分式章末易錯(cuò)壓軸題型（19易錯(cuò)+6壓軸）

--------------------目錄

易錯(cuò)題型一、分式的相關(guān)概念

易錯(cuò)題型二、分式有無意義的條件

易錯(cuò)題型三、分式的求值

易錯(cuò)題型四、分式的基本性質(zhì)

易錯(cuò)題型五、分式變形

易錯(cuò)題型六、最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母

易錯(cuò)題型七、通分與約分

易錯(cuò)題型八、分式的乘除法

易錯(cuò)題型九、分式的乘方運(yùn)算

易錯(cuò)題型十、零指數(shù)幕與負(fù)整數(shù)指數(shù)幕

易錯(cuò)題型十一、分式的加減法

易錯(cuò)題型十二、分式的四則混合運(yùn)算

易錯(cuò)題型十三、分式的應(yīng)用

易錯(cuò)題型十四、分式的化簡(jiǎn)求值

易錯(cuò)題型十五、分式方程

易借題型十六、根據(jù)分式方程解的情況求值

易錯(cuò)題型十七、分式方程的增根問題

易錯(cuò)題型十八、分式方程的無解問題

易錯(cuò)題型十九、分式方程的應(yīng)用

壓軸題型一、分式的規(guī)律性問題

壓軸題型二、分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍

壓軸題型三、分式的化簡(jiǎn)求值綜合

壓軸題型四、分式最值問題

壓軸題型五、分式方程的含參問題

壓軸題型六、分式方程的綜合應(yīng)用

&易錯(cuò)題型

易錯(cuò)題型一、分式的相關(guān)概念

1.下列式子亍，X1半，二中，分式的個(gè)數(shù)為（

冗+2'2x+l'b2a+b

A.2B.3C.4D.5

1r+1

2.代數(shù)2式1上,222上，—中，屬于分式的有（）

5nf+43xx+2

A.2個(gè)B.3個(gè)C.4個(gè)D.5個(gè)

3.有整式x-1,2,請(qǐng)?jiān)谏鲜稣街羞x擇你最喜歡的兩個(gè)整式組成一個(gè)分式

易錯(cuò)題型二、分式有無意義的條件

4.若分式二?在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有意義，則x的取值范圍是（）

x-2

A.xw2B.x>-2C.X￥-lD.x<2

（I—1

5.當(dāng)a一時(shí)'分式不沒有意義.

x

6.己知y

2-3x

⑴當(dāng)x取何值時(shí)，該分式無意義？

（2）當(dāng)x取何值時(shí)，y的值是0?

⑶當(dāng)x取何值時(shí)，y的值是負(fù)數(shù)？

易錯(cuò)題型三、分式的求值

7.若。=23則分式?的值是（）

b

1\_

A.B.-1C.1D.

22

8.已知。+1=4,那么/十二的值是.

aa

9.閱讀下面的解題過程：

已知Sr斗求￡

的值.

解：由導(dǎo)=加"所以=1=3,即舊=3,

口…./+I,1（1丫ccr

所以：——=x*+—=x+--2=3--2=7,

X-X'V.￥；

所以/一的值為

x+\7

該題的解法叫“倒數(shù)法"，請(qǐng)你仿照上述方法解決下列問題:

⑴已知』4'求』的值;

上4工4二XZ:71,求

（2）已知—的值.

x+y2y+z3x+z4xy+yz+xz

易錯(cuò)題型四、分式的基本性質(zhì)

10.若將X、N的值擴(kuò)大3倍，分式、―2個(gè)：廠的值（）

x-y2

A.縮小3倍B.不變C.擴(kuò)大3倍D.擴(kuò)大9倍

11.如果把分式泰中的x和），都擴(kuò)大為原來的5倍后，分式的值為2,那么原分式的值為

12.把言-"l中的分母化為整數(shù),得.

