7.3二次函數(shù)與一元二次方程、不等式

思維導(dǎo)圖

知識(shí)點(diǎn)總結(jié)

一元二次不等式與相應(yīng)的二次函數(shù)及一元二次方程的關(guān)系

判別式/=從一4acJ>0J=0J<0

二次函數(shù)y=ad4￡上

+H+c（a>0）的圖象*

一元二次方程

有兩相異實(shí)數(shù)根有兩相等實(shí)數(shù)根

ar+/?x4-c=0沒有實(shí)數(shù)根

b

X”X2（?VX2）即=必=-五

3>0）的根

一元二次不等式

N?2a}

aF+bx+c>0{xlrVxi或X>M}R

3>0）的解集

一元二次不等式

{x|xi<X<X2)00

3>0）的解集

由二次函數(shù)的圖象與一元二次不等式的關(guān)系判斷不等式恒成立問題的方法

。>0,

1.一元二次不等式a『+6+c>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立T

b2-4ac<0.

2.一元二次不等式加+區(qū)+U。對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立T*4*0.

典型例題分析

考向一一元二次不等式的解法

【例】已知不等式aF+bx+oO的解集是“|。<代咽（。>0）,則不等式cF+〃x+a<0的解集是（）

AG'9B.（_8,加七,+oo）

C.（a,P）D.（一8,G）U0,+8）

【答案】B

【解析】不等式af+bx+oO的解集是則a,/?是一元二次方程aF+^x+cn。的實(shí)數(shù)

bc

根,且,\a+fi=?-/?="

不等式cf+法+〃<0可化為%2+%+1>0,

.\afix-(a+fi)x+l>0,化為1)(分-1)>0,

又0<a<p,：?；>/0

???不等式?！?區(qū)+興0的解集是3xg或心］1,故選B.

【變式】（201式江蘇卷）函數(shù)）：=回7+6］一.嚴(yán)的定義域是

【答案】［-1,7］

【解析】要使函數(shù)有意義，需7+6x—『20,即金一6x—7W0,解得一1WxW7.故所求函數(shù)的定義域?yàn)?/p>

[-UJ.

【方法技巧】

1.解一元二次不等式的一般方法和步驟

（1）化：把不等式變形為二次項(xiàng)系數(shù)大了零的標(biāo)準(zhǔn)形式.

（2）判：計(jì)算對(duì)應(yīng)方程的判別式，根據(jù)判別式判斷方程有沒有實(shí)根（無(wú)實(shí)根時(shí)，不等式解集為R或0）.

（3）求：求出對(duì)應(yīng)的一元二次方程的根.

（4）寫：利用“大于取兩邊，小于取中間”寫出不等式的解集.

2.含有參數(shù)的不等式的求解，首先需要對(duì)二次項(xiàng)系數(shù)討論，再比較（相應(yīng)方程）根的大小，注意分類討論

思想的應(yīng)用.

【變式】（2019?天津卷）設(shè)入ER,使不等式3/+八一20成立的人的取值范圍為.

【答案】(-1,1)

【解析】3『+L2Vo變形為Q+1)?(3L2)V0,解得一lag,故使不等式成立的x的取值范圍為(一1,

已知常數(shù)a￡R,解關(guān)于x的不等式

22

［解析］V12%—ax>ar

12A2—d2>0,即(4x+a)(3x—〃)>0.

令(4x+a)(3x—4)=0,解得力：=_1及=*

①當(dāng)a>0時(shí),一余f,解集為｛xU<—；或x>1｝:

②當(dāng)。=0時(shí)，『>o,解集為［小GR且xWO｝；

③當(dāng)?<0時(shí)，一，解集為卜僅〈三或才>—§.

綜上所述：當(dāng)a>0時(shí)，不等式6勺解集為｛*、?<一號(hào)或若｝；

當(dāng)a=0時(shí)，不等式的解集為*|x￡R且xXO｝;

當(dāng)?<0時(shí)，不等式的解集為卜睜4或Q—彳｝.

