學(xué)年度（上）階段性考試（一）高級數(shù)學(xué)注意事項：本試卷滿分分，考試時間分鐘.作答時，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷及草稿紙上無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合要求的.1.已知集合，則集合的真子集個數(shù)為（）A.7B.8C.15D.16【答案】A【解析】【分析】根據(jù)集合子集個數(shù)的計算公式即可得.【詳解】集合有3個元素，故集合的真子集個數(shù)為.故選：A.2.已知命題，則是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為特稱量詞命題判斷即可.【詳解】命題為全稱量詞命題，則是：.故選：B3.下列四組函數(shù)中，表示相同函數(shù)的一組是（）A.，B.，C.，D.，【答案】C第1頁/共15頁【解析】【分析】根據(jù)相同函數(shù)的概念逐項判斷即可.【詳解】對于A，，A錯誤；對于B，的定義域為R，的定義域為，B錯誤；對于C，和定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，C正確；對于D，由，解得，故的定義域為，由，解得或，的定義域為，定義域不一致，D錯誤.故選：C4.已知函數(shù)，則（）A.8B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求，再求得解.【詳解】因為，所以.故選：B.5.已知，，則下列結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)一一判斷即可.【詳解】對于A：因為，，所以，故A正確；對于B：因為，，則，所以，故B正確；對于C：當(dāng)時，因為，所以，當(dāng)時，第2頁/共15頁當(dāng)時，，因為，所以，所以，綜上可得，故C正確；對于D：當(dāng)時，因，所以，所以，當(dāng)時，當(dāng)時，，因為，所以，所以，所以，綜上可得，故D錯誤；故選：D6.已知函數(shù)的定義域為，則函數(shù)的定義域為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)抽象函數(shù)和具體函數(shù)定義域求法，列不等式求解可得.【詳解】因為函數(shù)的定義域為，所以，解得，根據(jù)解析式有意義可知，即，綜上，.所以函數(shù)的定義域為.故選：A．7.要建造一個容積為9立方米，深為1米的長方體無蓋水池．若水池的底每平方米的造價為100元，水池第3頁/共15頁的壁每平方米的造價為90元，則該水池的總造價（底的造價與壁的造價之和）的最小值為（）A.2100元B.1980元C.1870元D.1760元【答案】B【解析】式求最小值，注意取值條件.【詳解】設(shè)水池底部長寬分別為米，則，所以水池總造價為，當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故總造價最小值為元.故選：B8.，，若，則以下結(jié)論錯誤的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再由交集的結(jié)果，可知方程有兩個實數(shù)根，，且，結(jié)合韋達(dá)定理計算可得.【詳解】由得，解得，所以，因為，，所以方程有兩個實數(shù)根，，且，所以，故D正確；又，所以，故A正確，B錯誤；，故C正確.故選：B36分在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分.第4頁/共15頁9.若，則下列不等式恒成立的是（）A.B.C.D.【答案】AB【解析】【分析】采用作差法可知AB正確；通過反例可說明CD錯誤.【詳解】對于A，，，，，，故A正確；對于B，，，，，，故B正確；對于C，當(dāng)時，，故C錯誤；對于D，若，則，，故D錯誤.故選：AB.10.關(guān)于x的不等式的解集可能是（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】先因式分解，得出方程可能存在的根，再對a進(jìn)行分類討論，最后得到不等式的可能解集.【詳解】因為，所以，當(dāng)a＞0時，，不等式解集為；當(dāng)a＝0時，，不等式解集為；當(dāng)a＜0時，，若，解集為；第5頁/共15頁若，解集為．故選：BCD已知，關(guān)于的不等式的解集為，則下列結(jié)論正確的是（）A.B.的最大值為C.的最小值為4D.的最小值為【答案】ABC【解析】和為關(guān)于的方程的兩根且理得到，即可得到，從而判斷A；再利用基本不等式判斷B、C、D.【詳解】因為關(guān)于的不等式的解集為，所以和為關(guān)于的方程的兩根且，所以，所以，所以，故A正確；又，所以，解得，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最大值為，故B正確；，第6頁/共15頁因為，所以，所以，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取等號，所以的最小值為，故D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共分請把答案填涂在答題卡的相應(yīng)位置上.12.