2025年大學(xué)《量子信息科學(xué)》專業(yè)題庫(kù)——量子計(jì)算機(jī)中的量子算法設(shè)計(jì)考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡(jiǎn)答題1.請(qǐng)簡(jiǎn)述量子算法與經(jīng)典算法在基本執(zhí)行模型上的主要區(qū)別。2.闡述Hadamard門和旋轉(zhuǎn)門在量子算法中的基本作用。3.什么是量子算法的BQP復(fù)雜類？它與經(jīng)典復(fù)雜類P有何關(guān)系？簡(jiǎn)述你的理解。4.Grover算法相比經(jīng)典搜索算法有何優(yōu)勢(shì)？其優(yōu)勢(shì)來(lái)源于何處？5.Shor算法能夠高效分解大整數(shù)，其核心思想是什么？它利用了量子計(jì)算的哪些特性？二、計(jì)算與分析題1.考慮一個(gè)應(yīng)用了Hadamard門和單個(gè)旋轉(zhuǎn)門（旋轉(zhuǎn)角度為π/4）的量子線路，作用于初始狀態(tài)|0?。請(qǐng)寫出該量子線路的酉矩陣表示，并計(jì)算其作用后的狀態(tài)向量。2.假設(shè)我們使用Grover算法在一個(gè)包含N=1000個(gè)元素的未排序數(shù)據(jù)庫(kù)中進(jìn)行搜索，目標(biāo)狀態(tài)為|↑?。請(qǐng)計(jì)算Grover算法找到目標(biāo)狀態(tài)的平均迭代次數(shù)，并與經(jīng)典暴力搜索所需次數(shù)進(jìn)行比較。3.分析變分量子算法（如QAOA）的基本框架，說(shuō)明其主要組成部分及其在優(yōu)化問(wèn)題求解中的作用。4.一個(gè)量子算法包含一個(gè)量子糾纏態(tài)的制備過(guò)程，隨后是一個(gè)包含10個(gè)CNOT門和5個(gè)單量子比特旋轉(zhuǎn)門的序列，最后進(jìn)行測(cè)量。請(qǐng)大致分析該量子線路可能面臨的哪些主要資源挑戰(zhàn)（如相干時(shí)間、門操作精度、退相干等）。三、設(shè)計(jì)題1.設(shè)計(jì)一個(gè)簡(jiǎn)單的量子算法，用于求解一個(gè)包含4個(gè)元素且至少有一個(gè)元素的集合X的真子集S，使得集合S中所有元素的和最大。要求描述算法的基本思路和關(guān)鍵步驟，無(wú)需詳細(xì)推導(dǎo)或給出完整酉矩陣。試卷答案一、簡(jiǎn)答題1.量子算法基于量子比特的疊加和糾纏特性，在量子態(tài)上并行執(zhí)行酉運(yùn)算，并通過(guò)測(cè)量獲得結(jié)果；經(jīng)典算法基于比特的0/1狀態(tài)，逐個(gè)比特串行或并行執(zhí)行布爾邏輯運(yùn)算。量子算法利用疊加可以實(shí)現(xiàn)并行性，利用糾纏可以實(shí)現(xiàn)遠(yuǎn)距離關(guān)聯(lián)，這是其與經(jīng)典算法的根本區(qū)別。2.Hadamard門通過(guò)將量子態(tài)|0?和|1?變換到等權(quán)重疊加態(tài)(1/√2)|0?+(1/√2)|1?，常用于初始化量子比特進(jìn)入疊加態(tài)或產(chǎn)生糾纏態(tài)。旋轉(zhuǎn)門通過(guò)繞特定軸旋轉(zhuǎn)量子態(tài)，實(shí)現(xiàn)對(duì)量子比特內(nèi)部角度（相位）的精確控制，是構(gòu)建量子算法的基本單元之一，可用于實(shí)現(xiàn)特定函數(shù)的量子模擬或算法步驟。3.BQP（Bounded-errorQuantumPolynomialtime）是指所有存在多項(xiàng)式時(shí)間運(yùn)行、且錯(cuò)誤概率可以被bounded控制的量子算法所組成的復(fù)雜類。