V**/U?UJ

易錯(cuò)題型五、分式變形

13.下列各式從左到右的變形一定正確的是（）

2424

AA.—=---B.n—=—rC.-=—D.

xx+2xxxxyxyx

91

14.若=:，則”〃所代表的分子是________.

c2+lcc+7

產(chǎn)(3a_2)x_x

右(2-3〃)(2-大廠?2成則。的取值范圍是.

易錯(cuò)題型六、最簡(jiǎn)分式與最簡(jiǎn)公分母

16.下列各式中，是最簡(jiǎn)分式的是（）

22，

x+y~y~-x12(—，)_

A.—~B.-------

x~y+xy~x+y15(x+y).(x+y『

”?在分式高,x+yx+y

-22-，-22中，最簡(jiǎn)分式有個(gè)

-y-X-+y~

213

18-分式石,而,京的最簡(jiǎn)公分母是

易錯(cuò)題型七、通分與約分

0分式黑化簡(jiǎn)的結(jié)果為

20.(1)約分：、

a2+2ab+b2

2xx

(2)通分:

X2-9,2X+6

21.通分:

4a3c5b

⑴嬴，硒，

,、13

x--44-2x

11[

⑶元，/(x—y)

易錯(cuò)題型八、分式的乘除法

22.計(jì)算:

2

⑴(-2xy)2+2xy

3歹x

(2)|1-1Ya2-4a+4

a-\)a-a2

23.計(jì)算

⑴/一]2ub

ahT+2a+l

a、a2-4(7+4

(2)\a-

24.計(jì)算:

易錯(cuò)題型九、分式的乘方運(yùn)算

25.計(jì)算：

27.計(jì)算:

⑵(3/尸］；

⑶*

4x1廠

⑷5//-（2心『

易錯(cuò)題型十、零指數(shù)塞與負(fù)整數(shù)指數(shù)第

28.（-2）°的值為（）

A.2B.1C.D.0

29.—產(chǎn)+（；『=.

/I

30.計(jì)算：-2?+（兀-2023）°--

<2>

易錯(cuò)題型十一、分式的加減法

31.計(jì)算:

32.計(jì)算:

23

⑴7T

b2

⑵(b-a)2,

,、1I6

(3)-----1--------------

x-36+2xX2-9

33.計(jì)算:

,、切-3m+\

⑴----+----：

m-1in-1

2v2

x+1

易錯(cuò)題型十二、分式的四則混合運(yùn)算

3fX+\八廠—1

34.化簡(jiǎn)：-----1---

\XJX~-X

1—Lx+1

35.化簡(jiǎn):------7

x+2Jx+4x+4

1ra

36.化簡(jiǎn):----4------

w+1ni-1nr+2m+1

易錯(cuò)題型十三、分式的應(yīng)用

37.小張和小王的加油習(xí)慣不同，小張每次都說：“師傅，幫我把油箱加滿！〃，而小王每次加油都說“師傅,

給我加300元的油！"（油箱未加滿）.現(xiàn)實(shí)生活中油價(jià)常有變動(dòng)，現(xiàn)以兩次加油為例來研究，誰的兩次加

油平均單價(jià)低，誰的加油方式就省錢.設(shè)小張和小王第一次加油油價(jià)為x元/升，第二次加油油價(jià)為V元/

升.

⑴用含x,v的代數(shù)式分別表示小張和小王兩次所加油的平均單價(jià)；（結(jié)果化成最簡(jiǎn)）

小張兩次所加油的平均單價(jià)：;

小王兩次所加油的平均單價(jià)：.

⑵小張和小王的兩種加油方式中，誰的加油方式更省錢？用所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)說明理由.

38.某工程隊(duì)接到24千米的道路施工任務(wù)后，列出如下兩種施工方案：

方案計(jì)劃12千米按每天施工17千米完成，剩下的12千米按每天施工b千米完成，預(yù)計(jì)完成施工任務(wù)所

A需的時(shí)間為匕天.

方案設(shè)完成施工任務(wù)所需的時(shí)間為，2天，其中一半時(shí)間每天完成施工。千米，另一半時(shí)間每天完成施工

B〃千米.

