重難點(diǎn)突破03立體幾何中的截面問(wèn)題

目錄

題型一：截面作圖

題型二：截面圖形的形狀、面積及周

長(zhǎng)問(wèn)題

題型三：截面切割幾何體的體積問(wèn)題

題型七：截面圖形有關(guān)面積、長(zhǎng)度及

周長(zhǎng)范圍與最值問(wèn)題

題型八：截面有關(guān)的空間角問(wèn)題

方法技巧總結(jié)

解決立體幾何截面問(wèn)題的解題策略.

1、坐標(biāo)法

所謂坐標(biāo)法就是通過(guò)建立空間直角坐標(biāo)系，將幾何問(wèn)題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)運(yùn)算問(wèn)題，為解決立體幾何問(wèn)

題增添了一種代數(shù)計(jì)算方法.

2、基底法

所謂基底法是不需要建立空間直角坐標(biāo)系，而是利用平面向量及空間向量基本定理作為依托，其

理論依據(jù)是：若四點(diǎn)&F、G、”共面，P為空間任意點(diǎn)，削有:

結(jié)論1：若EG與不共線，那么￡〃=/1忖G+//EH：

結(jié)論2：尸￡=4尸尸+"PG+，7?+〃+〃=1）.

3、幾何法

從幾何視角人手，借助立體幾何中的線線平行、線面平行、面面平行的性質(zhì)與判定定理以及平面

幾何相關(guān)定理、結(jié)論，通過(guò)論證，精準(zhǔn)找到該截面與相關(guān)線、面的交點(diǎn)位置、依次連接這些點(diǎn)，從而

得到過(guò)三點(diǎn)的完整截面，再依據(jù)題意完成所求解答或證明.

必考題型歸納

題型一：截面作圖

例1.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，正方體ABCO-ASCQ的棱長(zhǎng)為6,M是的中點(diǎn)，點(diǎn)N在棱

cc.±,且CN=2NG.作出過(guò)點(diǎn)0,M,N的平面截正方體ABC。-A4G。所得的截面，寫出作法:

作法如下：連接QN并延長(zhǎng)交RC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E,

連接ME交耳G于點(diǎn)尸，交RA的延長(zhǎng)線于點(diǎn)〃，

連接。，交于點(diǎn)Q,連接0M,FN,

所以五邊形DQMFN即為所求截面.

例2.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-A/8/GQ中，E,尸分別是棱44,CC/

的中點(diǎn)，過(guò)E作平面a,使得。〃平面

(1)作出a截正方體ABC?A〃力?？谒玫慕孛?，寫出作圖過(guò)程并說(shuō)明理由；

(2)求平面a與平面BDF的距離.

【解析】(1)連接8Q,做,由正方體性質(zhì)可得8?！?Q,BF/IED、；

又BFcBD=B，所以平面ESA//平面尸;

因?yàn)?。〃平?比小'，且Eea,所以平面與平面。重合，即平面Eg就是。截正方體ABC7X4/B/。。/

所得的截面.

(2)由(1)可知平面a與平面的距離等于點(diǎn)打到平面4QF的距離；

設(shè)點(diǎn)用到平面8。b的距離為"，內(nèi)題意可得80=20,8尸=。f=不，所以VAO產(chǎn)的面積為不：8片尸的

面積為2;

解得d考

由\-BDF=%-即產(chǎn)可得］5二削計(jì)(1S△叫尸X2,

所以平面。與半面BD尸的距離為友.

3

例3.(2023?全國(guó)?高一專題練習(xí))(1)如圖，棱長(zhǎng)為2的正方體A8CO-AMCQ中，M,N是棱AA，AQ

的中點(diǎn)，在圖中畫出過(guò)底面A3CZ)中的心。且與平面AMN平行的平面在正方體中的截面，并求出截面多邊

(2)作出平面PQR與四棱錐ABODE的截面，截面多邊形的邊數(shù)為

（1）若1<CQ<2,請(qǐng)?jiān)趫D①中傳出截面S（保留尺規(guī)作圖痕跡）;

（2）若CQ=1（如圖②），試求截面S將正方體分割所成的上半部分的體積匕與下半部分的體積匕之比.

