2.5二次函數(shù)

理解二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，能用二次函數(shù)、一元二次方程、一元二次不等式之間的關(guān)

系解決簡(jiǎn)單問(wèn)題.

陛備知識(shí)回顧自主學(xué)習(xí)?甚啾回扣

教材回扣?

1.二次函數(shù)解析式的三種形式

⑴一?般式：Hx)=a/+bx+cgwo).

(2)頂點(diǎn)式：,/(x)=4(x—〃?)2+〃(aW0),頂點(diǎn)坐標(biāo)為(a〃).

(3)交點(diǎn)式：/(x)=q(x-xi)(x—X2)(aW0),x\,也為./)的零點(diǎn).

2.二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)

函數(shù)y=ax2+bx-^c(a>0)y=ax2+bx+<0)

圖象(拋

物線)

L。VpX1

定義域R

4ac-b2.](4ac-br

值域I*4〃

L4aJ

b

對(duì)稱軸x=-~

~2a

頂點(diǎn)fb4ac-b]

4a)

坐標(biāo)\~2CL-

奇偶性當(dāng)b=0時(shí)是偶函數(shù)，當(dāng)/)關(guān)0時(shí)是非奇非偶函數(shù)

在卜8,-1］上是埴函數(shù)：

在(一8‘-3上是減函數(shù)；

單調(diào)性在K/+8,

在［-2。'+8)上是增函數(shù)1

上是遨函數(shù)

IET教材拓展

1.二次函數(shù)的單調(diào)性、最值與拋物線的開(kāi)口方向和對(duì)稱軸及給定區(qū)間的范圍有關(guān),

2.若Ax)=ax2+6x+cQH0),則當(dāng)

U<o

時(shí)，恒有兒丫)>0；當(dāng)時(shí)，恒有,兒丫)<0.

基礎(chǔ)檢測(cè)

D---

1.判斷(正確的畫(huà)“J”，錯(cuò)誤的畫(huà)“X”)

(1)二次函數(shù)卜=4爐+以+。的圖象恒在X軸下方，則aVO且/V0.(J)

(2)若二次函數(shù)y=a*+6+c?的兩個(gè)零點(diǎn)確定，則二次函數(shù)的解析式確定.(X)

4〃——

(3)二次函數(shù)卜=以2十做+c(xem，川)的最值一定是.(X)

4。

2.函數(shù)y=f—2x+4的最小值為3.

解析：,y=.￥2—2r+4=(x—1)2+3,故當(dāng)x=l時(shí)，為而=3.

3.已知大刈為二次函數(shù)，若/(x)在x=2處取得最小值-4,且/(x)的圖象經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，則函

數(shù)解析式為心)=/一4x.

解析：由題意，可設(shè)/(x)=q(x-2)2—4(a>0),又圖象過(guò)原點(diǎn)，所以/(0)=4〃-4=0,解

得a=1,所以/(.V)=(.V-212-4=x2-4x.

4.若函數(shù)｛丫)=4丫2一公一公在卜，20]上單調(diào)，則實(shí)4:的取值范圍為(一8,401LHI60,

+0°).

解析：依題意知，”220或4W5,解得％2160或人?40.

88

母鍵能力提升互動(dòng)探究?學(xué)點(diǎn)精講

考點(diǎn)1二次函數(shù)的解析式

【例1】已知二次函數(shù)人制滿足川2)=-1,火-1)=一1,且兒。的最大值是8,則人幻

=一4/+4工+7.

【解析】方法一(利用“一般式”)設(shè).信)=加+隊(duì)+池/0).

4a+2/)+c=—1,

a=-4,

a-b-^c=—\,

由題意得解得6=4,

4ac—tr門(mén)

=8.c=7.

4a

所以所求二次函數(shù)的解析式為.兒丫)=-4F+4x+7.

方法二(利用“頂點(diǎn)式”)設(shè)/(x)=a(x—小)2+〃(aW0).因?yàn)?(2)=/(—1),所以拋物線

的對(duì)稱軸為直線x=2+；”=；,所以〃?=；.又函數(shù)有最大值8,所以〃=8,所以/(x)=ak2]

心―平

+8.因?yàn)?(2)=—1,所以，—2J+8=—1,解得°=一4,所以.危)=一4(2)+8=-4x2

+4x+7.

