專題8.2空間中的平行和垂直關(guān)系

三（題型目錄

題型一線面平行、面面平行的判定定理

題型二補全平行的條件

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

題型四線面垂直、面面垂直的判定定埋

題型五補全垂直的條件

題型六線面垂直、面面垂直的性質(zhì)定理

題型七判斷平行，垂直的有關(guān)命題

題型八平行，垂直的綜合應(yīng)用

才典例集練

題型一線面平行、面面平行的判定定理

例1.（2023春?福建泉州?高一校聯(lián)考階段練習(xí)）如圖，已知四棱錐P-40）中，AB//CD,

。、M分別是C。、PC的中點，尸。/底面ABC。，且PO=QO=D4=A8=8c

⑴證明：尸A//平面O8M：

（2）若。0=1,求三棱錐的體積.

【答案】（1）證明見解析

⑵立

24

【分析】（1）可以通過作輔助線結(jié)合中位線得到線線平行證明線面平行或者通過證明面面平

行得到線面平行；

（2）先求三棱錐P-A4C的體積，得到三棱錐M-A3C的體積，利用幾何體的分割可得答

案.

【詳解】（1）證法一：連接4C交B0于點N,連接MN,QA.

?.AB//CD,OC=OD=AB,

???四邊形"CO為平行四邊形,??.N是CA的中點;

Vi.CAP+,M是CP的中點,

:平面MNu平面OBM,

：,以//平面0區(qū)3.

證法二：???"?"中，。，歷分別是C7ZCQ的中點，/.?！?/。0，

又平面24。，7Y>u平面尸平面PAO,

vAB/IDC且A"=OO,

???四邊形ABOD是平行四邊形，/.BO//AD,

又平面尸AO,A￡)u平面Q4O,「.8O//平面尸AO：

OMcOB=O,O氏OMu平面O8W,???平面OBM//平面尸4),

?「OAu平面PA。，..%//平面08M.

(2)連結(jié)M4,AC,

得NBCO=60",ZABC=\20\

:.乂8c的面積SAltc=^BABC-sinZABC=乎；

又尸。/平面ABC。，P0=\y

工三棱錐p—ABC的體積為％_4*=；＞5八的＞＜1=:/乎xl=*；

DD?14

???M是尸C的中點，.'.V^ABC=^VP-ABc=^，

?V_V_V_V_G6一石

??VM-PAH-VP-MAR-VP-ABC-VM-AHC-石癡"一'

例2.（2023春?江蘇鹽城兩三江蘇省響水中學(xué)?？计谥小橙鐖D，正三棱柱ABC-4與G的所

有棱長都等于2,E,F,G分別為4G，A4,的中點.

⑴求證：平面ACG〃平面

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）利用面面平行判定定理即可證得平面AGG〃平面BER

【詳解】（1）???￡,F分別為B￡,%旦的中點，.??即「AG，

???AC；u平面AGG,所《平面4。6,「.律〃平面4弓6,

又F,G分別為分4,A8的中點，1=5G,

乂A尸〃BG,.?.四邊形AGBF為平行四邊形，則8戶〃人G,

?」AGU平面AGG,4尸a平面AGG,

8F〃平面AGG,

又EFnBF=F,EF,A/u平面8E/7,

平面AG?！ㄆ矫?E?

率二反三I

練習(xí)1.（2022春.甘肅蘭州.高一蘭州市第二中學(xué)?？计谀┤鐖D，1a&'中，AC=BC=&AB,

2

A4E7）是正方形，平面A跖。_L平面A8C,若G、產(chǎn)分別是EC、6。的中點.

⑴求證：G〃〃平面A8C；

【答案】（1）證明見解析

p

取PC中點兒連接N廠,OF,

2

因為MD=2AM.所以=

乂4O=3BC,所以M力=』8C,

42

因為4D〃8C,所以MO〃8C,

乂因為N為依的中點，所以Nr〃4c且N尸=：/3U

即有NF//MD且NF=MD、

所以四邊形NFDM是、F行四邊形，

所以MN〃DF,

又因為MNN平面PCD,DFu平面PCD,

所以MN，平面PCD.

練習(xí)3.（2023春?黑龍江牡丹江?高一?？茧A段練習(xí)）如圖，已知矩形A8CQ所在平面垂直于

直角梯形他莊所在平面，“=G，8P=2*。=4石=必七，砂,然〃儲,￡6分別是

（1）設(shè)過三點2EC的平面為。，求證：平面4FG〃平面。；

（2）求四棱錐D-ABPE與三棱錐尸-BCD的體積之比.

【答案】（1）證明見解析

（2）1

【分析】（1）先分別證明尸G〃平面a,AG〃平面a,再根據(jù)面面平行的判定定理即可得證；

（2）過。作ZW_LA3,垂足為〃，先根據(jù)面面垂直的性質(zhì)分別證明AO_L平面ABC。，PHL

平面ABC。，再根據(jù)錐體的體積公式即可得解.