考向二一元二次不等式的恒成立問題(在實(shí)數(shù)R上恒成立)

【例】若不等式2&十日—表o對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立，則攵的取值范圍為.

O

【解析】當(dāng)4=0時(shí)，顯然成立；

R0,

當(dāng)AWO時(shí)，即一元二次不等式2履2+履一改0對(duì)一切實(shí)數(shù)X都成立

—4X2AX（一§<0,

解得一34Vo.綜上，滿足不等式2小+履一［<0對(duì)一切實(shí)數(shù)x都成立的女的取值范圍是(一3,()］.

O

【答案】(-3,0］

【方法技巧】在R上的恒成立問題

解決此類問題常利用一元二次不等式在R上恒成立的條件，注意如果不等式aF+云+。>0恒成立，不

要忽略。=0時(shí)的情況.

【變式】若不等式f—玩+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)工都成立，則實(shí)數(shù)”的取值范圍是.

【解析】依題意，設(shè))，=『一履+1,因?yàn)椴坏仁?一日+1>0對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，所以/=爐一4<0,

解得人￡(一2,2).

【答案】A

【解析】函數(shù)外）=『一〃次+2的對(duì)稱軸為x=第由其在區(qū)間（一8,2）上是減函數(shù)，可得今22,，加力.

..yGp,5+1）且,+］一2運(yùn)蒙一1,

???當(dāng)加，制電，^H］時(shí)，

X-V）max=次1）=3—m，/U）min=一2.

由Vxi,及￡I,胃+1,總有貝戈1）一/（K2）|W4,

??貝汨）-?/（X2）|inaxW4,?J（X）nHK—7（X）minW4,

；?（3-（一半+2）W4,

即病一4〃?一12W0,解得一2W〃?W6.

綜上，4W〃?W6,故選A.

【方法技巧】給定參數(shù)范圍求x的范圍的恒成立問題

1.對(duì)于一元二次不等式恒成立問題，恒大于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸上

方，恒小于0就是相應(yīng)的二次函數(shù)的圖象在給定的區(qū)間上全部在x軸下方.另外常轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值

或用分離參數(shù)法求最值.

2.解決恒成立問題一定要搞清誰(shuí)是主元，誰(shuí)是參數(shù)，一般地，知道誰(shuí)的范圍，誰(shuí)就是主元，求誰(shuí)的范圍，

誰(shuí)就是參數(shù).

基礎(chǔ)題型訓(xùn)練

一、單選題

1.一元二次不等式-工-1<0的解集是（）

A.）U（U-Ko）B.（T；）C.（-<?,-l）U（；,+8）D.（一；，1）

【答案】D

【解析】根據(jù)公式直.接求解一元二次不等式.

［詳解］2X2-X-1<0<=>(X-1)(2X+1)<0,

解得：

所以不等式的解集是X-<A<h.

故選：D

2.不等式y(tǒng)=〃2—x—。>()的解笑為{x|_2vxvl},則函數(shù)y的圖象為()

【答案】B

【解析】根據(jù)不等式尸a/r-oo的解集為卜|-2-<1},可得興0,且-2和1是一元二次方程

?2-x-c=0的兩個(gè)實(shí)根，結(jié)合圖象可知答案.

【詳解】囚為不等式J=?-0的解集為{劃一21},

所以a<0,且一2和1是一元二次方程ar：-x-c=O的兩個(gè)實(shí)根，

所以函數(shù)y的圖象開后向下，函數(shù)y的兩個(gè)零點(diǎn)為-2和1,

結(jié)合圖象可知，選項(xiàng)〃正確.

故選：B

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛?：根據(jù)不等式的解集得到“0,且-2和1是一元二次方程ar?%c=o的兩個(gè)實(shí)根是解

題關(guān)鍵.

