2025年大學(xué)《數(shù)理基礎(chǔ)科學(xué)》專業(yè)題庫——算法設(shè)計(jì)中的圖論方法考試時(shí)間：______分鐘總分：______分姓名：______一、簡述圖的鄰接矩陣和鄰接表兩種表示方法的優(yōu)缺點(diǎn)，并說明在哪些情況下選擇哪種表示方法可能更合適。二、給定一個(gè)有向圖G=(V,E)，其中V是頂點(diǎn)集合，E是邊集合。請分別用偽代碼描述深度優(yōu)先搜索（DFS）算法，并說明DFS算法的主要用途之一。三、解釋Dijkstra算法適用于求解單源最短路徑問題的前提條件。如果圖中存在負(fù)權(quán)邊，Dijkstra算法失效，請簡述Bellman-Ford算法如何解決負(fù)權(quán)邊問題，并說明其能夠處理的關(guān)鍵特性。四、Prim算法和Kruskal算法都是求解最小生成樹（MST）的算法。請分別描述這兩種算法的基本思想，并指出它們在處理邊集存儲(chǔ)方式（如按邊權(quán)排序的邊集vs.無序邊集）上的主要區(qū)別。五、設(shè)有一個(gè)有向無環(huán)圖（DAG）G=(V,E)，請描述拓?fù)渑判虻乃惴ㄋ枷?，并說明拓?fù)渑判虻膽?yīng)用場景。給出一個(gè)DAG的示例，并嘗試列出其所有可能的拓?fù)渑判蛐蛄校ㄈ舸嬖诙鄠€(gè)）。六、請簡述Ford-Fulkerson算法解決最大流問題的基本原理，包括關(guān)鍵概念（如流量、容量、殘圖、增廣路徑）。說明該算法屬于哪種策略的算法，并簡述其可能存在的問題。七、已知一個(gè)無向圖G=(V,E)，請描述如何使用圖論算法判斷該圖是否為二分圖。給出算法的基本步驟，并說明判斷依據(jù)。八、考慮一個(gè)問題：在一個(gè)網(wǎng)絡(luò)中，需要連接若干個(gè)節(jié)點(diǎn)，每個(gè)連接的成本不同。如果節(jié)點(diǎn)A和節(jié)點(diǎn)B之間存在直接的連接成本，且A與B不能通過其他節(jié)點(diǎn)直接或間接連接（即A和B必須直接連接），如何將所有節(jié)點(diǎn)以最低的總連接成本連接起來？請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)圖論模型，并說明可以應(yīng)用哪些圖論算法來求解該問題，簡述理由。九、對(duì)于Floyd-Warshall算法，分析其計(jì)算所有頂點(diǎn)對(duì)之間的最短路徑的時(shí)間復(fù)雜度。如果圖中頂點(diǎn)數(shù)量為n，請說明算法執(zhí)行過程中進(jìn)行了哪些核心計(jì)算步驟。十、假設(shè)你需要編寫一個(gè)程序，用于在一個(gè)社交網(wǎng)絡(luò)圖中查找兩個(gè)用戶之間是否存在連接路徑（不一定是shortestpath，只要存在即可）。請?jiān)O(shè)計(jì)一個(gè)算法來解決這個(gè)問題，描述你的思路，并說明你會(huì)選擇使用DFS、BFS還是其他方法，解釋選擇的原因。試卷答案一、鄰接矩陣表示方法優(yōu)點(diǎn)：方便進(jìn)行邊的存在性判斷（O(1)時(shí)間），方便進(jìn)行矩陣運(yùn)算（如路徑計(jì)數(shù)、最短路徑某些算法）。缺點(diǎn)：空間復(fù)雜度較高（O(n^2)），對(duì)于稀疏圖非常浪費(fèi)空間，不便于表示邊的權(quán)重以外的其他信息。鄰接表表示方法優(yōu)點(diǎn)：空間復(fù)雜度更優(yōu)，尤其適用于稀疏圖，便于表示邊的屬性（如權(quán)重、方向等）。缺點(diǎn)：判斷邊是否存在需要遍歷該頂點(diǎn)的鄰接鏈表（平均O(d)，d為出度），查找所有頂點(diǎn)的鄰接邊可能需要O(n)時(shí)間。