微重點1函數(shù)的新定義問題

函數(shù)的“新定義”問題，是近幾年高考試題或模擬試題中出現(xiàn)的一種函數(shù)創(chuàng)新試題，一

般是以“新定義型”函數(shù)的定義或性質(zhì)為載體，考查函數(shù)的定義、性質(zhì)、運算等，考查學生

的創(chuàng)新能力和運用數(shù)學知識綜合解決問題的能力.

考點一特征函數(shù)

考向1高斯函數(shù)

例I（2022.長治模擬）已知函數(shù)/口）=工一團（[可表示不超過x的最大整數(shù)，例如

[-0.5]=-1）,則以下關于/U）的性質(zhì)說法錯誤的是（）

A.述力是R上的增函數(shù)

B.是周期函數(shù)

C.7U）是非奇非偶函數(shù)

D.危）的值域是[0.1）

答案A

解析對于A,人1）=42）=0,故A錯誤；

對于B,因為7U+l）=x+l—[x+l]=x—口]=/5），所以凡r）是以1為周期的周期函數(shù)，故B

正確；

對于C,川.2）=1.2—1=0.2,人-1.2）=—1.2—（-2）=0.8,/.2）工/一1.2）,所以危）是非

奇非偶函數(shù)，故C正確；

對于D,根據(jù)區(qū)的定義可得4則OWA—[X]V1,即府）的值域是[0,1）,故D正確.

考向2狄利克雷函數(shù)

例2德國著名數(shù)學家狄利克雷在數(shù)學領域成就顯著，他是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其名

[1,x為有理數(shù)，

字命名的函數(shù)41）=八6工E嶺稱為狄利克雷函數(shù)，則關于函數(shù)7U）,下列說法正確的

[0,X為無理數(shù)，

是（）

A.火好的定義域為｛0,1｝

B._/u）的值域為[0』]

C.歡工））=0

D.任意一個非零有理數(shù)7,4丫+。=/5）對任意XWR恒成立

答案D

（I,x為有理數(shù)，

解析因為人r）=|以#而反

（0,x為無理數(shù)，

所以函數(shù)的定義域為R,值域為｛0』｝,故A,B錯誤;

因為yu)=o或./u)=i,且o與i均為有理數(shù)，

所以.軟幻)=x0)=1或用3)=/U)=i，故c錯誤；

對于任意一個非零有理數(shù)r,若x為有理數(shù)，

則x+7也為有理數(shù)，則/(x+7)=/U)=l;

若X為無理數(shù)，則x+7也為無理數(shù)，則/u+7)=/u)=o,

綜上可得，任意一個非零有理數(shù)7,yu+n=/(x)對任意x￡R恒成立，故D正確.

考向3黎曼函數(shù)

例3(2022?新鄉(xiāng)模擬)黎曼函數(shù)是一個特殊的函數(shù)，由德國數(shù)學家波恩哈德?黎曼發(fā)現(xiàn)并提出，

在高等數(shù)學中有著廣泛的應用.黎曼函數(shù)定義在［0』］上，其解析式如下：R(x)=

?5k肌4都是正整數(shù)，，是既約真分數(shù)),

.0,x=0,1或［0,1］上的無理數(shù).

若函數(shù)兀1)是定義在R」二的奇函數(shù)，且對任意x都有人2+工)+42—幻=0,當x￡［0,l］時，,火外

=〃3),貝1］心022)+/(一考/.

答案Y

解析??7(2+x)+42—x)=0,

.*./(2+x)=—fl2—x).

又yu)是奇函數(shù)，

?\/a+2)=/(x_2),??爪4+x)=/(x),

???,“?的一個周期為4.

??7(2+x)t/(2r)=0,

二令x=0,可得12)=0,

：.fl2022)=fl4X505+2)=fl2)=0.

小甯T竽一5。出)

=-哈)=-凝T

W+小甯t

考向4歐拉函數(shù)

例4(2022?重慶八中調(diào)研)若正整數(shù)〃?，〃的公約數(shù)只有1,則稱機，〃互質(zhì).對于正整數(shù)小

?(〃)是小于或等于〃的正整數(shù)中與〃互質(zhì)的數(shù)的個數(shù)，例如：°(3)=2,磯7)=6,叭9)=6,函

數(shù)9(〃)以其首位研究者歐拉命名，稱為歐拉函數(shù)，則下列說法正確的是()

A.貝5)=3(10)

B.次2"—1)=1

C.(32)=15

D.g(2〃+2)>0(2〃)，〃仁N'

答案A

解析因為夕(5)=s(10)=4,故A正確；

因為當〃=4時，8(15)71,故B不正確；

因為小于或等于32的正整數(shù)中與32互質(zhì)的實數(shù)為1,3,579,11,13,15,17,19,21,23,25,27,29,31,

共有16個，

所以奴32)=16,故C不正確；

因為當〃=2時，9(4)=夕(6)=2,故D不正確.