P（Polynomialtime）是指所有存在多項(xiàng)式時(shí)間運(yùn)行、且錯(cuò)誤可以被忽略的經(jīng)典算法所組成的復(fù)雜類。理論上，BQP包含P，但尚未被證明；Shor算法分解質(zhì)因數(shù)和Grover算法搜索問(wèn)題被證明屬于BQP但不在P中，展示了量子計(jì)算的潛在優(yōu)勢(shì)。4.Grover算法相比經(jīng)典搜索算法的優(yōu)勢(shì)在于，對(duì)于N個(gè)元素的數(shù)據(jù)庫(kù)，其平均搜索復(fù)雜度為√N(yùn)次查詢，而經(jīng)典暴力搜索需要O(N)次查詢。其優(yōu)勢(shì)來(lái)源于量子疊加態(tài)的并行性和量子干涉效應(yīng)，能夠?qū)⒛繕?biāo)狀態(tài)從均勻疊加態(tài)中“篩選”出來(lái)。5.Shor算法的核心思想是利用量子傅里葉變換在模n算術(shù)中找到a與n的最大公約數(shù)（可能為1），從而實(shí)現(xiàn)分解。它利用了量子計(jì)算的并行性（通過(guò)量子傅里葉變換同時(shí)計(jì)算多個(gè)a的值）和模算術(shù)的特定性質(zhì)，將大整數(shù)分解問(wèn)題轉(zhuǎn)化為周期性問(wèn)題的尋找。二、計(jì)算與分析題1.Hadamard門矩陣H=(1/√2)[11;1-1]。單個(gè)旋轉(zhuǎn)門（繞X軸π/4）矩陣Rz(π/4)=exp(-i*π/4*Z)=(1/√2)[1i;i1]。作用在|0?=(1,0)T上的Hadamard門得到(1/√2)(1,1)T。再作用旋轉(zhuǎn)門，計(jì)算矩陣乘積Rz(π/4)*H|0?=(1/2)(1+i,1-i)T。狀態(tài)向量結(jié)果為(1/2)(1+i,1-i)T。2.Grover算法平均迭代次數(shù)約為π√N(yùn)/4。對(duì)于N=1000，平均迭代次數(shù)約為π√1000/4≈7.85*31.62/4≈62.3次。經(jīng)典暴力搜索需要1000次查詢。Grover算法將搜索復(fù)雜度從O(N)降低到O(√N(yùn))，效率提升明顯。3.變分量子算法（如QAOA）的基本框架包括：定義一個(gè)目標(biāo)哈密頓量（對(duì)應(yīng)優(yōu)化問(wèn)題的成本函數(shù)），選擇一個(gè)參數(shù)化量子線路（通常包含旋轉(zhuǎn)門和受控門），使用參數(shù)化的量子線路演化一個(gè)初始化的混合態(tài)，通過(guò)測(cè)量獲得期望值，然后使用優(yōu)化算法（如梯度下降）調(diào)整量子線路參數(shù)以最大化或最小化期望值，最終得到近似最優(yōu)解。其作用在于將量子計(jì)算與經(jīng)典優(yōu)化算法相結(jié)合，為解決組合優(yōu)化等問(wèn)題提供一種框架。4.該量子線路可能面臨的主要資源挑戰(zhàn)包括：制備糾纏態(tài)需要較長(zhǎng)的相干時(shí)間和高精度的量子門；10個(gè)CNOT門會(huì)產(chǎn)生較深的量子線路，增加錯(cuò)誤累積的風(fēng)險(xiǎn)；5個(gè)單量子比特旋轉(zhuǎn)門需要精確控制角度；相干時(shí)間限制了量子線路的深度，較深的線路意味著更長(zhǎng)的操作時(shí)間窗口，易受環(huán)境噪聲和退相干影響；多量子比特操作對(duì)量子比特的同步性和一致性要求高。三、設(shè)計(jì)題1.算法基本思路：利用量子搜索的優(yōu)勢(shì)，設(shè)計(jì)一個(gè)量子算法在所有真子集中找到和最大的子集。關(guān)鍵步驟可能包括：*將集合X的元素編碼到量子比特上（例如，使用量子態(tài)表示子集）。*構(gòu)建一個(gè)目標(biāo)函數(shù)的量子表示，使得量子態(tài)的幅度與對(duì)應(yīng)子集的和相關(guān)。*應(yīng)用類似Grover算法的量子搜索過(guò)程，通過(guò)量子