§7.8空間距離及立體幾何中的探索性問(wèn)題

【課標(biāo)要求】1.會(huì)求空間中點(diǎn)到直線以及點(diǎn)到平面的距離2以空間向量為工具，探究空間幾何體中線、面的

位置關(guān)系或空間角存在的條件.

1.點(diǎn)到直線的距離

如圖，已知直線/的單位方向向量為〃，A是直線/上的定點(diǎn)，P是直線/外一點(diǎn)，設(shè)而=訪則向量Q

在直線/上的投影向量而二(?！?〃，在RCAPQ中，由勾股定理，得而『-|湎『二

2.點(diǎn)到平面的距離

如圖，已知平面。的法向量為〃，人是平面。內(nèi)的定點(diǎn)，夕是平面a外一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作平面a的垂線/，

交平面。于點(diǎn)Q,則〃是直線/的方向向量，且點(diǎn)尸到平面a的距離就是而在直線/上的投影向量爐

的長(zhǎng)度，因此PQ=\AP.3卜|富卜.

B自主診斷

I.判斷下列結(jié)論是否正確.(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“Y”或“x”)

(1)平面。上不共線的三點(diǎn)到平面”的距離相等，則a〃夕.()

(2)點(diǎn)到直線的距離也就是該點(diǎn)與直線上任一點(diǎn)連線的長(zhǎng)度.()

(3)直線/平行于平面a,則直線/上各點(diǎn)到平面a的距離相等.()

(4)直線/上兩點(diǎn)到平面〃的距禹相等，貝山平行于平面a()

2.空間點(diǎn)A(l,1,1),B(l,2,3),C(l,2,4),則點(diǎn)A到直線的距離d等于()

A.畔B,V5C.§D.萼

3.己知棱長(zhǎng)為2的正方體中，E,M,N分別是4田，AD,CG的中點(diǎn)，則直線AC與平面

EMN之間的距離為()

A.lB.—

3

D.V3

4.設(shè)正方體ABCDA/CMi的棱長(zhǎng)為2,則點(diǎn)。到平面AiBD的距離是.

題型一空間距離

命題點(diǎn)I點(diǎn)線距離

例1如圖，P為矩形ABC。所在平面外一點(diǎn)，2\_1_平面44。。.若已知相=3,4。=4,PA=1,貝I」點(diǎn)夕

到直線BD的距離為.

命題點(diǎn)2點(diǎn)面距離

例2在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCTMiBiG。中，E,尸分別為棱A4，8步的中點(diǎn)，G為棱4囪上的一點(diǎn),

且A|G="（）O<2）,則點(diǎn)G到平面尸的距離為（）

A.2V3B.V2C.—D.—

35

命題點(diǎn)3異面直線的距南

例3已知和兩條異面直線都垂直相交的直線叫做兩條異面直線的公垂線，公垂線與兩條直線相交的

點(diǎn)所形成的線段，叫做這兩條異面直線的公垂線段.兩條異面直線的公垂線段的長(zhǎng)度，叫做這兩條異面

直線的距離.在四棱錐PA8CO中，底面ABC。是邊長(zhǎng)為3的正方形，PA_L底面A8CQ,PA=6,點(diǎn)G在

側(cè)棱上，且滿足2PG=GB,則異面直線PC和。G的距離為（）

思維升華（1）點(diǎn)到直線的距離

①設(shè)過(guò)點(diǎn)P的直線/的單位方向向量為〃，A為直線/外一點(diǎn)，點(diǎn)A到直線/的距離4J兩2_（而.幾產(chǎn)

②若能求出點(diǎn)在直線上的射影坐標(biāo)，可以直接利用兩點(diǎn)間距離公式求距離.

（2）求點(diǎn)面距一般有以下三種方法

①作點(diǎn)到面的垂線，求點(diǎn)到垂足的距離.

②等體積法.

③向量法.

跟蹤訓(xùn)練1（多選）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體A8CD4向G，中，點(diǎn)E在&）上，且點(diǎn)產(chǎn)

在CS上，且則下列結(jié)論正確的是（）

A.線段E〃是異面直線8。與的公垂線段

B.異面直線A4與BD的距離為:

C.點(diǎn)5到直線的距離為孚

?3

D.點(diǎn)"到平面DEF的距離為日

題型二立體幾何中的探索性問(wèn)題

例4如圖，在四楂錐尸48co中，平面P。。_1_平面ABC。，AD±DC,AB//DC,AB=^CD=AD=\,M

為棱QC的中點(diǎn).

（1）證明：8M〃平面24Z）；

⑵若PC=V5,PD=1,

①求平面PDM與平面〃。例夾角的余弦值;

②在線段PA上是否存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)Q到平面80M的距離是手？若存在，求出PQ的值；若不存在,

請(qǐng)說(shuō)明理由.

思維升華（1）對(duì)于存在判斷型問(wèn)題的求解，應(yīng)先假設(shè)存在，把要成立的結(jié)論當(dāng)作條件，據(jù)此列方程或方程

組，把“是否存在”問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“點(diǎn)的坐標(biāo)是否有解，是否有規(guī)定范圍內(nèi)的解”.

。(0,4,0),

則前=(3,0,1),BD=［3,4,0),

故點(diǎn)尸到直線8。的距離

例2D［以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，OC所在直線為)?軸，。。所在直線為z軸，建立如圖

所示的空間直角坐標(biāo)系,則G(2,"2),。(0,0,2),

EQ,0,1),F(2,2,1),

所以再二(2,0,1),

EF=(0,2,0),EG=(0,2,1).