方法三(利用“交點(diǎn)式”)由已知/(x)+l=O的兩根為不=2,、2=—1,故可設(shè)/(》)

+1=a(x—2)(x+1)(〃20),即/)="一0丫一2“一1.又函數(shù)有最大值8,即4"(-2"-1)一!一"’2

4a

=8.解得a=—4或.a=0(舍).故所求函數(shù)的解析式為/(x)=—4/+4*+7.

/規(guī)律總結(jié)k

求二次函數(shù)解析式的方法

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練1】已知.段)是二次函數(shù)且滿足<0)=1,./+l)-/(x)=2r,則函數(shù)/⑴的解

析式為/G)=/-x+l.

解析：由題意，設(shè)/(燈=0￥2+加；+?4#=0),因?yàn)?(())=1,即c=1,所以/(x)=or2+/?.t+

1,所以,/(x+1)一次幻=[。(》+1)2+人口+1)+1]一(依2+版+1)=2奴+4+力=2-從而有

24=2,a=1,、

解得所以/（X）-x2—x+1.

a+/）=0,出=一1,

考點(diǎn)2二次函數(shù)的圖象

【例2】(多選)二次函數(shù))，=〃/2+分+c的圖象如圖所示，貝|J(BCD)

A.。+力+<:<0

C.abc<0D.方2<4q(c+4〃)

【解析】由題意得”0,x=—=1,則b=—2。>0,當(dāng)x=l時(shí)，y=〃+Z)+c>0,故

la

A錯(cuò)誤；當(dāng)x=-\時(shí)，一8+c<0,則a+c〈b,故B正確；當(dāng)x=0時(shí)，y=c>0,則而c<0,

故C正確；設(shè)一元二次方程ar+Zjx+cuO的兩根分別為xi,也，由圖象可知比一X2|='=

M

按一4“C<4,整理可得/)2<4〃(c+4a),故D正確.故選BCD.

冏

」規(guī)律總結(jié)

研究二次函數(shù)圖象應(yīng)從“三點(diǎn)一線一開(kāi)口”進(jìn)行分析，“三點(diǎn)”中有一個(gè)點(diǎn)是頂點(diǎn)，另

兩個(gè)點(diǎn)是圖象上關(guān)于對(duì)稱軸對(duì)稱的兩個(gè)點(diǎn)，常取與x軸的交點(diǎn)；“一線”是指對(duì)稱軸這條直

線；“一開(kāi)口”是指拋物線的開(kāi)口方向.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練2】(多選)設(shè)。兒<0,則函數(shù)y=af+bx+c的圖象可能是(ABD)

解析：函數(shù)yuaf+fov+c的圖象的對(duì)稱軸為直線工=一"，設(shè)與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)的坐標(biāo)

2a

分別為（XI,0）,（X2,0）,則巾+.丫2=—"，X1X2=C,對(duì)于A,a<0,一”<0,一”<0,C>0,則

aa2aaa

a<0,b<0,c<0,：.abc<0,符合題意；對(duì)于B,a<0,一">0,-“>0,°<0,則。<0,b>。，

2aaa

<?>0,，abc<0,符合題意：對(duì)于C,a>0,—<0,一“<0,，>0,則〃>0,b>0,c>0,abc>0,

2aaa

不符合題意；對(duì)于D,a>0,一b>o,—^>0,c>0,則a>0,b<0,c>0,/.abc<0,符合題意.故

2aaa

選ABD.

考點(diǎn)3二次函數(shù)的最值

【例3】已知函數(shù)4丫)=r+4ax.

(1)若/(x)在區(qū)間［1,3］上具有單調(diào)性，求實(shí)數(shù)。的取值范圍；

(2)求/(x)在區(qū)間口，。+1］上的最小值且他).

【解】(1)易知/(用二好+加工的圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=-2〃，

所以若/(x)在區(qū)間［I,3］上單調(diào)遞增，則需一2〃Wln?！芬唬?

若仆)在區(qū)間［1,3］上單調(diào)遞減，則需一2"23=aW—；,

r31ri.1

綜上，4的取值范圍為〔，2JUL2'J.

［-1ol

(2)當(dāng)"一2a〈a+l,印3'J時(shí)，g⑷=/(一2")=一4加,

當(dāng)一2?W%即時(shí),g(a)=J(a)=5a2,

當(dāng)一2°2。+1,即aW一；時(shí)，趴。)=/(。+1)=5。2+6q+1,

—4a2,—lq〈0,

3

綜上，g(a)=5a2,a2（），

5a2+6。+1,aW一；.