備注A.4兩種方案中的。，人均為正整數(shù)，且144工打6.

⑴按方案力施工需要的天數(shù)右=:按方案8施工需要的天數(shù)4=:（用含人人的式子來表

示）

（2）若要盡快完成施工任務(wù)，該工程隊(duì)?wèi)?yīng)選擇上述哪種方案？請(qǐng)說明你的埋山.

39.數(shù)學(xué)來源于生活，生活中處處有數(shù)學(xué)，用我們平時(shí)喝的糖水做“糖水實(shí)驗(yàn)”也能驗(yàn)證些數(shù)學(xué)結(jié)論.

⑴糖水實(shí)驗(yàn)

現(xiàn)有克糖水，其中含有?？颂莿t糖水的濃度（即糖的質(zhì)量與糖水的質(zhì)量比）為%加入〃

克水，則糖水的濃度為F，生活經(jīng)驗(yàn)告訴我們，糖水加水后會(huì)變淡.由此可以寫出一個(gè)不等式，

我們?nèi)しQ為“糖水不等式

（2）糖水實(shí)驗(yàn)二：

將‘精水實(shí)驗(yàn)一〃中的“加入〃?克水"改為“加入機(jī)克糖”，根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)，請(qǐng)你寫出個(gè)新的糖水不等式

⑶請(qǐng)結(jié)合（2）探究得到的結(jié)論嘗試證明：設(shè)。、b、。是△NBC三邊的長(zhǎng)，求證：-^--+-^-<2

a+ba+cb+c

易錯(cuò)題型十四、分式的化簡(jiǎn)求值

40.先化簡(jiǎn)，再求值：（1+一三卜告，其中x=V2-l.

Ix-\）x-1

（4、a-2

41.先化簡(jiǎn)，再求值：。一一,請(qǐng)?jiān)?1,0,1,2中選一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

1a）2a

42.已知〃+方-3=（）,求代數(shù)式41一二一.的值.

a~+2ab+b~

易錯(cuò)題型十五、分式方程

2xx

解方程:=2

43.2x-\7^2

44.解分式方程:

,4x,3

1--------1=——

x-22-x

(2)二二8

x-77-x

45.解分式方程:

4

⑴

x-2x2-4x+4

3

(2)7^T-(.V-1)(X+2)=1

易錯(cuò)題型十六、根據(jù)分式方程解的情況求值

46.已知關(guān)于x的分式方程——二二2的解是非負(fù)數(shù)，則〃?的取值范圍是（）

2-xx-2

A.陽工3旦加工一1B.〃［之3且〃7/一1C.〃？<3D.m>3

47.若關(guān)于x的分式方程二7二1-二的解是x=2,則〃?的值是—.

x-4x-4

48.已知關(guān)于x的分式方程生?=1的解為負(fù)數(shù)，求用的取值范圍.

易錯(cuò)題型十七、分式方程的增根問題

49.若關(guān)于x的分式方程5有增根，則〃?的值是（）

x-Ix-1

A.1B.2C.3D.4

50.若關(guān)于x的分式方程二=二有增根，則。=____.

x-22-x

51.若分式方程二=仁+2有增根，求〃7的值.

X+1X+1

易錯(cuò)題型十八、分式方程的無解問題

52.若分式方程」，+一一=2無解，則〃的值是（）

x-33-x

A.3或2B.1C.1或3D.1或2

53.若關(guān)于x的分式方程工?無解，則加的值是___.

x-ix-\

54.若關(guān)于x的分式方程2=二無解，求機(jī)的值.

x2x+l

易錯(cuò)題型十九、分式方程的應(yīng)用

55.為了調(diào)動(dòng)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，某校八年級(jí)舉行了數(shù)學(xué)計(jì)算題比賽，為表彰獲獎(jiǎng)的選手，年級(jí)組準(zhǔn)備

在學(xué)校對(duì)面的文具店購買力，4兩種文具作為獎(jiǎng)品.已知力文具的單價(jià)比4文具的單價(jià)貴5元，且用360

元購買A文具的數(shù)量與用240元購買B文具的數(shù)量相同.