3.若不等式2點(diǎn)日.+?>。對(duì)任意實(shí)數(shù)x都成立，則實(shí)數(shù)4的取值范圍是()

O

A.［0,3)B.(0,3)C.10，引D.{0}U(3,-KC)

【答案】A

2Q0

【分析】對(duì)k分k=0或0兩種情況討論，當(dāng)心0時(shí)八八，解得即可；

△<0

【詳解】解：因?yàn)椴坏仁?奴2+如+匕>0對(duì)任意實(shí)數(shù)X都成立，當(dāng)&=0時(shí)?>0滿足條件，

OO

2k>0

當(dāng)心()時(shí)，則A,2,?3八，解得0<攵<3；

I8

綜上可得04攵<3,即kw[0,3)

故選:A

4.已知&Act〃，若/(xXo^+hx+c,滿足/(一2)=/(4)</(0),則()

A.a<0,a+b=0B.a>(\a+b=0

C.a<0,2a+b=0D.。>0,2。+〃=0

【答案】C

【分析】由/(-2)=/(4)</(0),得到函數(shù)/(%)=依:bx+c圖象開口向下，且以x=l為對(duì)稱軸，即可求解.

【詳解】由/(一2)=/(4)</(0),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，

可得函數(shù)/(x)=o?+/狀+，圖象開口向下，且以匯=1為對(duì)稱軸，

HP?<0,--=1,解得。<0,2a+b=0.

2a

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)的應(yīng)用，其中解答中熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解

答的關(guān)鍵，著重考查分析問題和解答問題的能力.

5.不等式工(2-力>0的解集

A.沖)0}B.{x\x<2}C.{x|x〉2或r<0}D.{x|0<x<2}

【答案】D

【分析】因?yàn)榉匠蘹(2-幻=0兩根分別為芭=0,*=2,且不等式二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，根據(jù)大于零的解集

為倆根之間”，可得答案.

【詳解】x(2-力>0,如果展開，其二次項(xiàng)系數(shù)為負(fù)，對(duì)應(yīng)拋物線開口向下，大于0解集為“兩根之間〃，

故解集為{x|0vx<2},所以正確選項(xiàng)為D.

【點(diǎn)睛】本題主要考查了一元二次不等式的解法，較簡(jiǎn)單.

6.若關(guān)于x的方程aF-2or+l=。有兩個(gè)不同的正根，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（）

A.（0,1）B.（0,+8）C.（1,+*?）D.（3,0）

【答案】C

【分析】由。工0,判別式A>0及根與系數(shù)關(guān)系列出不等式組，即可求出實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【詳解】因?yàn)殛P(guān)于x的方程ad-如+1=0有兩個(gè)不同的正根，

〃工0

所以<A=4/—4a>0,解得以>1,故實(shí)數(shù)。的取值范圍是（1，例）.

1>0

a

故選：c

二、多選題

7.下列四個(gè)不等式中解集為R的是（）

A.-x2+x+l>0B./-2逐x+x/5>0

C.-2x2+3x-4<0D.x2+6x+10>0

【答案】CD

【解析】根據(jù)一元二次不等式的解法，逐個(gè)分析判斷即可得解.

3

【詳解】對(duì)于C項(xiàng)，不等式可化為x2-jx+2>0,

所以

416

所以-2X2+3X-4V0的解集為R；

對(duì)于D項(xiàng)，不等式可化為（x+3）2>-l,

所以X2+6X+10>0的解集為日,

對(duì)于A,B均不可得解集為R,

故選：CD.

8.若方程V+2x+zl=0在區(qū)間（-1,0）上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值可以是（）

-1I

A.-3B.-C.-D.1

84

【答案】BC

【解析】分離參數(shù)得4求出———2%在(-1,0)內(nèi)的值域即可判斷.

【詳解】由題意；l=—V—2x在(T0)上有解.

0xe(-l,O),02=-x2-2x=-(.r+1)2+1e(0,1),

故選：BC.

