微重點(diǎn)10球的切接問題

空間幾何體的外接球、內(nèi)切球是高中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)、建點(diǎn)，也是高考命題的熱點(diǎn)，一般是

通過對幾何體的割補(bǔ)或?qū)ふ規(guī)缀误w外接球的球心求解外接球問題，利用等體枳法求內(nèi)切球半

徑等，一般出現(xiàn)在壓軸小題位置.

考點(diǎn)一空間幾何體的外接球

例1（1）（2022?保定模擬）已知三棱錐P-A3C,其中以_L平面A4C,ZBAC=\20°,PA=AB

=AC=2,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.1271B.167rC.20兀D.24兀

答案C

解析???%_L平面A8C,所以把三棱錐P-A8C補(bǔ)成直三棱柱PB'C-ABC,

如圖所示，

設(shè)E,產(chǎn)為上、下底面三角形的外心,

則"的中點(diǎn)O為直三棱柱「8,C一A8C的球心，在8c中，由余弦定理知3C=2小,

?”榜BC2事.

?2M-sinZBAC-^-4,

2

；?以=2,

VM=2,又0戶=/%=1,

設(shè)該三棱錐外接球半徑為R,

???R=OA=勺。產(chǎn)+-2=*,

?工表面積S—47tA2—20兀

（2）（2022?臨川模擬）已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，側(cè)面PABL

底面4BCD,且△以8為等邊三角形，則該四棱錐P-ABCD的外接球的表面積為（）

人9B姆

A.33

C.64兀D.16幾

答案A

解析如圖所示，在四棱推尸一ABC。中，取側(cè)面△物8和底面正方形ABC。的外接圓的圓

心分別為。I,。2,分別過。，。2作兩個平面的垂線交亍點(diǎn)0,

則由外接球的性質(zhì)知，點(diǎn)。即為該球的球心，

取線段A8的中點(diǎn)石，連接石，0止,onOD,

則四邊形OlEQO為矩形，

在等邊△外8中，可得PE=2小,

則。七=￥，即。。2=￥，

在正方形ABCO中，因?yàn)锳B=4,

可得。2。=26，

在Riz^OOzO中，可得002=003+。?。?，

21

即R=OOHO2D=-Y，

所以四棱錐P一人8C。的外接球的表面積為

規(guī)律方法求解空間幾何體的外接球問題的策略

(1)定球心：球心到接點(diǎn)的距離相等且為半徑：

(2)作截面：選準(zhǔn)最佳角度作出截面(要使這個截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及

體現(xiàn)這些元素的關(guān)系)，達(dá)到空間問題平面化的目的；

(3)求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出我面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

跟蹤演練1(1)已知四面體ABC。中，AB=CD=2&AC=BD=yf^,AD=3C=迎，則

四面體ABCD的外接球的表面積為.

答案45兀

解析設(shè)四面體A8CO的外接球的半徑為R,將四面體八8C。置于長、寬、高分別為a,b,

—=20,

c的長方體中，故，護(hù)+/=29,

./+。2=41,

故a耳運(yùn)

故四面體ABCD的外接球的表面積為4兀/？2=45TL

(2)如圖，在三棱錐A—BCD中，△BCD為等腰直角三角形，BC1CD,側(cè)面A3。為邊長為2

的等邊三角形，且平面46O_L平面BCD,則三棱錐A-BCO外接球的體積為.

答案

27

解析如圖，取3。的中點(diǎn)為Q,連接4。1,由題意知，AAB。為等邊三角形,

C

記0為△A3。的外心，???。為AOi的三等分點(diǎn)，且怒=]又A8=2,??.AO]=小,A0=￥，

又。1為等腰直角三角形4c。的外心，且平面A3。J_平面BCD,

OA/3

???0即為三棱錐4—BC。外接球的球心，設(shè)外接球半徑為R,則R=OA=-^-,

???外接球的體積為^=%川=喈5.

考點(diǎn)二空間幾何體的內(nèi)切球

例2（1）（2022.酒泉模擬）在三棱錐A—ACO中，AB_L平面8CQ,BCA-CD,且A8=a）=4,

8C=3,則該三棱錐內(nèi)切球的體積為（）

A里乎「也門里

八1664J93

答案A

解析由A3_L平面3C。，CQU平面3CQ,得4B_LCD

又BCLCD,且AB,8CU平面ABC,ABQBC=Bt

所以CO_L平面ABC,

又ACU平面ABC，

為4,4.6,棱柱的高為2,則V的最大值為（

?！?6兀,c4花

A.一右一C.4兀D."

