【考試要求】1.經(jīng)歷推導(dǎo)兩角差余弦公式的過程，知道兩角差余弦公式的意義.2.能從兩角差的

余弦公式推導(dǎo)出兩處和與差的正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了

解它們的內(nèi)在聯(lián)系.3.能運(yùn)用公式進(jìn)行簡單的恒等變換(包括推導(dǎo)出積化和差、和差化積、半角

公式，這三組公式不要求記憶).

第1課時兩角和與差的正弦、余弦和正切公式

知識梳理

兩角和與差的余弦、正弦、正切公式

(l)公式C(a削cos(a-6)=cosacos￡+sinasinB;

(2)公式+?。篶os(?+0=cosacos0—sinasinB；

(3)公式Sg-0：sin(a-6)=sinacos￡-cosasin6；

(4)公式Sg?用：sin(a+A)=sinacos￡+cosasin8;

八小?tan?—tanB

(5)公式T(a-削tan(?-^)=1+ian6ttan^；

八二，~tan?+tanB

⑹公式Ts成=1—血加/

【微思考】

1.誘導(dǎo)公式與兩角和差的三角函數(shù)公式有何關(guān)系？

提示誘導(dǎo)公式可以看成和差公式中夕=k^(keZ)時的特殊情形.

2.兩角和與差的公式的常用變形有哪些？

提示(1)sinttsin尸+cos(a+￡)=cos?cosp.

(2)cosasin夕+sin(a-p)=sinacosp.

(3)tan?±tanp=tan(a±/0(1+tanatan0).

基礎(chǔ)自測

題組一思考辨析

1.判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉癑”或“X”)

(1)存在實(shí)數(shù)a,B，使等式sin(a+//)=sina+sin//成立.(J)

(2)在銳角△A8C中，sinAsin8和cosAcos8大小不確定.(X)

(3)公式tan(a+/?)=:比北可以變形為tana+tan/?=tan(?+/?)(l-tanatan夕)，且對任意

角a，6都成立.(X)

(4yV5sina+cosa=2sin(a+$.(X)

題組二教材改編

2.若cosa=一a是第三象限角，則sin（a+；）等于（）

A.-*B.eqB.C.--j^D.eqD.

答案C

I_______3

解析是第三象限角，，sina=-qi=cos%=-5,

34

*..71_-XX--7小

=sinacosj+cos?sin55X

2一10?

3.cos170cos770+cos73ccos13°=.

答案\

解析cosI70cos77°+cos73°cos13°=cos17°sinI3°+sin17°cos13°=sin(17°+13°)=sin300

\

=2-

4.tan100+tan5O°+，5tan100tan50°=.

答案73

5”,tan100+(an50°

解析Vtan60^tan(10-+50-)^1_tanl(nan5(r

Alan1004-tan50°=(an60°(l-tan10°tan50°)

=小一小tan10°tan50°,

.?.原式=A/5—5/5tan10°tan5O°+A/3tan100tan500=y/3.

題組三易錯自糾

1+tan15°

5.計(jì)算:1-tan15o=

答案小

MIL1+tan15°tan45°+tan15°,

解析1-tan15o=1-tan45°tan15o=lan(45°+15°)=tanr

6.(多選)下面各式中，正確的是()

.，兀」_兀、.兀兀?亞兀

A.sinQ十可=sinjcos^cosj

5兀啦.7tnn

B.cos^2=2s,n3-cos4C0S3

C.cos(一geos號+乎

7C7cH

D.cosY2=COS耳―COS1

答案ABC

?/cosg=-cosg=-cos|

3十4,

A/2.It7171

2s,ncos4cosg,???B正確;

AC正確;

..兀(nnit

?COSYJ=COS(?-W產(chǎn)COSJ-cosa???D不正確.故選ABC.

例I(1)(2020?全國IH)已知sin。+sin(e+§=1,則sm(e+2等于(

)

A.cqB.cqB.C.cqC.D.cqD.

答案B

解析因?yàn)閟in〃+sin(e+W)

=sinh+f-1+sin(，+跳)

匹cos^+^jsin*+sin

-sin

6s,n6

=2sin(0+^)cos專

=Wsin僅+§=1.

所以sin(0+§=9.

(2)已知sina=1.aE兀).tan(jr—/?)=T.則tan(a—/?)的值為()

2

-11

HD.-2

B.aeGqB&.

A.答

案A

解

析4

V--tan?=4

a-5

又tan(7r-^)=2?**.tanp=—g,

解析Vsina+cos夕=1,①

cosa+sin夕=0,②

??.①2+②2得1+2(sinacos夕+cosasin￡)+1=1,

:.sinacos夕+cosasinp=—

.*.sin(a+/Z)=—

思維升華運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時，不但要熟練、準(zhǔn)確，而用要熟悉公式的逆用及

變形.公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，增強(qiáng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力.