三、填空題

9.若方程加+法+c=0("0)有唯一的實(shí)數(shù)根3,則不等式加+加+c20的解集為

【答案】但］=3}

【分析】由題設(shè)條件得到拋物線)二以2+6+4x0)的圖象特點(diǎn)，即可求得不等式的解集

【詳解】由已知得拋物線)=?！?/次+《?！?)的開口向下，與大軸交于點(diǎn)(3,0),

故不等式—+以+cNO的解集為何x=3}.

故答案為：{x|x=3}

10.函數(shù)y=x-x“xwR)的最大，直為.

【答案】y/0.25

4

【分析】由二次函數(shù)的性質(zhì)即可得出函數(shù))，=x-V。cR)的最大值.

［詳解］函數(shù)y=x_x2=_(x_J?~+_Lv_L,

I2；44

所以函數(shù)y=x-/(xeR)的最大道為!.

4

故答案為：—.

4

11.若函數(shù)/("=f+2(a-l)x+2在區(qū)間(YO,4)上是單調(diào)減函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

【答案】

【分析】求得函數(shù)/(x)的對(duì)稱軸方程，進(jìn)而可得結(jié)果.

【詳解】顯然，函數(shù)的對(duì)稱軸方程為工=1-。，依題意可得1-?！?，解得aW-3.

故答案為：(-8,-3］.

12.當(dāng)x團(tuán)(1,2)時(shí)，不等式x2+mx+4Vo恒成立，則m的取值范圍是.

【答案】(ro,-5]

【詳解】令/(x)=V+g+4,則/(X)的圖像是開口向上的拋物線,

7（1）=1+7W+4<0?,

要當(dāng)xe(l,2)時(shí)，/(“<。恒成立，只需，，⑵=4+2〃-44。'解得〃叱￡

點(diǎn)睛：本題主要考杳了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，不等式的恒成立問題的求解，其中把不等式的恒成立

問題轉(zhuǎn)化為一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解答的關(guān)鍵，對(duì)于不等式的恒成立問題常見解法分離參數(shù)法和利

用函數(shù)的性質(zhì)、函數(shù)的最值，平時(shí)要注意總結(jié)和積累.

四、解答題

13.解不等式:o?-5or+6a>0(a工0)

【答案】當(dāng)。>0時(shí)，解集為｛x|x<2或>3｝；當(dāng)。<0時(shí)，解集為｛x|2<x<3｝.

【分析】因?yàn)椤?0,A>0,所以我們只要討論二次項(xiàng)系數(shù)的正負(fù).

【詳解】a(x~-5x+6)=?(X-2XA-3)>0

.:當(dāng)a>0時(shí)，解集為｛水<2或03｝；當(dāng)a<0時(shí)，解集為“12<x<3｝.

14.已知不等式ar?—3x+2>0的解集為｛x|x<l或x>b｝S>D

⑴求。，〃的值；

出解不等式奴2-(改+2)工+2<?<0,(￡￡/?).

【答案】⑴。=1方=2：

⑵答案見解析?.

【分析】(1)由不等式的解集知：x=l,x=b是奴2-3x+2=0的根，結(jié)合根與系數(shù)關(guān)系求。，6的值;

(2)由(1)題設(shè)不等式可化為(x-c)(x-2)v0,討論c,2的大小關(guān)系求解集即可.

【詳解】(1)團(tuán)不等式/-3工+2>0的解集為"卜<1或犬>可，

。>0

3

團(tuán)x=l或x=b是方程以2一33+2=0的根,則廠1+。,解得a=l功=2.

-=\b

a

(2)由(1)知：不等式化為x2—(c+2)x+2c<0,即(x-c)(x-2)v0,

當(dāng)c>2時(shí)，不等式的解集為卜|2<x<c},

當(dāng)c=2時(shí)，不等式的解集為0,

當(dāng)c<2時(shí)，不等式的解集為{x[c<x<2}.

