微重點(diǎn)5三角函數(shù)中“，°的范圍問(wèn)題

三角函數(shù)中①，（P的范圍問(wèn)題，是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，主要考查由三角函數(shù)的最值（值域）、

單調(diào)性、零點(diǎn)等求口，伊的取值范圍，難度中等偏上.

考點(diǎn)一三角函數(shù)的最值（值域）與物3的取值范圍

例I（1）若函數(shù)府尸血（心一目（3乂））在［。，?上的值域是一挈1,貝IJ3的取值范圍是

3一r3-

-3

?B"

A.2t

■-

7一r57

-D-

,一

2It72

-

答案B

解析因?yàn)棰?gt;0,所以當(dāng)聞0,于時(shí)，

冗「nconn

s一片］一不T-4j-

又因?yàn)楹瘮?shù).凡0=$而（口.丫一?（60>0）在

0,Ml上的值域是一筆1,

所烤W(wǎng)等-臺(tái)季

3

解得^WQ）W3.

（2）已知函數(shù)/U）=sin/x+acoscox（a>0,加>0）的最大值為2,若使函數(shù)_/U）在區(qū)間［0,3］上至少

取得兩次最大值，則①的我值范圍是.

答案［畸+8）

解析J（x）=sincox+4cosox

=414-?2sin（（yx+^）,

因?yàn)閥u）max=、1+/=2,Q>0,

故a=小，

原式為府）=2sin（（ox+W）,

當(dāng)yu）取到最大值時(shí)，①x+W=W+2E,kez,

當(dāng)xG［0,3］,?v）取得兩次最大值時(shí)，々分別為。和1,當(dāng)％=1時(shí)，cox+3當(dāng)+2兀，x=腎，

此時(shí)需滿嗡<，

解得①2噂.

規(guī)律方法求三角函數(shù)的最值（值域）問(wèn)題，主要是整體代換cox±s，利用正、余弦函數(shù)的圖象

求解，要注意自變量的范圍.

跟蹤演練I已知函數(shù)以尸sin（s+9）（①>0,磔<9的圖象與直線尸1的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距

離為兀，若對(duì)任意的低，與，不等式人此《恒成立，則8的取值范圍是（）

A話,flB?,

眼f]D.e,§

答案A

解析因?yàn)楹瘮?shù)y=/*）的圖象與直線y=l的相鄰兩個(gè)交點(diǎn)的距離為兀，所以函數(shù)y=?x）的最

小正周期為7=兀，所以①=竿=2,

所以大幻=sin（2x+9）.

當(dāng)（玄，4）時(shí)，自+”2X+9§+8.

因?yàn)橐欢鄥n專

所以一適〈五+8<73,咒+*.

又因?yàn)椴坏仁轿Ｌ?hào)對(duì)任意的不￡彷，§恒成立，

解得完備嶗

JT冗

因此9的取值范圍是[正，不.

考點(diǎn)二單調(diào)性與口0的取值范圍

例2（1）已知函數(shù)?i）=sin（cox+；）（①>0）在焦，上單調(diào)遞減，則co的最大值為

答案10

解析/W=sin（s+g,

當(dāng)xG（j6?且3。時(shí)，

neo,n.7tno）,n

記+i+z〈i_+不

因?yàn)榧樱┰趨^(qū)間（卷目上單調(diào)遞減，

所以（常+*詈+￡）彳0+2*兀，自+2E）（k*Z）,

］器+”與+2而收Z(yǔ)）,

即<.

1詈+號(hào)或￡+2E伙￡Z）,

解得4+32左W①W10+16?k￡Z）,

因?yàn)棰?gt;0,從而4WeyW10,

因此，0）的最大值為10.

（2）（2022.柳州模擬）若直線x是曲線y=sin（s-］（M>0）的一條對(duì)稱軸，且函數(shù)y=

sin（3x-J在區(qū)間［o,自］上不單調(diào)，則出的最小值為（）

A.9B.7C.11D.3

答案C

解析因?yàn)橹本€是曲線）=sin（s—的一條對(duì)稱軸，則*o—E=E+T,k￡Z.即

①=44+3,kEZ,

由一卜3?一:V得一焉<W券則函數(shù)產(chǎn)加（5—孑）在［一看,含|上單調(diào)遞增,

而函數(shù)產(chǎn)sin（3-：）在區(qū)間［（）,用上不單調(diào)，則含哈，解得①>9,

所以S的最小值為11.

規(guī)律方法若三角函數(shù)在區(qū)間［4,句上單調(diào)遞增，則區(qū)間口，切是該函數(shù)單調(diào)遞增區(qū)間的子集,

利用集合的包含關(guān)系即可求解.

