人教版初中數(shù)學八年級下冊

17.2.1勾股定理的逆定理教學設計

一、教學目標：

1.掌握勾股定理逆定理的概念并理解互逆命題、定理的概念、關系及勾股數(shù).

2.能證明勾股定理的逆定理，能利用勾股定理的逆定理判斷一個三角形是直角三角形.

二、教學重、難點：

重點：靈活運用勾股定理及其逆定理解決問題.

難點：靈活運用勾股定理及其逆定理解決問題.

三、教學過程：

復習回顧

1?勾股定理的內(nèi)容是什么？

如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊為c,那么a2+b-c2.

2.求以線段a、b為直角邊的直角三角形的斜邊c的長.

CDa=3,b=4；

②a=2.5,b=6；

③a=4,b=7.5.

思考：以前我們已經(jīng)學過了通過角的關系來確定直角三角形，可不可以通過邊來確定直角三角

形呢？

情境引入

據(jù)說古埃及人用下圖的方法畫直角：把一根長繩打上等距離的13個結(jié)，然后以3個結(jié)間

距、4個結(jié)間距、5個結(jié)間距的長度為邊長，用木樁釘成一個三角形，其中一個角便是直角,你

知道為什么嗎？

知識精講

這個問題意味著，如果圍成的三角形的三邊分別為3、4、5,滿足關系：32+4Y2,那么圍

成的三角形是直角三角形.

畫畫看，如果三角形的三邊分別為的5cm,6cm,6.5cm,它們滿足關系a2.52-62=6.52",

畫出的三角形是直角三角形嗎？換成三邊分別為4cm,7.5cm,8.5cm,再試一試.

由上面的幾個例子，我們猜想：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a+b=c2,那么這個

三角形是直角三角形.

命題1如果直角三角形的兩釜直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a2+b2=c2.

命題2如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角形是直角三角形.

命題1、命題2的題設、結(jié)論分別是什么？

我們看到，命題2與命題1的題設、結(jié)論正好相反.我們把像這樣的兩個命題叫做互逆命題.

如果把其中一個叫做原命題，那么另一個叫做它的逆命題.例如，如果把命題1當成原命題，

那么命題2是原命題1的逆命題.

【針對練習】說出下列命題的逆命題，并判斷它們是否正確.

1.原命題：同位角相等，兩直線平行.（）

逆命題：兩直線平行，同位角相等.（）

2.原命題：對頂角相等.（）

逆命題：相等的角是對頂角.（）

3.原命題：線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.（）

逆命題：與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.（）

4.原命題：角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.（）

逆命題：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.（）

在圖⑴中，己知aABC的三邊長分別為a,b,c,且滿足1+b2=c2,要證△ABC一定是直

角三角形.我們可以先畫一個兩條直角邊長分別為a,b的RtAA'C'如圖（2）,如果AABC

與RtZ\A'C’全等，那么aABC就是一個直角三角形.

b

BZ-a-lcBz~~―dc，

(1)(2)

已知△ABC,BC=a,AC=b,AB=c,J3.a2+b2=c2.

求證：△ABC是直角三角形.

證明：作RtZ\A'B'C',使B'Cz=a,A'C'=b,NC'=90°.

根據(jù)勾股定理,A'B'2=B'C2+AZCZ2=a2+b2=c2

???A'B'=c

在AABC和AA'B'C'中,

BOa=B'C,AOb=A'C',AB=c二A'B'

???AABC^AAZB'C'(SSS)

???ZC=ZCZ=90°

即AABC是直角三角形.

【歸納】勾股定理如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a,b,斜邊長為c,那么a+b=c\

勾股定理的逆定理如果三角形的三邊長a,b,c滿足a%2=c2,那么這個三角形是直角三角

形.

一般地，如果一個定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個定理，稱這兩個定理

互為逆定理.

典例解析

例1判斷由線段a,b,c組成的三角形是不是直角三角形：

⑴a=15,b=8,c=17；(2)a=13,b=14,c=15.

解：(1)；152+82=225+64=289,17-289

A1524-82=172,根據(jù)勾股定理的逆定理，這個三角形是直角三角形.

⑵：132+142=169+196=365,152=225

???13斗142W152,根據(jù)勾股定理，這個三角形不是直角三角形.

【點睛】根據(jù)勾股定理的逆定理，判斷一個三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的

平方和是否等于最大邊長的平方.

Va=m2—n2,b=2mn,c=m2+n2(m>n,m,n是正整數(shù))，

/.a24-b2=(m2-n2)2+(2mn)2

=m4-2m2n2+n4+4m2n2

=m4+2m2n2+n4

=(m2+n2)2=c2.

△ABC是直角三角形.

【針對練習】已知△ABC的三邊a=m—n(m>n>0),b=2，mm,c=m+n.

求證：△ABC是直角三角形.