15.已知全集0=1^,集合4--3x+2?。},笈-{川12-2at+4?0,aG次}.

(1)當(dāng)AC)4=A時(shí)，求。的取值范圍；

(2)當(dāng)=A時(shí)，求。的取值范圍.

【答案】(1)小+8)；⑵(0』.

【分析】(1)解一元二次不等式化簡(jiǎn)集合A的表示，根據(jù)AB=A,可以得到A3之間的關(guān)系，利用二次

函數(shù)的性質(zhì)求出求。的取值范圍；

(2)根據(jù)AB=A,可以得到48之間的關(guān)系，根據(jù)一元二次方程的根的判別式的正負(fù)性進(jìn)行分類討論,

最后求出。的取值范圍.

【詳解】(1)A=[l,2],

當(dāng)A4=A時(shí)，4=8,

記f(x)=f-2ov+a,

山/(12)<00>即;f4l一-24?。++i。z4<0'4

得。N1

即。的取值范圍是+8).

(2)由=得BqA.

記f(k)=x2-2ax+a.

①當(dāng)△=(—2a)2-4〃v0,即0<a<l時(shí)，8=0,滿足題意；

②當(dāng)△=()即4=0或a=l時(shí)，

若〃=0,則8={x|/W0}={0},不合題意；

若〃=1,則8=卜|(彳-1)2￡。}={1}5,滿足題意；

③當(dāng)△>()時(shí)，f(x)=/-2m:+〃的圖象與％軸有兩個(gè)不同交點(diǎn).

由BgA,知方程V—2o￥+a=0的兩根位于1,2之間.

“0或0)1

△=4/-4a>0

\<a<2

\<a<2

從而，即<a<\，故

〃l)N0

,4

/（2）>0a<-

3

綜上，。的取值范圍是（0,1].

【點(diǎn)睛】本題考查了已知集合的交集求參數(shù)問題，考查了一元二次方程、一元二次不等式以及二次函數(shù)之

間的關(guān)系，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算能力.

16.已知不等式|2x—3|<x與不等式"a+〃<0（/幾〃￡/?）的解集相同.

（1）求〃L〃；

（2）若a,〃,ce（0,l）,且他+加;十，求/+從+C?的最小值.

【答案】（1）1：（2）1.

【分析】（1）解不等式|2x-3|<x得出/-皿+〃<05,〃€火）的解集，從而求得機(jī)，〃；

（2）根據(jù)題意，利用基本不等式求得的最小值.

【詳解】解：（1）當(dāng)XK0時(shí)，不等式解集為空集；

當(dāng)了>0時(shí)，|2x-3|<x<=>-x<2x-3<x,

即lvxv3,

所以1，3是方程/_3+,?=o的兩根，

11一〃?+〃=0,

所以19-3加+〃=0.

解得8=：'所以利-〃=1.

〃=3.

(2)由(1)可知a〃+〃c、+”?=1,

,a2+b2、，b2+c2,a2+c2、

m因i為------>ab,------>he,------>ac>

222

KS.I2,224+從b2+c2a2+c

所以+c-=------+------+-----

>ab+bc+ac=\

（當(dāng)且僅當(dāng)〃=b=c=立時(shí)取等號(hào)）

3

所以的最小值為1.

【點(diǎn)睛】本題考查了絕對(duì)值不等式的解法，基本不等式的應(yīng)用，屬于中檔題.

提升題型訓(xùn)練

一、單選題

1.已知集合A=3(X-2)(X+2)”0},8={-2,-1,0,1,2,3},則人。8=()

A.0B.{0,1,2}

C.{-I,0,1}D.{-2,-1,0,1,2}

【答案】D

【解析】求解一元二次不等式解得集合A,再求交集即可求得結(jié)果.

【詳解】集合A={x|(x-2)(x+2)選)}=(川-2*2},

8=(-2,一1,0,1,2,3},

B=1-2,-1,0,1,2}.