【詳解】(I)TG是BP的中點，，尸G=58P=1,

XVAE=\,；,AE=PG,

XVAE//PG,AE1EP，:.四邊形AEPG是矩形，,AG//EP,

???AG<z平面a,PEu平面々，/.AG〃平面a,

?.?￡G分別是BC,BP的中點，,FG//PC,

?.?FG(z平面a,PCu平面。，，/G//平面。，

VAGr>FG=G,且AGFGu平面4"G,

，平面AFG〃平面a；

(2)過/，作/V/J.48,垂足為〃，

因為平面ABCD1平面ABPE，平面ABCDn平面ABPE=AB,

ADJ.AB,A/)u平面A8CQ,

所以AOJ_平面ABCQ,

.11+2/rx/3

VXX

??D-4BP￡=3—V3X1=—,

,/因為平面ABCO工平面ABPE,平面ABCDc平面ABPE=AB,

PH工AB，PHu平面4BPE,

???平面A8CQ,即戶，是三棱錐尸一8CZ)的高，

,?AG=EP=&PG=AE=BG=l,

，由勾股定理得AB=\lAG2+BG，=A/3+T=2，

CD=AB=2,sinZABG,

AB2

PH=BPsinNABG=⑺，

—x2xlx5/3=,

23

???四棱錐D-ABPE與三棱錐P-BCD的體積之比?=：.

練習(xí)4.（2023.四川?校聯(lián)考模擬預(yù)測）如圖，在四棱錐P-ABCD中，0八_1_平面ABC。，四

邊形ABC。為矩形，￡為棱A4的中點，與4c交于點尸,G為.PBC的重心.

⑴求證：FGg半血Q48：

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）根據(jù)線線平行和線面平行的證法和線面平行的判定即可求解;

【詳解】（1）證明：延長CG交/歸于點〃，連接A”，

則，為M的中點，

因為E為人8的中點，

所以A8=CO=2AE,

乂AE//CD.

由zCFCD_

所以五r族=2,

因為G為一?8C的重心,

所以翁2，

,CF_CG

所rrr以萬=而’

所以尸G〃A〃，

又47u平面PAB,R7Z平面PAB，

所以FG.平面P48.

練習(xí)5.（2023?全國?高三專題練習(xí)）已知點E,產(chǎn)分別是正方形48CQ的邊AO,8c的中

點.現(xiàn)將四邊形EFC。沿斯折起，如圖所示.若點G,”分別是AC,斯的中點，求證：GH//

【答案】證明見解析.

【分析】連接質(zhì)，設(shè)點。為4尸的中點，連接GO,OH,則可證OG〃b和O”〃￡E,從

而證得OG〃平面EFCD和OHH平面E"CO,則平面GOHH平面EFCD,即可證GH//平面

EFCD.

【詳解】證明：如圖，連接從/，設(shè)點。為A尸的中點，連接GO,OH,

在△AC尸中,因為點。為AF的中點，點G為4c的中點,

所以O(shè)G//CF.

因為OG<Z平面上FC。，bu平面ER:。，所以。G〃平面

同理可證得

又因為E,產(chǎn)分別為正方形A8CO的邊AO,8c的中點，

故EFHAB,所以O(shè)H//EF.

因為平面EFCZ),E/u平面&CO,所以O(shè)H〃平面EFCO.

又因為?！╟OG=O,CWu平面G。"，OGu平面G?！?，

所以平面GOH//平面EFCD.

又因為G〃i平面GOH,所以G”〃平面EFC/).

題型二補全平行的條件

例3.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐p-ABCZ)的底面A8CO為平行四邊形，F(xiàn),G

分別為戶員八。的中點.

(1)證明：4//平面PCG；

(2)在線段8。上是否存在一點N,使得/WJ平面PCG,并給出必要的證明.

【答案】(1)證明見解析

(2)存在，證明見解析

【分析】(1)取PC中點”，證明四邊形AG"/為平行四邊形即可；

(2)設(shè)ADcCG=O,取。8中點K,先證明FK//平面尸CG,即可證明點N在線段靠

近3端的三等分點時符合題意.

【詳解】(1)證明：取PC中點”，連接在二PBC中，尸為心的中點，

=2

G為八。的中點，/.AG-BC,:.AGFH,AG=FH,

2

即四邊形4G”/為平行四邊形，「.A尸〃G”.

QG”u平面PCG,A尸（z平面PCG,:.AF/平面PCG.

（2）設(shè)3OcCG=O,取OB中點K,連接FK,則在j/OB中,

F，K分別是O氏尸8的中點，

:.FK//OP

OPu平面PCG,FKa平面PCG,

:.FK平面PCG.

〈△DOG與6OC相似，且相似比為1:2,

/.BO=2DO=2KB

:.K為BD的三等分點.

??.N在K點位置時滿足EM平面PCG.

即點N在線段4D靠近3端的三等分點時符合題意.

例4.（2023?貴州畢節(jié)?統(tǒng)考模擬預(yù)測）三棱柱ABC-A4G中，四邊形4AB乃是菱形，

乙445=60。，平面"18乃"1平面4耳。-55C是等腰三角形，ZACB=120°,AB—壟,

片C與Bq交于點M,AA，A用的中點分別為N,O,如圖所示.