【脩析】（1）延長(zhǎng)。C交A尸延長(zhǎng)線丁點(diǎn)E,此時(shí)￡>C=CE,延長(zhǎng)EQ交2G于點(diǎn)尸

延長(zhǎng)MG交PQ延長(zhǎng)線于點(diǎn)G,連接G廣，并延長(zhǎng)交4。于點(diǎn)V,連接A”

此時(shí)五邊形APQFH就是截面S

（2）當(dāng)Q為CG的中點(diǎn)時(shí)，再由DC=CE,Q2〃CQ可知，七0的延長(zhǎng)線交"G于點(diǎn)。?,此時(shí)截面S為四

邊形APQR

匕=匕?哂+匕.卬北°=5>（5><2><2）>2+5'。+2）乂2><5><1=5

ccC717

V.=2x2x2——=—

133

因此VM=；17：；7=17:7

變式2.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖，已知正方體A8CO-4冊(cè)CQ,點(diǎn)E為棱CG的中點(diǎn).

G

B

4

E

/沿二

**、?C

AB

(1)證明：AG〃平面BOE.

(2)證明：AQ1BD.

(3)在圖中作出平面BER截正方體所得的截面圖形(如需用到其它點(diǎn)，需用字母標(biāo)記并說(shuō)明位置)，并說(shuō)明理

由.

【解析】(1)證明：連接AC,交BD于點(diǎn)O,連接OE,

因?yàn)锳8CD是正方形，所以。為AC的中點(diǎn)，又E為棱CG的中點(diǎn)，

所以O(shè)E//AG，OEu平面BOE，ACy平面也汨，

所以4a〃平面

(2)證明：在正方體ABC。-A4cA中，■平面A8CD,BDu平面48c。，所以AA18Q,

又AC_Z3O,ACOAA^=A,AC,AAu平面4CGA，

所以3。1平面人CGA，

又AGu平面ACGA，

所以AG，8。.

(3)如圖取AA的中點(diǎn)M,連接BM、MD\,則M8ER為平面截正方體所得的截面，

證明：取。2的中點(diǎn)N,連接NE、AN,因?yàn)椤隇槔釩C；的中點(diǎn)

所以AB〃C。且A8=CO,NEIICD且NE=CD,

所以AB//NE且AB=NE,

所以四邊形AREN為平行四邊形，

所以AN//BE,

又AM//N"且AM=ND、,

所以四邊形為平行四邊形，

所以4N〃0M,

所以MD,BE,即8、E、A、M四點(diǎn)共面，即M6ER為平面截正方體所得的截面;

變式3.（2023?江蘇?高一專題練習(xí)）己知正方體ABC。-A8CA是校長(zhǎng)為1的正方體，M是棱A4的中點(diǎn),

過(guò)C、a、M三點(diǎn)作正方體的截Qj,作出這個(gè)截面圖并求出截面的面積.

【解析】連接并延長(zhǎng)，交D4延長(zhǎng)線于N連CN交AZT于尸，連接MP,

則CRM尸為過(guò)C、。、股三點(diǎn)的正方體的截面，

因?yàn)镸是AA的中點(diǎn)，MAHDD,

所以M是NR的中點(diǎn)，A是NO的中點(diǎn)，

因?yàn)锳尸〃CO,所以「是可。的中點(diǎn)，

所以是三角形NCD、的中位線，

所以SfMP=3SNMP?

因?yàn)檎襟w的棱長(zhǎng)為1,

所以可得MN=PN=@,MP=^,

22

所以三角形NMP是以MN=PN=g為腰，以MP=①為底的等腰三角形,

22

邊MP上的高為欄H用=朋=乎'

三角形NMP是的面積包X逑=2

，MP2248

9

所以S6Mp=3sM1仍=1

o

題型二：截面圖形的形狀、面積及周長(zhǎng)問(wèn)題

例4.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）如圖，正方體ABCQ-A罔CQ的棱長(zhǎng)為1,。為4。的中點(diǎn)，Q為線段CQ

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,P,Q的平面截該正方體所得的截面記為S.則下列命題中正確命題的個(gè)數(shù)為（）