故選:D.

【點(diǎn)睛】本題考查集合的交運(yùn)算，涉及一元二次不等式的求解.，屬綜合簡(jiǎn)單題.

2.已知函數(shù)/(同二/一工+加，g(x)=(/-24)x+44-4,若對(duì)于任意xw(l,”)，均有/(x)>g(x)成立，

則實(shí)數(shù)。的取值范圍是()

A.(—1,3)B.(3,-1)C.(-°o,-1)D.(3,+QO)

【答案】A

【解析】由f(x)>g(x)得2x)=fa)-g(x)>0恒成立，分離參數(shù)，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最小值，然后可得解“

的范圍.

【詳解】gF(x)=/(x)-g(x)=-(a-l)2x+4,f*)>ga)恒成立,即尸(x)>0恒成立，

4

X>1W，尸(X)>0恒成立，即(a-1)2VX+-恒成立，

X

%>1時(shí)，x+^>2^|=4,當(dāng)且僅當(dāng)X=2時(shí)等號(hào)成立，國(guó)X+1的最小值為4.

團(tuán)(〃-1)2<4,解得-l<a<3.

故選:A.

3.設(shè)一元二次不等式磔2+加+1>0的解集為{x[T<x<2},則必的值為()

111

A.-1B.——C.-D.——

442

【答案】B

【分析】根據(jù)-1和2是方程奴?+以+i=o的兩個(gè)根，由韋達(dá)定理解得。和力，可得結(jié)果.

【詳解】由題意可知方程欠2+區(qū)+1=()的根為-1,2,

由韋達(dá)定理得：-1+2=-2,-1x2=i,

aa

解得/?=:，"=_:，所以

224

故選:B.

4.已知。、〃是不全為零的實(shí)數(shù)，則關(guān)于“的方程V十①十〃)“十/十〃2二()的根的情況為.

A.有兩個(gè)負(fù)根B.有兩個(gè)正根

C.有兩個(gè)異號(hào)的實(shí)根D.無(wú)實(shí)根

【答案】D

【詳解】試題分析：二次方程中△=(。+。)2-4(/+〃)=一3/一3從+2"=-(〃一人『一242-處2<(),所以方

程無(wú)實(shí)數(shù)根

考點(diǎn)：二次方程根的判定

5.函數(shù)〃司=儂2-(a+l)x+2在區(qū)間(-8,1)上是減函數(shù)，那么實(shí)數(shù)〃的取值范圍是()

A.[0,1)B.[1,+<?)C.[0J]D.(0,1]

【答案】C

【分析】先討論。的取值，當(dāng)。=0時(shí)，為一次函數(shù)，滿足條件.當(dāng)。工0時(shí),為二次函數(shù)，利用函數(shù)的單調(diào)

性和對(duì)稱軸之間的關(guān)系，確定區(qū)間和對(duì)稱軸的位置，從而建立不等式關(guān)系，進(jìn)行求解即可.

【詳解】當(dāng)a=0時(shí)，/(x)=ar2-(?+l)x+2=-x+2,在定義域R上單調(diào)遞減，滿足在區(qū)間(9,1)上是減

函數(shù)，故a=0成立.

當(dāng)〃工0時(shí)，二次函數(shù)/("=/—(a+l)x+2的對(duì)稱軸為>_二^卻="1,

2a2a

團(tuán)要使/(司=加-(〃+l)x+2在區(qū)間(F,1)上是減函數(shù)，則必有〃>0且對(duì)稱軸誓之1,即4+12為，解得

()<?<],

綜上，OWaKl,即a的取值范圍是[0,1].

故選:C.

6.關(guān)于％的不等式V-(a+2)x+a+l<0的解集中，恰有3個(gè)整數(shù)，則。的取值范圍是()

A.(3,4]B.(4,5]

C.[-4,-3)U(3,4]D.[一3,—2)545]

【答案】C

【分析】首先將原不等式轉(zhuǎn)化為微-(。+1)(x-l)vO,然后對(duì)。進(jìn)行分類討論，再結(jié)合不等式解集中恰有3

個(gè)整數(shù)，列出關(guān)于。的條件，求解即可.