C|

（1）在平面AA用8內(nèi)找一點。，使M。//平面GN。，并加以證明；

【答案】（1）。為8N的中點，證明見解析；

【分析】（1）取3N的中點。，利用線面平行的判定推理作答.

【詳解】（1）連接3N,取8N的中點為D,連接則〃平面GNO.

在三棱柱A〃C?A4G中，四邊形BCG%是平行四邊形，即〃為3c的中點,

而。為8V的中點，于是MQ//GN,MD巨平面qNO，GNu平面CN。,

所以M。//平面GNO.

舉一反三

練習(xí)6.（2023?浙江?校聯(lián)考三模）如圖，三極臺A8C-A4G中，AG=4,AC=6fD為

線段AC上靠近C的三等分點.

（1）線段8C上是否存在點E,使得A%/平面GOE，若不存在，請說明理由；若存在，請求

出g的值；

ftp9

【答案】（1）存在，黑二彳

3

【分析】（1）取8c的靠近點。的三等分點E，連接CE、DE、OG，證明出平面AAB18〃

平面GOE,利用面面平行的性質(zhì)可得出A8〃平面GOE,由此可得出結(jié)論；

【詳解】（1）取BC的靠近點。的三等分點E,連接。述、DE、DCif

22

則4Q=§AC=5X6=4=AC，

又因為AD//4C，所以，四邊形"C。為平行四邊形，則的〃。5

因為。G<Z平面A4.43,A4.U平面44,8由，所以，g〃平面44心4,

因為二77=二：=彳，所以，DE//AB.

ACBC3

因為DE（Z平面例用巧,ABu平面44向8,所以,。￡〃平面相罔8,

因為。G：DE=。，。。1、力Eu平面GDE,所以，平面AABQ〃平面CQE,

因為ABu平面A4.8/，故48〃平面CQE,

因此，線段8C上是否存在點E,且當(dāng)B黑F=：2時，A8〃平面GOE.

oC3

練習(xí)7.（2023春?黑龍江牡丹江?高三牡丹江市第三高級中學(xué)校考期中）如圖所示，三棱柱

ABC-AMG，底面是邊長為2的正三角形，側(cè)棱M，底面48C,點￡1分別是棱CC,明

上的點，點M是線段AC上的動點，EC=2FB=2.

⑴當(dāng)點M在何位置時，83//平面4歷？

【答案】（1）點用為4?的中點

【分析】（I）分別取A￡AC的中點為O,M,連接OEQM.可推得四邊形廠為平行四

邊形，BM//OF.進而根據(jù)線面平行的判定定理，得出線面平行；

G

如圖1所示，分別取AEAC的中點為。歷，連接。尸。切.

因為。，M分別是AC的中點，

所以O(shè)M//EC,且OM=，￡C.

2

又因為B8JM4，

所以所//EC,所以

乂EC=2FB=2,所以FB=OM.

所以四邊形廠為平行四邊形，

所以8M//O尸.

因為u平面AEF，BM<z平面AEF,

所以8W//平面AEF.

所以，當(dāng)點M為AC的中點時，有8M//平面4歷.

練習(xí)8.（2022秋?安徽合肥?高二?？紝W(xué)業(yè)考試）如圖，四楂錐尸-A8C。中，A4JL平面4BCD,

A〃_LAD,點E在線段AO上，CE//A13.

⑴求證：CE_L平面240；

（2）若￡為八￡）的中點，試在ZV）上確定一點尸，使得平面CEF〃平面A4B,并說明理由.

【答案】（1）證明見解析

（2）當(dāng)F為P。的中點時平面CE尸〃平面PAB,證明見解析

【分析】（1）由線面垂直得到P4_LCE,再說明CE_L4）,即可得證；

（2）當(dāng)尸為尸。的中點時平面C￡F〃平面Q48,由CE//AB可得CE〃平面PAB,根據(jù)中位

線的性質(zhì)得到“7/B4，即可得到“7/平面RW,從而得證.

【詳解】（1）證明：A4_L平面A8cO,CEu平面4BCO..?./^_LCE,

/ABA.AD,CE//AB,：.CE±AD.

又＜PAAD=A,P4u平面P4。，4Ou平面PA。，「.C￡J■平面P4。；

（2）解:當(dāng)尸為PO的中點時平面CE產(chǎn)〃平面

證明：因為CE//AB,CEcz平面A8u平面448,所以CE〃平面B4B,

又七為AO的中點，F(xiàn)為PD的中點,所以所〃PA,

石廠。平面PAu平面244,所以石戶〃平面Q4H

又EFcCE=E,Mu平面CEE，CEu平面CEF,

所以平面CEF//平面PAB.

練習(xí)9.（2023春?福建度門?高三厘門一中?？计谥校┤鐖D，已知P是平行四邊形A8CD所

在平面外一點，M、N分別是48、0C的三等分點（M靠近8,N靠近C）；

（2）在28上確定一點Q,使平面MNQ//平面尸A。.

