§7.8向量法求空間角（二）

【課標(biāo)要求】1.能用向量法解決平面與平面的夾角問題，并能描述解決這一類問題的程序，體會向量法在研

究空間角問題中的作用2弄清折疊問題中的變量與不變量，掌握折疊問題中線面位置關(guān)系的判斷和空間角

的計(jì)算問題.

平面與平面的夾角

如圖，平面。與平面力相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱為平面a

與平面夕的夾角.

若平面。，口的法向量分別是小和〃2，則平面a與平面用的夾角即向量和小的夾角或其補(bǔ)角.設(shè)平面

a與平面B的夾角為仇則cos6=|cos<wi,〃2）1=.

1.判斷下列結(jié)論是否正確.（請?jiān)诶ㄌ栔写颉癥”或“x”）

（I）二面角的平面角為（）,則兩個平面的法向量的夾角也是打（）

（2）兩個平面的夾角的余弦值大于0.（）

（3）二面角的范圍是（0,兀）.（）

（4）若二面角。一/一夕的兩個半平面a，夕的法向量n\,〃2的夾角為0，則二面角a-/一夕的大小是n—

。（）

2.已知二面角aT一夕的大小為仇平面a,0的法向量分別為5=（0,小0）,〃=（（）,1,1）,則。為（）

Anr?3n

A'B彳

C.-PJC-D.-n￡-

4424

3.（2024?酒泉模擬）設(shè)。=（1,1,0）,b=Q,0,。分別為兩平面的法向量,若兩平面的夾角為60。,則［等

于（）

A.lB.-lC.-1或1D.2

4.（2024.安康模擬）如圖，四邊形A8CO是邊長為1的正方形，AE_L平面A8C。，若AE=1,則平面與

平面BCE的夾角為.

1.二面角的范圍是［0,兀］,兩個平面夾角的范圍是［0,?

2.若平面〃與平面A的夾角為夕，平面。內(nèi)的直線/與平面4所成角為〃2,則〃12打，當(dāng)/與。和尸的交線

垂直時，取等號.

題型一平面與平面的夾角

例1(2024?新課標(biāo)全國I)如圖，四棱錐P-A8C。中，PA_L底面ABC。，PA=AC=2,BC=1,AB=

V3.

(1)若AOJ_P8,證明：A?！ㄆ矫鍼8C；

(2)若4Q_L。。，且二面角4—CP—。的正弦值為手，求AD

利用法向量的方向判斷二面角

二面角的大小可以通過這兩個面的法向量的夾角求得，它等于兩法向量的夾角或其補(bǔ)角，法向量的方向指

向內(nèi)部的稱為“進(jìn)”入半平面；法向量的方向指向外部的稱為穿“出”半平面；當(dāng)法向量m,n“一進(jìn)一

出”時，山，〃的夾角就是二面角的大小；當(dāng)法向量m,〃“同進(jìn)同出”時，加，〃的夾角就是二面角的補(bǔ)

角.

典例在長方體ABC。-481Goi中，AO=A4]=1,A8=2,點(diǎn)七為棱43的中點(diǎn)，則二面角-EC-D

的余弦值為.

思維升華利用空間向量計(jì)算平面與平面夾角大小的常用方法

(1)找法向量：分別求出兩個平面的法向量，然后通過兩個平面的法向量的夾角得到平面與平面夾角的大

小.

(2)找與棱垂直的方向向量：分別在二面角的兩個半平面內(nèi)找到與棱垂直且以垂足為起點(diǎn)的兩個向量，然后

通過這兩個向量的夾角可得到平面與平面夾角的大小.

跟蹤訓(xùn)練1(2025?南通檢測)如圖，在三棱柱ABC-481G中，側(cè)面A&Mi，8CGB均為正方形,

AB=BC=2,AB±BC,。是AB的中點(diǎn).

⑴求證:〃平面4DC；

⑵求平面AOC與平面AMC夾隹的余弦值.

題型二折疊問題與空間角

例2(2024?新課標(biāo)全國II)如圖，平面四邊形/WC。中，48=8,CD=3,AD=5^3,ZADC=90°,

NB4D=30。，點(diǎn)E,尸分別滿足屈=|而，AF=^AB,將尸沿破翻折至△尸■,使得尸C=4VI

(1)證明：EFLPD；

(2)求平面PC。與平面尸所成的二面角的正弦值.