跟蹤訓(xùn)練2(1)己知?！?甘，分tana=sin76°cos460—cos760sin46°,則sina等于()

A.eqB.—^C.eqC.D.一^^

答案

解析由tana=sin76°cos460—cos760sin460=sin(76°—46°)=sin30°=弓

VftGl-y,

sin?1

聯(lián)立卜sa-Q

,sin2?+cos2a=1,

解得sin。=乎.

⑵(1+tan20°)(l+tan210)il+tan24°)(l+tan25°)=.

答案4

解析(1+tan20°)(l+tan250)=1+tan200+tan250+tan20°tan25o=l+tan(20o+250)(l-

tan20°tan25°)+tan20°tan25°=2,同理可得(1+tan21。)。+tan240)=2,所以原式=4.

例3(1)已知sin。=邛^,sin3-a)=-a,/?均為銳角，則少等于()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案C

解析因?yàn)閟in”=邛^,sin0—a)=—且a,夕均為銳角，所以cosa=當(dāng)，cos(/?—a)

3回…、j.八.,一.、、.、?.“、2小、,3班?小

—|Q,所以sinp—sin[a+(p—a)]—sma?cos(/—a)十cosasin(p-a)——X

義（—錮=號*=坐，所以萬寸故選c.

（2）（2020?黑龍江大慶實(shí)臉中學(xué)訓(xùn)練）已知a,￡￡（苧，兀），sin（a+6）=一5,sin（少一點(diǎn)）=會則

（

cosa十]=________.

答案*4

解析由題意知，a+/?e（y,2兀），sin（a+/?）=—]<0,所以cos（a+"）=*

因?yàn)椤暌慌_像個）,

所以COS,一￡）=S

cos(a+J=cos3+份一1一初

=cos(a+/7)cos(y?m+sin(〃+/7)sin［：)=一4

5,

思維升華常見的角變換：2a=（a+.）+（a一夕），。="^+生子，力+。=尹（?！＃?，a=（a

+仇一夕=（。_川+夕，（今+。）+（：-。）=今等.

跟蹤訓(xùn)練3(1)已知a￡(一$0),cos(a+5)—sin則sin(a+"^)的值是(

)

A.平B."^C.eqC.D.

答案B

4s

解析由cos|a+習(xí)—sina=

5，

得cosacos看—sinasin/sin「羋,

44H

為

因

V23-即-G-

所以Jcosa-ya-

si5-y

所以a+狂

所以sin"+31-cos2(a+qj=5,

所以sin(^?=sinT(^?

走

GR比4

+-

-sn?n7CA-s-X-

23J25

V2

IO-

々12

(2)已知cos(?—sin(a+^)=—7,則sin2a等于()

/?'1JJ

答案B

解析因?yàn)樗設(shè)va一加寸，兀＜?+0*號，由cos(a一")=岸，得sin(a一夕)=卷，

34

由sin(a+0=一《，得cos(a+0=一則sin2a=sin[(a—/0+(a+.)]=sin(a—/Ocos(a一夕)十

cos(a—p)sin(a+￡)=*X(一號+首義(一,)=一捐.故選B.

課時精練

立基礎(chǔ)保分練

1.—sin133°cos197°—cos47°cos730^T()

A.eqB.eqB.C.eqC.D.eqD.

答案A

解析—sin133°cos1970—cos470cos73°=—sin470-(—cos17°)—cos47°sin17°=sin(47°—

17。)=sin300=1.

2.在△ABC中，cosAcosasinAsinB,貝的形狀是()

A.銳角三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

答案C

解析依題意可知cosAcosB—sinAsin8=cos(A+8)>0,所以一cosC0,所以cosC〈0,所

以C為鈍角.故選C.

3.已知"￡(一方。tana,tan夕是方程/+⑵+1Q=O的兩根，則tan(a+份等于()

A.eqB.-2或;

C.eqD.—2

答案A

解析因?yàn)閍,夕￡(一會引，tana,tan/是方程/+⑵+10—0的兩根，所以tana+tan//

tana+tan,—124

=—12,(ana-tan^=10,所以tan(a+￡)=故選A,

1-tantttanB

俘

兀

則

等

于

4一G

-4aSa

應(yīng)

需

BV2c或

四-

1OD.

A.10

答案B

信

兀

兀J

升

解析

以

一

2a4一C

Q

，31

又-

a--一

si52

、4;

nB

-

4

84

-

y

心”?.\(兀/?！?(姑兀I(*.兀3_y24^^/2A/2

所以sin夕=5Q1。-初+不_|=$111(6(一利。?！靔+cos^a—^Jsin彳=§乂勺_§義勺=一行.