②當(dāng)CQ二;時(shí)，S為等腰梯形；

3I

③當(dāng)CQ=；時(shí)，S與GA的交點(diǎn)用滿足。渴=%

3

④當(dāng)：<CQ<1時(shí)，S為六邊形；

4

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【解析】

先確定臨界值點(diǎn)，當(dāng)CQ=g，即。為CG的中點(diǎn)時(shí)，

截面交。A于。，則界面APQ2A為等腰梯形，故②正確；

對(duì)①當(dāng)OVCQV；時(shí)，即。移動(dòng)到2位置時(shí)，

截面交線段。R于”，所以截面為四邊形，故①正確；

對(duì)③，當(dāng)CQ==時(shí)，。在口的位置，截面交。。的延長(zhǎng)線于/,

4

延長(zhǎng)/烏，AP交在。。的延長(zhǎng)線于G點(diǎn)，

?=空=絲=烏」

'ADGDIGDI2

33131

由。貝|1。/=彳，〃/=彳，又有G2=1——=T，

42244

\_

所以萼=系=?=2,又GR=l,所以。陽(yáng)="故③正確：

C內(nèi)13

4

對(duì)④，。點(diǎn)移動(dòng)到弓位置，從圖上看，截面為五邊形，故④錯(cuò)誤；

共3個(gè)正確，

故選：C

例5.(2023?四川成鄱高二雙流中學(xué)校考期中)已知正方體相。)-4/6。的棱長(zhǎng)為1,",2為線段8。,81

上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A，M，N的平面截該正方體的截面記為S,則下列命題正確的個(gè)數(shù)是()

①當(dāng)8M=0且O<CN<1時(shí)，S為等腰梯形；

②當(dāng)M,N分別為8CCC的中點(diǎn)時(shí)，幾何體的體積為《；

31

③當(dāng)M為AC中點(diǎn)且。2=:時(shí)-，S與GR的交點(diǎn)為R,滿足。團(tuán)=二；

46

④當(dāng)M為8。中點(diǎn)且0WCNW1時(shí)，S為五邊形.

A.1B.2C.3D.4

【答案】B

【解析】①，當(dāng)8M=().即伐”重合，且0<CN<l時(shí)，如下圖所示，

過(guò)N作N尸〃C",交CQi于P,連接4尸，

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知A4〃C〃，所以NP〃4/，所以N,P四點(diǎn)共面，

在等腰直角三角形CG。中，根據(jù)平行線分線段成比例的知識(shí)可知CN=P?,

所以A。=/+PD；=y)\2+CN2=BN,

即截面S為等腰梯形，①止確.

②，當(dāng)M,N分別為8C,CC1的中點(diǎn)時(shí)，

過(guò)M作NHJ.CR,垂足為，，則NH〃CQ,N〃=LCQ=42,

44

由于8cl平面8￡>C，NHu平面CDD?,所以BC_LNH,

由于CD、cBC=C,CD\,BCu平面ABCD、,

所以M/L平面ABCD、,即NHL平面AMR.

所以匕-印於=%一的附=；x9"0卜4=/②正確.

J'/>J?1J

③，當(dāng)M為8c中點(diǎn)且CN=3時(shí)，S與GA的交點(diǎn)為R，S與4?的交點(diǎn)為P,

由于平面ABgA〃平面。CG。1，

平面ABgAcS=AP,平面。CGRcS=RN,所以AP〃RN,

同理可證得AR〃PM,

C、N工設(shè)GR=x,PB=y,則D/=1—x,

4

由NA切=ZMPB,得tanZD,RAt=tanZMPB,

I

11

-11

即2y-+-X

-y--X22

y22

1

-

4

---

同理（anZ.AtPA=tanZCtRN,所以-——-X

—+-X

22

即③錯(cuò)誤.

④，當(dāng)用為5C中點(diǎn)且CN=O時(shí)，CN重合，如下圖所示,

截面S是四邊形A8cA,④錯(cuò)誤.

所以正確的有2個(gè).

故選：B

例6.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖正方體ABC。-AAGA,棱長(zhǎng)為L(zhǎng)P為BC中點(diǎn),。為線段CC上

的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)A、P、Q的平面截該正方體所得的截面記為。.若曲=義&；，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（）

A.當(dāng)時(shí)，Q為四邊形B.當(dāng)4=g時(shí)，Q為等腰梯形

C.當(dāng)時(shí)，C為六邊形D.當(dāng)2=1時(shí)，C的面積為當(dāng)

【答案】C

【解析】當(dāng)。時(shí).，如下圖1，Q是四邊形，故A正確；

當(dāng)4=3時(shí)，如下圖2,C為等腰梯形，B正確：

當(dāng)三<a<1時(shí),如下圖3,。是石功形,C錯(cuò)誤:

4

當(dāng)2=1時(shí)，。與重合，取4A的中點(diǎn)立連接質(zhì)，如下圖4,由正方體的性質(zhì)易得PG//8W//AF,且

PC.=AF,截面。為APC7為菱形，其面積為‘AG/F=邁，D正確.

22

故選:C

B

圖3

變式4.（2023?江蘇鎮(zhèn)江?高二揚(yáng)中市第二高級(jí)中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，在棱長(zhǎng)為正的正方體

—中，點(diǎn)E、尸、G分別是棱Ab、BC、8的中點(diǎn)，則由點(diǎn)E、F、G確定的平面截正

方體所得的截面多邊形的面積等于.

