。，

即可證明CE是。。的切線；

（2）由勾股定理得+。七2=。。2,而CE=BC=2,OC=OD+CD=OD+\,

所以00+2三（oo+]）2,求得°。=OE=率則0C=*如圖，過點E作EF_AD

交4。于點凡利用三角形的面積公式求得石萬的長，然后利用勾股定理即可

求得AE的長.

【解答】（1）證明：連接OE,則OE=O。，

----E

：?/ODE=NOED,

?：4BDC=/ODE,

:./BDC=/OED,

?：CE=BC,

:?/CBE=/CEB,

,/ZACB=90°,

:.ZOEC=ZOED+ZCEB=ZBDC+ZCBE=90°,

???CE_LOE,OE是00的半徑，

???CE是O。的切線.

（2）解：VZOEC=90°,

：.OE2+CET=OC2,

VCD=1,OE=ODfBC=2,

：.OC=OD+CD=OD+\fCE=BC=2,

：.OD2+72=（。力+1）2,

3

*。D

???。。=2+1=2；

如圖，過點七作E凡LA。交AO于點凡

:.在RtAOEC中,-0ExEC=-0CxEF,

22

.35

.X2=-XEF,

22

???即=（,

在RtAOEb中，0爐=。/+七產(chǎn)，

???（務(wù)2=o*+（凱

：.OF=0.9（負值舍去），

：.AF=OA+OF=2.4,

在Rt^AE/中，AE2=AF2+EF\

AE2=(2.4)24-(g)2,

??AE=fV5(負值舍去)，

?\AE的長是;Vs.

【典例11](2024秋?錫山區(qū)校級期末)如圖，AB為0。的直徑，點。為OO

上一點，點C在的延長線上，且NCD4=N8.

(1)求證：CQ為00的切線；

(2)若AC=2,CD=4,求8。的長.

【答案】(I)證明見解析;

5

【分析】⑴根據(jù)圓周角定理和等腰三角形的性質(zhì)，得出NOQA+NCZM=90。,

即OO_LCQ即可得出結(jié)論；

(2)利用相似三角形的判定與性質(zhì)，求出BC并得出進而求出直

徑A8,再由勾股定理求出A。即可得解.

【解答】(1)證明：如圖，連接0D,

〈AB是。0的直徑，

???/AO6=9()c,

即N003+N0ZM=90。,

0B=0D,

：?/B=N0DB,

又???/COA=NB,

，NB=Z0DB=ZCDAf

???NOQA+NCOA=90。,

即OD上CD,

??,OO是OO的半徑，

?,.CD為。。的切線；

(2)解：?:NCDA=NCBD,ZACD=ZDCB,

：.△ACQs/XDCB,

,BDCDCB

**AD~AC~CD'

?；AC=2,CD=4,

.BDCD4

??=—=乙,

ADAC2

:?BD=2AD,

,CDCB

由一=—,

ACCD

十日4CB

可得2=7，

：.CB=S,

???AB=CB-AC=8-2=6,

???/AQB=90。，

222

：.AD+BD=ABt

即AD2+4AD2=36.

???5AZ）2=36,

."》=爭，

解得：等（負值舍），

KJ

???吁噌

【典例12]（2025?福州校級模擬）如圖，48為。。的直徑，。為。。上一點,

ZD=90°,8c平分NABO.

（1）求證：CD與0。相切；

（2）若AC=26,A3=4,求80的長.

【答案】（1）見解析；

（2）1.

【分析】（1）連接0C.根據(jù)OC=OB,可得NOCB=/OBC,再由NO=90。，

4c平分N43。，可得NOCO=9（）。，即可求證；

（2）根據(jù)圓周角定理可得NACB=9（）。，在RtAACB中，根據(jù)勾股定理可得

BC=2.從而得到△03C為等邊三角形，進而得到N8CO=30。，再由直角三

角形的性質(zhì)，即可求解.

【解答】（1）證明：如圖，連接0C.

???OC=OB,

：.ZOCB=ZOBC.

〈BC平分NA3O,

???ZOBC=/DBC=ZOCB.

VZD=90°,

：.ZDBC+ZBCD=90°.

???/0CB+NBCD=9。。,

即NOCO=90。.

TOC是OO的半徑，

???CD與OO相切.

(2)解：???AB為0。的直徑，AB=4,

：.ZACB=90°fOA=OB=1AB=1x4=2,

*：AC=2A/3,

:?BC=yjAB2-AC2=2.

：.BC=OB=OC.

???△OBC為等邊三角形.

AZOCB=60°.

由（1）可知NOCQ=90。，

AZBCD=30°.

???在RsBC。中，BD=^BC=1.

題型5切線長定理

【典例13]（2025?高青縣一模）如圖，四邊形ABCD是。。的外切四邊形,

且AB=10,CD=12,。。的半徑r=5,則四邊形ABCD的面積為（）

【答案】。

【分析】根據(jù)圓外切四邊形的對邊之和相等求出AQ+8C,根據(jù)I四邊形的周長

公式和三角形的面積公式計算即可.

【解答】解：,??四邊形A8CO是OO的外切四邊形，

.\AD-bBC=AB+CD=22f

/.四邊形ABCD的局長=AQ+5C+A5+CQ=44,

???。0的半徑，=5,

J四邊形ABCD的面積=2x四邊形ABCD的周長xr=ix44x5=110.

故選：D.

【典例14］（2024秋?義烏市期末）如圖，AB.AC.3。是0O的切線，切點

分別為P、C、D,若A8=4,AC=3,則BO的長是（）

A

A.2.5B.2C.1.5D.1

【答案】見試題解答內(nèi)容

【分析】先根據(jù)切線長定理求出AP，進而求出8P,再根據(jù)切線長定理解答即

可.

【解答】解：???4P、4c是OO的切線，

：.AP=AC=3,

???AB=4,

：.PB=AB-AP=4-3=\f

<BP、8□是O。的切線，

:?BD=BP=1,

故選：D.

【典例15］（2023秋?綏化期末）如圖，P為0O外一點，PA.尸5分別MOO

于點A、B,CD切0。于點E,分別交PA.PB于點C、D,若雨=8,則4PCD

的周長為（）

A.8B.12C.16D.20

【答案】C

【分析】由切線長定理可求得布=08,AC=CE,BD=ED,則可求得答案.

【解答】解：:BA、P8分別切。0于點4、B,CO切。。于點E,

：.FA=PB=8,AC=EC,BD=ED,

：.PC+CD+PD=PC^-CE+DE+PD=PA+AC+PD^BD=B4+P8=8+8=16,

即^PC。的周長為16.

故選：C.

題型6三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心

【典例16]（2024秋?韶關(guān)期末）如圖，周