規(guī)律方法以某些特殊函數(shù)為背景考查函數(shù)的基本概念及應用時，關鍵是理解函數(shù)的實質(zhì)，

與熟悉的函數(shù)類比，通過賦特殊值或數(shù)形結合解決.

1,A>0>

跟蹤演練1(1)(2022?東北師大附中模擬)已知符號函數(shù)sgnx=]0,x~(),偶函數(shù)滿

1?x<0,

足於+2)=/),當xw[0,1]時，,")=%,則()

A.sgn[/(A)]>0

(102n

B」E=I

C.sgn(A2HH)]=l伏WZ)

D.sgn[/(k)]=|sgn川僅￡Z)

答案C

解析對于A選項，

sgn[/(0)]=sgn0=0,A錯；

對于B選項，

°l°+g=X1)==B錯；

對于c選項，

對任意的女￡Z,人2k+l)=/(l)=l,

則sgn[/(2k+l)]=sgn1=1,C對；

對于D選項，取k=2,

則sgn[/(2)]=sgn[/(0)]=sgn0=0,W|sgn2|=1,D錯.

(2)(2022.滁州模擬)雙曲函數(shù)是一類與三角函數(shù)類似的函數(shù)，在物理學眾多領域中有著廣泛的

ax戶工-X-aN

實際應用.最基本的雙曲函數(shù)是雙曲正弦函數(shù)sin以=「一和雙曲余弦函數(shù)cos法=-5—.

故是“保等比數(shù)是函數(shù)”；

一加|?！?「ln|%”|

對丁⑷，人知)一同斯|一ln|叫

_Ink,|+ln|^|In⑷-

1川小|—十ln|a廣吊處

故yu)=ln|x|不是“保等比數(shù)列函數(shù)”.

(2)函數(shù)尸g(x)在區(qū)間m，川上連續(xù)，對m，切上任意兩點AI與.口，有；$('%寸,

我們稱函數(shù)g(x)在［a,b］±."嚴格上凹”,稱函數(shù)g(x)在［a,句上為“凹函數(shù)”，若用導數(shù)的

知識可以簡單地解釋為原函數(shù)的導函數(shù)的導函數(shù)(二階導函數(shù))在給定區(qū)間內(nèi)恒為正，即

g"*)>0.則下列函數(shù)中在所給定義域上“嚴格上凹”的是()

A.y(x)=log2%(x>0)

2

B.<X)=G+X

C./(X)=-X3+2X

D./x)=sin.r—x2(O<i<n)

答案B

解析由題意可知，若函數(shù)在所給定義域上“嚴格上凹”，則滿足廣⑴乂)在定義域內(nèi)恒成立.

對于A,/(.r)=log2X(.r>0),

則/(?=(-'=一渦3<°在(°，+8)上恒成立，不符合題意，故選項A錯誤；

2

對于B,凡￥)=6+―

則((幻=看>0恒成立，符合題意,

故選項B正確；

對于c,yu)=—r+2t,

則/"(?=(-3.F+2)'=-6］，當x>0時，/(x)<0,不符合題意，故選項C錯誤；

對于D,/(A)=sinx—jr(O<x<n),

則/(x)=(cosx—Zv)'=—sinx—2<0在(0,兀)上恒成立，不符合題意，故選項D錯誤.

規(guī)律方法利用函數(shù)的凹凸性可以考查函數(shù)值增減的快慢，即考查導函數(shù)的幾何意義.進一

步可以利用二階導數(shù)來新定義凹凸函數(shù)：二階導數(shù)在給定區(qū)間上恒為正值，則說明函數(shù)是凹

函數(shù)，否則函數(shù)不是凹函數(shù).

跟蹤演練2(1)定義方程貝幻=/(幻的實數(shù)根助為函數(shù)人工)的“新不動點”，給出下列函數(shù):

①g*)=2-'2；②或幻=—ex—2x；

@g(x)=lnx；④g(x)=sinx+2cosx.

其中只有1個“新不動點”的函數(shù)是.(填序號)

答案②③

解析對于①，g(x)=￥，

則/(x)=x,令*=x,

得x=0或A=2,

故函數(shù)g(.r)有2個“新不動點”，不符合題意：

對于②，g(x)=-e"一2x,

則g'(x)=—e*—2,

令一2A?=-8—2,得X=1,

故函數(shù)g(x)只有1個“新不動點”，符合題意：

對于③，g(x)=lnx,則g，(x)=g

令A(x)—In.r—;(A>0),

人

則力'(工)=(+±=率>0.