【答案】空

2

【解析】因?yàn)镋、/分別為A?、8'。'的中點(diǎn)，則EF//AC且防=J分￡+B'L=J*x2=l,

因?yàn)锳47/CC且AV=CC',所以，四邊形AA'CC為平行四邊形，所以，AC//AC,

所以，EF//AC,設(shè)平面￡FG交棱AD「點(diǎn)，，

因?yàn)槠矫鍭BCD〃平面A'B'Ciy,平面EFGc平面AEC77=EF,

平面EFGc平面A8C0=G”，所以，EF//GH,則GH//AC,

因?yàn)镚為CZ）的中點(diǎn)，所以，〃為八￡）的中點(diǎn)，

設(shè)直線所分別交"C'的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P、Q，連接尸〃交棱A4'于點(diǎn)"，

連接登交棱CC于點(diǎn)N,連接E“、FN,則截面為六邊形E/WGHW,

所以，AfP=B'F=-B'C=-A'D'=-AD=AH,

222

A1UAH

因?yàn)閃!1,=——=1-所以，AM=AM,則M為A4'的中點(diǎn)，

AMAP

同理川?知，N為CV的中點(diǎn)，易如六邊形曰WG〃歷是邊長(zhǎng)為所=1的正六邊形，

所以，截面面積為6x,xl2xsin60=6x^=更.

242

故答案為：巫.

2

變式5.（2023?河南信陽(yáng)?高二信陽(yáng)高中校考階段練習(xí)）在一次通用技術(shù)實(shí)踐課上，木工小組需要將正方體木

塊截去一角，要求截面經(jīng)過(guò)面對(duì)角線4c上的點(diǎn)P（如圖），且與平面與CR平行，已知M=10cm,AP=6cm,

則截面面積等于cm2.

【答案】36上

【解析】如圖，連接。。交ACj.?點(diǎn)O,連接A。、

因?yàn)殛?/。。且陰=OR,故四邊形幽。。為平行四邊形，所以，BD//BR,

因?yàn)槠矫鎔C。，B|Ru平面禺CA，所以，BD〃平面BCR,

同理可證A8〃平面BCR,

因?yàn)锳8C8O=3,A出、8Du平面A8。，所以，平面人以加平面與C",

故戕面平行于平面

過(guò)點(diǎn)尸作與3。平行的直線分別交A。、AA于點(diǎn)M、N,在上取點(diǎn)。使4Q=AM.

AQAM

.?AQ=AM,「.—-=--,「.△AQM^A/LAjDQM//DA,.

AA^AL)

因?yàn)镼M<Z平面A8。，AOu平面A/。，所以，QM〃平面4"。,

又因?yàn)镸N//DB,MNN平面ABD,Qu平面人乃。，所以，MN〃平面A^。，

因?yàn)镸NQM=M,MN、QMu平面MN。，所以，平面MNQ〃平面A/。,

SMNAP

易得公MNQSADBA，故若”

~DBAO

因?yàn)锳8=y)AB2+AA；=V102X2=1OJ5,

2

易知-AB。是邊長(zhǎng)為10&的等邊三角形，所以，5MfiD=^x(l0V2)xsin6O=50>/3,

因此，S.WNQ=MS0B/)=黑X50后=36#(cm2).

故答案為：36G.

變式6.(2023?江蘇泰州?高一泰州中學(xué)?？茧A段練習(xí))正方體ABCO-A4GR的棱長(zhǎng)是叫其中￡是以>中

點(diǎn)，廠是A4,中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)E，￡片的截面面積是.

117292

【答案】-----a~

48

【解析】在CG上取M使CM=；CCL連接ME并延長(zhǎng)與。。的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)G,連G尸交于N,連

接B】M,NE,

山正方體的性質(zhì)可知,則五邊形4MEN/即為過(guò)點(diǎn)￡凡4的截面，

由題可得CM=OG=1AF=1CG=-a,GE」GM、GN=LGF,

24423

在，8也產(chǎn)中，BXM=-a,BlF=-a,MF=-a,

424

由余弦定理得cos/Mg尸=2,所以sin/M與尸=3叵，

12525

所以平行四邊形B\MGF的面積為S=BiFxB.MsinNMBF=華/,

乂由GE=LGM、GN=、GF,

23

所以SGFN=lGExGNxsinNNGE="!-S，

所以截面的面枳為5區(qū)“麗=口5=業(yè)區(qū)/.

|248

故答案為：小竺/

48

變式7.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知直三棱柱ABC-44G的側(cè)楂長(zhǎng)為2,ABJ.BC,AB=BC=2,

過(guò)A8,8片的中點(diǎn)石，尸作平面。與平面AAC。垂直，則所得截面周長(zhǎng)為.

