答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)答案第=page11頁(yè)，共=sectionpages22頁(yè)河北省衡水市高中聯(lián)考2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)檢一（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題學(xué)校:___________姓名：___________班級(jí)：___________考號(hào)：___________一、單選題1．設(shè)集合，則（

）A． B． C． D．2．若虛部大于0的復(fù)數(shù)滿足方程，則復(fù)數(shù)的共軛復(fù)數(shù)為A． B． C． D．3．如圖，在平行四邊形中，，為的中點(diǎn)，為上的一點(diǎn)，且，則實(shí)數(shù)的值為（

）A． B．C． D．4．在中，角A，B，C對(duì)應(yīng)的邊分別為a，b，c，若，，，則的面積為（

）A． B． C． D．5．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，拋物線的準(zhǔn)線l經(jīng)過，且l與雙曲線的一條漸近線交于點(diǎn)A，若，則雙曲線的方程為（

）A． B．C． D．6．函數(shù)的圖象如圖所示，圖中陰影部分的面積為，則（

）A． B． C． D．7．已知是定義在上的奇函數(shù)，當(dāng)、且時(shí)，都有成立，，則不等式的解集為（

）A． B．C． D．8．在四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，M為底面上的動(dòng)點(diǎn)，且M到PA與BC的距離相等．若，則（

）A． B．2 C． D．二、多選題9．下列說法中正確的是（

）A．對(duì)于獨(dú)立性檢驗(yàn)，的值越大，說明兩事件的相關(guān)程度越大B．以模型去擬合一組數(shù)據(jù)時(shí)，為了求出回歸方程，設(shè)，將其變換后得到線性方程，則的值分別是和0.3C．在具有線性相關(guān)關(guān)系的兩個(gè)變量的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)所得的回歸直線方程中，，則D．通過回歸直線及回歸系數(shù)，可以精確反映變量的取值和變化趨勢(shì)10．已知函數(shù)在處的切線方程為，則下列說法正確的有（

）A．B．在區(qū)間上的最大值和最小值之和為C．為的極小值點(diǎn)D．方程有兩個(gè)不同的根（e為自然對(duì)數(shù)的底）11．已知點(diǎn)為圓上兩動(dòng)點(diǎn)，且，點(diǎn)為直線:上動(dòng)點(diǎn)，則（

