§7.7向量法求空間角

【課標要求】1.能用向量法解決異面直線所成的角、直線與平面所成的角、平面與平面的夾角問題，并能描

述解決這一類問題的程序，體會向量法在研究空間角問題中的作用2弄清折疊問題中的變量與不變量，掌

握折疊問題中線面位置關(guān)系的判斷和空間角的計算問題.

1.異面直線所成的角

若異面直線/1，，2所成的角為仇其方向向量分別是〃，了，貝|JCOS9=|cos〈〃，V)|=,

2.直線與平面所成的角

如圖，直線AB與平面。相交于點8,設(shè)直線A8與平面。所成的角為仇直線A8的方向向量為〃，平

面Q的法向量為〃，則sin<9=|cos〈〃，〃〉|=-^7-=.

\u\\n\---------------------

3.平面與平面的夾角

如圖，平面。與平面夕相交，形成四個二面角，我們把這四個二面角中不大于90。的二面角稱為平面a

與平面用的夾角.

若平面如夕的法向量分別是小和孫，則平面a與平面尸的夾角即向量小和小的夾角或其補角.設(shè)平面

(X與平面”的夾角為0,則COS。二COS〈〃I,〃2〉仁.

3自主診斷

1.判斷下列結(jié)論是否正確.(請在括號中打或"X”)

(1)兩直線的方向向量所成的角就是兩條直線所成的角.()

(2)直線的方向向量和平面的法向量所成的角就是直線與平面所成的角.()

(3)二面角的平面角為6,則兩個平面的法向量的夾角也是0.()

(4)二面角的平面角與平面a，少的夾角相等.()

2.若直線/的一個方向向量〃二(1,0,I),平面a的一個法向量〃二(0,1,1),則/與a所成角的大小為

()

A.-B.-

63

C.鴻嗎嶗

3.若平面a的一個法向量為〃二(1,1,0),平面/y的一個法向量為機=(1,0,1),則平面a與“夾角的大小

為()

A-

D.y

4.已知點。(0,0,0),A(l,0,1),8(1,1,2),C(l,0,1),則異面直線。C與43所成角的余弦值

為.

口微點提醒

(1)斜線與平面所成的角是斜線與平面內(nèi)直線所成角中的最小角.

(2)線面角〃的正弦值等于直線的方向向量。與平面的法向量〃所成.角的余弦值的絕對值，即sin〃=|cos〈0,

n)|.

(3)平面與平面的夾角和二面角的概念不同.

題型一異面直線所成的角

例1(1)如圖，圓錐的軸截面48c為等邊三角形，。為弧A8的中點，E,尸分別為母線8C,AC的中

點,

BsDT

(2)在直三棱柱ABCAEG中，底面△ABC是以A為直角的腰長為2的等腰直角三角形，測棱長為2,

。為B山上的點，若直線4c與直線。G所成角的余弦值為半，則8。的長為()

6

A.1

Di

思維升華用向量法求異面直線所成的角的一般步驟

(1)建立空間直角坐標系.

(2)用坐標表示異面直線的方向向量.

(3)利用向量的夾角公式求出向量夾角的余弦值.

(4)注意異面直線所成角的范圍是(0,外，即異面直線所成角的余弦值等于兩向量夾角的余弦值的絕對值.

跟蹤訓練1若在三棱柱A8C4出G中，/AiAC=N8AC=60。，平面4ACG_L平面48C,AAi=AC=AB,

則異面直線AG與48所成角的余弦值為

題型二直線與平面所成的角

例2如圖，在三棱臺A8CAI6中，AG與AC相交于點88」平面ABC,AB=6,BC=4,BBi=2,

4c產(chǎn)尺，AE=2EB,且OE〃平面8CGE.

(1)求》幺的值；

S&ABC

(2)求直線CC)與平面A?妁C所成用的正弦值.

思維升華利用空間向量求線面角的解題步驟

跟蹤訓練2(2025?濟南模擬)如圖，在三棱臺A8CDE/中，平面A8CJ_平面8CTE,AF_DE,Z

ABC=/CBF=45°,AC>AB=\.

⑴求三棱臺ABCDEF的高；

(2)若直線AC與平面48f所成角的正弦值為壁，求8C

題型三平面與平面的夾角

例3(2024?新課標全國I)如圖，四棱錐PA8C￡>中，PA_L底面A8C。，PA=AC=2,BC=i,AB=W.