設(shè)平面。西b的法向量為n=(x,y,z),

貝-~ED\=-2x+z=0,

(n-EF—2y—0,

取x=l,得n=(l,0,2),

所以點(diǎn)G到平面。小尸的距離為

例3A［如圖，以點(diǎn)A為原點(diǎn)，詬，而，通的方向分別為工，)，，z軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系，

則8(3,0,0),C(3,3,0),。(0,3,0),P(0,0,6),G(1,0,4).

所以詬;(1,3,4),

P?=(3,3,6),DC=(3,0,0),

設(shè)”(x,y,z)為直線PC和DG的公垂線的方向向量，

,［七(n?尻=x-3y+4z=0,「叩,、。小

則有_)'可取〃=(1,3,2),

n-PC=3x4-3y-6z=0,

所以異面直線PC和OG的距離為

|DC-n|_3_3%^14,

|n|14」

跟蹤訓(xùn)絳1ACD［以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,QC,所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的

空間直角坐標(biāo)系.則0(0,0,0),A(l,(),0),

B(1,1,0),C(0,1,0),Ai(l,0,1),

Bi(l,1,1),Di(0,0,1),

前二癖嗎i,0）,

CF=1CK=Q,o,

所以需，r。），嗚i，i

對(duì)于A,加（心，3，

DB=d,1,0）,

cK=（i,o,i）,

所以麗?麗二軍二0,

33

EF<K=V=O,

即EFLDB,EF上CBi,所以線段E歹是異面直線BD與CBy的公垂線段，故A正確；

對(duì)于B,由正方體的性質(zhì)可得異面直線A4與BD的公垂線的一個(gè)方向向量為前=（1,1,0）,

又52=（1,0,0）,所以異面直線.與皿的距離為里票白￥，故B錯(cuò)誤；

\AC\V22

對(duì)于C,庠=C，|,-1）,

科（一》rI）?

所以他在即方向上的投影向量的長(zhǎng)度為力=叵呼=",所以點(diǎn)u到直線E尸的距離為

1七戶13

對(duì)于D,設(shè)平面DE尸的法向量為/:=(%,y,z)tDF=(1,1,1),

則卜里=0,

[n-DF=0,

fx4-y=0,

即1，J

l-x+y+-z=n0,

令x=\,得y=\,z=2,

所以"=(1,1,2),又西二(0,0,1),

所以點(diǎn)Z),到平面。所的距離心甯!二方半,故D正確」

例4(1)證明取P。的中點(diǎn)N,連接AN,MN,如圖所示.

???M為棱PC的中點(diǎn)，

：.MN//CD,MN=^CD,

*：AI3//CD,AB=^CD,

:,AB〃MN,AB=MN,

???四邊形ABMN是平行四邊形，

:.BM〃AN,

又8M6平面PAD,

4Nu平面PAD,???4M〃平面PAD

(2)解VPC=V5,PD=\,CD=2,

：,PC2=PD2+CD2,：.PDLDC,

???平面PDC_L平面ABCD,

平面POCTI平面ABCD=DC,

POu平面PDC,

，PO_L平面AI3CD,

又AD,CQu平面ABCD,

：.PDLAD,PD±CD,而AD±DC,

，以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,QC,DP所在直線分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖.

則P(0,0,1),D(0,0,0),A(1,0,0),C(0,2,0),B(1,1,0),

???M為棱PC的中點(diǎn)，???M(0,1,I).

①麗二(0,1,3，麗=(1,1,0),

設(shè)平面BDM的法向量為n=(x,y,z),

nDM=y+[z=0,

則

n麗=x+y=0,

令足,則號(hào)［

???〃=(1,1,2),

平面PQM的一個(gè)法向量為萬(wàn)2=(1,0,0),

|cos,DA)|

_|n-DA|_1_V6

一|川|畫(huà)「連x1-6,

則平面paw與平面8DM夾角的余弦值為半.

6

②假設(shè)在線段PA上存在點(diǎn)Q,使得點(diǎn)。到平面8OM的距離是好，

設(shè)用=2同,0W2W1,

又叫1,0,1),

則G(A,o,U),

BQ=ai,1,U),

由①知平面BQM的一個(gè)法向量為”(1,1,2),BQn=Al+l+2(lA)=2A,

???點(diǎn)Q到平面BDM的距離是

\BQn\_2-A_2>/6..2

—=^=~?*U=3)

:.PQ當(dāng)

跟蹤訓(xùn)練2解(1)設(shè)ACrWO=O,4GCl小。產(chǎn)Oi,

因?yàn)槔庵侵崩庵?，且底面是菱形，故OA,。8,。01兩兩垂直，

如圖，以O(shè)A,08,OOi所在直線分別為x,)，，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，因?yàn)樵诹庑沃?，Z

A8c=120。，

所以0A=V5,08=1,

設(shè)AA]=h>0,

則B(0,I,0),C(V3,0,0),

C.(V3,0,h),D,(0,1,h),

所以麗二(百,1,0),鬲=(0,0"),西二(0,2,h).

設(shè)平面BCGBi的法向量為〃尸3,yi,zi),

%?CB=0,

則由

%=0,

得+%=0,

=0,

令汨:1,得〃尸(1,百，0),