§8.11圓錐曲線中范圍與最值問(wèn)題

題型一范圍問(wèn)題

例1（2023.淄博模擬）已知F（小,0）是橢［員1C：的,個(gè)焦點(diǎn)，點(diǎn)M小，在

橢圓C上.

（I）求橢圓C的方程；

（2）若直線/與橢圓C相交于A,8兩點(diǎn)，且依八+弱8=一4。為坐標(biāo)原點(diǎn)），求直線/的斜率

的取值范圍.

22

解⑴由題意知，橢圓/十方=1（〃＞比＞0）的左焦點(diǎn)為（一下，0）,

根據(jù)橢圓的定義，可得點(diǎn)M到兩焦點(diǎn)的距離之和為弋（布+6）2+Q-（））2+,=4,

即2〃=4,所以〃=2,

又因?yàn)閏=小，可得力

所以橢圓C的方程為］+}2=l.

（2）當(dāng)直線/的斜率不存在或斜率為。時(shí)，結(jié)合橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，%A+%8=0,不符合題意.

故設(shè)直線/的方程為y=抬:+〃z（&N0）,A（x\,yi）,8（必,2），

y=kx^-m,

聯(lián)立方程組〈

可得(做2+1?2+8〃〃a+4(/〃2—|)=(),

1—Skm4(/7r—1)

則用+也=元甲，X1X2=47+］，

2

所以%+%產(chǎn)三V2(Aivi+m)x2+(A；V2+,〃?(】i+x2)…,-Skni-2k

X2X\X2X|X24("/一］)m--J

由koA+koB=-I，可得〃F=4k+1,

所以心一點(diǎn)

又由1＞0,可得16（43一川+］）＞o,所以4R—4Q0,解得左＜0或Q1,

綜上可得，直線/的斜率的取值范圍是［一/0）U（l,+8）.

思維升華圓錐曲線中取值范圍問(wèn)題的五種常用解法

（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍.

(2)利用已知參數(shù)的范圍，求新參數(shù)的范圍，解決這類(lèi)問(wèn)題的核心是建立兩個(gè)參數(shù)之間的等量

關(guān)系.

(3)利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(4)利用已知的不等關(guān)系構(gòu)造不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍.

(5)利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值

范圍.

跟蹤訓(xùn)練1(2022?濟(jì)寧模擬)已知拋物線E：)，2=2/以(〃>0)上一點(diǎn)C(1，泗)到其焦點(diǎn)F的距離

為2.

(1)求實(shí)數(shù)〃的值；

(2)若過(guò)焦點(diǎn)廠的動(dòng)直線/與拋物線交于人，B兩點(diǎn),過(guò)48分別作拋物線的切線/”3且

/HA的交點(diǎn)為Q，/H上與)，軸的交點(diǎn)分別為M，N.求AQMN面積的取值范圍.

解(1)因?yàn)辄c(diǎn)。(1,卻)到其焦點(diǎn)r的距離為2,

由拋物線的定義知1+名=2,

解得p=2.

(2)由(1)可知,拋物線E：f=4x,

設(shè)痣,9)，戲,”)(.力工0,力工0),

、、|y=4x,

設(shè)/:x=ty+1,聯(lián)立J得)?-4/y—4=0,

x=ry+I,

判別式/=16尸+16>0,故/￡R,

)」+/=4/,yi>'2=—4,

設(shè)八：>_》=4刀_1),

y=4x,

聯(lián)立方程組，

廠V

消去整理得妙2—4y+4yi—ky]=0,

所以/I=16—4A-(4yi—kyy)

—4(4—4Ayi+&2)彳)—o,

所以「東2

則小尸丁尸和一號(hào))，

令x=0,得M（0,

同理自產(chǎn)方+5，M0,

得交點(diǎn)。的橫坐標(biāo)為工0=貨=-1,

S^QMN=^MN\-\X^=1"2-^2X［=1\/（丁+$2）2_4），］丁2=,尸+［2］,

???△QMN面積的取值范圍是［1,+8）.

題型二最值問(wèn)題

72

例2（2022.蘇州模擬）已知雙曲線C5一方=1（?。，〃>0）過(guò)點(diǎn)（2啦，1）,漸近線方程為產(chǎn)

鳥(niǎo)心直線/是雙曲線C右支的一條切線，且與。的漸近線交于A,B兩點(diǎn).