【答案】3&+指

【解析】如圖，

取AC的中點(diǎn)O,連接80,取A￡的中點(diǎn)R,連接用"，BD，

取A。的中點(diǎn)G,連接EG,連接E/L并延長(zhǎng)與A4交于〃，取GR的中點(diǎn)何，連接交3c于N,

連接尸N、GM.可得BDHB、D\,MNHB\D\,即有EG//MN,又AB=BC,可得8。J.AC,

因?yàn)榕?平面ABC,4Ou平面ABC,所以B力JL/V\,ACAA4,=>4,4cAAu平面4CGA,所以40工

平面AAGC,因?yàn)镋G//加，所以EG_L平面AAGC,EGu平面EGMF,由面面垂直的判定定理，可得平

面EGM/_L平面AACC，則平面EGMN尸即為平面a,由￡G=28O=變，GM=>74+2=>/6,

22

MN=LB°=與,NF=?，F(xiàn)E=6,可得所得截面周長(zhǎng)為也x2+#+夜X2=3JI+〃.

222

故答案為：3夜+瓜.

變式8.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）棱長(zhǎng)為1的正方體人8。。-486。中，點(diǎn)￡；為棱4。的中點(diǎn)，則過(guò)用，

E,。三點(diǎn)的平面截正方體的截面周長(zhǎng)為.

【答案】2石

【解析】

如圖，取4。的中點(diǎn)為尸，連接尸。，用廠，取的中點(diǎn)為G,連接/G/G,

在正方形4。。人中，因?yàn)槭分別為所在棱的中點(diǎn)，故/G〃AA，F(xiàn)G=AA1

而BB#AA\,BBX=A4，故FGHBB.,FG=BB.,

故四邊形FGBB］為平行四邊形，故FBJ/GB,FB=GB,

在正方形A8CO中，因?yàn)镋、G分別為所在棱的中點(diǎn)，散GD”BE,GD=BE,

故四邊形DG4石為平行四邊形，故DE//GB,DE=GB,

故FBJ/DE,FB1=DE,故四邊形尸8避短為平行四邊形，

故F,B「E,。四點(diǎn)共面，故過(guò)用，E,。三點(diǎn)的平面截正方體的截面為平行四邊形尸qE，

又DE=B1E=/^=亭，故截面的周長(zhǎng)為4x0=2石，

故答案為：.

變式9.（2023?四川瀘州?四川省瀘縣第二中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）如圖，在校長(zhǎng)為2的正方體ABC。-AMGA,

中,點(diǎn)石為C。的中點(diǎn)，則過(guò)點(diǎn)C且與垂直的平面。被正方體ABC。-AgGA截得的截面周長(zhǎng)為

【答案】26+忘/&+26

【解析】如圖，取A。中點(diǎn)尸，01中點(diǎn)G,連接CF,FG,CG,BE,B】E,設(shè)跖與C廠交于

點(diǎn)O,

因?yàn)閝E在平面ABCD內(nèi)的射影為BE,

由CO=BE,DF=CE,NBCE=NFDC=90°可得ABCE=^CFD,

所以/BEC=NDFC/EBC=ZFCD,

又因?yàn)镹ABE+Z.EBC=90°,NEBC+NBEC=90°,

所以ZABE=ZBEC=ZDFC,

在四邊形AW。中，/4+Z48E+N8O廠+NC￡4=360°,

其中ZABE+ZAFC=ZDFC+ZAFC=180°,ZA=90°,

所以N3Z）F=90。，即BELC/7,

所以C尸是截面內(nèi)的一條線，

同理CG,G/是截面內(nèi)的?條線，

所以過(guò)點(diǎn)C且與B盧垂直的平面a被正方體ABCD-^C.D,截得的截面為CFG,

因?yàn)檎襟wABC。-A耳的棱長(zhǎng)為2,

所以=>/4+T=?CG=V4+I=?FG=ViT7=五、

截面C/G的周長(zhǎng)為CF+CG+廣G=?+石+拉=2逐+0,

故答案為：26+夜

題型三：截面切割幾何體的體積問(wèn)題

例7.（2023?廣東廣州?高一統(tǒng)考期末）在棱長(zhǎng)為〃的正方體ABCD-ABCQ中，E,尸分別為棱BC,CG的

中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A,E,尸作一個(gè)截面，該截面將正方體分成兩個(gè)多面體，則體積較小的多面體的體積為.