跟蹤演練2已知危尸si吟一9）（0<9<號(hào)在］。，,上單調(diào)遞增，且凡I）在（°，芝）上有最小值，

那么9的取值范圍是（）

答案B

解析由,可得—（/）,牛一8，

又由0＜9＜與且危）在0,j上單調(diào)遞增，

可得爭(zhēng)一衿9所以臺(tái)94

當(dāng)、￡（。，華）時(shí),2^_0￡（_0,苧一°）,

由/（%）在（0,1上有最小值，可得與一0》竽，

所以

綜上，狂冶.

考點(diǎn)三零點(diǎn)與巴伊的取值范圍

例3（1）（2022?全國(guó)甲卷）設(shè)函數(shù)Ar）=sin（c0x+g在區(qū)間（0,兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)、兩個(gè)零點(diǎn),

則co的取值范圍是（）

A[i卷）8（3'號(hào)）

＜I]D盤(pán),第

答案c

解析由題意可得M＞0,故由x￡（o,兀），得住冗功+^）

根據(jù)函數(shù)凡r）在區(qū)間（0,兀）上恰有三個(gè)極值點(diǎn)，知當(dāng)＜江3+太多，得號(hào)＜。后?

T5R

根據(jù)函數(shù)段）在區(qū)間（0,兀）上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，知2"3+43兀，得*:①若

13Q-

（片，3?

⑵（2022?龍巖質(zhì)檢）已知函數(shù)危）=2sin（s—5）+爾加＞0）,若.心）關(guān)于點(diǎn)（小I）對(duì)稱，且/U）在

區(qū)間[0,1]上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則/e）的取值范圍是（）

A.-1,明B.[-1,?。?/p>

C.[-1,小+1）D.[0,小+1）

答案C

解析因?yàn)?（X）關(guān)于點(diǎn)（4,1）對(duì)稱，所以）=1.

所以fix）=2sin［x-春）+1（30）,

令於）=0,則2sin（①x—專）+1=0,

即sin（cox_/）=一￡,

因?yàn)閄6［O,1］,

所以①*一7￡［_不to—

因?yàn)閮貉荆┰趨^(qū)間［0,1］上有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，

4-n19花

所以T右飛汗，

則2TTWQ）2^,

又/僚=2sin&Y）+l,

所以黑華戈序

則-iWsin曾一目＜察

所以一1W2sin律一目+1〈小+1,

即一1勺?！?+1.

規(guī)律方法已知函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)求G,伊的取值范圍問(wèn)題，一是利用三角函數(shù)的圖象求

解；二是利用解析式，直接求函數(shù)的零點(diǎn)、極值點(diǎn)即可，注意函數(shù)的極值點(diǎn)即為三角函數(shù)的

最大值、最小值點(diǎn).

跟蹤演練3設(shè)函數(shù)./（x）=sin（5：+M）（c?0），已知力t）在［0,2兀］上有且僅有5個(gè)零點(diǎn).紿出以

下四個(gè)結(jié)論：

①/5）在（0,2兀）上有旦僅有3個(gè)極大值點(diǎn)；

②/&）在（0,2兀）上有目.僅有2個(gè)極小值點(diǎn)；

③/⑴在（0，點(diǎn)）上單調(diào)遞增；

④口的取值范圍是［3常.

其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是（）

A.①④B.②③C.①②③D.①③④

答案D

解析如圖，根據(jù)題意知，mW27TV切，根據(jù)圖象可知函教Hx）在（0,2兀）上有且僅有3個(gè)極大值

點(diǎn)，所以①正確；但可能會(huì)有3個(gè)極小值點(diǎn)，所以②錯(cuò)誤；根據(jù)融W2兀<皿，有誓W27K等,

JCtz?-?

得號(hào)。端，所以④正確；當(dāng)x￡（0,令）時(shí)，梟>+如學(xué)+率因?yàn)棰偻模蕴?hào)+三

湍書(shū)，所以函數(shù)人幻在（0,聆）上單調(diào)遞增，所以③正確.

jy~~\JA\_/29n7

5co

專題強(qiáng)化練

I.（2022?安康模擬）已知函數(shù)yU）=/UanQox+a>0,口>0）的圖象向左平移,個(gè)單位長(zhǎng)度后

與原圖象重合，則實(shí)數(shù)①的最小值是（）

48

-政-

A.33C.yD.8

答案A

解析由題意可知，乎是該函數(shù)的周期的整數(shù)倍，即乎=》<七kez,解得“=竽2￡Z,

又Q>0,故其最小值為東4

2.（2022?湖南六校聯(lián)考）將函數(shù)Ar）=3sin（x-§的圖象向右平移夕（0<8令）個(gè)單位長(zhǎng)度后得到

g（x）的圖象.若g（x）在像引上單調(diào)遞增，則8的取值范圍為（）

一兀兀]「兀7t~|

Ajj，2JB],2J

c[rT.J-T

答案B

解析企）=3$訪（工一專一，，

、t，花571r.n2K

縱o『時(shí)l，一師L[e<y

由0<°<九，得一*￡（一兀，0）,

得狂嶗

3.已知①>擊，函數(shù)./U）=sin（2Gx+g在區(qū)間e，平）內(nèi)沒(méi)有最值，則①的取值范圍為（

B[*/

D[*1]