選擇依據(jù)：當(dāng)圖是稠密圖（邊數(shù)接近頂點(diǎn)數(shù)的平方）時(shí)，鄰接矩陣更合適。當(dāng)圖是稀疏圖（邊數(shù)遠(yuǎn)小于頂點(diǎn)數(shù)的平方）時(shí)，鄰接表更合適。二、偽代碼：DFS(G,v,visited):visited[v]=trueforeachedge(v,u)inE:ifnotvisited[u]:DFS(G,u,visited)或使用棧的迭代方式：DFS_iterative(G,start_vertex):stack=newStack()visited=newarrayofsizeV,initializedtofalsestack.push(start_vertex)whilenotstack.isEmpty():v=stack.pop()ifnotvisited[v]:visited[v]=trueforeachedge(v,u)inE:ifnotvisited[u]:stack.push(u)DFS算法主要用途：遍歷圖的所有頂點(diǎn)和邊，可用于查找連通分量、判斷圖的連通性、拓?fù)渑判颍ㄔ贒AG中）、尋找路徑、判斷環(huán)等。三、Dijkstra算法前提條件：圖中邊權(quán)非負(fù)。Bellman-Ford算法解決負(fù)權(quán)邊問題：通過重復(fù)遍歷所有邊（E次），松弛所有邊上的頂點(diǎn)，可以處理包含負(fù)權(quán)邊但無負(fù)權(quán)回路的圖。關(guān)鍵特性：能夠處理負(fù)權(quán)邊，還能檢測圖中是否存在負(fù)權(quán)回路（如果迭代E+1次后仍有頂點(diǎn)距離被更新，則存在負(fù)權(quán)回路）。四、Prim算法思想：從任意頂點(diǎn)開始，每次選擇與當(dāng)前生成樹中頂點(diǎn)相連且邊權(quán)最小的頂點(diǎn)，并將其加入生成樹，直到包含所有頂點(diǎn)。屬于貪心算法，每次做出局部最優(yōu)選擇（連接最小邊）。Kruskal算法思想：將所有邊按權(quán)值從小到大排序，然后依次選取邊，只要該邊連接的頂點(diǎn)屬于不同的連通分量（即加入該邊不形成環(huán)），就將其加入生成樹。屬于貪心算法，每次做出局部最優(yōu)選擇（連接最小非環(huán)邊）。區(qū)別：Prim算法通常從某個(gè)頂點(diǎn)開始，構(gòu)建一個(gè)頂點(diǎn)集U，然后不斷將U外部的最小邊連接到U中。Kruskal算法則從空集開始，不斷將最小的邊連接到當(dāng)前森林（若干個(gè)連通分量）中，直到所有頂點(diǎn)都在同一個(gè)連通分量。五、拓?fù)渑判蛩枷耄涸贒AG中找到一個(gè)頂點(diǎn)，該頂點(diǎn)沒有入邊（或入度為0），將其加入拓?fù)渑判蛐蛄校缓髣h除該頂點(diǎn)及其所有出邊，并更新剩余頂點(diǎn)的入度。重復(fù)此過程，直到所有頂點(diǎn)都被處理。應(yīng)用場景：解決有向圖中的依賴關(guān)系問題，如課程安排、任務(wù)調(diào)度、編譯中的依賴分析等。示例DAG及序列：假設(shè)G=(V={A,B,C,D,E},E={AB,AC,BD,CE})?？赡艿耐?fù)渑判蛐蛄杏校篈->B->C->D->E,A->C->B->D->E,A->C->D->B->E等。（注意：序列不唯一）六、Ford-Fulkerson算法原理：使用增廣路徑來逐步增加從源點(diǎn)s到匯點(diǎn)t的流量。核心概念：流量（每條邊的當(dāng)前流量不超過其容量，源點(diǎn)凈流出量等于匯點(diǎn)凈流入量）、殘圖（表示剩余容量和可反向流動(dòng)的路徑）、增廣路徑（在殘圖中從s到t的路徑）。