3.5圓錐曲線的應(yīng)用【必備知識：自主閱讀】【問題導(dǎo)學(xué)】閱讀課本，思考問題一、天體運動的軌道由人類科學(xué)探索史可知，在相當(dāng)長一段時間內(nèi)，人們都認(rèn)為地球是宇宙的中心，而所有恒星和行星都圍繞地球旋轉(zhuǎn)。直到1543年，波蘭人哥白尼提出“日心說”才糾正了這一錯誤，但他和其他天文學(xué)家認(rèn)為行星運行的軌道是圓形的。德國人開普勒根據(jù)第谷（丹麥偉大的天文學(xué)家）觀測行星運動的大量數(shù)據(jù)提出：火星是沿著一條橢圓的軌道圍繞太陽運行，而太陽不是橢圓的中心，而是在橢圓的一個焦點上。開普勒將其研究發(fā)現(xiàn)總結(jié)為開普勒行星運動定律，這激發(fā)了人們更深入的思考，牛頓根據(jù)開普勒定律得出了萬有引力定律，人們按照萬有引力定律可以推出，太陽系的行星每時每刻都環(huán)繞太陽在橢圓軌道上運行，而某些天體的運行速度若增大到某種程度，它就會沿拋物線或雙曲線運行，如下圖【微思考】1我國載人航天飛船“神十四”于2022.6.5發(fā)射獲得圓滿成功。已知“神十四”飛船變軌前的運行軌道是一個以地心為焦點的橢圓，飛船近地點、遠(yuǎn)地點離地面的距離分別為200km，350km。設(shè)地球半徑為Rkm，則飛船軌道的離心率是(結(jié)果用R的式子表示).【關(guān)鍵能力：探究思考】二、光學(xué)性質(zhì)及其應(yīng)用1.橢圓的光學(xué)性質(zhì)：如左圖所示，從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，被橢圓反射后，必定經(jīng)過另一個焦點；如右圖所示，橢圓在點P處的切線為l，直線交直線于點Q，則平分，由角平分線性質(zhì)定理，.【微思考】2橢圓有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知橢圓C的長軸為，焦距為，若一條光線從橢圓的左焦點以垂直于長軸的方向發(fā)出，第一次回到左焦點所經(jīng)過的路程為，求橢圓C的離心率.2.雙曲線的光學(xué)性質(zhì)：如左圖所示，從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線，被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線交于另一個焦點；如右圖所示，雙曲線在點P處的切線l與直線相交于點Q，則平分，由角平分線性質(zhì)定理，【微思考】3雙曲線的光學(xué)性質(zhì)為:從雙曲線一個焦點發(fā)出的光，經(jīng)過反射后，反射光線的反向延長線都匯聚到雙曲線的另一個焦點上，若雙曲線E的焦點分別為F1、F2，經(jīng)過F3.拋物線的光學(xué)性質(zhì)：如左圖所示，從拋物線的焦點F發(fā)出的光線，被拋物線反射后，得到的是一系列的與拋物線對稱軸平行（或重合）的光線；如右圖所示，設(shè)拋物線在P處的切線l交對稱軸于點Q，上切線l交對稱軸于點M，則焦點F是的中點.【微思考】4拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由焦點射出的光線經(jīng)拋物線反射后平行于拋物線的對稱軸;反之，平行于拋物線對稱軸的入射光線經(jīng)拋物線反射后必經(jīng)過拋物線的焦點。已知拋物線y2=4x的焦點為F，一【發(fā)展素養(yǎng)：綜合表達(dá)】例1.如右圖所示，橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知曲線的左、右焦點分別為、，直線l與橢圓C相切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓的長軸交于點M，求|F1M|:|F2例2.雙曲線有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線，被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線交于另一個焦點.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，從發(fā)出的光線被雙曲線反射后，反射光線為，若雙曲線C在點P處的切線交x軸于點I，且，則的周長為______.【變式】已知點F是雙曲線的左焦點，過F且斜率為的直線與雙曲線的右支交于點P，雙曲線C在點P處的切線與x軸交于點M，若，則雙曲線C的離心率為_______.【學(xué)而時習(xí)之溫故而知新】A組1.開普勒發(fā)現(xiàn)了行星運動三大定律,其中開普勒第一定律又稱為軌道定律,即所有行星繞太陽運動的軌道都是橢圓,太陽處在橢圓的一個焦點上.記地球繞太陽運動的軌道為橢圓C,在地球繞太陽運動的過程中,若地球與太陽的最遠(yuǎn)距離與最近距離之比為λ,則C的離心率為()A.λ2-1λ2+12.如圖所示,沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線y2=2px(p>0)反射后,與x軸相交于點A(2,0),則p=.