【答案】（1）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）過點N作NE//CD.交P。于點E,連接人石，證得證得四邊形AMNE為平行

四邊形，得到A/N//4E,結(jié)合線面平行的判定定理，即可求解；

（2）取PB取一點。，使得BQ=：BP,證得MQ//P4,得到MQ//平面以。，結(jié)合（1）

中MN〃平面H4。，利用面面平行的判定定理，證得平面MNQ〃平面尸A。.

【詳解】（I）證明：過點、N作NE//CD,交PD于點E，連接AE,

2

因為N為尸。的三等分點：可得NE=§CD,

2

乂因為M為A8的三等分點，可得

因為A3〃CD且A8=CD,所以AM//NE且A"=NE,

所以四邊形AMNE為平行四邊形，所以MN〃AE,

又由MNU平面PA。，AEu平面Q4O,所以MN〃平面940.

(2)證明：取所取一點。，使得8Q=gBP,即點。為心上靠近點3的三等點，

在,中，因為M,Q分別為何，心的三等分點，可得空=坐，所以MQ//PA,

ABBP

因為MQZ平面尸AO,A4u平面PAO,所以MQ//平面?A。：

又由(1)知MN〃平面PAD，且MNc"Q="，MMMQ匚平面MNQ,

所以平面MNQ”平面P4D，

即當(dāng)點Q為/火上靠近點B的三等點時，能使得平面MV。//平面PAD.

練習(xí)10.(2021秋?河南?高三校聯(lián)考開學(xué)考試)如圖，在三棱錐尸-ABC中，PA_L底面A8C,

NH4C=90.點。，瓦N分別為棱夕APC4C的中點，M是線段A。的中點，Q4=AC=4,

AB=2.

(I)證明：平面尸/WJ_平面

(2)已知點尸在AB上，且平面MM7/平面8￡>E,求線段從廠的長.

【答案】(1)證明見解析

(2)1

【分析】（1）由三角形中位線性質(zhì)可證得0E//4C,結(jié)合線面垂直的性質(zhì)和NBAC=90可證

得DEJ.AB,由線面垂直的判定可得OEJ.平面上48,根據(jù)面面垂直的判定可

得結(jié)論：

（2）由面面平行和線面平行的性質(zhì)可證得MF//5Z）,由此可知尸為AB中點,由此可得結(jié)

果.

（1）

???。，石分別為PAPC中點，DE//AC,又N8AC=90,.\DEJ.AB-.

???E4J?平面ABC,ACu平面ABC,：.PA±AC,又OE//AC,:.DE±PAx

\'PA[\AB=AfPA/lAu平面A48,平面P4B,

又DEu平面8DE..?平面尸A8_L平面8OE.

（2）

;平面MN/〃平面皮花，MFu平面MNF,二MF〃平面BDE,

?.?/Wru平面Q4B,平面尸48c平面皿汨=BD,:.MFHBD,

又〃為4。中點，尸為AB中點，「.A尸=348=1.

題型三線面平行、面面平行的性質(zhì)定理

例5.（2023春?高二課時練習(xí)）如圖，矩形4QFE和梯形A4CO所在平面互相垂直，AB"

CD,NABC=NADB=9G°,CD=1,BC=2,DF=1.

⑴求證：BE〃平面QC〃；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）通過證明平面A8E〃平面。尸。即可得解；

【詳解】（I）證明：???得A8〃C/）,480平面。CF：CDu平面。C/，???AB〃平面OCF；

-AE//DF,AEu平面。C/：。尸u平面。CF,：.AE//^DCF,

?.?AEcAB=A,AEu平面ABE,ABu平面ABE,

???平面ABE〃平面DFC,

3Eu平面ABE,：.BE〃平面DCF.

例6.（2023春?福建泉州?高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）如圖，在四面體A6C。中，截面MNPQ

是正方形，則下列判斷正確的是（）

A

A.AC=BDB.AC〃平面MNPQ

C.AC1BDD.點B,。到平面MNPQ的距離不相等.

【答案】BC

【分析】由平行線分線段成比例可判斷A；由線面平行的判定定理和性質(zhì)定理可判斷B：由

線線平行和垂直的性質(zhì)可判斷C；由線面平行性質(zhì)可判斷D.

【詳解】在四面體ABCD中,若截面PQMN是正方形，可得PQHMN,MNC平面ACD,PQu

平面ACQ,可得MNH平面ACD,

又MNu平面4cB,而平面AC31平面AC￡）=AU可得AC〃用M

乂八CG平面PQMN.MNj而PQMN,則AC//平面,故B正確；

同樣可得8。〃平面PQM/V,所以點8,。到平面MNP。的距離相等，故D錯誤；

由BO//PMAC7/QQjNPQ.可得AC18￡＞,故C正確；

由娶=＜，坐=與，且卬=0°，但°。不一定與皿＞相等，故4080不一定相等,故人錯

BDCDACCD

誤.

故選：BC

舉一反三

練習(xí)11.（2023?北京海淀?？既＃┤鐖D，在四棱錐尸-A8CO中，底面A8C。是邊長為2

的正方形，側(cè)面抬。為等腰直角三角形，且/24。二:，點/為棱PC上的點，平面40戶與

梭PB交于點E.