所以以x)在(0,+8)上單調(diào)遞增,

又/?(1)=—1<0,力(e)=l—￡>0,

所以力(幻在(0,+8)上存在唯一零點xo,且x()￡(l,e),即吊工=：有唯一實數(shù)根，

人

故函數(shù)g(x)只有1個“新天動點”，符合題意；

對于④，g(x)=sinx+2cos%,

則g'(x)=cosx-2sinx,

令sinx+2cosx=cosx-2sinx,

得3sinx=—cosx,

an1

即tanx=-y

囚為函數(shù)lank的周期為兀，

所以canx=-g的根有無數(shù)個，

故函數(shù)g(x)有無數(shù)個“新式動點”，不符合題意.

(2)在實數(shù)集R上定義一種運算“★”，對于任意給定的a,b￡R,。★。為唯一確定的實數(shù),

且具有下列三條性質(zhì)：

(i)?！锪?/?★“；(ii^/★0=a；(iii)(a★切★c=c*(")+(4*c)+(c,★力)-2c.

若函數(shù)火x）=x★;則下列說法正確的是.（填序號）

①函數(shù)7U）在（0，+8）上的最小值為3：

②函數(shù)人幻為奇函數(shù)；

③函數(shù)/（X）的單調(diào)遞增區(qū)間為（一8,-I）,（1,4-00）；

④函數(shù)./U）不是周期函數(shù).

答案①③④

解析對于新運算“★”的性質(zhì)（iii）,令c=0,

則（“★/^★0=0*（。。）+3*0）+（0*。）=。力+。+瓦即。★0=aZ?+a+Z?.

.*.Xx）=v^=l+x+p

人人

當x>0時，J（x）=1+x+121+2^^=3,

當且僅當x=J,即x=iBr取等號，

???函數(shù)段）在（0,+8）上的最小值為3,

故①正確；

函數(shù)兀v）的定義域為（一8,0）U（0,+~）,

???/）=1+1+1=3,y（-i）=i-i-i=-i,

且加一1）壬ZU）,

???函數(shù)火劃為非奇非偶函教，故②錯誤；

1d—11

/（K）=]_y=.,令/（x）>0，則行一1或所以函數(shù)/m）=l+x+q的單調(diào)遞增區(qū)問

為（一8,—1）,（J,+°°）,故③正確；

由③知，函數(shù)八r）=l+x+:不是周期函數(shù)，故④正確.

專題強化練

a-d

1.（2022?眉山模擬）四參數(shù)方程的擬合國數(shù)表達式為y=-十或0°），常用于競爭系統(tǒng)和

計鈔

免疫檢測，它的圖象是一條遞增（或遞減）的類似指數(shù)或?qū)?shù)的曲線，或雙曲線（如尸□），還

可以是一條S形曲線，當以=4,b=—\,c=l,"=1時，該擬合函數(shù)圖象是（）

A.類似遞增的雙曲線

B.類似遞增的對數(shù)曲線

C.類似遞減的指數(shù)曲線

D.一條S形曲線

答案A

3

解析依題意可得擬合函數(shù)為)，=7左7+1(.>0),

3.t,,3(X+1)-3.

即尸干+4g。),

l+xx+1

由)，=-?入>1)向左平移1個單位長度，再向上平移4個單位長度得到丫=一高+4(心>0),

3

因為y=—;在(1,+8)上單調(diào)遞增，

所以擬合函數(shù)圖象是類似遞增的雙曲線.

2.若函數(shù)7U)對▼〃，力￡R,同時滿足：

(1)當。+1=0時,有人編一人份=0：

(2)當a+b>0時，有/(a)+/(加>0,

則稱為。函數(shù).下列函數(shù)中是。函數(shù)的為()

A.y(x)=x34-1

B.J(x)=x\x\

C.fix)=e~\~e~x

0,x=0,

D.Ax)=\1

uX

答案B

解析由條件(1)可知，對

都有人4)+人一。)=0,故凡r)是奇函數(shù)，

由條件(2)可知，當a>—Z?時，

故人幻是增函數(shù)，

對于A,4i)=V+l是增函數(shù)，但不是奇函數(shù)，故A不符合；

X2,x20,

對于B,.仆)=中|=|,

一尸，x<0,

是奇函數(shù)也是增函數(shù)，故B符合；

對于C,,/(幻=廿+屋。是奇函數(shù)，但不是增函數(shù)，故C不符合；

對于D,當M0時，Av)>0,而當心>0時，"r)〈0,故J(x)在定義域上不是增函數(shù)，故D不符合.