【答案】a

24

【解析】如圖，依次連接AM七匕四邊形A上/〃即為所求截面，

因?yàn)辄c(diǎn)E、尸分別為棱8C、CG的中點(diǎn)，所以石尸〃。①，

可知A。。"”為三棱臺(tái)，所以%%=；9。=94.=3葭嗎4，

其體積VADD「ECF=（（SAA%+Js△人叫+S/iECF）XCD=g]++1~xa=,

\/

且正方體的體積為匕=4X4X4=",

則另一部分的體積為V=小…仆「匕?四=八黑=察，

因?yàn)?Z4>Z￡,所以體積較小的多面體的體積為4.

242424

例8.（2023?遼寧錦州?校考一模）在正四棱錐S-A8C。中，M為SC的中點(diǎn)，過(guò)AM作截面將該四棱錐分成

y

上、下兩部分，記上、下兩部分的體積分別為匕匕，則同的最大道是,

【答案】2

【解析】記正四棱錐S-A8C。的體積為V,年的最大值，由K-匕=丫為定值知，只需求匕的最小值,

設(shè)過(guò)AM的截面分別交S3和SD子E.F,平面SAC與平面SBD的交線為5。.5。與AM相交于G,如圖,

則SG喙。，令萊端=，則S汩他+S叫我+力聲,即有*/，

SFSE

匕=Vs-AFM+匕-AEM=^F-SAM+匕-SAW=*^D-SAM+'匕-SAM

11VV11VVXV

=3.3%-5^+匯3%-必＜?=7（x+y）=T（x+y）（T+T）=j（2+_+—）27,

22443%3y12xy4

2匕=0

當(dāng)且僅當(dāng)x=y=§時(shí)取等號(hào)，此時(shí)乂V；M—v

所以孑的最大值是2.

故答案為：2

例9.（2023?浙江?高二競(jìng)賽）在正四棱錐S-A88中，M在棱SC上且滿足SM=2MC.過(guò)AM作截面將此

四棱錐分成上，下兩部分，記上，下兩部分的體積分別為匕，匕，則關(guān)的最大值為.

【答案】|

0

【解析】設(shè)過(guò)AM的平面交SB,SD于G,P,

將平面MGAP延伸，交BCCD于E,F,則A,E,F共線.

s

,FCCECECE

乂---=----=----=---------，

FDDABCCE-BE

.BE2X.DPI（BE\l-3.r

而怎.匚^…萬(wàn)一九x~~CE）

由于G

U—S.Q^SC^^P-ASC）J（SGtSP

y

2sAscYB-ASC31sBSD

if,2-2x、if43-5x4、

313-5."3（555（3-5x）J

V85

>'-5XGp3->€TT5

故答案為：—.

o

變式10.（2023?上海?高二專題練習(xí)）如圖，正方體48CD-A8cA，中，瓦文分別是棱AB、BC的中點(diǎn),

過(guò)點(diǎn)A、瓦尸的截面將正方體分割成兩個(gè)部分,記這兩個(gè)部分的體積分別為匕匕，記乂＜匕，則乂：匕=

【答案】行

【解析】延長(zhǎng)石產(chǎn)交QC的延長(zhǎng)線與點(diǎn)連接。/交CG于點(diǎn)G,連接FG：

延長(zhǎng)莊:交D4的延長(zhǎng)線與點(diǎn)0，連接R。交AA于點(diǎn)〃，連接，E：

所以過(guò)2E,尸的截面為O”EFG,如下圖示：

設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2%

則過(guò)B￡尸的截面下方幾何體的體積為

1/屋nno1c/）△112々<■,112。253

K=-3八?。。一2?一3....?OA=---3。?2。?3〃一2-----a---a=—a,

13川"3皿323239

所以另一部分體積為K=8/_胃75夕3=47="，則K：K=7三S.

9947

故答案為：胃25

47

變式11.（2023?全國(guó)?高一專題練習(xí)）如圖所示，在長(zhǎng)方體48C。-A'8'CD中，用截面截下一個(gè)三楂錐

C-A"'。，則三棱錐C-AQ'力的體積與剩余部分的體積之比為.

D'

【答案】1:5

【解析】設(shè)"=〃，AD=btA4'=c,所以長(zhǎng)方體體枳匕se-”="A

三棱錐C-4D7）的體積

J32o

：,剩余部分的體積=匕&＞加力-匕-加=ahc-7=2abc

oo

???三棱錐C-AZ）'。的體積與剩余部分的體積之比為1:5.

故答案為：1:5.

變式12.（2023?貴州貴陽(yáng)?貴陽(yáng)六中校考一模）在三棱柱"C-A4G中，AAJ■底面ABC，

AB=BC=C4=；AA，點(diǎn)P是棱AA上的點(diǎn)，AP=2PAit若截面分這個(gè)棱柱為兩部分，則這兩部分

的體積比為.