（1）求雙曲線。的方程;

（2）設(shè)點(diǎn)A,4的中點(diǎn)為M,求點(diǎn)M到），軸的距離的最小值.

廣「8一I廠?，

解（1）由題設(shè)可知〈,1

b_\_

U=2,

4=2,

解得

b=\,

則C：

（2）設(shè)點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為知>0,

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，則直線/：x=2,

易知點(diǎn)M到），軸的距離為加=2；

當(dāng)直線，的斜率存在時(shí)，

設(shè)/：），=履+〃（4#±0,4（xi,yi）,

8（必,>'2）?

J?=l，

聯(lián)立，4'整理得（4好一1）/+8加氏+4m2+4=0,

j=kt+〃i,

A=64d〃?2—16（43—］）（〃戶+［）=（）,

整理得4必=療+1,

延長(zhǎng)8尸i,AF?交橢圓于C,D兩點(diǎn)、,根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性可知，四邊形ABC。為平行四邊形,

且四邊形ABQ&的面積為四邊形A8CD的面積的一半.

由題知，的斜率不為零，

故設(shè)BF\的方程為x=my—\[2,

聯(lián)立科5

[x=my-y[2t

得（評(píng)+3）3一2啦沖一1=0,

設(shè)B（xi,yi）>C（X2,”），

VJ>0,

..2yf2m-1

?5+”=〃尸+3,）第=不,

故0C=、1+〃?2.|的一）引=當(dāng)*;

4

O到BFi的距離d=ViW,

=2X；X|BC]d=|BC|-d

2?。ā☉?|）二

用2+3-加+1

=2班室7府+1

vm“+3?〃戶+1+2

二2加，=2W2加X(jué)^-^二小，

歷十向地

2

當(dāng)且僅當(dāng)4〃尸+1=4〃。+|即m=±l時(shí)取等號(hào),

???當(dāng)機(jī)=±1時(shí)，四邊形ABFiB的面積最大，最大值為小.

課時(shí)精練

q基礎(chǔ)保分練

92

1.已知雙曲線C：3一方=1（〃>0,比>0）的左焦點(diǎn)為凡右頂點(diǎn)為4（10）,離心率為2,

（1）求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）已知B（0,?。?，直線/：尸丘+〃必加#0）與雙曲線C相交于不同的兩點(diǎn)M,N,若伊M|=

|6N|，求實(shí)數(shù)〃？的取值范圍.

解⑴??7=1,"=2,

???c=2,從=3,

???雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為f—六］.

(2)設(shè)>,i),Ng以)，

線段MN的中點(diǎn)Q(xo,yo).

y=辰+機(jī)，

聯(lián)立，1y2得(3一爐)『一2八心一〃尸—3=0,

廠一了=1,

3一爐W0,

依題意

J=(-2km)2-4(3-^)(-m2-3)>0,

]3一3工0,

即5.①

3+〃廠一U>0,

由根與系數(shù)的關(guān)系可得為十彗,

加+3

孫==一/，

mlXl+l2km

貝」Xo=-2-=3-p

地=垢+〃.舞,

???|4M|=|8M,:.B0工MN,

又F=3-邛%>0,③

由①②③得mV—斗^或0</〃<邛^.

2.(2023?呂梁模擬)已知。為坐標(biāo)原點(diǎn)，橢圓C「+方=1("/?0)的離心率為當(dāng)且經(jīng)過(guò)點(diǎn)

P(,,1).

(I)求橢圓C的方程；

(2)直線/與橢圓C交于4,B兩點(diǎn)，直線04的斜率為著，直線0B的斜率為依，且不幻=

求才1?協(xié)的取值范圍.

2=亞

a~3，

解（1）由題意可得q

口+?=1，

又+解得4=3,b=小.

所以橢圓C的方程為方+]=I

（2）設(shè)4（加,yi）,B（X2,J2）?