(1)若AO_LP8,證明：AO〃平面PBC；

(2)若AO_L￡>C,且二面角ACPO的正弦值為耳，求AD

也叫

雨

21"小

'|M||H|

3WiMl

,凡1出1

自主診斷

l.(l)X(2)X(3)X(4)X

2.A3.B4.5

6

探究核心題型

例1(1)C|取A8的中點。，連接0C,。。，如圖，以。。，。8,。。所在直線分別為x軸、)，軸、z軸，

建立空間直角坐標系，

設(shè)45=2,則

B(0,1,0),ZX1,0,0),C(0,0,V3),

40,1,0),

又E,產(chǎn)分別為母線BC,4c的中點，

所以E(0,1.^),<0,-A-T).

則喬=(0,-1,9,

屁=(fT)'

設(shè)異面直線8F和。石所成的角為0,則cos6>=|cos〈時，屁〉|

理匹l=]j電

|函|函\BF\\DE\'

又。￡(0，1,所以".]

(2)A［以A為原點，A8,AC,A4所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，

則4(0,0,2),

G(0,2,2),

C(0,2,0).

設(shè)。(2,0,r),0＜忘2,

則律(0,2,2),

西二[2,2,2/),

所以|cos〈砧,西〉1=需簫

=12cl__6

2V2-/4+4+(2-C)26，

解得=1(負值舍去).即I3D=\.]

跟蹤訓練14

4

解析設(shè)M為AC的中點，連接朋8,MA1,由題意知△A8C是等邊三角形，

所以BMLAC,同理，AiMLAC,

因為平面4ACG平面ABC,

平面AiACGD平面ABC=AC,

8Mu平面A8C,

所以BM_L平面AiACG,

因為AiMu平面4ACG,

所以BMLA}M,

所以AC,BM,AM兩兩垂直，以M為坐標原點，麗，麗，初的方向分別為x軸、），軸、z軸的正方向

建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)AA\=AC=AB=2,

則A(1,0,0),B(0,V3,0),4(0,0,V3),

Ci(2,0,V3),

所以溫=(3,0,V5),

項=[O,V3,V3),

所以|cos〈宿,1=2晨，

故異面直線AG與48所成角的余弦值為”.

例2解(1)連接GB,如圖，

因為DE〃平面BCC\B},OEu平面ABC\,平面A6GD平面BCC\B\-C\B,

所以DE〃GB.

因為樂二2而，所以而二2西，

所以A|C《AC,

因此A/產(chǎn),BC=BC,

所以乎幺=g)2

S4ABe\2/4

(2)由⑴可知,A|Ci=iAC,

所以AC=2V13.

依題意，AC2=AB2+BC2,

所以4B_LBC,

又8S_L平面A8C.

因此，以8為坐標原點，分別以明,BC,西的方向為x軸、y軸、z軸的正方向，建立如圖所示的空間

直角坐標系.

則A(6,0,0),C(0,4,0),Bi(0,0,2),4(3,0,2),G(0,2,2).

所以5^7=(3,0,0),B^C=(0,4,2),鬲=(0,2,2).

設(shè)平面45C的一個法向量為n=(x,)，，z),

由,n.B1A1=3x=0,

In?81d=4y-2z=0,

取產(chǎn)1,則40,z=2,

所以/i=(0,1,2).

設(shè)與平面A|8C所成角為B,

貝sinQm?圾?=2=叵

川s1n°間|國1愿x2或io,

即直線CG與平面A由C所成角的正弦值為嚕.

跟蹤訓練2解

(1)作尸0_L6C于點O,

因為平面A8CJ_平面BCFE,平面A8Cn平面BCFE=BC,產(chǎn)。u平面BCFE,FOLBC,

所以「。_1_平面A8C，"。即為三棱臺AACOEr的高，

又因為48u平面ABC,

所以FOA.AB,連接AO,

因為AB//DE,AF±DE,

所以A8_LA/,

FOC\AF=F,FO,Afu平面AFO,

所以A8_L平面AFO,

又AOu平面AFO,所以AB1AO,

又48C=NC8”=45°,AB=\,

所以AO=1,BO=FO=V2,

所以三棱臺ABC。石尸的高為企.