【答案】】4或彳5

54

【解析】取AC的中點(diǎn)￡）,連接80，

因?yàn)锳4=BC,所以4O_LAC，

因?yàn)锳411底面ABC,E）u底面ABC,

所以e1BD,

又ACGA41=4,所以上平面A4CC，

不妨設(shè)A8=〃，則80=立a,AP=-AA.=~a,

233

“6、&、

匕BC-AMG=Q?X〃x-^-ax2a=3a，

v1（刎2小拒5拒3,

"甘一2一

故上面一部分的體枳為匕…用「叭叱=孚"，

18

45

所以兩部分的體積比為7?或J

54

變式13.（2023?廣東揭陽(yáng)?高一普寧市華僑中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，正方體ABCO-ABCQ中，瓦尸分別

是棱、C,D,的中點(diǎn)，則正方體被截面BEFC分成兩部分的體積之比匕：匕=.

【答案】3

【解析】設(shè)正方體ABC。-A瓦C.的棱長(zhǎng)為2”，體積為V,則

V=2cix2ax2a=，

因?yàn)槿抢?片的中點(diǎn)，所以E81二a,

V=S.....■xBC=—xEB,x/洱xBC=—xax2ax2a=2a',

42.2112

.?.VH=8/-2/=6a

故答案為：3

題型四：球與截面問(wèn)題

例10.（2023?湖南長(zhǎng)沙?高三長(zhǎng)沙一中?？茧A段練習(xí)）如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCQ-A4GA中，M,N

分別為棱AA,OA的中點(diǎn)，過(guò)MN作該正方體外接球的截面，所得截面的面積的最小值為（）

【答案】C

【解析】如圖,

正方體外接球的球心在其中心點(diǎn)0處，球的半徑R=1>/12+12+12=—，

22

要使過(guò)MN的平面截該球得到的截面面積最小，則截面圓的圓心為線段MV的中點(diǎn)Q,

連接OM,ON,則OM=ON=MN=也，

2

所以O(shè)Q=JoM2-（gMN）=當(dāng)，

此時(shí)截面圓的半徑r=JR2-O（>=乎,

此時(shí)，截面面枳的最小值s=+

O

故選：C.

例11.（2023?福建福州?福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在矩形A8CD中，AB=3,AD=4,將△A3。沿

對(duì)角線8。翻折至的位置，使得平面ABQJ_平面8C。，則在三棱錐A-8C。的外接球中，以AC為

直徑的截面到球心的距離為（）

A^/435D6x/2廠V239nVT13

1051010

【答案】B

【解析】如圖，取8。的中點(diǎn)為。，連接AO,C。，過(guò)A作A“工3。，垂足為“，連接C”.

因?yàn)槿切蝺?nèi)。4為直角三角形，故40=00=08,

同理CO=OD=O8,^CO=OD=OB=OAf,

所以。為三楂錐A-BCD的外接球的球心，而30=反正=5,

因?yàn)?〃23。，A'"u平面A'8D,平面A'8D_L平面C5D,

平面ABDH平面CBD=BD,故_L平面CBD,

而C”u平面CBO,故A'HLCH.

3x412

在直角三角形AM中，4"="。=4,故4〃=訴=亍

9一三2

故B”

255

4

在直角三角形。50中，cosZCBD=-,

J

144193337

故CH?=—+16-2x-x4x-=景故3---+---

25552525~25

設(shè)球心到以AC為直徑的截面的距離為d,

337=J625-337=12夜=6V2

4x25-10-10一丁

故選

例12.（2023?海南?高三校聯(lián)考期末）已知某球的體枳為該球的某截面圓的面積為3叫則球面上的點(diǎn)

到該截面圓圓心的最大距離為（）

A.1B.3C.2+百D.1

【答案】B

【解析】設(shè)截面圓的半徑為，球O的半徑為R球心到截面的距離為"，

則產(chǎn)+#=R?,

因?yàn)榍虻捏w積為等=手內(nèi)，

所以R=2,

因?yàn)榻孛鎴A的面積為3冗，

所以3n=Jtr2,故r=，

所以d=1,

所以球面上的點(diǎn)到該截面圓圓心的最大距離為d+R=3,

故最大距離為3.

故選:R.