3.設/'(x)是函數(shù)y=/(x)的導函數(shù)，/'(x)是函數(shù)(x)的導函數(shù)，若方程/"(x)=0有實

數(shù)解x=xo,則稱(刈，加)))為函數(shù)尸八。的“拐點”.經(jīng)研究發(fā)現(xiàn)所有的三次函數(shù)段)=/

+"F+u+dm#())都有“拐點，，，且該“拐點”也是函數(shù))，=人劃的圖象的對稱中心.若函數(shù)

危-a則/島5)+/(忐)+/(壺)+???+/(瑞1)+/(揣)等于()

A.-8086B.-8082

C.8084D.8088

答案A

解析因為函數(shù)?r)=r—3f,

則f(x)=3x2—6.r,f'f(x)=6.r—6,

令((幻=0,解得x=l,且川)=一2,

由題意可知，火x)的拐點為(1,-2),

故內(nèi)0的對稱中心為(1,-2),

所以12—幻+/(幻=-4,

4043

2=一8086.

4.已知函數(shù)應丫)的定義域為。，若滿足：①/U)在。內(nèi)是單調(diào)函數(shù)；②存在區(qū)間口，b］,使兒6

在［。，句上的值域為［J，部那么就稱函數(shù)小)為“。上的h類成功函數(shù)”.己知函數(shù)/)=

3一/是“(()，+8)上的&類成功函數(shù)”，則實數(shù)〃的取值范圍為()

A.(0,21B.［0,2］

C.(0,2)D.(-2,2)

答案C

解析由題意知函數(shù)yu)=3-f是“(0,+8)上的左類成功函數(shù)”，

則段)在［a,b］上的值域為伍,3.

由;(%)在(0,+8)上單調(diào)遞減,得Q0,

1^)=?

即方程在(0,+8)上必有兩個不相等的實數(shù)根，

即3%一/=攵在(0,+8)上必有兩個不相等的實數(shù)根.

設g(x)=3x—則原問題可轉化為直線,)="與函數(shù)g(x)的圖象在(0,+8)上有兩個不同的

交點.

因為屋(%)=3-3『，當x￡(0,l)時，屋(戲>0,

f

當。￡(1,+8)時,g(x)<0,

所以g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(I,+8)上單調(diào)遞減，其圖象如圖所示，

所以在(0,+8)上，g(x)uu\=g(l)=2.

又g(0)=g(小)=0，所以04V2.

5.(2022?成都質(zhì)檢)設函數(shù)y=")在R上有定義，對于任一給定的正數(shù)p,定義函數(shù)力(幻=

fix),y(x)wp,

。則稱函數(shù)/啟)為7U)的界函數(shù)”.若給定函數(shù)/U)=.F—2X—1,〃=2,

p，./w>p，

則下列結論錯誤的是()

A./,8()))=A4，(0))

B-/p?i))=yw，(D)

c.q仿(2))=歡2))

D.胸⑶)=熬3))

答案B

解析因為貝幻二/一2JV—1,〃=2,

X2—2x—1,-1WXW3,

所以力(.()='

2,x<—1或x>3,

對于A,加(0))=以-1)=2,

/3(0))=4-1)=1+2—1=2,所以A正確;

對于B,加於))=」(-2)=2,

的(1))=/(-2)=4+4—1=7,所以B錯誤;

對于C,%6(2))=洪(-1)=2,

歡2))=/(—1)=2,所以C正確；

對于D,%(僅3))=伙2)=-1,

歡3))=人2)=-1,所以D正確.

6.(2022.重慶市育才中學模擬)在函數(shù)J(.r)上存在A,B兩點，使0408=0,則稱人幻為“正

交函數(shù)”.下列四個函數(shù)中不是“正交函數(shù)”的為()

A.fix)=x~2B./U)=cosx+1

C.J(x)=\nxD.J(x)=2x-2

答案C

解析由題意，要使yu)為“正交函數(shù)”，則yu)的圖象與)，=出在相鄰的象限上有交點即可,

對于A,兒1)=/2與),="的圖象如圖所示，符合題意;

對于B,凡r)=cosx+l與y=±x的圖象如圖所示，符合題意;

對于C,.?x)=lnx與y=±r的圖象如圖所示，只有一個交點，不符合題意;

對于D,凡》=2'-2與y=±Y的圖象如圖所示，符合題意.

7.(2022?武漢質(zhì)檢)某學生在研究函數(shù)凡1