⑴求48兩種文具的單價(jià)；

（2）若年級(jí)組需要購買44兩種文具共100件，且購買這兩種文具的總費(fèi)用不超過1200元，則年級(jí)組至少

購買8種文具多少件？

56.2025年山西省財(cái)政安排21.83億元支持科技創(chuàng)新，科技創(chuàng)新是推動(dòng)高質(zhì)量發(fā)展的核心動(dòng)力，山西省重點(diǎn)

研發(fā)計(jì)劃有能源環(huán)保、信創(chuàng)、智能化、大健康生物醫(yī)藥、新材料、現(xiàn)代農(nóng)業(yè)等六個(gè)領(lǐng)域項(xiàng)目，展現(xiàn)出山西

從一個(gè)能源型省份向一個(gè)綠色生態(tài)省份的轉(zhuǎn)變的新姿態(tài).某企業(yè)為加快產(chǎn)業(yè)轉(zhuǎn)型升級(jí)步伐，引進(jìn)一批4B

新能源型號(hào)的機(jī)器.已知一臺(tái)A型機(jī)器比一臺(tái)B型機(jī)器每小時(shí)多加工2個(gè)零件，且一臺(tái)A型機(jī)涉加工80個(gè)

零件與一臺(tái)B型機(jī)器加工60個(gè)零件所用時(shí)間相等.

⑴每臺(tái)A,B型號(hào)的機(jī)器每小時(shí)分別加工多少個(gè)零件？

⑵如果該企業(yè)計(jì)劃安排力，4兩種型號(hào)的機(jī)器共10臺(tái)一起加工一批該零件，為了如期完成任務(wù)，要求這10

臺(tái)機(jī)器每小時(shí)加工的零件不少于72件，則至少需要安排幾臺(tái)A型機(jī)器.

57.某超市購進(jìn)力型和8型兩種玩具，已知用720元購進(jìn)力型玩具的數(shù)量比用300元購進(jìn)8型玩具的數(shù)量

多30個(gè)，且力型玩具單價(jià)是笈型玩具單價(jià)的L5倍.

⑴求兩種型號(hào)玩具的單價(jià)各是多少元？

⑵該超市計(jì)劃以原單價(jià)再次購進(jìn)這兩種型號(hào)的玩具共150個(gè)，且支付費(fèi)用不超過1100元，則最多可購進(jìn)A

型玩具多少個(gè)？

壓軸題型

壓軸題型一、分式的規(guī)律性問題

58.觀察下面的等式:

第1個(gè)等式:

第2個(gè)等式:

2x42124)

1

第個(gè)等式:

3375

1

第個(gè)等式:

44^6

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：；

(2)請(qǐng)你猜想第〃個(gè)等式(用含〃的式子表示)，并證明.

59.觀察以下等式:

第1個(gè)等式：第2個(gè)等式：

2363515

第3個(gè)等式：卜恭強(qiáng)第4個(gè)等式:2+看

按照以上規(guī)律，解決下列問題：

⑴寫出第5個(gè)等式：：

⑵寫出你猜想的第〃個(gè)等式：（用含〃的等式表示），并證明.

V3V5/V9

60.觀察下面一列分式;：一,…（其中xrO）.

yyyy

⑴根據(jù)上述分式的規(guī)律寫出第6個(gè)分式；

（2）根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出第“（〃為正整數(shù)）個(gè)分式，并簡(jiǎn)單說明理由.