思維升華三步解決平面圖形的折疊問題

跟蹤訓(xùn)練2(2024.濟(jì)寧模擬)圖1是由正方形A8C。和兩個正三角形△ADE,△C。尸組成的一個平面

圖形，其中A8=2,現(xiàn)將△AOE沿A￡＞折起使得平面AOE_L平面A8CD,將△C。/7沿CO折起使得平

?CDF±T?ABCD,連接ERBE,BF,如圖2.

⑴求證:后戶〃平面ABC。：

答案精析

落實(shí)主干知識

凡加2|

|ni||n2|

自主診斷

L(1)X(2)X(3)X(4)X

2.C[V/7i-(0,1,0),n-(0,1,1),

*.mn=\,|/?|=1,|川=企,

貝Acos〃|=|cos(m,n)\

_|mn|_V2

-|m||n|~~2，

又夕￡[0,捫，或任J

44

3.C[因?yàn)榉ㄏ蛄?。，力的夾角與兩平面的夾角相等或互補(bǔ)，

所以3]。修,】)=±；

>/2-Vl+t22

得/=±1.]

4.45°

解析因?yàn)锳EJ_平面ABCO,且四邊形A8C。為正方形，

C

如圖建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(1,0,0),

C(1,1.0).

F(0,0,1),

所以正=(0,1,0),而=(-1,0,1),

設(shè)平面BCE的法向量為n={x,y,z),

(n-BC=y=0,

(n?BE=-x+z=0,

?11=(1,0,1),

又平面AOE的一個法向量為m=(l,0,0),

設(shè)平面AQE與平面BCE的夾角為0,則cos〃=-=g,又0°W9<90°,所以。=45。.

探究核心題型

例1⑴證明因?yàn)镻4J■平面

ABCD,

而4Z)u平面ABCD,

所以PAJ_A。，

又,PBC]PA=P,PB,尸4u平面PAB,所以AO_L平面PA8,而ABu平面PAB,

所以AD_LA8

因?yàn)閰^(qū)2=802,

所以BCA-AB,

根據(jù)平面知識可知AO〃BC,

又AOC平面PBC,

8Cu平面PBC,

所以AO〃平面PBC.

(2)解以。為原點(diǎn)，萬？，說的方向分別為x軸、)、軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.

設(shè)AD=p,

DC=q,

滿足p2+q2=AC2=4.

貝I]A(p,0,0),P(p,0,2),

C(0,夕，0),。(0,0,0).

設(shè)平面APC的法向量為

機(jī)=(用，y\,zi),

因?yàn)镼=(0,0,2),

AC={-p，4，0),

所以"m=2「。，

AC-m=-px、+qy1=0,

取m=(q,p,0).

設(shè)平面OPC的法向量為

n=(xi,yi,z2),

因?yàn)槎?(p,0,2),

DC=(0,4,0),

DP-n=px+2Z=0,

所以22

DC,n=qy2=0,

取〃=(2,0,一p).

所以3",〃〉l=S

2q

y/p2+q2-VP2+4

又因?yàn)閜2+q2=4,

所以東=&

解得P=V5(負(fù)值舍去)，

即AD=V3.

微拓展

典例.

解析建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由A0=A4i=l,AB=2，得七(1,1,1),C(0,2,1),D)(0,0,0),

則章=(1,1,1),庭=(0,2,1),

設(shè)平面QiEC的法向量為

n=(x,y,z),

典您…

(DjC-n=0,

即,+y+z=0,

⑵，+z=0,

令z=—2,得〃=(1,1,—2),

易知平面。EC的一個法向量為

m=(0,0,1),

則3"〃〉=就

-2__V6

-

7BT

由法向量的方向?yàn)橥觯?/p>

得二面角。一石。一。的余弦值為圣

跟蹤訓(xùn)練1

(1)證明如圖，連接AG,交AC于E,連接。E.

在三棱柱中，側(cè)面ACG4是平行四邊形，故E是AG的中點(diǎn)，

又因?yàn)?。是A4的中點(diǎn)，

貝JDE//BC\.