」規(guī)律總結(jié)K

閉區(qū)間上二次函數(shù)最值問(wèn)題的解法：抓住“三點(diǎn)一軸”數(shù)形結(jié)合，三點(diǎn)是指區(qū)間兩個(gè)端

點(diǎn)和拋物線的頂點(diǎn)，一軸指的是對(duì)稱軸，結(jié)合圖象，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及分類(lèi)討論的思想求

解.

【對(duì)點(diǎn)訓(xùn)練3】已知函數(shù)人工)=r+(1—24*+［。￡1<).

4

(1)若函數(shù),4丫)在［2,+8)上單調(diào)遞增，求。的取值范圍.

(2)是否存在實(shí)數(shù)°,使得函數(shù)/1一I)在區(qū)間［-1,1］上的最小值為一2?若存在，求出。

的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

解：(1)因?yàn)槎魏瘮?shù)的解析式為Hx)=x2+(l-2a)x+%a￡R),所以火幻圖象的對(duì)稱軸為

4

-I

0ZJ—I2a

直線x=2且開(kāi)口向上，即火的的增區(qū)間為L(zhǎng)2

又函數(shù)./(X)在［2,+8)上單調(diào)遞增，

2a-\,+8),

所以［2,+8)￡2

可得2”-1遼2,解得口在5.

22

—OO

所以。的取值范圍是

(2)令幽」+(1—2。)

+：=f-2ax+a=(x—a)2一/+。？—〃+

假設(shè)存在實(shí)效。，使得函數(shù)g(x)在區(qū)間［―I,I］上的最小值為一2,則一q2+〃w—2,得

。2—“一22(),解得aW—I或“22.

當(dāng)〃〈一1時(shí)，g(x)在［-1,1］上遞增，

則g(x)min=g(—1)=3。+1,所以3。+1=—2,得。=一1;

當(dāng)時(shí)，g(#在［-1,1］上遞減，

則g(X)min=g(l)=l一%所以1一。=-2,得4=3.

綜上所述，存在實(shí)數(shù)a=-1或。=3,使得函數(shù)/1—2)在區(qū)間［-1,1］上的最小值為一

課時(shí)作業(yè)10

星基礎(chǔ)鞏固.

1.(5分)已知函數(shù)<x)=f—mx+l是偶函數(shù)，則J(x)的單調(diào)增區(qū)間是(B)

A.(―1,+°°)B.(0,+°0)

C.(1,+8)D.(2,+8)

解析：因?yàn)楹瘮?shù)/(x)=f—〃次+1是偶函數(shù)，所以/a)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，又因?yàn)?心0

圖象的對(duì)稱軸為直線所以機(jī)=0.所以/(x)=x2+l,所以人力的單調(diào)增區(qū)間是(0,+8).

故選B.

2.(5分)函數(shù)次》)=2^一工一1(一1?%〈1)的值域是(D)

—,2

C.[1,2]D.L8J

M29--in

解析：/(x)=lv2-v-l=2l4j一，因?yàn)橐籌WxW】，所以/(x)在'4」上單調(diào)遞減,

8

在14'［上單調(diào)遞增，又代1)=2—1-1=0,/1)=2—1一1=2,故人工)=2/—.丫一1在一

IWxWl上的值域?yàn)?1故選D.

3.(5分)二次函數(shù)夕=/(x)的圖象如圖所示，那么此函數(shù)為(C)

A.y=x2-4

B.y=4-f

C.y=：(4T)

D.尸：(2T)

解析：由題中圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)(2,0),(-2,0)可設(shè)其解析式為j，=〃(x+2)(x—2),將(0,3)

代入，得3=—4々，解得.=一3,故其解析式為尸一3(X+2)(X-2),化簡(jiǎn)為尸3(4一國(guó)故

444

選C.

4.(5分)二次函數(shù)了=爐+(2。一1比一3在3］上最大值為1,則實(shí)數(shù)4的值為

(D)

AA.-1Bn.-1

23

C.一1或一1D.—1或一1

233

解析：由函數(shù))，=(+(2。一1取一3,得其圖象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=12當(dāng)

1—時(shí)，即a2-lx=3時(shí)有最大值1,即9+(2。-1)義3—3=1,解得。=一1;當(dāng)1二

2232

時(shí)，即。〈一；X=-1時(shí)有最大值1,即1+(2。-1)義(-1)一3=1,得。=-1.故。=-1或

。=一；故選D.