【詳解】關(guān)于元的不等式Y(jié)-(a+2)x+a+lv0等價(jià)于爵(a+1)(x-l)vO

當(dāng)?！?時(shí)，即。+1〉1時(shí)，卜工的小等式Y(jié)-(a+2)x+a+lv0的解集為(1M+1),

a4-1>4/r

要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則一<nac3,4；

a+145J

當(dāng)〃=0時(shí)，即a+l=l時(shí)，于％的不等式/-(。+2?+〃+1<0的解集為0,不滿足題意；

當(dāng)*0時(shí)，即〃+1<1時(shí)，于x的不等式“2-(〃+2)工+〃+1<()的解集為+

fa+1<-2「、

要使解集中恰有3個(gè)整數(shù)，則<-3；

綜上，。目-4,—3)U(3,4].

故選：C.

【點(diǎn)睛】本題主要考了一元二次不等式的解法以及分類討論思想，屬于中檔題.

二、多選題

7.若方程V+2x+/l=()在區(qū)間(-1,0)上有實(shí)數(shù)根，則實(shí)數(shù)4的取值可以是()

CII

A.-3B.-C.-D.1

84

【答案】BC

【解析】分離參數(shù)得;1=-f-zx,求出-爐一2%在(TO)內(nèi)的值域即可判斷.

【詳解】由題意4=-“2一2%在(T,0)上有解.

□xe(-l,O),02-x22x-(xlI)2I1G(0,1),

故選：BC.

8.若不等式加+x-（。+1）20的解集是卜卜2WXW1｝的子集，則實(shí)數(shù)〃的取值可以是（）

11

A.—IB.0C.—D.—

32

【答案】AD

【解析】分〃=0與。工0兩種情況討論，結(jié)合已知條件得出關(guān)于。的不等式（組），求出。的取值范圍，即可

得出合適的選項(xiàng).

【詳解】當(dāng)。=0時(shí)，不等式辦2+工一（々+1）之。即為XTNO,解得不合乎題意；

當(dāng)“0時(shí)，由于不等式加+x-（〃+l）NO的解集是3的子集，

則”0,解方程or2+x_（a+］）=o,即（。七+〃+1）@—1）=0,解得內(nèi)=-四，/=1.

a

由顧意可得一24—出■41.解得口工一?.

a2

因此，AD選項(xiàng)合乎題意，BC選項(xiàng)不合乎題意.

故選：AD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵在于以下三點(diǎn)：

（1）要對(duì)實(shí)數(shù)〃分。=0與。工0兩種情況討論；

（2）根據(jù)不等式加+x—（。+1）2。的解集為3-23?1｝的子真推出°<0；

（3）方程/+x—（。+1）=0有根，且根均為集合何一2"4｝的元素.

三、填空題

9.函數(shù)），=/一2工，xe［0,2］的最大值為.

【答案】0

【分析】將一次函數(shù)y=寸-2工化成頂點(diǎn)式，可知當(dāng)0WXW2,則工=0或戶2時(shí)，函數(shù)取得最大值，代入

計(jì)算即可得出答案.

22

【詳解】函數(shù)y=x-2A=（A-1）-lz0<x<2,

2

.,.x=0或x=2時(shí),函數(shù)y=（x-V）-\取最大值，y,mx=0.

故答案為：o.

10.定義新運(yùn)算“③”，滿足對(duì)任意的a,〃cR,有a?b=ab+b.若對(duì)VKWR,（〃吠）?（x-l）vx恒成立，則

實(shí)數(shù)〃，的取值范圍是.

【答案】{〃?|-4<，三0}

【分析】將（，?。?（X-1）<X化簡(jiǎn)得根「_〃次_]<（）,轉(zhuǎn)化為不等式恒成立問題求解.

