§7.4空間直線、平面的平行

【課標要求】1.理解空間中直線與直線、直線與平面、平面與平面的平行關系，并加以證明2掌握直線與平

面、平面與平面平行的判定與性質(zhì)，并會簡單應用.

1.線面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

如果平面外一條直線與_____________

判定

的一條直線平行，那么該直線與此平——1

定理

面平行]

一條直線與一個平面平行，如果過該

性質(zhì)

直線的平面與此平面________,那么——1>^a//b

定理

該直線與交線平行

2.面面平行的判定定理和性質(zhì)定理

文字語言圖形語言符號語言

、

判定如果一個平面內(nèi)的兩條____________與

Q沙〃a

定理另一個平面平行，那么這兩個平面平行口

兩個平面平行，如果另一個平面與這兩/vfn

性質(zhì)------'

個平面________,那么兩條__________U-J-7b

定理a

平行

-----------------------,

B自主診斷

1.判斷下列結論是否正確.（請在括號中打“4”或“x”）

（1）若一條直線平行于一個平面內(nèi)的一條直線，則這條直線平行于這個平面.（）

（2）若直線。與平面”內(nèi)無數(shù)條直線平行，貝）

（3）若直線au平面a,直線”平面8,a//b,則a//[i\)

(4)如果兩個平面平行，那么分別在這兩個平面內(nèi)的兩條直線也互相平行.()

2.如果直線。〃平面a,那么直線a與平面a內(nèi)的()

A.一條直線不相交B.兩條直線不相交

C.無數(shù)條直線不相交D.任意一條直線都不相交

3.設有兩條不同的直線〃?，〃和兩個不同的平面a,小則下列命題正確的是()

A.若加〃a,則〃?〃〃

B.若小〃a,加〃夕,則a〃夕

C.若m//nfm//a,則〃〃a

D.若a〃夕，"iua,則機〃夕

4.如圖是長方體被一平面截后得到的幾何體，四邊形為截面，則四邊形EFGH的形狀

為.

回微點提醒

1.掌握三種平行關系的轉(zhuǎn)化

性質(zhì)定理

T判定定理劃定定理

線線'K行器三線面平行「急於面面平行

性質(zhì)定理性質(zhì)

2.靈活應用以下結論

(1)垂直于同一條直線的兩個平面平行，即若a_La,a邛,則?！ā?/p>

(2)平行于同一個平面的兩個平面平行，即若a〃.，p//y,則

(3)垂直于同一個平面的兩條直線平行，即a_La,bVa,則?！▋?/p>

(4)若a〃夕，aua,則a〃⑶

■探究核心題型.

題型一直線與平面平行的判定與性質(zhì)

命題點1直線與平面平行的判定

例1如圖，在四棱錐PA3CO中，底面A8C力為梯形，AB//CD,AB=2,七為PC的中點.

求證：BE〃平面PAD

A

命題點2直線與平面平行的性質(zhì)

例2如圖所示，在四棱錐PABCD+,四邊形A8CO是平行四邊形，"是〃。的中點，在0M上取一

點G,過G和0A作平面交8。于點”.

求證：PA//GH.

思維升華(1)判斷或證明線面平行的常用方法

①利用線面平行的定義(無公共點).

②利用線面平行的判定定理(Ma,baa,a//b^>a//a).

③利用面面平行的性質(zhì)(a〃4,aua=a〃B).

④利用面面平行的性質(zhì)(a〃夕，郎,a//a^a//p].

(2)應用線面平行的性質(zhì)定理的關鍵是確定交線的位置，有時需要經(jīng)過已知直線作輔助平面確定交線.

跟蹤訓練1如圖，四邊形"CO為長方形，點、E,尸分別為A。，PC的中點.設平面PDCCI平面

P8￡=/.證明：

⑴。尸〃平面PBE；

(2)。尸〃/.

題型二平面與平面平行的判定與性質(zhì)

例3⑴

例4如圖，在斜三棱柱A8cAlc1中，D,￡>i分別為AC,AiG上的點.

⑴當當為何值時，BG〃平面AB。"

⑵若平面8G?！ㄆ矫鍭氏。1,求券的值.

思維升華解決面面平行問題的關鍵點

(I)在解決線面、面面平行的判定時，一般遵循從“線線平行”到“線面平行”，再到“面面平行”；而在

應用性質(zhì)定理時，其順序恰好相反，但也要注意，轉(zhuǎn)化的方向總是由題目的具體條件而定，絕不可過于

“模式化”.

⑵解答探索性問題的基本策略是先假設，再嚴格證明，先猜想再證明是學習和研究的重要思想方法.