答案D

解析依題意，△ABC如羽所示，令48=AC=4,BC=6,

BD3C

則BC邊上的高AD=幣,

設(shè)8c的內(nèi)切圓半徑為r,

則Jx（4+4+6）r=；X6X巾，解得,=邛,

乙乙/

故在直三棱柱內(nèi)部的球的半徑最大為1,此時球的體積V取最大值苧.

（2）（2022?西安模擬）六氟化硫，化學(xué)式為SF6,在常溫常壓下是一種無色、無臭、無毒、不燃

的穩(wěn)定氣體，有良好的絕緣性，在電器工業(yè)方面具有廣泛用途.六氟化硫的分子結(jié)構(gòu)為正八

面體結(jié)構(gòu)（正八面體是每個面都是正三角形的八面體），如圖所示.若此正八面體的棱長為2,

則它的內(nèi)切球的表面積為（）

答案C

解析設(shè)正八面體內(nèi)切球半徑為R,給正八面體標(biāo)出字母如圖所示，連接AC,3。交于點(diǎn)O,

連接EO,

因?yàn)椤?=EC,ED=EB,

所以EOJ_AC,EOLBD,

又AC和8。交于點(diǎn)0,

所以EO_L平面46C。，所以。為正八面體的中心，所以。到八個面的距離相等，且距離即

為內(nèi)切球半徑,

設(shè)內(nèi)切球與平面E8C切于點(diǎn)“，所以?！盻1_平面仍C,

所以0月即為正八面體內(nèi)切球半徑,

所以R=0H,因?yàn)檎嗣骟w的棱長為2,

所以EB=EC=BC=2.OB=OC=yf2,

22

EO=ylEB~OB=y[2f

所以S&￡8C=3,SM)BC="，

因?yàn)閂E-OBC=V。-EBC=1義S^OBCXE0

=9SdEBcX0H,

所以O(shè)H=坐，即R=幸,

所以正八面體內(nèi)切球的表面積為4"號.

專題強(qiáng)化練

1.（2022?九江模擬）如圖，在邊長為2的正方形A8CD中，E,尸分別為線段AB,8C的中點(diǎn)，

連接DE,DF,EF,將叢CDF,△/?石r分別沿。E,DF,七尸折起，使A,B,C三

點(diǎn)重合，得到三棱錐O-DEF,則該三棱錐外接球的表面積為（）

A.37rB.-\/67CC.6兀D.24兀

答案C

解析在正方形ABC。中，AD1.AE,CD1CF,BEA.BF,折起后00，OE,O尸兩兩垂直,

故該三棱錐外接球即以。。，OE,。產(chǎn)為棱的長方體外接球.

因?yàn)??！?2,OE=\,OF=\,

所以2/?=、。＞+。E2+。尸=巡,所以R=坐,

所以該三棱錐外接球的表面積為4"R2=6TL

2.（2022?佛山模擬）如圖，某幾何體由共底面的圓錐和圓柱組合而成，且圓柱的兩個底面和圓

錐的頂點(diǎn)均在體積為36兀的球面上，若圓柱的高為2,則圓錐的側(cè)面積為（）

A.2求冗

C.16兀

答案

解析依題意，做球的軸我圖如圖所示,

4

其中，。是球心，上是圓錢的頂點(diǎn)，EC是圓錐的母線，由題意可知和正=36%，

解得R=3,由于圓柱的高為2,

則。0=1,。石=3-1=2,OC=取=？=2啦，

母線EC=y/22+8=2y/3,

故圓錐的側(cè)面積為S=TIDCEC

=兀x2ylix25=4址兀

3.（2022?濟(jì)寧模擬）若一個正六棱柱既有外接球又有內(nèi)切球，則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球

的表面積的比值為（）

A.2：1B.3：2

C.7：3D.7：4

答案C

解析如圖，設(shè)。，。2分別為正六棱柱的底面中心，「為內(nèi)切球半徑，R為外接球半役，

。為002的中點(diǎn)，。為A8的中點(diǎn),

設(shè)正六棱柱的底面邊長為2,

若正六棱柱有內(nèi)切球，則。0|=0|。=小,

即「=小.