B組3.如圖所示,一圓柱被與底面成θ0<θ<π2角的平面所截,其截口是一個橢圓,求這個橢圓的離心率。4.某市進行科技展覽,其中有一個展品的一個截面由一條拋物線C1和一個“開了孔”的橢圓C2構(gòu)成(小孔在橢圓的左上方).如圖,橢圓與拋物線均關(guān)于x軸對稱,且拋物線的頂點和橢圓的左頂點都在坐標(biāo)原點,F1,F2為橢圓C2的焦點,同時F1也為拋物線C1的焦點,其中橢圓的短軸長為23,在F2處放置一個光源,其中一條光線經(jīng)過橢圓兩次反射后再次回到F2經(jīng)過的路程為8.由F2處的光源照射的某些光線經(jīng)橢圓反射后穿過小孔,再由拋物線反射之后不會被橢圓擋住.(1)求拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程;(2)若由F2處的光源發(fā)出的一條光線經(jīng)由橢圓C2上的點P反射后穿過小孔,再經(jīng)拋物線上的點Q反射后剛好與橢圓相切,求此時的線段QF1的長;(3)在(2)的條件下,求線段PQ的長.【答案】【例1】如右圖所示，橢圓具有這樣的光學(xué)性質(zhì)：從橢圓的一個焦點發(fā)出的光線，經(jīng)橢圓反射后，反射光線經(jīng)過橢圓的另一個焦點.已知曲線的左、右焦點分別為、，直線l與橢圓C相切于點P，且，過點P且與直線l垂直的直線與橢圓的長軸交于點M，則（）A. B. C. D.【解析】如圖，由橢圓的定義，，又，所以，根據(jù)橢圓的光學(xué)性質(zhì)，是的平分線，所以.【答案】C【例2】雙曲線有光學(xué)性質(zhì)：從雙曲線一個焦點發(fā)出的光線，被雙曲線反射后，反射光線的反向延長線交于另一個焦點.已知雙曲線的左、右焦點分別為、，從發(fā)出的光線被雙曲線反射后，反射光線為，若雙曲線C在點P處的切線交x軸于點I，且，則的周長為______.【解析】如圖，由雙曲線的光學(xué)性質(zhì)可得是的平分線，所以，由題意，，，所以，從而，又由雙曲線定義，，所以，，從而的周長為.【答案】12【變式】已知點F是雙曲線的左焦點，過F且斜率為的直線與雙曲線的右支交于點P，雙曲線C在點P處的切線與x軸交于點M，若，則雙曲線C的離心率為_______.【解析】如圖，設(shè)雙曲線的右焦點為，根據(jù)雙曲線的光學(xué)性質(zhì)，應(yīng)為的平分線，由題意，直線的斜率為，所以，又，所以，故，從而，，所以雙曲線的離心率.1.C設(shè)橢圓C的焦距為2c,長軸長為2a,根據(jù)題意可得地球與太陽的最遠(yuǎn)距離為a+c,最近距離為a-c,則a+ca-c=λ,易知λ≠-1,解得c故選C.2.4∵沿直線y=-2發(fā)出的光線經(jīng)拋物線反射后的光線經(jīng)過拋物線的焦點,∴拋物線的焦點坐標(biāo)是(2,0),∴p=2×2=4.3.設(shè)圓柱的底面直徑為d,∵截面與底面成θ角,∴橢圓的短軸長2b=d,橢圓的長軸長2a=dcos根據(jù)c=a2-b2得,橢圓的半焦距c=dsinθ2cos4.7.解(1)設(shè)橢圓C2的長軸長為2a,短軸長為2b,焦距為2c,由題可知,2b=23,4a=8,則b=3,a=2,所以c=1.故拋物線C1的焦點F1(1,0),所以拋物線C1的標(biāo)準(zhǔn)方程為y2=4x.(2)由題可設(shè)Q(m,3),代入拋物線的方程可得m=34,即Q34,所以|QF1|=(3(3)由(2)可知直線QF1的斜率為kQF1=即tan∠QF1F2=-43,由∠QF1F2+∠PF1F2=π,得tan∠PF1F2=4