跟蹤訓練3如圖，在四棱錐48CDE中，N是8c的中點，四邊形8CDE為平行四邊形.狀探究在線段

4E上是否存在點M,使得MN〃平面AC力？若存在，清確定〃點的位置，并給予證明；若不存在,

請說明理由.

答案精析

落實主干知識

1.此平面內(nèi)adabaaa//b相交

a//aau0aC\p=b

2.相交直線auBbuBaDb=Pa//ab//a相交交線B

aC\y=a陽產(chǎn)/?

自主診斷

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.D3.D4.平行四邊形

探究核心題型

例1證明方法一如圖，取P0的中點廠,

連接EF,FA.

由題意知E/為△POC的中位線，

：.EF//CD,且EF=：CD=2.

又,：AB〃CD,AB=2,CO=4,

：.AB\EF,

???四邊形ABE廣為平行四邊形，

:?BE〃AF.

又AFu平面PAD,8EQ平面PAD,

?'BE〃平面PAD.

方法二如圖，延長D4,C8相交于"，連接PH,

?:AB〃CD,AB=2,8=4,

HCCD2

即8為“。的中點，

又E為PC的中點、：.BE//PH,

又8加平面PAD,

平面PAD,

???8E〃平面PAD.

方法三如圖，取CO的中點〃，連接8”，HE,

?：E為PC的中點,

：.EH//PD,

又用孤平面PAD,

PQu平面PAD,

???E”〃平面PAD,

又由題意知，

???四邊形A8HO為平行四邊形，

又AOu平面PAD,

平面PAD,

平面PAD,

又BHC\EH=H,

BH,EHu平面BHE,

???平面BHE〃平面PAD,

又8Eu平面BHE,

???8七"平面PAD.

例2證明如圖所示，連接AC交6￡＞于點O,

連接0M,

???四邊形A8CO是平行四邊形，

???0是AC的中點，

又M是PC的中點，

：.PA//OM,

又OMu平面BMD,

PAQ平面BMD,

???PA〃平面BMD,

又PAu平面PAHG,平面P4HGC平面BMD=GH,：,PA//GH.

跟蹤訓練1證明

⑴取P8的中點G,連接/G,EG、

因為點尸為PC的中點，

所以FG〃BC,

FG《BC,

因為四邊形A8co為長方形，

所以BC//AD,且BC=AD,

所以DE//FG,DE=FG,

所以四邊形。EG尸為平行四邊形，

所以DF〃GE,

因為DE平面PRE,GEu平面PRE,所以D尸〃平面PRE.

(2)由⑴知。尸〃平面PRE,

又。尸u平面PDC,平面平面PBE=l,

所以DF〃/.

例3(1)證明連接8D

A

因為E，尸分別是棱AC,8C的中點，

所以EF//AB.

因為ERz平面CiEF,A阿平面GEF,

所以A3〃平面C\EF.

因為D，尸分別是棱BiCi,BC的中點，所以BF//C\D,BF=C、D,

所以四邊形8OG/7是平行四邊形，則BD//C\F.

因為GFu平面CiEF,8ZK平面CEF,所以〃平面GEF.

因為ABCBD=B,

AB,BOu平面ABD,

所以平面4A?！ㄆ矫鍳EF,

因為ADu平面AI3D,

所以A?！ㄆ矫鍳EE

(2)證明???圓臺可以看做是由平行于圓錐底面的平面去截圓錐而得到，

???圓臺的母線也就是生成這個圓臺的圓錐相應母線的一部分.

???母線與母線85的延長線必交于一點，

???4,4,5,8四點共面.

???圓。i〃圓。，且平面ABBMC圓Oi=AiBi,平面ABBAC圓O=AB.

跟蹤訓練2證明⑴???在三棱柱A8CABG中，

???平面A8C〃平面A歸iG,

又；平面8C”Gn平面ABC=BC,

且平面8C”Gn平面A\BxC\=GH,

???由面面平行的性質(zhì)定理得BC//GH.

⑵???E，尸分別為AB,AC的中點,

J.EF//BC,

,/EM平面BCHG,

8Cu平面BCHG,

?"尸〃平面BCHG.

又G,E分別為4用，48的中點,

：,AXG^=EB,

???四邊形4EBG是平行四邊形，

:?A\E〃GB.

???4加平面BCHG,

G8u平面BCHG,

???4￡〃平面BCHG.

又〈AiECEF二E,

AiE,E/七平面EFAt,

???平面EF4〃平面BCHG.

例4解⑴當黑匕時，

Dlcl

8G〃平面ABMi.

如圖，連接A8交A以于點0,

連接。燈

由棱柱的性質(zhì)