⑴求證：EF//AD；

【答案】（1）證明見解析

（分析］⑴由底面488是正方形得AD//BC,用線面平行的判定定理證得4）〃平面PBC，

再用線面平行的性質(zhì)定理證得加7MP；

【詳解】（I）證明：因為底面A8CO是正方形，所以4V/3C,

8Cu平面尸8C,ADu平面尸BC,所以A。//平面尸BC,

又因為平面A/卯與P3交于點E,/V）u平面4）“石，平面PBCc平面4。尸石="，

所以所//AO.

練習(xí)12.（2023?重慶萬州?統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖1所示，在四邊形ABC。中，BC工CD,E為

BC匕一點，AE=8E=AO=2CO=2,CE=b,將四邊形AECO沿A石折起，使得/?。=石，

得到如圖2所示的四棱錐.

⑴若平面BCQ。平面相￡=/,證明：CQ///；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）先證明CQ/3E，根據(jù)線線平行判定定理CD〃平面ABE,再由線面平行性質(zhì)定

理證明線線平行；

【詳解】（1）在圖1中，因為8c_LCD,CE=6,CD=l,

所以DE=2,sin/CDE=烏又NCQ￡c（0，g）,

2I2J

所以NCDEq,

因為OE=2,AE=AD=2,

所以NQE4=g,WCDHAE,

在圖2中，因為CZ）〃AE,AEu平面4JE，CDZ平面ME,

所以CD〃平面AHE,

因為COu平面BCD,平面BCD1平面A席=/,所以CD川;

練習(xí)13.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，四棱錐P-44co的底面為平行四邊形.設(shè)平面

以。與平面P4C的交線為/,M、M。分別為PC、CD.A4的中點.

（2）求證：BC//1,

【答案】（I）證明見解析

⑵證明見解析

【分析】（1）由三角形的中位線定理、平行四邊形的性質(zhì)，結(jié)合線面平行和面面平行的判定，

可得證明；

（2）由線面平行的判定和性質(zhì)，可得證明.

【詳解】（1）證明：因為M、N、Q分別為PC、CD、AB的中點，底面A8CO為平行四邊

形，

所以MN〃。/九NQ//AD,

又MNQ平面以D,PQu平面以。，

則MN〃平面PAD,

同理可得NQ〃平面PAD,

又MN\NQ=N,MN,NQu平面MNQ

所以平面MNQ〃平面PAD.

（2）證明：因為8C〃40,BOI平面雨。，AOu平面以。，

所以4c〃平面以。，

又BCu平面PBC,平面P8CCI平面PAD=l,

所以BC〃/.

練習(xí)14.（2023.全國高三專題練習(xí)）如圖，ACFE.AE=\,AE±ABCD,

AB//CD,ZBAD=90°,AB=\,AD=CD=2,平面4力產(chǎn)與棱跖交于點G.求證：AG//DF,

E

【答案】證明見解析

【分析】根據(jù)題意，利用面面平行的判定定理證明平面但與平面C尸。平行，再根據(jù)面面

平行的性質(zhì)定理得到線線平行；

【詳解】證明：:矩形ACFE,

:.AE//CF,

又4Eu平面AEB,CFu平面CFD,

.?.人上〃平面CFZ),

VAB//CD,

乂A3u平面CQu平面。產(chǎn)。，

.?.AB〃平面CFD,

又=

所以平面AEB//平面CFD,

平面4)/與棱踮交于點G,且應(yīng):u平面AEB,

，?平面4)產(chǎn)c平面AEB=AG,平面ADEc平面CFD=￡)/，平面人〃平面CFD,

故AG〃。尸，得證；

練習(xí)15.(2023?全國?高三專題練習(xí))如圖，四棱錐E—A8c。，AB=AQ=JLCD=CB小,

AC=2,平面EACJ■平面ABCD,平面ABEc平面CDE=l.若點M為線段AE中點，求證：

BMHl；

【答案】證明見解析

【分析】取4c中點方，根據(jù)△ABC/△ADC得到NAC3=ACO=60,由△BR7為正三角形

得到價7/CO,根據(jù)線面平行的判定得到8斤〃平面COE和M/〃平面CQE,講而得至I平面

AMB7平面CDE,結(jié)合面面平行和線面平行性質(zhì)可證得結(jié)論.

【詳解】證明：取AC中點”，連接MR8F,

也"=AO=G，CD=CB=1,AC=2,

可得AA88A4OC且AC'=AB2+BC2=AD2+DC2，

所以ABSBC,AD1DC,所以NACB=/4CO=60,

因為F為AC中點，所以△8PC為正三角形，即NBFC=/4CO=60,所以BF//CD,

又因為笈尸a平面CDE,CDu平面CDE,所以〃尸〃平面CDE,

在zMCE中，因為M,產(chǎn)的中點，所以MF//EC,

又因為M/7仁平面COE,ECu平面COE,所以“/〃平面CQE,

乂由BQMF=F,BRMFu平面BMF,所以平面8WA7/平面CZ）E,

又因為BWu平面所以8M//平面CDE,

又由平面AHEc平面C7）E=/,平面ABE,所以3M/〃.