【詳解】由得，（〃底）（工一1）+工一1<%,化簡(jiǎn)得股*一"Lt-IV0對(duì)VvwR恒成立,

當(dāng)加=0時(shí)，成立；

m<0

當(dāng)"7。0時(shí)，滿足L/r，即TV，”。：

A=nr+4〃?<0

故實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍是何|-4<m<0}.

故答案為：{m|-4<m<0}.

32

11.己知x,y>0,2x+-+y+—=8,則町，的取值范圍為__________.

xy

【答案】[1,3]

【分析】令孫=/（f>。），則y=；，代入方程整理得（2+：卜-8x+（，+3）=0,則問題轉(zhuǎn)化為方程

（2+：1“2-8%+（，+3）=0有解，由△2（）得至IJ不等式，解得即可.

【詳解】解：令母=f（/>0）,My=-,代入方程得24+。+工+生=8,

-XXXI

gp[2+-L2-8x+（/+3）=0,貝ij方程（2+2]/-8x+（/+3）=0在（0,+e）上有解，

令山）=（2+：卜-8x+（/+3）,顯然〃0）=/+3>0,又對(duì)稱軸戶軍>0

貝IJ只需△=64-4x（2+：）（/+3）N0,整理得“—々+340，解得1W3,即

故答案為："3]

12.若關(guān)于x的一元二次方程"=伏。〃>0）的兩根分別是〃7+1與2m-4,則式子次二也的值是

a

【答案】-10

【解析】求解方程如2=雙必>0）,由兩根之和為0,求得〃?，從而求出?的值即可求得.

【詳解】因?yàn)闋?伙">0）,故可得尸土的，

由兩根之和為0，即可得，〃+1+2/〃—4=0,

解得〃7=1,故方程的兩根為2或-2,

故可得2=4,

由%?-吆V）=2-3xb2,代值可得

aa

2a-3b__.__

------=2-3x4=-10.

a

故答案：-10.

【點(diǎn)睛】本題考查由一元二次方程的根求解參數(shù)的值，屬基礎(chǔ)題.

四、解答題

13.已知方程/一3匯+1=0的兩根為4與乙，求下列各式的值：

⑴工：十方；

⑵x；+E：

X再

⑶工2+」.

再W

【答案】⑴7

⑵18

（3）7

【分析】（1）由一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系可得、+%：3,再利用完全平方公式可得x：+好的值;

收電=1

（2）利用立方和公式因式分解求解即可：

（3）通分整理求解即可.

【詳解】（1）解：已知方程/一3工+1=0的兩根為巧與演，所以可得I、""：'

-附=?

22

所以X：+X；=（XI+x2）-2X]X2=3-2X1=7；

（2）解：由（1）有：且2=7

2

所以xf+￡=(X]+^2)(^1-xrr2+X2)=3X(7-1)=18

(3)解:三+五=^ii=?

x,x2耳毛1

14.已知〃-5or+4/<0,其中。>0,^:3<x<4.

（1）若a=l，且〃人“為真，求實(shí)數(shù)*的取值范圍；

（2）若〃是4的必要不充分條件，求實(shí)數(shù)。的取值范圍.

【答案】（1）（3,4）；（2）（1,3].

【分析】（1）。=1時(shí)，解一元二次不等式可得命題〃，由〃八夕為真，即〃、。均為真，列出不等式組求解，

即可得答案；

（2）設(shè)〃：A=（a,4a）,g:3=（3,4],由題意，BA,根據(jù)集合的包含關(guān)系列出不等式組求解，即可得答

案.

【詳解】解：（1）。=1時(shí)，p:x2-5x+4<0,解得1vxv4,q:3<x<4.

團(tuán)〃人“為真,團(tuán)〃、9均為真,

3<x<4,

吟?*解得3Vx<4,

l<x<4

回實(shí)數(shù)x的取