5.(5分)已知函數(shù)/)=取2+6+5若4〈加4且。+人+<7=0,則/*)的圖象可能是(A)

BCD

解析：若a<b<c,且a+/)+c=O,則a〈Ovc,故/(xjuad+bx+c開(kāi)口向下，故B,D錯(cuò)

誤；又/(0)=c>0,故C錯(cuò)誤，A正確.故選A.

6.(5分)已知函數(shù)危)==—x+5在M網(wǎng)上的值域?yàn)椋?/〃，4川，則加+〃=(D)

2

A.4B.5

C.8D.10

解析：,危)=?一工+5圖象的對(duì)稱軸為直線x=l,則川)=312—1+5=34加，解得

1〃/一〃?+5=4/〃，

m2,則仆)在［/明網(wǎng)上單調(diào)遞增，所以即］所以加，n

8卜〃)=4〃，層—〃+5=4”，

2

為方程12—x+5=4x的兩個(gè)根.即"7,〃為方程f-10x+l()=0的兩個(gè)根.所以〃?+/i=10.

2

故選D.

7.(6分)(多選)關(guān)于函數(shù)y=4—(.丫+1)2,下列說(shuō)法正確的是(BD)

A.在區(qū)間(-1,+8)上單調(diào)遞減

B.單調(diào)遞增區(qū)間為［-3,-1］

C.沒(méi)有最小值

D.最大值為2

解析：由4一(工+1)220,得一3WxWl,即函數(shù)y=4—(x+l)2的定義域?yàn)椋?3,I］,令

/=4-(A+1)2,則/=4一(*+1)2的圖象是開(kāi)口向下，對(duì)稱軸為直線x=-l的拋物線，所以函

數(shù)，=4一。+1)2在［-3,—1］上單調(diào)遞增，在［-1,1］上單調(diào)遞減，又》=/單調(diào)遞增，所以

y=4—(工+1)2在［-3,—1］上單調(diào)遞增，在［一1,1］上單調(diào)遞減，故B正確，A錯(cuò)誤；由于

當(dāng)x=-3時(shí)，1=4—(—3+1>=0,當(dāng)x=l時(shí)，z=4—(1+1)2=0,當(dāng)x=-1時(shí)，r=4,故

0W/W4,所以Jmax=2,>.n=0,故D正確，C錯(cuò)誤.故選BD.

8.(6分)(多選)設(shè)函數(shù)/(x)的定義域?yàn)镽,對(duì)于任意給定的正數(shù)p,定義函數(shù)/p(x)=

火則稱心。)為"r)的“〃界函數(shù)”.若函數(shù)4r)=N+2X,則下列說(shuō)法正確的

P，fixy>p,

是(ABD)

A.,A(2)=3

B.力(x)的最小值為一1

C.%(x)在［-1，1］上單調(diào)遞減

D?力(x—1)為偶函數(shù)

x2+Zv,一3WxWl,

解析：根據(jù)題意，由/+2YW3,解得一3WxWl,A(X)=3,X<-3,所以

3,x>l,

力(2)=3,故A正確；當(dāng)一3WxWl時(shí)，力(x)=x2+2x=a+l)2—1,且力⑶在［-1,1］上單調(diào)

遞增，在［-3,—1］上單調(diào)遞減，/(1)=3,力(-1)=-1,%(-3)=3,所以一1W力(x)W3,即

x2-l,一2&W2,

力(x)的值域?yàn)椋郇D1,3］,故B正確，C錯(cuò)誤；因?yàn)槿?戈-1)=3,xv—2,則力(x

3,x>2,

一1)的圖象如圖所示，由圖可知力(.丫-1)的圖象關(guān)于y軸對(duì)稱，所以函數(shù)力(》-1)為偶函數(shù)，

故D正確.故選ABD.

9.(5分)已知函數(shù)/)=上一(函一l)x,若在區(qū)間(-8,］)內(nèi)任意兩個(gè)實(shí)數(shù)〃?，

都有恒成立，則實(shí)數(shù)0的取值范圍為［1,+8).

m-n

解析：不妨設(shè)加>〃，因?yàn)槿似觥啊?vl,可得火〃。一/(〃)<加一”，即仙?)一〃?<y(〃)一”，令

m-n

g(x)=A-r)—x=x2—2ax,可得函數(shù)烈丫)在(一8,1)上單調(diào)遞減，因?yàn)楹瘮?shù)g(x)=x2-2ax的圖

象開(kāi)口向上，對(duì)稱軸為直線x=a,則即實(shí)數(shù)。的取值范圍為口，+8).