題型四線面垂直、面面垂直的判定定理

例7.（2023春?浙江杭州?高三杭師大附中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐S-中，底面A8CO

是平行四邊形，ACLBC,^ABC=60°,SA=SB=SC=4,ZASB=90°.

（I）求證：平面SAB_L平面AAC：

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）取A4中點。，則SOJ_A8,連接SO.OC,利用勾股定理得出SO_LOC,然后

利用線面垂直判定定理得出SO，平面ABC,再利用面面垂直判定定理即可得出結(jié)論.

【詳解】（1）取A8中點。，連接SO,OC,

VZ4BC=60o,SA=5B=5C=4,ZASB=90°.ACIBC,

s.SOLAB,CO=SO=2叵,SC?=SO、CO',

:.SO±CO,又平面ABC,COu平面ABC,

且A8nCO=O,所以SO_L平面ABC,

又SOu平面SAB,所以平面SAB_L平面48c.

例8.（2023春?山東臨沂?高三校考階段練習(xí)）如圖，A8是:。的直徑，C是圓周上異于A,

B的點,。是平面ABC外一點，且PA=PB=PC=6.

（1）求證：平面P/W_L平面ABC；

【答案】（1）證明見解析；

【分析】（1）根據(jù)線面垂直的判定定理及面面垂直的判定定理即得；

【詳解】（1）連結(jié)OC,?,PA=PI3,

：.PO1AB,又C是以AB為直徑的圓周上?點，

,\OA=OB=OC.-PB=PC,

POB%APOC,

乙POB=4POC,POXOC,

又08roe=O,OB,OCu平面人8C,

.?.PO_L平面48C,POu平面為8,

???平面P48L平面44C；

舉一反三

練習(xí)16.（浙江省北斗星盟2023屆高三下學(xué)期5月聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）已知四棱錐尸-A8co中,

底面A8CO為平行四邊形，AB1AP,平面尸CD_L平面A88,PD=AO.

⑴若〃為”的中點，證明：APS平面"CD；

【答案】（I）證明見解析；

【分析】（1）利用等腰三角形的性質(zhì)及線面垂直的判定推理作答.

【詳解】（I）在四棱錐P-A8CD中，〃為AP的中點，又PD=AD,則AP_L”Z），而

ABA.AP.AB/ICD,

因此人PJ_CD，，力0。。=力,，。,。。（=平面”8,

所以AP_Z平面”8.

練習(xí)17.（2023春?廣西柳州?高三柳州地區(qū)高中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐（-ABCD中,

AR1RC,=A/）=4.BC=\,AR=&CD=2瓜

（1）證明：OCJ_平面P4C；

【答案】⑴證明見解析;

【分析】（1）通過勾股定理，證明出OC_LAC可證得QC_L平面PAC.

【詳解】（1）,:ABJ.BC,BC=1,AB=+,

由勾股定理得：AC=《AB?+BC2=在+（回=2，AACB=-

3

.48中，CD=2&,

,**AC2A-CD1=4+l2=16=AD2.:.DCVAC.

又因為小_L底面A8CO,力Cu底面A8CO,所以尸AJ.力C,

又因為4Cc%=A_aACPAu平面尸4C,￡>CJ_平面尸AC,

練習(xí)18.（2。23?江蘇鹽城鹽城中學(xué)?？既＃┤鐖D，該幾何體是由等高的半個圓柱和打

圓柱拼接而成，點G為弧CZ）的中點，且C,E,D?G四點共面.

（1）證明：平面平面8CG；

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）過G作G〃〃C8,交底面弧于“，連接"5,有"4CG為平行四邊形，根據(jù)題

設(shè)可得尸B上HB,即/BJ.CG,再由線面垂直的性質(zhì)可得C8_LF8,最后根據(jù)線面、面面

垂直的判定即可證結(jié)論.

【詳解】（1）過G作G〃〃CB,交底面弧于〃，連接“5,易知：“8CG為平行四邊形，

所以HB//CG,又G為弧C。的中點，則H是弧A/M的中點，

所以4/84=45。，而由題設(shè)知：ZABF=45°,則478產(chǎn)=4784+48/=90。，

所以所_L〃3,即//_LCG,由CB_L底面A8產(chǎn)，F(xiàn)8u平面則C3_LM，又

CBcCG=C,C8,CGu平面BCG,

所以即_1_平面3CG,又F4u平面6。尸，所以平面平面8CG.

練習(xí)9（2023?全國?高三對口高考）如圖1所示，E,F分別是矩形ABC。的邊AB,CO的

中點，G是爐上的一點，將△GA8,4GCD分別沿AB,C。翻折成△&A8,AG2CD,

并連接GO?,使得平面GABJL平面/WC。，G.G2//ADt^Gfi2<AD.連接8G如圖2.