壓軸題型二、分式值為整數(shù)時(shí)未知數(shù)的取值范圍

61.對(duì)于正整數(shù)X,使分式一^的值是一個(gè)整數(shù)，則x可能取值的個(gè)數(shù)是（）

x+1

A.1B.2C.3D.4

62.若分式些?的值是大于2的整數(shù)，則整數(shù)x的取值為___.

x-1

63.在小學(xué)時(shí)我們知道，分?jǐn)?shù)中有“真分?jǐn)?shù)〃與“假分?jǐn)?shù)在分式中，對(duì)于只含有一個(gè)字母的分式，我們給出

32v

定義：分子的次數(shù)小于分母的次數(shù)的分式叫做“真分式〃，例如「，^―：分子的次數(shù)大于或等于分母的

x+1%'+1

次數(shù)的分式叫做“假分式"，例如口，—.

x+\x-\

⑴現(xiàn)有以下代數(shù)式：①②生二1,③粵，④廣」.其中是“真分式"的為」是“假分式”的

2-m3m+222+m~

為_（注：填寫序號(hào)即可）

⑵若分式的值為整數(shù)，求H整數(shù)，〃的值；

2in+1

71

（3）我們知道，假分?jǐn)?shù)可以化為整數(shù)與真分?jǐn)?shù)的和，例如：-=2+-.類似的，“假分式”也可以化為整式與“真

JJ

分式”的和.

,X（X+1）-1,1

例如：--=-~4=1——

x+1X+lX+1

X2/_]+]（x+l）（,-））l1

-----=-----------=-----------Y-------+--=X+1+------.

x-1x-1x-[x-1

請(qǐng)解決以下問題：若分式2"一〃?一1的值為整數(shù),求出整數(shù)機(jī)的值.

m+\

壓軸題型三、分式的化簡(jiǎn)求值綜合

x-2x-2（1、

64.先化簡(jiǎn)代數(shù)式、1—r+1，再從2,-2,1,-1四個(gè)數(shù)中選擇一個(gè)合適的數(shù)代入求值.

X--1X-+2.Y-1\x-\

X-\（x2、

65.化簡(jiǎn)于一;一■；+—-+1-X,再請(qǐng)從-2,0,1選取合適的x代入求值.

x-+4x+41x+2

66.【閱讀理解】

XI

閱讀下面的解題過程：己知：求4—的值；

x2-l3x4+\

解.：由二一=!知工工0,5=3,即工+1=3①

X+13XX

^■=x2+4=fx+ll-2=3z-2=7②，故—―的值為

ffIX）x+17

（1）第②步/十（■一（工十（）-2運(yùn)用了公式；；（要求：用含小〃的式子表示）

【類比探究】

（2）上題的解法叫做“倒數(shù)法"，請(qǐng)你利用"倒數(shù)法''解決下面的訶題：

已知:求4『，的值.

X4+5X2+1

【拓展延伸】

ah_1be_1ac14abc

（3）已知:----=—.求----------的值.

a+b15b+c17'a+c16ab+be+ac

壓軸題型四、分式最值問題

67.材料1：在處理分?jǐn)?shù)和分式問題時(shí)，有時(shí)由于分子比分母大，或者分子的次數(shù)高于分母的次數(shù)，在實(shí)際

運(yùn)算時(shí)往往難度比較大，這時(shí)我們可以將假分?jǐn)?shù)（分式）拆分成一個(gè)整數(shù)（整式）與一個(gè)真分?jǐn)?shù)（式）的

和（差）的形式，通過*『簡(jiǎn)單式的分析來解決問題，我們稱之為分離整數(shù)法.此法在處理分式或整除問題

時(shí)頗為有效.

丫2—3r—1

例：將分式拆分成一個(gè)整式與一個(gè)分個(gè)（分子為整數(shù)）的和的形式.

x+2

解：設(shè)x+2=f,則x="2.

...原式="2）2-3"2）-L42=”7+2

/it

x+2x+2

——3X—1/\9

'分式W就拆分成一個(gè)整式("一9與一個(gè)分式旨的和的形式?

材料2：配方法是初中數(shù)學(xué)思想方法中的一種重要的解題方法，配方法最終的FI的就是配成完全平方式，利

用完全平方式來求解.它的應(yīng)用非常廣泛，在解方程、求最值、證明等式、化簡(jiǎn)根式、因式分解等方面都

經(jīng)常用到.