。筋=。0彳+0泊2=7,即/?=巾，

則該正六棱柱的外接球和內(nèi)切球的表面積的比值為4兀R2：4兀3=/?2：4=7：3.

4.（2022?懷化模擬）已知A,B,。三點(diǎn)均在球O的表面上，AB=BC=CA=2,且球心。到

平面ABC的距離等于球半徑的小則下列結(jié)論正確的是（）

A.球。的半徑均

B.球。的表面積為3兀

C.球。的內(nèi)接正方體的棱長為加

D.球。的外切正方體的校長為加

答案D

解析設(shè)球。的半徑為r,△ABC的外接圓圓心為O',半徑為凡則/?=￥，

114

因?yàn)榍蛐?。到平面ABC的距離等于球。半徑的水所以r-^r=^

得戶所以A不正確；

所以球。的表面積5=4加產(chǎn)=4兀X彳=6兀，選項(xiàng)B不正確；

設(shè)球。的內(nèi)接正方體的棱長為。，則。滿足小。=2幾顯然選項(xiàng)C不正確；

設(shè)球。的外切正方體的棱長為伍則滿足力=2/，顯然選項(xiàng)D正確.

5.正四棱錐的頂點(diǎn)都在同一球面上.若該棱錐的高為4,底面邊長為2,則該球的表面積為

（）

B.16兀C.9兀

答案A

解析如圖，正四棱錐P—ABCO的底面中心為，.

在底面正方形ABC。中，AH=y[2,

又PH=4,

故在Rl△%”中，序+442=142+（派）2=3W.

則由正四棱轅的性質(zhì)可得，其外接球的球心在P"所在的直線上，設(shè)其外接球的直徑為PQ

=2r.

又A在正四棱錐外接球的球面上，所以APL4Q.

又4H_LP〃，由射影定理可得以2=P“XPQ,

9

所以--

r4

故該球的表面積為5=4^=47rxg)2=^.

6.(2022?武漢質(zhì)檢)己知球O是三棱錐P—A6C的外接球，PA=AB=PB=AC=2,CP=2也

點(diǎn)。是P8的中點(diǎn)，且CD=巾，則下列說法正確的是.

①三棱錐P—ABC最長的棱的棱長為2回

②AC_L平面力B；

③球心O到底面PAB的距離為小;

④球。的表面積為竽.

答案①②④

解析如圖，因?yàn)?=AC=2,CP=2也

所以PA2AC2=CP2,

得CA_L以，

由。是PB的中點(diǎn)，

得AQ_LP8,AD=j2—12=?

又CO=#，

所以人。2+人力2=。02,得人c_L4。,

又以HAZ)=A,PA,4Z)U平面小B,

所以ACL平面以8,故②正確；

由AB=AP,得CB=CP=2巾,

故三棱錐P一八8C最長的棱的棱長為26，故①正確;

取等邊三角形%B的中心G,連接OG,04,

則OG=^AC=\,

即球心O到底面小6的距離為1,故③錯誤;

底面△以8外接圓的半徑「=￥，

外接球的半徑R=

所以球0的表面積為S=4TIX（粵）=竽，

故④正確.

7.（2022?漳州模擬）某中學(xué)開展勞動學(xué)習(xí)，學(xué)習(xí)加工制作包裝盒.現(xiàn)將一張足夠用的正方形硬

紙片加工制作成軸截面的頂角為60。，高為6的圓錐形包裝盒，若在該包裝盒中放入一個球

形冰淇淋（內(nèi)切），則該球形冰淇淋的表面積為.

答案16兀

解析如圖，由題意知，/BAC=60。，AOi=6,

故在RtZXAOC中，AC=44，0C=2小，

設(shè)內(nèi)切球球心為0,半徑為R,

則OD=OO\=R,

在RtZ\A。。中，/。4。=30°,

所以2K=6—R解得R=2,

所以5=4TTR2=]6兀

8.（2022?煙臺質(zhì)檢）如圖，在四棱錐P-ABCD中，△陶。是邊長為4的等邊三角形，四邊形

A4C。是等腰梯形，AD//BC,ZABC=60°,AB=AD,若四棱錐P—ABC。的體枳為24,則