10.(5分)已知函數(shù)4)=>+”+b的值域?yàn)椋?,+8),且/(X+2)=/(—X+2),則-X)

=x?—4x+6.

解析：依題意，函數(shù)義工)滿足(丫+2)=/(一》+2),所以函數(shù)/(X)的圖象關(guān)于直線x=2對(duì)

稱，則工=一；=2,所以。=一4,所以./(幻=/一41+/)=。-2)2+/)—426—4,又貝外的值域

為［2,+8),所以人一4=2,b=6,所以函數(shù)./(X)=X2-4X+6.

11.(16分)已知二次函數(shù))，=/(力的圖象過(guò)點(diǎn)(-1,3),且不等式/(月一7%<0的解集為(4'1］

(1)求共丫)的解析式；

(2)設(shè)以x)=/(x)—mx,若g(x)在(2,4)上是單調(diào)函數(shù)，求實(shí)數(shù)機(jī)的取值范圍.

解：(1)因?yàn)椴坏仁?(工)一7x0的解集為L(zhǎng)'0,所以?和1為關(guān)于x的方程小)一7工=0

4

的兩根，且二次函數(shù))，=叱)的圖象開(kāi)口向上，則可設(shè)加)-7x=』”-4)(x—l)(a>0),即人外

=a［VJ(x—l)+7x,由")的圖象過(guò)點(diǎn)(一1,3),可得a—1」(一1—1)+7X(—1)=3,解

4

得。=4,

所以/(幻二/"-J(.丫-l)+7x,

即次X)=4F+2X+L

(2)g(x)-/(x)—nix~4A2++1—mx—Ax1+(2—〃?口+1,其圖象的對(duì)稱軸為直線x——

2f,因?yàn)間(x)在(2,4)上是單調(diào)函數(shù)，所以一2一“W2或一之一”24,解得18或6234,

888

即實(shí)數(shù)，〃的取值范圍為(-8,i8]U[34,4-0°).

12.(16分)函數(shù)4丫)=2/—2如+3,其中a￡R.

(1)當(dāng)。=2時(shí)，求不等式/(x)>6x—9的解集；

(2)當(dāng)x￡[—1,3]時(shí)，兒1)的最小值為0,求。的值.

解：⑴當(dāng)。=2時(shí),不等式兀c)>6x-9,即/一5x+6>0,解得x<2或x>3,

所以不等式/(刈>6》-9的解集為｛小<2或x>3｝.

(2)易知/(x)=2x2—lax+3的對(duì)稱軸為x=：,

①當(dāng);W—1時(shí)，函數(shù)人用在[-1,3]上單調(diào)遞增，則兒)向=/(-1)=5+2。=0,得。=一

5,符合題意；

2

一1"

②當(dāng)一1<；<3時(shí)，函數(shù)｛X)在'2_

卜3

上單調(diào)遞減，在〔2，」上單調(diào)遞增，

則/O)min=/(2)=3—；=0,解得4=6或〃=_6(舍)；

③當(dāng)“23時(shí)，函數(shù)用)在[一1，3]上單調(diào)遞減，則./(x)min=/(3)=21—6a=0,解得a=7,

22

不符合題意.

綜上所述，。的值為-5或6.

2

里素養(yǎng)提升I

13.(5分)已知函數(shù)/(x)=x2+ax+b(a,beR)的最小值為0,若關(guān)于x的不等式j(luò)(x)<c

的解集為(〃?，加+4),則實(shí)數(shù)c的值為(D)

A.9B.8

C.6D.4

〃2〃2

解析：；/2=12+如+6(凡b￡R)開(kāi)口向上，最小值為0,J=0,：,b=,則心:)

44

=爐+0￥+“=["+2],,；/(x)Vc的解集為(〃?，〃?+4),所以〃?，〃?+4是及丫)一c=0的兩個(gè)不

4

等實(shí)根，即"1,機(jī)+4是x2+〃x+"—。=0的兩個(gè)不等實(shí)根，所以/〃+〃?+4=—4,則〃?=a4,

42

「+印「。-4+叩

.\c=/(w)=l2j=122J=4.故選D