當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)/：y=kx-Vt,

y=kx-\-t,

聯(lián)立4M=l,

消去），得（1+3F*+6板+3戶-9=0,/=12（3+9嚴(yán)一戶）>0,

-6kl

即+氏=]+3。

p,.v\yi

則Ak[k2-x~~y1

3-一9[X2

-V,X2=7+3F,

故）'|〉'2=一/1X2且即12云0,即3/一9#0,則/K3,又力=履1+/,丫2=5+/,

一6必尸,

一市?+廠

VIV2（履|+。（心+27）

所以=四二內(nèi)+3”9-

MMX\X2X\X2

1+3必

）-9狼

=3P-9=~y

3

整理得23=9爐+323,則尸2]且/>0恒成立.

12237一9,尸一3J,V\

OAOB=X\X2+）'|）'2=X\X2~/陽(yáng)=/2=方訴=3丁=3（1一方,

又z2號(hào)且注3,故3（1—為￡[-3,0）"0,3）.

當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，X2=xi,1y2=一川，則”出2=又5+^n，解得后=*

綜上，工V為的取值范圍為[-3,0）U（0,3].

R綜合提升練

3.(2023?濟(jì)寧模擬)已知拋物線E：)，2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為廣，點(diǎn)M(4,〃?)在拋物線E上，且

△OMF的面積為:p2(O為坐標(biāo)原點(diǎn)).

(1)求拋物線E的方程；

⑵過(guò)焦點(diǎn)廠的直線/與拋物線上交于小B兩點(diǎn),過(guò)A,B分別作垂直于/的直線AC,BD,

分別交拋物線于C,。兩點(diǎn)，求I4C1+I8DI的最小值.

〃戶=汕

解(1)由題意可得｛1、P,,\,

5乂?|川=呼-,

解得〃=2.

故拋物線E的方程為r=4x.

(2)由題意知直線/的斜率一定存在且不為0,F(l,0),設(shè)直線/的方程為工=)+1,/X0,

設(shè)4即，yi)?8(X2,”)，C(X3,心)，

易知即=叨+1>0,%2=8+>0，

x=(y+l,

聯(lián)立24

1尸4.*

消去x得y2—4)—4=0.

所以》+>2=4，，.””=一4.

由4C垂直于/,得直線AC的方程為y—》=一心一汨)，

廠》=一心一Xi),.

聯(lián)立j,消去x得y+4y—4g—41yl=0.

U'=4x,

所以》+>3=-*)D'3=4儀；4”

所以|AC|=4(汨-「)2+3-”)2

=?^(1+5[。1+”)2—4)，1”]

16+16/2.叫+!63

16+4產(chǎn)4+16/),|

-3

r

26+1.

=F?1)1+21

242+1

=3.((yi+2).

同理可得由。|=叫士!(少+2),

所以|AC]+\BD\=2*+1[心，]+”)+4]=1；+102+])=,

令於尸弟￡，XX)，則,/d?L2)..v>0,

所以當(dāng)x￡(0,2)時(shí)，f(x)<0,凡0單調(diào)遞減；當(dāng)x￡(2,+8)時(shí)，f(x)>0,凡0單調(diào)遞增.

所以當(dāng)x=2時(shí)，凡丫)取得最小值，即當(dāng)，=小時(shí)，依。+|8。|的最小值為12小.

應(yīng)拓展沖刺練

4.已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)是尸|(0,-2),尸2(0,2),點(diǎn)P(也，2)在橢圓上.

(1)求此橢圓的方程；

(2)過(guò)B作兩條互相垂直的直線，分別交橢圓于A,B,C,。四點(diǎn)，求四邊形4CB。面積的

取值范圍.

解(1)由題意知，c=2,

因?yàn)榻裹c(diǎn)在y軸，

設(shè)橢圓方程為%+$=1(6功>0),

42

將點(diǎn)尸的坐標(biāo)代入上式得7+京=1,

聯(lián)立方程｛?爐+護(hù)21,

々2=4+62,

解得/=8,乂=4,

所以橢圓方程為卷+?=1.

(2)如圖，當(dāng)過(guò)西的兩條互相垂直的直線的斜率都存在時(shí)，設(shè)直線A8的斜率為生

則直線A8的方程為)，=履+2,直線CO的方程為)，=-3+2,

設(shè)4(X1,巾)，8(X2,”)，C(X3，心)，%4,、4),

聯(lián)立直線A