屬于貪心策略（每次選擇一條增廣路徑，盡可能增加流量，直到無增廣路徑）。問題：當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中存在容量非常小的邊時(shí)，可能需要多次沿著同一條路徑增廣，導(dǎo)致效率低下（時(shí)間復(fù)雜度可達(dá)O(VE^2)）。七、判斷二分圖方法：使用BFS或DFS進(jìn)行著色。從任意未訪問頂點(diǎn)出發(fā)，將其標(biāo)記為顏色1，然后將其所有鄰接頂點(diǎn)標(biāo)記為顏色2，繼續(xù)對(duì)未訪問的鄰接頂點(diǎn)進(jìn)行同樣的操作。如果在過程中發(fā)現(xiàn)一個(gè)頂點(diǎn)的鄰接頂點(diǎn)顏色與其相同，則圖不是二分圖。算法步驟：1.初始化所有頂點(diǎn)為未訪問。2.選擇任意頂點(diǎn)v，將其訪問標(biāo)記為顏色1。3.將v加入隊(duì)列。4.當(dāng)隊(duì)列非空：a.出隊(duì)頂點(diǎn)u。b.遍歷u的所有鄰接頂點(diǎn)w：i.如果w未訪問，標(biāo)記w為與u相反的顏色，將w加入隊(duì)列。ii.如果w已訪問且顏色與u相同，則圖不是二分圖。5.如果所有頂點(diǎn)都處理完畢且未發(fā)現(xiàn)沖突，則圖是二分圖。依據(jù)：二分圖可以將其頂點(diǎn)集分為兩個(gè)不相交的子集，使得每條邊的兩個(gè)端點(diǎn)分別屬于不同的子集。BFS/DFS著色過程正好體現(xiàn)了這種分治思想。八、圖論模型：將節(jié)點(diǎn)表示為圖的頂點(diǎn)V，直接連接的成本表示為邊E上的權(quán)重。問題轉(zhuǎn)化為在完全圖G=(V,V,E')中尋找一個(gè)邊集E'，使得：1.E'中的邊連接了所有頂點(diǎn)。2.對(duì)于任意u,v∈V，如果存在直接連接成本，則(u,v)∈E'。3.E'中不存在環(huán)。4.E'的總權(quán)重最小?？蓱?yīng)用的算法：該問題可以看作是尋找圖G=(V,E)的最小生成樹（MST），前提是該圖是連通的（題目描述暗示了是連通的，因?yàn)樾枰B接所有節(jié)點(diǎn)）。Prim算法或Kruskal算法都可以求解。理由：MST保證了使用所有頂點(diǎn)且權(quán)值最小，并且是邊數(shù)最少的生成樹，滿足不形成環(huán)且連接所有節(jié)點(diǎn)的條件。特別地，由于存在直接連接成本且不允許間接連接，該圖實(shí)際上是一個(gè)完全圖，其MST就是所有直接連接的成本之和。九、時(shí)間復(fù)雜度：O(n^3)。核心計(jì)算步驟：算法初始化dist[k][i]為無窮大（除了dist[k][k]=0），然后進(jìn)行n輪迭代（k從0到n-1）。在每一輪第i次迭代中，計(jì)算dist[k][i]=min(dist[k-1][i],dist[k-1][k]+dist[k][k])。這個(gè)過程實(shí)質(zhì)上是在更新從頂點(diǎn)k出發(fā)，經(jīng)過不超過k跳的路徑，能否找到比當(dāng)前記錄更短的路徑。每一輪有n次更新，每次更新涉及一次加法和一次比較，因此每輪復(fù)雜度O(n^2)，總復(fù)雜度為O(n*n^2)=O(n^3)。十、算法思路：利用BFS或DFS遍歷圖。選擇BFS的原因：BFS天然地按距離（跳數(shù)）順序探索頂點(diǎn)，第一次到達(dá)目標(biāo)頂點(diǎn)時(shí)，所經(jīng)過的路徑就是從起點(diǎn)到目標(biāo)點(diǎn)的最短（跳數(shù)最少）路徑。算法描述（BFS）：從起點(diǎn)s開始，初始化隊(duì)列Q，將s加入Q，標(biāo)記s為已訪問。當(dāng)Q非空時(shí)