5.(多選)下列四個選項(xiàng)中，化簡正確的是()

A.cos(—15)=Jf-4v

B.cos15°cos1050+sin150sin1050=cos(15°—105°)=0

C.cos(a—35°)cos(25°+a)+sin(a—35°)sin(25°+a)=cos[(a—35°)一(25°+a)]=cos(—60°)=

cos60。=3

D.sin14°cos160+sin760cos740=^

答案BCD

解析對于A方法一原式=cos(3(r-45o)=cos300-cos450+sin30°sin45°=陰孤

正_逅土也A秘R

X2—4,A錯i天.

方法二原式=cos150=cos(45°-30°)=cos450cos30。一sin450sin30。=乎X乎+乎號=

觀+陋

4.

對于B,^=cos(15°-105°)=cos(-90°)=cos90°=0,B正確.

對于C,原式=cos[(a—35。)一(25o+a)]=cos(—6(T)=cos60。=；,C正確.

對于D,原式=cos76°cos160+sin76°sin160=cos(76°—16°)=cos600=2,D正確.

（多選）已知函數(shù)於尸出則下列說法正確的是（）

6.？+*叱\

sin2x-y3cos2x

A._/u）的最小正周期為兀

B.7U）的最大值為2

C.?。┑闹涤?yàn)椋ㄒ?,2）

危）的圖象關(guān)于（一自，o?j稱

D.

答案

解析

，

?

SI2X+-

、

，兀￥）的值域?yàn)椋ㄒ?,2）；由7=號=兀，得兒1）的最小正周期為兀；令2x+5=E（k￡Z）,解得x

竽一切WZ）,即於）的圖象關(guān)于（一方，0）對稱.

7.(2020?浙江改編)已知tan0=2,則tan(。一.

答案!

解析Vtan<9=2,

.Atan^~tan4tan^-12-11

8.化簡：sin(a+/?)cos(y-/?)—cos(^+a)sin(/?-y)=.

答案sin(a+y)

解析sin(6r+^)cos(y—/?)—cos(/?4-rz)sin(/?—y)

=sin(a+6)cos(。一y)-cos(a+

=sin[(a+/0—(尸一y)]=sin[a+y).

9.已知3cosa——小sina=2小cos(a+e),其中——北〈0〈兀，貝”,

7T

答案

解析

=2小(cosacos/一sinasin5)=2Scos(a+§,

X*.*3cosa—x/3sin1=2#8$(?+9)且一冗<8<71,

71

??哪?

10.已知sina=+-,sin(a—￡)=一節(jié)~,a,夕均為銳角，則夕=

答案f

解析因?yàn)閍,尸均為銳角，所以一/Z一六與

又sin(a一#=一4^,所以cos(a—/?)=2限.

.或“rr2小

Xsm5,所以cosa="^一，

所以sinfl=sin[a—(a—fi)]

=sinacos(a一彼)一cosasin(?-/?)

=旦退_型點(diǎn)_迪=也

-5X105X110J-2-

所以萬寸

V5sin8=、系，求A+8的值.

11.已知A,8均為鈍角，且sinA=

5，

J5

解因?yàn)锳.8均為鈍角,且sinA=拳.sinB—yio

10,

所以cosA=-yj1-sin2A=—

3逝

cosB=—\lI—sin2^=

10'

下、，也rE“兀，一九

所以cos(A+3)=cosAcosB-sinAsin5=—一萬■義片■?又因?yàn)?々＜兀，E

<B<nt所以7C<A+8<27T,所以A+B=m.

31

12.已知a,夕均為銳角，且sina=g,tan(a一4)=一?

(1)求sin(a—0的值；

(2)求cos/7的值.

解(l)：a,匹(()，2),*?—^<a—p<^.

又tan(?—p)=一；V0,

???一*a—4Vo.

sin(Q一6)=—

(2)由⑴可得，cos(a—6)=今俱.

、34

為銳角，且sina=q,Acosa=J.

/.cos/f=cos[a—(a—ff)]

=cosacos(a-/O+sinasinia—/?)

_4x3^ip3f迪一汨

-5X10+5XC10J-50-

立技能提升練

13.若cos%—cos%=。，則sin(a+〃)sin(a一夕)等于(

A.—^B.cqB.C.~aD.a

答案C

解析sin(a+^)sin(a—fi)=(sinacos夕+cosasin彼)?(sinacosfl—cosasin^)=sin2acos2^—

cos2asin2/?=(l—cos2a)cos2^—cos2a(1—cos%)=cos%—cos2a=-a

14.若a,夕為銳角，且sina=乎，sin則sin(“+/?)=,a+p=.

及案啦工

口井24

解析Va,僅為銳角，sina=乎，sin