(2)以0為原點，在平面A8。內(nèi)，作0x_L8C,以。丫，OB,Ob所在的直線分別為x,y,z粕，建立如圖所

示的空間直角坐標系，

則0(0,0,0),4俘，y,0),

8(0,四，0),外。，0,企),

布=(一4，號，0)，

麗=(0,&,&),

50=(0,V2,0),

設(shè)平面的法向量為〃=(x,y,z),

(n?麗=V2y—V2z=0,

則*V2V2

n-AB=---xH—y=0,

22z

可取〃=(1,1,1),

設(shè)就與麗，貝ijC(0,近伍,0),

則格(一亨，y-V2A,0),

設(shè)直線4。與平面A8”所成的角為a,

sina=|cos(AC,〃〉|

I-V2AI_y<15

-"V3XV2A2-2A+15，

化簡得8A2182+9=0,

解得兒=2或2=2(舍去，因為AOAB,貝ijBOBO,所以2>1),所以80780二乎.

242

例3(1)證明因為PA_L平面A8CO,

而A/)u平面ABCD,所以PA1AD,

又ADLPB,PBC\PA=P,PB,PAu平面PAB,所以AQJ_平面PAB,

而平面PAB,所以AD1AB.

因為BC2+AI32=AC2,

所以BC±AB,

根據(jù)平面知識可知AO〃8C,

又AZXt平面PBC,BCu平面PBC,

所以40〃平面PBC.

(2)解方法一以。為原點，萬5,反的方向分別為x軸、y軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標系.

設(shè)AD=p,

DC=qt

滿足j)2+q2=AC2=4.

則A(p,0,0),P(p,0,2),C((),4,0),0((),0,0).

設(shè)平面APC的法向量為m=(x\,y\,zi),

因為而=(0,0,2),AC=(j),q,0),

所以巴.m=2ZL0,

AC?m=+qyi=0,

取m=(q,〃，0).

設(shè)平面OPC的法向量為〃=(X2,yi,Z2),

因為。)二(〃，0,2),DC=(0,q,0),

DP-n=px+2Z=0,

所以?22

DC?n=qy2=0,

取n=(2,0,p).

所以|cos(m,n)|

_|n?-n|_______2q

|m||n|Jp2+q2.、/p2+4

又因為六口，所以島吟

解得p=V5(負值舍去)，BPAD=\[3.

方法二如圖所示，過點。作。E_LAC于點E,

A

li

再過點E作E/LLCP于點尸，連接。尸，

因為PA_L平面A8CO,

P4u平面PAC,

所以平面PAC_L平面ABCD,

又平面PAG平面ABCD=AC,

DEu平面ABCD,

所以DE_L平面PAC,

因為CPu平面PAC,所以DELCP,

又EFA.CP,EFCDE=E,EF,DEu平面DEF,所以CP_L平面DEF,

所以?？贚CP,

根據(jù)二面角的定義可知，NOFE即為二面角ACPO的平面角，

即sin/。產(chǎn)E二手，即tanZDFE=V6.

因為ADA.DC,設(shè)AD=x,0<x<2,

則DC=y/4-x2,

由等面積法可得，DE。券,

又CE=J(4—%2)"丁)二y,

而△￡人?為等腰直角三角形，

所以2手,

又OE_L平面PAC,ERz平面PAC,

所以DEJ_E/,

八,’4一.2

故tanNDFE二弟二2二瓜,

2>/2

解得尸V3,即AD=V3.

微拓展

典例《

解析建立如圖所示的空間直角坐標系，

由AD=AAi=\,AB=2，得E(1,1,1),C(0,2,1),。(0,0,0),

則瓦正(1,1,1),番(0,2,1),

設(shè)平面QEC的法向量為n=(x,y,z),

嚅;二燃江:才

令z=2,得n=(\,1,2),

易知平面QEC的一個法向量為m=(0,0,1),

貝ijcos〈"?，〃〉彳*二青乎，

\m\\n\V63

由法向量的方向為同出，得二面角。ECO的余弦值為手.

跟蹤訓練3⑴證明由A8=8,

AD=5\[3,

AE^-AD,AF=-AB,

5，2，

得AE=2\[3,AF=4,

又N3A￡>=30°,在△AEF■中，

由余弦定理得E尸二

\/AE2+AF2-2AE-AFcos^BAD=J12+16-2x273x4xy=2,

所以AE2+EF2=AF2,

貝ijAELEF,即EFA.AD,

所以E/J_PE,EFLDE,

又PEQDE=E,

PE,DEu平面PDE,

所以E凡L平面PDE,

又PZ)u平面PDE,

故EFLPD.

⑵解連接CE,由NAQO90。，

ED=3^3,

CD=3,

貝ijEC2=ED2?CD2=36,

在中，PCMA/3,

PE=26,EC=6,

得EC2+PE2=PC2,

所以PEIEC,由(1)知