）A．以為直徑的圓與直線相離 B．的最大值為C．的最小值為8 D．的最小值為112三、填空題12．已知，則．13．過點(diǎn)作直線與拋物線相交于A，B兩點(diǎn)，若點(diǎn)P是線段AB的中點(diǎn)，則直線AB的斜率是．14．若二次函數(shù)的圖象與曲線：存在公切線，則實(shí)數(shù)的取值范圍是.四、解答題15．設(shè)的內(nèi)角、、的對(duì)邊分別為、、，已知．(1)求角的大??；(2)若，且，求邊上中線的長(zhǎng)．16．民航招飛是指普通高校飛行技術(shù)專業(yè)（本科）通過高考招收飛行學(xué)生，報(bào)名的學(xué)生需參與預(yù)選初檢?體檢鑒定?飛行職業(yè)心理學(xué)檢測(cè)?背景調(diào)查?高考選拔共5項(xiàng)流程，其中前4項(xiàng)流程選拔均通過，則被確認(rèn)為有效招飛申請(qǐng)，然后參加高考，由招飛院校擇優(yōu)錄取.據(jù)統(tǒng)計(jì)，某校高三在校學(xué)生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學(xué)生有民航招飛意向.(1)完成以下列聯(lián)表，并根據(jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，能否認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)？對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒有意向合計(jì)男生女生合計(jì)(2)若每名報(bào)名學(xué)生通過前3項(xiàng)流程的概率依次為，假設(shè)學(xué)生能否通過每項(xiàng)流程相互獨(dú)立，以這600名男生對(duì)民航招飛有意向的頻率作為甲地高三男生對(duì)民航招飛有意向的概率，以這400名女生對(duì)民航招飛有意向的頻率作為甲地高三女生對(duì)民航招飛有意向的概率.從甲地任選一名高三學(xué)生（男?女學(xué)生的比例為），求這名學(xué)生對(duì)民航招飛有意向且通過前3項(xiàng)流程的概率.附：.0.050.010.0013.8416.63510.82817．如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，，將沿著BD折起，連接AC，使得．(1)求證：平面平面；(2)若點(diǎn)M為棱CD的中點(diǎn)，求二面角的余弦值．18．已知函數(shù)．(1)求的最小值；(2)已知曲線在點(diǎn)處的切線分別交x軸和y軸于A、B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若，求面積的最小值；(3)證明：．19．已知橢圓（）的離心率為，且經(jīng)過點(diǎn).定義第n（）次操作為：經(jīng)過C上點(diǎn)作斜率為k的直線與C交于另一點(diǎn)，記關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)為，若與重合，則操作停止；否則一直繼續(xù)下去.(1)求C的方程；(2)若為C的左頂點(diǎn)，經(jīng)過3次操作后停止，求k的值；(3)若，是C在第一象限與A不重合的一點(diǎn)，證明：的面積為定值.《河北省衡水市高中聯(lián)考2025-2026學(xué)年高三上學(xué)期質(zhì)檢一（開學(xué)考試）數(shù)學(xué)試題》參考答案題號(hào)12345678910答案BBBDDDBCABCBC題號(hào)11答案ACD1．B【分析】解二次不等式求得，進(jìn)而求得.【詳解】由解得，因?yàn)?，，所?故選：B2．B【詳解】由題可知：，故，所以共軛復(fù)數(shù)為故選B3．B【分析】根據(jù)已知條件利用向量的加法法則用表示，再利用平面向量基本定理結(jié)合條件列出方程組，求解即可.【詳解】，為的中點(diǎn)，，，三點(diǎn)共線，設(shè)，又，，解得.故選：B.4．D【分析】根據(jù)給定條件，利用正弦定理、三角形面積公式，結(jié)合和角的正弦求解.【詳解】在中，，由正弦定理得，解得，，所以的面積為.故選：D5．D【分析】由已知可得出的值，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，分析可得，由此可得出關(guān)于、、的方程組，解出這三個(gè)量的值，即可得出雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，則，則、，不妨設(shè)點(diǎn)為第二象限內(nèi)的點(diǎn)，聯(lián)立，可得，即點(diǎn)，因?yàn)榍?，則為等腰直角三角形，且，即，可得，所以，，解得，因此，雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.故選：D.6．D【分析】根據(jù)陰影部分面積列方程，求得，從而求得，再根據(jù)圖象上的特殊點(diǎn)求得正確答案．【詳解】設(shè)的最小正周期為，則，所以，所以，由圖可知，所以．故選：D.7．B【分析】對(duì)進(jìn)行變形，得出函數(shù)的單調(diào)性，再利用函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性解不等式.【詳解】由可得，設(shè)函數(shù)，，則在上單調(diào)遞增，又因?yàn)闉槎x在上的奇函數(shù)，，所以為偶函數(shù)，在上單調(diào)遞減，而不等式，又因?yàn)?，所以，所以不等式的解集?故選：B8．C【分析】根據(jù)拋物線的定義可得的軌跡方程為，即可根據(jù)兩點(diǎn)距離公式求解點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可求解.【詳解】由于平面，則到直線的距離即為的長(zhǎng)度，在平面中，到直線的距離與的距離相等，以為軸，以的垂直平分線為軸，建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則的軌跡方程為，設(shè)，,則，解得，則，故選：C9．ABC【解析】根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)、非線性回歸方程以及回歸直線方程相關(guān)知識(shí)進(jìn)行判斷.【詳解】對(duì)于，根據(jù)獨(dú)立性檢驗(yàn)的性質(zhì)知，的值越大，說明兩個(gè)事件的相關(guān)程度越大，故A正確；對(duì)于，由，兩邊取自然對(duì)數(shù)，可得，，則，因?yàn)?，所以則故B正確；對(duì)于，由于回歸直線過點(diǎn)，故C正確；對(duì)于，通過回歸直線及回歸系數(shù)，可預(yù)測(cè)變量的取值和變化趨勢(shì)，故D錯(cuò)誤.故選：ABC.10．BC【分析】對(duì)于A：根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義列式求解即可；對(duì)于BC：求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)求極值點(diǎn)和最值，進(jìn)而分析判斷；對(duì)于D：整理可得，構(gòu)建函數(shù)，結(jié)合函數(shù)單調(diào)性分析函數(shù)零點(diǎn)，即可判斷.【詳解】對(duì)于選項(xiàng)A：由題意可知：函數(shù)的定義域?yàn)椋?，則，解得，所以，故A錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：因?yàn)?，，令，解得；令，解得；可知在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，則為的極小值點(diǎn)，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，可知的最小值，且，即的最大值，所以在區(qū)間上的最大值和最小值之和為，故B正確；對(duì)于選項(xiàng)D：令，整理可得，令，因?yàn)楹瘮?shù)與在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，則在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增，且，所以有且僅有一個(gè)零點(diǎn)，即方程有一個(gè)解，故D錯(cuò)誤.故選：BC．11．ACD【分析】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，求出點(diǎn)到直線的距離的最小值進(jìn)行判斷，對(duì)于B，舉例判斷，對(duì)于CD，利用向量的數(shù)量積運(yùn)算結(jié)合圖形分析判斷即可.【詳解】對(duì)于A，設(shè)的中點(diǎn)為，連接，則，所以，所以點(diǎn)在以為圓心，為半徑的圓上，所以點(diǎn)到直線的距離的最小值為，因?yàn)?，所以以為直徑的圓與直線相離，所以A正確，對(duì)于B，如圖，當(dāng)直線與直線平行，且共線時(shí)，則為等腰三角形，此時(shí)，則，所以，所以，所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，因?yàn)?所以,因?yàn)椋?，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為8，所以C正確，對(duì)于D，因?yàn)?，所以，所以，?dāng)，共線，且在之間時(shí)取等號(hào)，所以的最小值為112，所以D正確，故選：ACD【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與圓的位置關(guān)系，考查向量的數(shù)量積的運(yùn)算，解題的關(guān)鍵是畫出圖形，結(jié)合圖形分析判斷，考查數(shù)形結(jié)合的思想和計(jì)算能力，屬于較難題.12．【分析】分別求出與展開式中的系數(shù)，再求和即可.【詳解】因?yàn)闉檎归_式中的系數(shù)，展開式中的系數(shù)為，展開式中的系數(shù)，所以．故答案為：.13．【分析】設(shè)，當(dāng)若直線的斜率存在，，將點(diǎn)代入拋物線方程后作差，將點(diǎn)代入可得直線的斜率，再檢驗(yàn)所得結(jié)果，再補(bǔ)充考慮斜率不存在的情況，最后可得結(jié)論.【詳解】設(shè)，若直線的斜率存在，則，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，，∴，，兩式作差可得，即，又，，直線的方程是，即，聯(lián)立，可得，方程的判別式，所以方程有兩個(gè)根，故方程組有兩組解，滿足條件，若直線的斜率不存在，則直線方程為，此時(shí)線段AB的中點(diǎn)為矛盾，故答案為：.14．【分析】設(shè)公切線與、的切點(diǎn)坐標(biāo)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義，斜率公式化簡(jiǎn)，分理出后構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性，求出最值即可求解.【詳解】由可得，由可得，設(shè)公切線與的圖象相切于點(diǎn)，與的圖象相切于點(diǎn)，所以，即，可得或，因?yàn)?，，則，，即，，，令，可得，由可得；由可得，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是，故答案為：.15．(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理結(jié)合兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)得出的值，結(jié)合角的取值范圍可得出角的值；（2）利用正弦定理可得出的值，利用余弦定理得出的值，利用中線向量可得出，利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可求出的值，即為所求.【詳解】（1）在中，由及正弦定理得，即，因?yàn)椤?，則，即，可得，故.（2）由正弦定理可得，所以，在中，由余弦定理可得，所以，，因?yàn)闉檫吷系闹芯€，所以，所以，故，因此，邊上的中線的長(zhǎng)為.16．(1)表格見解析，有關(guān)(2)【分析】（1）根據(jù)題意中的數(shù)據(jù)分析，完成列聯(lián)表，利用卡方的計(jì)算公式求出，結(jié)合獨(dú)立性檢驗(yàn)的思想即可下結(jié)論；（2）先求出通過前3項(xiàng)流程的概率，再分別求出男、女生對(duì)招飛有意向的概率，結(jié)合全概率公式計(jì)算即可求解.【詳解】（1）高三在校學(xué)生有1000人，其中男生600人，女生400人，各有100名學(xué)生有民航招飛意向.所以高三男生對(duì)招飛有意向的有100人，沒有意向的有500人，高三女生對(duì)招飛有意向的有100人，沒有意向的有300人，則列聯(lián)表如下：對(duì)民航招飛有意向?qū)γ窈秸酗w沒有意向合計(jì)男生100500600女生100300400合計(jì)2008001000零假設(shè)為：該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別無關(guān)聯(lián)，因?yàn)?，所以根?jù)小概率值的獨(dú)立性檢驗(yàn)，推斷不成立，即認(rèn)為該校高三學(xué)生是否有民航招飛意向與學(xué)生性別有關(guān)；（2）因?yàn)槊棵麍?bào)名學(xué)生通過前3項(xiàng)流程的概率依次為，所以每名報(bào)名學(xué)生通過前3項(xiàng)流程的概率為，依題意得甲地高三男生對(duì)招飛有意向的概率為，甲地高三女生對(duì)招飛有意向的概率為，由全概率公式得所求概率為.17．(1)證明過程見解析(2)【分析】（1）線段的中點(diǎn)，求證平面，即可以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出平面和平面的法向量，再利用法向量的數(shù)量積為即可證得；（2）計(jì)算平面的法向量，平面的法向量，再計(jì)算即可.【詳解】（1）證明：取線段的中點(diǎn)，連接，因四邊形為菱形，且，則和均為等邊三角形，則，又平面，則平面，以為原點(diǎn)，所在直線為軸，在平面內(nèi)作，以所在直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，設(shè)，則，得，即，則，設(shè)平面的法向量為，平面的法向量為，則，，令，則，，則，則平面平面.（2）解：點(diǎn)M為棱CD的中點(diǎn)，則，則，設(shè)平面的法向量為，則，令，則，又平面的法向量為，則，由圖可知二面角的平面角為銳角，所以二面角的余弦值為.18．(1)(2)．(3)證明見解析【分析】（1）代入得到，利用基本不等式即可求得最小值；（2）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求在點(diǎn)處的切線方程，求出與x軸和y軸的交點(diǎn)，得到，令對(duì)其求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)分析單調(diào)性可求最小值；（3），所以只需證，代入構(gòu)造新的函數(shù)，求導(dǎo)可證，由此可證.【詳解】（1）因?yàn)?，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立，所以的最小值是．（2），所以，所以曲線在處的切線方程為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以．令，則，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以，所以的最小值為．（3）因?yàn)?，所以只需證，因?yàn)?，令，則，因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞減，所以，所以，所以，所以．19．(1)；(2)；(3)證明見解析.【分析】（1）由離心率、橢圓所過的點(diǎn)列方程求參數(shù)，即可得橢圓方程；（2）設(shè)，則直線的方程為，聯(lián)立橢圓方程消去y，結(jié)合求得，根據(jù)題設(shè)定義，利用對(duì)稱性有得到方程，即可求參數(shù)值；（3）由（2）易得與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，結(jié)合橢圓對(duì)稱性有與關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，與重合，進(jìn)而有是以4為周期的周期點(diǎn)列，得的面積等于的面積，再應(yīng)用點(diǎn)線距離公式、三角形面積公式求面積.【詳解】（1）由題設(shè)有，解得，所以