【答案】（1）證明見解析

【分析】（1）由面面垂直的性質(zhì)定理得GEJ■平面ABCD,然后有線線垂宜GE_L4Q,最

后再由頁面垂直的判定定理證明即可.；

【詳解】（1）如圖2,因為平面G/W_L平面ABC。，平面GA3n平面ABCD=A8,G.ELAB,

Ggu平面GAE,所以G|EL平面人8C。，AZ）u平面A8CD,所以GjE_LA。，

又45_LAD,G|E「AB=E,Q及48u平面QAE,所以AD_L平面G】AE,

ADu平面G/QG2,所以平面G4EJ_平面GJ。。：

練習(xí)20.（2023?江西?江西師大附中?？既＃┮阎睦忮F尸-A8CD的底面是正方形，

ACCBD=O、PA=PD=W,PO=6,AO=2,E是棱PC上任一點.

（1）求證：平面比）￡_L平面PAC；

【答案】（I）證明見解析

【分析】（I）由勾股定理證得尸O_LQ4,POLOD,得到尸01平面A8C。，證得尸O_LBO,

從而證得加）_Z平面PAC，進而利用面面垂直的判定定理，即可證得平面孔史_1_平面PAC；

【詳解】（1）證明：因為A8CO是正方形，且人。=2,可得AO=OO=&，且4c180,

又因為尸。2+OA2=PA2,PO2+OD2=PD2,可得PO10APO1OD,

因為。40/）=0且平面A3CQ,所以PO工平面48CD,

乂因為8Qu平面A8CO.所以POLBD,

因為AC1PO=O,且AC,POu平面PAC,所以801平面PAC,

又因為BDu平面8DE,所以平面4。石_1_平面PAC.

題型五補全垂直的條件

例9.（2023春?山東青島?高三青島二中?？计谥校┤鐖D，在四棱錐尸-A8CO中，戶人_1面

ABCD,AB=BC=2,AD=CD=幣，PA=BZABC=120,G為線段PC上的點.

（1）證明：4加工面APC；

PG

（2）若G滿足PCJ_面8G。，求亍的值.

GC

【答案】（1）證明見解析

小PG3

（2）-----=—

GC2

【分析】（1）證明出44用足△。8力，可得出5Q_L4C,再由己知條件可得出現(xiàn)）_LA4,

利用線面垂直的判定定理可證得結(jié)論成立；

（2）分析可知8G_LPC,計算出APBC三邊邊長,利用余弦定理求出cosN尸CB的值，可求

得CG的長，進而可求得PG的長，即可得解.

【詳解】（1）證明：因為孫=AC,DA=DC,BD=BD,所以，ZXA也運△C8O,

所以，ZABD=NCBD,則8D_LAC,

因為由JL平面ABC。，BDu平面48C。，所以，BDLPA,

又因為ACc%=4,AC.PAu平面APC,所以，3D幺平面APC.

(2)解：因為平面APC,PCu平面APC,所以，PCA.BD,

若PC上面BGD,3Gu平面8G。，則BGJLPC,

因為48=8C=2,ZABC=120,

________________________7

由余弦定理可得AC=jAB2+8C2-248-8Ccosl20=I22+22-2X22X一一=2+,

VI2；

因為Q4_L平面ABC。，AB.ACu平面A8CQ,則A4_LAC,

所以，PC=JPA2+AC2=5/3+12=5/15*PB=>JPA2+AB~=5/34-4=5/7?

在,PBC中，PB=sli,BC=2,PC=屈,

PC2+BC2-PB215+4-79

所以,ccsNPCB

2PCBC2x2xV15-5

所以，CG=8CcosNPCB=2x^=冬叵，

55

所以，QG=PC—CG=屈一生叵=九叵，則會=亞乂告=[,

55GC、2x/152

因此，若G滿足PCL面BG。，則=PG=3

GC2

例10.（2021秋?陜西渭南?高二校考階段練習(xí)）如圖，在四棱錐尸-A8C。中，底面A8CO是

菱形，NDA4=60,PA=PD,G為4。的中點.

⑴求證：AD工PB；

（2）若E為BC邊的中點，能否在棱PC上找到一點r，侵_LA。？請證明你的結(jié)論.

【答案】（1）證明見解析

（2）當(dāng)尸為PC中點時，OF1AD;證明見解析

【分析】（1）根據(jù)等腰三角形三線合?性質(zhì)可得8G_LAO,PG_LAO,由線面垂直的判定與

性質(zhì)可證得結(jié)論；

（2）利用面面平行的判定可證得平面/把/〃平面P8G,由此可得4?平面。所，由線面

垂直的性質(zhì)可證得結(jié)論.

【詳解】（1）連接80,

.?四邊形AUCQ為菱形，「.他=4）,又NZMS=60,為等邊二角形，

G為AQ中點，.J5G1AD；

:PA=PD,G為AD中點,.\PG1AD,

又BGPG=G,86,26匚平面尸86,「.4）_1_平面？56,

?.?P《u平面PAG,ADA.PB.

（2）當(dāng)F為PC中點時，DFLAD，證明如下：

.??E,F分別為BC、PC中點，.?.EF〃PB,乂EFu平面PBG,PBu平面PBG,

二.E尸〃平面P8G；

???瓦G分別為BC,A。中點，.?.B￡//QG,BE=DG,

???四邊形8EDG為平行四邊形，.?.QE//4G,乂QEa平面尸AG,BGu平面PBG,

.?.OE〃平面尸8G,又DE、EF=E,。瓦Mu平面。歷，

「?平面DEFH平面PBG,

由（1）知：4/）_1_平面286,，4）_1平面。歷，

?.,￡）Fu平面。斤，.\DFLAD.

舉一反三

練習(xí)21.（2023?全國?高三專題練習(xí)）如圖，在直三楂柱A8C-ABC中，N8AC=9（）。,

AB=AC=\.

AC

當(dāng)

（1）試在平面ABC內(nèi)確定一點“，使得AH_L平面A8C,并寫出證明過程；

【答案】（1）答案見解析；

【分析】（1）根據(jù)線面垂直.和面面垂直.的判定定理，結(jié)合面面垂直.的性質(zhì)定理進行證明即可;

【詳解】（1）取棱AC的中點。，連接A。，AD.在等接直角zUAC中，AD1BC,

又8C_LAA，A。一A4,=A,A￡>,小|u平面人ZM,故8C_Z平面八。A.

又BCu平面A8C,故平面A8C1平面AOA，這兩個平面的交線為A。.

在△ADA.中，作A”_LAD,則有AHJL平面ABC；

練習(xí)22.（2022秋?青海海東.高二?？计谥校┤鐖D，四棱柱4B8-AMCQ中，底面“（。

是菱形，ZABC=60°,MABCD,￡為4A中點，=AI3=2.

⑵在AG上是否存在點M,滿足AG_L平面M8Q?若存在，求出AM長，若不存在，說明理

由.

【答案】（1）證明見解析；

Q）存在，逑.

2

【分析】（1）連AG交4。于點尸，連石凡由中位線定理以及線面平行的判定證明即可；

（2）由線面垂直的性質(zhì)正明4GABR,作FM工AC「垂足為M,由線面垂直的判定證

明AG，平面最后得出八M的長.

【詳解】（1）連AG交6R于點F,連ER

「AB￡R是菱形,

???尸是AG中點，又???￡是9中點，

EF//AClt又,；EFu平面BQ]E,A&①平面及。苫,

.?.ACJ/平面瓦?；?；

（2）VM1ABCD,平面A4G。//平面ABCQ,

.?.A4,±平面A8|C|￡）],，:BRu平面AlBlClDl,

??,菱形A5]GA，3a_LA|G，AG4A=A],AG，A4（U平面一￡,

.*.BR_L平面AAG,又AC）U平面4AG,

???AGABR,

在RtAA4,G中，過戶作QW_LAG，垂足為M,

又FMcBR=F,五M,BQu平面M6Q,

所以AG_L平面

???存在M滿足條件，

在RtZkA41G中，M=AQ=2,4G=20,尸是AG中點，

:.QM=FM=去,

?AA4oPi夜30

??AM=2,2-----=.

22

練習(xí)23.（2022春?遼寧葫蘆島?高三統(tǒng)考期末）如圖，在四棱錐P-48C力中，底面48co是

矩形，A8=3,BC=4,已知AE=§E。，且PEJ_平面ABC。，BF=FC，CG=2GD.

⑴在線段FG上確定一點M使得平面PENL平面PFG,并說明理由；

【答案】⑴M為陽中點，理由見解析

【分析】（I）M為柘中點，連接PM,EM,過￡作￡7718。于，，由線面垂直的判定

定理證明/G_L平面PME，再由面面垂直的判定定理證明即可；

【詳解】（1）M為對中點，證明如下：

連接PM，EM,過E作EH/BC于H,

于是在RtZk￡7"中，E"=3,HF=1,故E尸=JI6;

在RtZ\EDG中，￡0=3,DG=1,故EG二如

所以叮=成7,..EFG為等腰三角形

又PE上平面ABCD.RQPEgRNEG

所以'=/＜；,△2小為等腰三角形

故在等腰三角形￡FG和等腰三角形PFG?|用FG上EM,FG1.PM

乂EM()PM=M，且EM,PMu平面

二.FG_L平面PME,

又尸Gu平面〃柘，

???平面PFG±平面PME.

練習(xí)24.(2020秋?黑龍江哈爾濱?高二哈爾濱市第六中學(xué)校?？计谥?如圖，在四棱錐

P-ABCQ中，底面/WQ)是菱形，ND44=60。，側(cè)面PAO為正三角形，且平面小OL平

面ABCO.

(1)求證：AD±PB.

(2)若石為8c中點，試在PC上找一點尸，使平面力石尸，平面ABCQ.

【答案】(1)證明見解析

(2)尸為PC的中點

【分析】(I)通過構(gòu)造線面垂直的方法來證得ADJ■依.

(2)結(jié)合面面垂直的判定定理判斷出廣點的位置.

【詳解】(1)取A。的中點。，連接尸。，BO,BD,

VPA=PD,APO1AD.

在底面菱形A8CO中，胡0=60。，???三角形AM是等邊三角形，則8O_LAO,

由于POcBO=6PO