答案C

-

jrIT^rKII

解析由25+1=&兀+1kez,得吊=兀,kGZ,

因?yàn)楹瘮?shù)./U）=sin（2s+W在區(qū)間停與）內(nèi)沒(méi)有最值，

所以對(duì)任意k￡Z,都有4:嚏圖4），

當(dāng)①2=1時(shí)，爭(zhēng)），故選項(xiàng)A,D不正確；

當(dāng)①=非時(shí)，存在&=1使得*■兀=譽(yù)《停，嗡，故選項(xiàng)B不正確.

246（011\ZZ/

4.（2022?邵陽(yáng)模擬）設(shè)函數(shù)7U）=sin（s+5）（①>0）,已知4%）在一專月上單調(diào)遞增，則/U）

在（0,2兀）上的零點(diǎn)最多有（）

A.2個(gè)B.3個(gè)

C.4個(gè)D.5個(gè)

答案A

解析由-4+2EWcax+^w3+2E,A￡Z,

2兀,2kli）?兀，2kn

得京+京W后五十工,kGZ,

取2=0,可得一金;0W卷.

若加）在［一去月上單調(diào)遞增,

4

解得0<SWQ.

若xW（0,2兀），則，"x+狂管，2①兀

設(shè)f=cox+^,

則2①兀+5），

因?yàn)?由+如儡V]-

所以函數(shù)丁=麗/在《，2/兀+3上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

所以_/（%）在（0,2兀）上的零點(diǎn)最多有2個(gè).

5.已知函數(shù)./U）=sin（cox+8）（s>0,刷與，./■（一§=（）,?W卜傳）恒成立,

且兀V）在區(qū)間

（一有為）上單調(diào)，那么下列說(shuō)法中正確的是（）

①存在9,使得人r）是偶函數(shù)；

顫。）=借）；

③8是奇數(shù)；

④口的最大值為3.

A.①②③B.??

C.②④D.②③

答案D

解析由凡r）w|/怎知為函數(shù)K用圖象的一條對(duì)稱軸，

所以用））=/停）

又/（-*。,

所以空.7="（一（H（“ez）,

2〃+】2兀

即4co梟WZ）,

即①=2〃+l（〃￡Z）.

因?yàn)槎危┰冢ㄒ蛔?，立）上單調(diào),

所以六拉克一（一盍）弋，

所以①W8,所以①max=7.

因?yàn)镮夕I器,

所以

所以不存在夕，使得凡、?)是偶函數(shù).

6.(2022?萍鄉(xiāng)模擬)設(shè)函數(shù)yU)=sin3+j)在區(qū)間［a,上的最大值為M,最小值為小，

則M—in的最小值為()

A乎B.1

c.1-f-

答案B

解析當(dāng)a,a+W時(shí)，

2_￥+不￡［2〃+不2^+^+—J,

令2x+3=f,2a+：=力,

則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為g(尸sin/在［/?,。+用上的最大值是M,最小值是加，

由正弦函數(shù)性質(zhì)，可知g(i)=sin/的周期是2冗，要使得M一m最小，則g(f)的最大值或最小

值點(diǎn)是區(qū)間,力+到的口點(diǎn)，

由周期性，不妨取力+力+鋁=?；蛄?力+鋁=3兀，即仁/或/?=?

J3oo

當(dāng)/?弋時(shí)，M=l,m=siti^=2,M—"?=；,

當(dāng)/?=*時(shí)，m=—\,/W=sin7n=

6

7.己知函數(shù)Ax)=，5sina，x—cossx?>0)在0,y內(nèi)有且僅有1個(gè)最大值點(diǎn)和3個(gè)零點(diǎn)，則

co的取值范圍是________.

答案件學(xué))

解析/U)=，^sincox—coscox

=2sii/wx—,.,()WxW，

.冗-71con7t

??一jWox—gW^一不

1316

解仔ZB丁

則①的取值范圍是[呈號(hào)）.

8.（2022-濟(jì)南模擬）已知函數(shù)人工）=cos（sx—：）（?＞（））,則下列說(shuō)法正確的是

（填序號(hào)）

①若將兒6的圖象向左平移今個(gè)單位長(zhǎng)度，所得圖象與原圖象重合，則公的最小值為4；

②若尼）=/（｝），則①的最小值為1;

③若於）在卷兀）上單調(diào)遞減，則”的取值范圍為修，斗