因?yàn)镈Eu平面AOC,8GC平面AOC,故BG〃平面AQC

⑵解因?yàn)閭?cè)面4881Al,8CGE均為正方形，

貝I」BB\LAB,BB」BC

又因?yàn)锳8,BCu平面ABC,

ABQBC=B,故88i_L.平面ABC.

如圖，以3為坐標(biāo)原點(diǎn)，以｛布，瓦乙西｝為一個正交基底建立空間直角坐標(biāo)系.

以

因?yàn)锳B=BC=2,

側(cè)面ABBA,BCCB均為正方形，

故AK=2.

由CQ,。，0),

。(0,1,0),

4(0,2,2),

可得而=(—2,1,0),

幣=(0,1,2).

設(shè)平面4DC的法向量為

n=(xty,z),

則..有.(n-_CD.=-2x4-，y=0,

(n?ArD=-y-2z=0,

故可取〃=(1,2,—1);

又40,2,0),所以正=(2,-2,0),麗=(0,0,2),設(shè)平面4AC的法向量為〃2=(x',y',z),

m-^C=2x/-2y/=0,

則有

m-AA^=2zf=0,

故可取帆=(1,1,0).

設(shè)平面4QC與平面4AC的夾角為0,

則C6SO=|C°S"'〃〉T=SS

3_V3

-V2x>/6一'2'

所以平面4QC與平面AMC夾角的余弦值為第.

例2⑴證明由A8=8,

AD=5V3,

AE=lAD,AF=^AB.

得A￡=2V5,AF=4,

又NBAQ=30。,在△AE產(chǎn)中，

由余弦定理得EF=>1AE24-AF2-2AE-AFcos^BAD

=J12+16-2X2A/3X4Xy=2,

所以A層十七產(chǎn)=人尸，

則AE1EF,即EFLAD,

所以E凡LPE,EFlDE,

又PEC\DE=E,PE,

DEu平面PDE,

所以ERL平面PDE,

又PZ)u平面PDE,

故EF1.PD.

⑵解連接CE,由Z4DC=90°,

ED=3如,

CD=3,

貝ljEC2=ED2+CD2=36,

在中，PC=4痘,

PE=2y[3,EC=6,

得Ed+PE^PC2,

所以PE±EC,由⑴知PE1EF,

又ECC\EF=E,

EC,即u平面ABCD,

所以PE_L平面ABC。，

又EOu平面ABCD,

所以PE工ED,

則PE,EF,EO兩兩垂直，

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則E(0,0,0),P(0,0,2V3),

0(0,3V3,0),C(3,3V3,0),

F(2,0,0),A(0,-2V3,0),

由尸是AA的中點(diǎn)，

得B(4,2V3,0),

所以正二(3,3遮，-2V3),

麗=(0,3V3,-2V3),

PB=[4,2V3,-2V3),

PF=[2,0,-2V3),

設(shè)平面PCQ和平面P8尸的法向量分別為

n=(xi,y\,zi),m=(xz,yi,zi),貝U

(n-7C=3X1+3>/5yi-2\[3z1=0,

(n-RD=3V3yi-2>j3z1=0,

(m?麗=%+2x/3y2-2V3z2=0>

Im?PF==0,

2X2-2A/3Z2

令yi=2,X2=V3,

得為=0,zi=3,竺二-1,Z2=l,

所以〃=(0,2,3),w=(V3,-1,1),

設(shè)平面PC。和平面P8廠所成的二面角為0,

所以|cos例=|cos(m,n)|

=\nvn\_1_V65

貝ijsin6=71-cos2g=,

65

即平面PC。和平面P8E所成的二面角的正弦值為哼.

65

跟蹤訓(xùn)練2⑴證明分別取棱CD,A。的中點(diǎn)。，P,連接0/，PE,OP,

由尸是邊長為2的正三角形，得OFLCD,

OF=V3,

又平面?！辏井a(chǎn)_1_平面ABCD,平面CQ/T1平面ABCD=DC,。尸u平面CDF，貝ij0尸_1_平面ABCD,

同理PEJ_平面ABCD,