如:當(dāng)a>0,…時(shí),喝+9閨+閽=("用+2

:.當(dāng)名=',即4=力時(shí)，(+g有最小值2.

根據(jù)以上閱讀材料回答下列問題：

⑴參照以上資料，試將分式上d拆分成整式的真分式的和的形式：

X+1

(2)已知分式4『+1"+8的值為整數(shù),求整數(shù)%的值：

2x+l

(3)當(dāng)時(shí)，求代數(shù)式“4+支~+3的最小值

x—1

68.定義：若分式A與分式B的差等于它們的積.即4-夕=48,則稱分式B是分式A的“友好分式〃.如

x+1

1I11111)1

與UT因?yàn)槎二T西涯②‘-Tx-T西國(guó).所以不是ay的“友好分式”?

⑴填空：分式」7_____分式」的“友好分式〃.(填“是"或“不是〃)

x+4x-3

⑵已知分式多土!是分式力的“友好分式〃.

3x4-2

①求分式力的表達(dá)式；

②若整數(shù)x使得分式力的值是正整數(shù)，直接寫出分式力的值；

⑶若關(guān)于X的分式、是關(guān)于X的分式與去的“友好分式"，求\J\―^的最小值.

mx+m+nmx+nx+(/〃+〃)x+2

69.閱讀材料一：利用整體思想解題，運(yùn)用代數(shù)式的恒等變形，使不少依照常規(guī)思路難以解決的問題找到

簡(jiǎn)便解決方法，常用的途徑有：整體觀察；整體設(shè)元：整體代入；整體求和等.

例如：ab=\,求證：----+丁】=1

\+a1+6

、丁皿L11ab1b1.

\+a1+hab+a1+b1+61+6

波利亞在《怎樣解題》中指出：“當(dāng)你找到第一個(gè)藤菇或作出第一個(gè)發(fā)現(xiàn)后，再四處看看，他們總是成群生

長(zhǎng)〃.很多類似問題和式子都滿足以上特征.

閱讀材料二：基本不等式等2癡（。>0力>0）,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，它是解決最值問題的有力工

具.

請(qǐng)根據(jù)閱讀材料解答下列問題：

⑴己知外=1,求丁二十」了的值；

\+a'\+b~

.I、5。5b5c

（2）若abc=1,求—------+-+--------的值;

an+n+]nr+n+I+n+1

⑶若長(zhǎng)方形的面積為9,求此長(zhǎng)方形周長(zhǎng)的最小值；

⑷若正數(shù)。、力滿足。+〃=1,求"=,+工的最小值.

a4b

壓軸題型五、分式方程的含參問題

70.若實(shí)數(shù)小使得關(guān)于x的一元一次不等式組3“八,有且只有4個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于y的分式方程

m-5x<3

二7-/一二2的解為整數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)”的和為（）

y-33-y

A.-7B.-10C.-12D.-15

71.若關(guān)于x的不等式組3、x—1?5至少有2個(gè)整數(shù)解，且關(guān)于歹的分式方程〃一?一1-=_2-3--的解為正

2x+2>-x+iny-22-y

數(shù)，則所有滿足條件的整數(shù)機(jī)的和是—.

0vkV-1.1

72.已知關(guān)于x的分式方程多-丁匚二」只有一個(gè)實(shí)數(shù)解，求&值.

X+1X+XX

壓軸題型六、分式方程的綜合應(yīng)用

73.綜合實(shí)踐：如何設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)獎(jiǎng)品購買方案及抵扣方式?

如何設(shè)計(jì)運(yùn)動(dòng)會(huì)獎(jiǎng)品購買方案及抵扣方式？

某校運(yùn)動(dòng)會(huì)準(zhǔn)備購買排球和籃球作為獎(jiǎng)品，已知籃球的單價(jià)比排球的單價(jià)貴

材1

20元，用80