解：:△ABC的三邊a=m—n(m>n>0),b=2Vmm,c=m+n,

[fn(m+n)2=m24-2mn+n2,(2(mn)=4mn,(m—n)2=m2—2mn+n2,

m2-2mn+n2+4mn=m2+2mn+n2,

(m—n)2+(2Vrnn)2=(m+n)2,

即a?+b2=c2,

???△ABC是直角三角形.

例4.己知A(0,4),B(2,0),C(4,l).

⑴在坐標系中描出各點，畫出三角形ABC；

⑵求三角形ABC的面積；

⑶僅用無刻度的直尺作出AC邊上的高BD,并直接寫出BD的長.(保留作圖痕跡)

解：(1)如圖所示：

(2)S=4x4-ix2x4--xlx2--x3x4=5

AABC222

(3)如圖所示的線段BD即所求作的高.

由圖可得：

AB=y1224-42=2低BC=y/12+22=回

AC=遮2+42=5,

AAB2+BC2=AC2

???AABC是直角三角形，

?'-SAABc=;AB-BC=iAC-BD

AAB-BC=AC-BD

?.2V5xV5=5BD

ABD=2

例5.如圖，在正方形ABCD中，F(xiàn)是CD的中點，E為BC上一點，且CE=±B,試判斷AF與EF

4

的位置關系，并說明理由.

設正方形的邊長為4a,

則EC=a,BE=3a,CF=DF=2a.

在RtAABE中，得AE2=AB2+BE2=16a2+9a2=25a2.

在RtACEF中，得EF2=CE2+CF2=a2+4a2=5a2.

在RtZXADF中，AF2=AD2+DF2=16a2+4a2=20a2.

在aAEF中，AE2=EF2+AF2,

???△AEF為直角三角形，且AE為斜邊.

???/AFE=90°,即AF_LEF.

課堂小結(jié)

1.本節(jié)課你有哪些收獲？2.還有沒解決的問題嗎？

【沒計意圖】培養(yǎng)學生概括的能力。使知識形成體系，并滲透數(shù)學思想方法。

達標檢測

1.下列各組數(shù)中，是勾股數(shù)的（）

A.0.3,0.4,0.5B.9,16,25C.5,12,13D.10,15,18

2.下面三角形中是直角三角形的有（）

①三角形三內(nèi)角之比為1:2:3;

②三角形三內(nèi)角之比為3:4:5;

③三角形三邊之比為1:2:3;

④三角形三邊之比為3:4:5.

A.1個B.2個C.3個D.4個

3.下列命題中，逆命題為真命題的是()

A.全等三角形的對應角相等B.等角對等邊

C.若a=b,則|a|=|bD.若ac'bc'則a〈b

4.一個三角形的三邊的長分別是3,4,5,則這個三角形最長邊上的高是()

A.4B.3C.2.5D,2.4

4.已知一個三角形的三邊長分別為2、3、后則這個三角形的面積是.

5若aABC的三邊a、b、c滿足(ab)(a?+b2c2)=0,則△ABC是.

6.命題“如果a+b=O,那么a=0,b=0”的逆命題是,它是__命題.

7.根據(jù)下列條件，分別判斷以a,b,c為邊的三角形是不是直角三角形.

⑴a=7,b=8,c=10.

(2；a=35,b=12,c=37.

(3；a=V41,b=4,c=5.

(4；a=3n,b=4n,c=5n(n為正整數(shù))

(5)a:b:c=5:12:13.

8.說出下列命題的逆命題.這些逆命題成立嗎？

⑴兩條直線平行，內(nèi)錯角相等；

⑵如果兩個實數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；

⑶全等三角形的對應角相等.

9.已知△ABC中，Z_A、NB、/￡所對邊長分另!］為a、b、c,若a、b、c三邊滿足|a—9|+|b-12|4-|c-

15|=0,試判斷^ABC的形狀.

10.如圖，正方形網(wǎng)格中的每個小正方形的邊長都是1,每個小格的頂點叫做格點，aABC的頂

點都在格點上.

⑴求NBAC的度數(shù)；

(2)求△ABC的面積.

C

A

【參考答案】

1.c

2.B

3.B

4.D

5.3

6.等腰三角形或直角三角形

7.如果a=0,b=0,那么a+b=O;真

8.解：(1)?.?a2+b2=7?+82=113,c2=102=100,

Aa2+b2Hc2,

，以a,b,c為邊的三角形不是直角三角形；

(2)Va2+b2=352+122=1369,c2=372=1369,

.*.a2+b2=c2,

???以a,b,c為邊的三角形是直角三角形;

(3)Vb2+c2=42+52=41,a2=(V41)=41,

.*.a2+b2=c2,

???以a,b,c為邊的三角形是直角三角形；

(4)Va2+b2=(3n)2+(4n)2=25n2,c2=(5n)2=25n2,

.*.a2+b2=c2,

???以a,b,c為邊的三角形是直角三角形;

(5)Va:b:c=5:12:13,

?,?設a=5k,b=12k,c=13k,

Va2+b2=(5k)2+(12k)2=169k2,c2=(13k)2=169k2,

.*.a2+b2=c2,