變式14.（2023?江西南昌?江西師大附中校考三模）已知正方體八8C。-44GA的棱長(zhǎng)為2,E為棱C￡上

的一點(diǎn)，且滿足平面8D￡_L平面4〃。，則平面截四面體的外接球所得截面的面積為（）

A13「25-8、2

A.一式B.——C.—7TD.-7T

61233

【答案】A

【解析】在正方體—中，設(shè)平面平面ACG=OE,且AC；_L平面48。，

由平面平面A8。，可得人0〃。七，所以七是。&的中點(diǎn)，

__________3

又四面體ABCE的外接球的直徑為AE=ylAC2+CE2=3，可得半徑R=5，

設(shè)M是AE的中點(diǎn)即球心，球心M到平面A/O的距離為d,

又設(shè)AC與BD的交點(diǎn)為O，則cos乙410A==等，則sin/ROM=cosZ/\OA=等?

則d=OMsinZA,O;Vf=—=—，則橫面圓的半徑產(chǎn)=R2-d2=~~~=~=~

236412126

17

所以截面圓的面積為仃2=7九

故選：A.

Dy-------------71c

變式15.（2023?四川內(nèi)江?四川省內(nèi)江市第六中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）己知球。是正三棱錐A-BCD（底面是正

三角形，頂點(diǎn)在底面的射影為底面中心）的外接球，8c=6，=&，點(diǎn)E是線段8c的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)后

作球。的截面，則所得截面面積的最小值是（）

D,4

cI4

【答案】A

【解析】如圖:

A

C

。1是A在底面的射影，由正弦定理得，△8CO的外接圓半徑「=〃一x'=l.

sin602

由勾股定理得棱錐的高|AQ|=VT1=1設(shè)球。的半徑為R,

則R2=(1_R)2+1,解得R=l,

所以|OQ|=0.即01與O重合，

所以當(dāng)過(guò)點(diǎn)￡作球。的截面垂直于OE時(shí)'截面面積最小，

此時(shí)截面半徑為忸同=乎，截面面積為空.

故選：A.

變式16.(2023.福建廈門.廈門外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè))已知半徑為4的球O,被兩個(gè)平面截得圓。-。?，

記兩圓的公共弦為AB,且。02=2,若二面角A8-。2的大小為g兀，則四面體45002的體積的最大值

為()

484

A8C

-B.9-9-D.9-

【答案】C

【解析】設(shè)弦A3的中點(diǎn)為連接依題意，可得如下圖形,

由圓的性質(zhì)可知0\M1AB,02M1AB，則RMO2即為二面角的平面角,

2

故NaMa=§jr,

1I7

四面體ABO.的體積為V=—八〃S。=一人B??O、M-sin-n

3''63

^O.M02M,

2

其中0.0；—O1M+O2M2+QM.02M-4>3O,/W-O2M

=>0,M-O2M<p當(dāng)且僅當(dāng)?M=aM=孚時(shí)取等號(hào)，

由球的械面性質(zhì)，oojom，OO21O2M,

所以O(shè)，a，O”M四點(diǎn)共圓，則有外接圓直徑2R=°M=WZ=耳，

sin3兀

〃、而AD-2MB-2yJOB2-OM2-2^16-y-孚,

,,2夜八J八“2&480

V=------O,MO.M<-------x-=------.

31339

故選:C

變式17.（2023?全國(guó)?高三專題練習(xí)）已知球。和正四面體A-8C。，點(diǎn)艮C、。在球面上，底面8C。過(guò)球心

。，棱A&ACAO分別交球面于匹G、A，若球的半徑/?=6,則所得多面體4GA-3。。的體積為（）

A9&R9夜「23&13夜

?o.1L*?---------

8412~6~

【答案】D

【解析】設(shè)正四面體A-BC/）,棱長(zhǎng)為“，

如圖所示：

設(shè)外接球的球心為。，半徑為R=G，所以如R=|x』2—（y邛“S解得，=3,

由于4O_L8O,所以40=m2-（揚(yáng)2=卡,

在Rl^ABO中，過(guò)。作4B垂線?！?，由面積可得則0H=四絲=0,

22AB

利用勾股定埋：BH2+OH2=OB2^

即：8”2+（0丫=（石）2,.\8〃=],B'H=I,?.=B'O=>/3,

皿二姐」匕9二1

~AB~3'~AB~3""27

多面休勺”-RO的休枳為“5明力展。乎x9x“

4//IDTU

故選:D.

變式18.（2023?天津紅橋?統(tǒng)考二模）用與球心距離為I的平面去截球，所得的截面面積為兀，則球的體積

為（）

A4x/5R4夜

A.-----7tB.------九

33

「86n8近

C.；[D?------TI

33

【答案】D

【解析】設(shè)截面圓的半徑為〃，球的半徑為R,

由題意可知｛: