微重點(diǎn)16橢圓、雙曲線的二級結(jié)論的應(yīng)用

橢圓、雙曲線是高中數(shù)學(xué)的重要內(nèi)容之一，知識的綜合性較強(qiáng)，因而解題時(shí)需要運(yùn)用多

種基礎(chǔ)知識，采用多種數(shù)學(xué)手段，熟記各種定義、基本公式.法則固然很重要，但要做到迅

速、準(zhǔn)確地解題，還要掌握一些常用結(jié)論，正確靈活地運(yùn)用這些結(jié)論，一些復(fù)雜的問思便能

迎刃而解.

考點(diǎn)一焦點(diǎn)三角形

【核心提煉】

焦點(diǎn)三角形的面積公式：尸為橢圓（或雙曲線）上異于長軸端點(diǎn)的一點(diǎn)，居，且/居尸尸2=仇

則橢圓中SAPRF,=A%an

=

雙曲線,中SApRF27

tan2

22

例I（2022?臨川模擬）已知橢圓C：a+%=13>/?>0）,其左、右焦點(diǎn)分別為產(chǎn)2，其離心

率為e=J,點(diǎn)P為該橢圓上一點(diǎn)，且滿足/尸|尸尸2=三，二知△/iPB的內(nèi)切圓的面積為3兀，

則該橢圓的長軸長為（）

A.2B.4C.6D.12

答案D

解析由e=；,得。=3，即4=2c.①

設(shè)△RPB的內(nèi)切圓的半徑為r,

因?yàn)椤鳌?出的內(nèi)切圓的面積為3兀，

所以兀產(chǎn)=3兀，解得「=?。ㄉ嶝?fù)），

在中，根據(jù)橢圓的定義及焦點(diǎn)三角形的面積公式，

ZFiPFi1

知§△"/=;=〃tan---2―^=]可2。+2（?）,

即坐好=?。?+'），②

又/二店+c2,③

聯(lián)立①②③得c—3,。=6,b—3y[3f

所以該橢圓的長軸長為2a=2X6=12.

易錯提醒（I）要注意公式中，的含義.

（2）楠圓、雙曲線的面積公式不一樣，易混淆.

跟蹤演練1如圖，人，凡是橢圓G：9+產(chǎn)=1與雙曲線。2的公共焦點(diǎn)，A,8分別是G，

J在第二、四象限的公共點(diǎn).若四邊形AQ3匕為矩形，則G的離心率是（）

A.A/2B.小

C.|D.幸

答案D

解析設(shè)雙曲線C2的方程為告一或=1,

則有^+/?2=d=C'T=4—1=3.

又四邊形AP8F2為矩形，

所以△AF/2的面積為叫tan45o=￡*,

即成=材=1.

所以ai=ci—bi=3—1=2.

故雙曲線的離心率^=^=A/|=2-

考點(diǎn)二焦半徑的數(shù)量關(guān)系

【核心提煉】

焦半徑的數(shù)量關(guān)系式：直線/過焦點(diǎn)廠與桶圓相交于A,B兩點(diǎn)，則虛+贏=符，同理,

Lf1.12d

雙曲點(diǎn)中，麗+麗=廬

例2已知雙曲線C的左、右焦點(diǎn)分別為Q（一巾，0）,市，0）,過尸2的直線與C的右支

交于4,B兩點(diǎn)、.若A耳=2可，|A陰=尸固，則雙曲線C的方程為

答案力=1

解析如圖，令/28|=八

則|A局=2f,

???|AB|=3f,|Fi5|=3/,

人|A項(xiàng)十世出廠從'

/2一序'

又方陰一尸2明=2。，

：?3t-t=2a,：.2l=2a,:.t=a,

，立="，即3廬=4〃2,

又。=巾，???，+及=7,

解得從=4,解=3,

故雙曲線C的方程為5一9=1.

易錯提醒公式的前提是直線人B過焦點(diǎn)F,焦點(diǎn)尸不在直線AB上時(shí)，公式不成立.

跟蹤演練2已知橢圓C：叁+目=1，過右焦點(diǎn)B的直線交橢圓于A，B兩點(diǎn)，且忸刊=2,

則M8|=,cosNE/B=.

8

答案---

33

即麗i=w，

2

解得陽五2|=§,

8

：.\AB\=\AF2WBF2\=y

由橢圓定義知|AR|=8—2=6,

???直線APi,仍，…，APio這10條直線的斜率乘積為（一。=一（7.

規(guī)律方法周角定理的推廣：A,B兩點(diǎn)為橢圓（雙曲線）上關(guān)于原點(diǎn)對稱的兩點(diǎn)，P為橢圓（雙

曲線）上異于A,B的任一點(diǎn)、,則橢圓中左力?幻8=一丞，雙曲線中A用《PB=宗.

跟蹤演練3設(shè)橢圓「+￡=1（。?>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,&，上、下頂點(diǎn)分別為4,B,

直線從人與該橢圓交于A，M兩點(diǎn)，若/尸出%=90。，則直線8M的斜率為（

AB.^C.—11

lD.2

答案B

解析???NBA&=90。,

???△QAF2為等腰直角三角形，，〃=c,

^.cr=2b1=2c1,

.從1

.?U=T

且NAF2O=45。，???如A=-1,

,,ff1,

XKMA-KMH—~2

k.MB=2-

考點(diǎn)四過圓錐曲線上點(diǎn)的切線方程

【核心提煉】

已知點(diǎn)P（xo,yo）為橢圓（或雙曲線）上任一點(diǎn)，則過點(diǎn)P與圓錐曲線相切的切線方程為橢圓中等

+羅=1,雙曲線中黃—瞿=1.

例4已知橢圓C：5+），2=1.如圖，設(shè)直線/與圓O：f+VnRRvR。）相切于點(diǎn)A,與橢圓

。相切于點(diǎn)B，則八用的最大值為.

答案1

解析連接04,0B,如圖所示.

即4yoy-4=0,

又穴2=QA』京戳命

R為圓半徑，R￡（l,2）,

又3+W=1,

所以焉=4—4）3,

4

所以我砰=4-3M-而不J

4L

=5-（3>6+1）-^7<5-2<4=1,

4

當(dāng)且僅當(dāng)對+i=法iT

即）3=:,忐=?時(shí)，等號成立，

JJ

所以|4磯】iax=1,

此時(shí)~=總%=2,

即R=、￡（l,2）,

故當(dāng)R=啦時(shí)，IA陰max=l.

規(guī)律方法（I）該切線方程的前提是點(diǎn)P在圓錐曲線上.

⑵類比可得過圓Q—“尸+任一。）2上一點(diǎn)尸（沏，）汕）的切線方程為（%（）—。）（工一a）+（yo—。）。一〃）

=1.

跟蹤演練4已知廣為橢圓C：5+，=1的右焦點(diǎn)，點(diǎn)A是直線4=3上的動點(diǎn)，過點(diǎn)A作

橢圓C的切線AM,AN,切點(diǎn)分別為M,M則—的值為()

A.3B.2C.1D.0

答案D

解析由已知可得打(L0),

設(shè)MQi,＞'i),N(X2,及)，A(3,r)

則切線AM,AN的方程分別為苧+乎=1,

儂?LV2V_1

3十2i

因?yàn)榍芯€AM,4N過點(diǎn)A(3,。，

所以汨+與=1,慫+竽=1,

所以直線MN的方程為x+^=l,

因?yàn)槭?1,0),

所以1+與^=1,

所以點(diǎn)尸(1,0)在直線MN上，

所以M,N,尸三點(diǎn)共線，

所以+[NR-|MN)=0.

專題強(qiáng)化練

1.過雙曲線C：a一￡=1(。＞°，比＞0)上一點(diǎn)尸作雙曲線C的切線/，若直線O0與直線/的

2

斜率均存在，且斜率之積為亍則雙曲線。的離心率為()

A.零B手

JJ

「西D典

。5u'5

答案C

解析設(shè)P(xo,yo),

由于雙曲線。在點(diǎn)P(xo,%)處的切線方程為答一泮=1,

故切線/的斜率2=空，

2

因?yàn)閗kop=q,

222

則

--貝d---

VLOVj25

XO

即雙曲線c的離心率

5.

2.（2022.保定模擬）已知雙曲線C^-^=1（?>0,〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為丹，F(xiàn)2,直線/：

）=心,（左H0）與C交于M,N兩點(diǎn)，口四邊形MF\NFi的面枳為84.若點(diǎn)M關(guān)于點(diǎn)&的對稱點(diǎn)

為M',且|M'M=則C的離心率是（）

A幣B.鄧C.3D.5

答案B

解析如圖，由對稱性知與E3互相平分，

???四邊形MF2NFI為平行四邊形，

?：Fa為MM'的中點(diǎn)，且|WV|=|M'N],

.\NF2±MF2,J四邊形MF?NFi為矩形,

**S4NF'F1一而'

頭S2NRF、=^=4。2，即從=4。2,

tan%

Ac2-O2=4O2,即C2=5O2,即6弋=小.

3.橢圓C：5+?=1的左、右焦點(diǎn)分別為凡，閂，過B作直線交橢圓于A,B兩點(diǎn),且就

=2不，則用的外接圓面積為（）

A.-yB.4兀

C.9兀D.等

答案D

解析如圖，。=3,5=2,c=y/5,

令尸2引=%則依尸R=2f,

A

113

+=-

72

2/

???山尸2|=1,H&l=2,

由橢圓定義知|BF||=5,|A%|=4,

.?.△ABB中，|AB|=3,|A片|=4,\BF]\=5,

HA從

???△A8內(nèi)外接圓半徑/?=誓=|,其面積為華.

，2

4.（2022?石家莊模擬）已知雙曲線C：宗一方=1（〃>°，匕>。），過原點(diǎn)。的直線交C于A，B兩

點(diǎn)（點(diǎn)8在右支上），雙曲線右支上一點(diǎn)P（異于點(diǎn)8）滿足麗.汴=0,直線創(chuàng)交x軸于點(diǎn)。，

若NAOO=NAOD,則雙曲線C的離心率為（）

A.72B.2C.小D.3

答案A

解析如圖，

??,就麗=0,

:.BALBP,令kAB=k,

*：ZADO=ZAOD,

:.k.Ap=—kAB=—k,

又BA1BP,：?kpB="，

h2

依題意知如?必4=戶

T（T）4，

???*=1,即3e=y12.

5.（多選）（2022?濟(jì)寧模擬）設(shè)橢圓C：，+/=13>〃>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Fi，尸2，左、右

頂點(diǎn)分別為4，八2，點(diǎn)P是。上異于4,4的一點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

14

A.若。的離心率為點(diǎn)則直線外與抬2的斜率之積為一手

B.若PFJPFz，則△尸F(xiàn)iB的面積為加

C.若。上存在四個點(diǎn)P使得則C的離心率的取值范圍是（o,啕

D.若|PQ|W2〃恒成立，則C的離心率的取值范圍是（0,1

答案BD

解析設(shè)尸（沏，和），所以1,

<e=5=T，:、a=2c,/.?2=1z?2,

..,b23

??《暗號>&=一滔=一不

???選項(xiàng)A錯誤；

若PFJPFz,△。R尸2的面積為〃tan：=/，

???選項(xiàng)B正確；

若C上存在四個點(diǎn)P使得PFiJ_P后,即。上存在四個點(diǎn)P使得△PRF2的面積為P,

22

:.^-2c-b>bf:.c>b,:.(r>cr—c,

???°￡（乎，1）,???選項(xiàng)C錯誤;

若|PQ|W2力恒成立，???a+cW26

:.a?+。2+2acW4/=4(/—c2),

，5/+26—3忘0,

3

??.OveWg,工選項(xiàng)D正確.

x~y-

6.（多選）（2022?廣州模擬）已知雙曲線C：=1（〃>0,力>0）的左、右焦點(diǎn)分別為Q,%，

左、右頂點(diǎn)分別為A1，42：。為雙曲線的左支上一點(diǎn)，且直線出I與以2的斜率之枳等于3,

則下列說法正確的是（）

A.雙曲線C的離心率為2

B.若PF|_LP&,且居=3,則。=2

C.以線段PQ,AN2為直徑的兩個圓外切

D.若點(diǎn)P在第二象限，則NPF|A2=2N%2FI

答案ACD

解析對于A,設(shè)P（x.>'）.則打="住一1）?

因?yàn)锳i(—a,0),Ai(a,Oi,

A2

所以心<左曰=-2=3,

得《=、/1+*=2,故A正確；

對于B,因?yàn)槿?2,

所以c=2a,

根據(jù)雙曲線的定義可得儼冏一|PE|=2a,

又因?yàn)镻FI±PF2,

/?2

所以△尸內(nèi)尸2的面積為——=從=3,

tan7

4

又*=3,所以。=1,故B錯誤；

對于C,設(shè)PR的中點(diǎn)為。。為原點(diǎn).

因?yàn)镺Oi為的中位線，

所以IOO]尸梟同=1(1PBi+2〃)=梟尸||+〃,

則可知以線段PQ,AN2為直徑的兩個圓外切，故C正確;

對于D,設(shè)P(xo,yo),則xo<—。，>'o>O.

因?yàn)閑=2,所以c、=2〃，力=小〃，

則漸近線方程為

所以N班FC(0,到

NPF4w(0,y).

又tan/PF]A2=七=，

xo+cxo+2a

tan/%2Q=-3-

xo-a

__2y（）

所以tan2Z^42Fi=

—2y0（A-｛）—67）

2

~（x0-a）-yi

-2）b（x。—a）

-2yo(xo—a)

(40—〃)2—3,停一1)

—-2)Mro-4)

(網(wǎng)-4)2—3(高一川)

=擊=3/所從，

因?yàn)?N%2a￡（0,