有ABC三個城市，至少去過其中一個城市的有18ABC三個城市的分別有98人，人，同時去過A、B的有5人，同時去過B、C的有3人，同時去過A、C的有4人，則同時去過A、B、C三個城市的有________人．【答案】2【解析】【分析】若同時去過有人，根據(jù)已知及容斥原理列方程求解即可.【詳解】若同時去過的有人，則，可得.故答案為：213.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則不等式的解集為________．【答案】【解析】的解集為得到，且的性質(zhì)即可求解.【詳解】由題意得的兩個根為，，且，第7頁/共15頁則，即，即，解得，則不等式的解集為.故答案為：.14.當(dāng)時，關(guān)于x的不等式有解，則的取值范圍是______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)已知不等式有解得出有解，再應(yīng)用基本不等式得出參數(shù)范圍即可.【詳解】當(dāng)時，關(guān)于x的不等式有解，所以有解，所以，，當(dāng)且僅當(dāng)時取最小值6，則的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共5小題，共分解答須寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15.已知集合.（1）若集合，且，求實數(shù)a的值；（2）若集合，且，求實數(shù)a的值.【答案】（1）1；（2）.第8頁/共15頁【解析】1）根據(jù)集合相等的概念，分別討論解出實數(shù)的值即可；（2）按和進(jìn)行分類討論并由集合間的包含關(guān)系，即可得出實數(shù)的取值范圍.【小問1詳解】因為，所以或，解得.【小問2詳解】因為，所以，①當(dāng)時，成立；②當(dāng)時，，所以或2，解得或1，綜上，實數(shù)的值為.16.已知集合，集合.（1）若，求實數(shù)m的取值范圍;（2）若，，p是q的充分不必要條件，求實數(shù)m的取值范圍【答案】（1）（2）【解析】1）討論，兩種情況，結(jié)合交集運算的結(jié)果得出實數(shù)的取值范圍；（2）由p是q成立的充分不必要條件，得出是的真子集，再由包含關(guān)系得出實數(shù)的取值范圍．【小問1詳解】由，得①若，即時，，符合題意；②若，即時，需或，解得．綜上，實數(shù)的取值范圍為．【小問2詳解】第9頁/共15頁p是q的充分不必要條件，∴，∴是的真子集．則不同時取等號，解得．實數(shù)的取值范圍為．17.2024年8月12日，為期16天的巴黎奧運會落下帷幕，回顧這一屆奧運會，中國元素在這里隨處可見..的吉祥物產(chǎn)自中國.據(jù)調(diào)查，國內(nèi)某公司出售一款巴黎奧運會吉祥物，需要固定投入300萬元費用.假設(shè)購進(jìn)該款產(chǎn)品全部售出.若以80元的單價出售，可售出15萬件，且每降價1元，銷量增加五千件.若購進(jìn)該產(chǎn)品數(shù)量不超過30萬件，則經(jīng)銷商按照每件30元成本收費；若購進(jìn)30萬件以上，則直接與玩具公司合作，以全新方式進(jìn)行銷售，此時利潤（萬元）與銷量（萬件）的關(guān)系為.（1）當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是多少？（2）寫出利潤萬元關(guān)于購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量（萬件）的函數(shù)解析式？（利潤銷售收入成本）（3）購進(jìn)并銷售產(chǎn)品多少萬件時，利潤最大？此時利潤是多少？【答案】（1）200（2）（3）當(dāng)（萬件）時，利潤最大，此時利潤是910（萬元）【解析】1）根據(jù)題意和已知條件代入求解即可；（2）對進(jìn)行分類討論寫出的解析式；（3）對分類討論寫出各段函數(shù)的最大值進(jìn)行比較.【小問1詳解】第10頁/共15頁所以當(dāng)購進(jìn)產(chǎn)品數(shù)量為10萬件時，利潤是200萬元.【小問2詳解】當(dāng)時，，當(dāng)時，不妨設(shè)降價元，購進(jìn)產(chǎn)品全部售出，則，得到，所以，當(dāng)時，，所以【小問3詳解】由（2）知，當(dāng)時，，當(dāng)450當(dāng)時，，當(dāng)500當(dāng)時，，當(dāng)且僅當(dāng)，即，當(dāng)910因為，所以當(dāng)（萬件）時，利潤最大，此時利潤是910（萬元）.18.已知是二次函數(shù)，滿足且滿足條件.（1）求的解析式；（2）若不等式對一切實數(shù)x恒成立，求a的取值范圍；第11頁/共15頁（3）解關(guān)于x的不等式：.【答案】（1）（2）（3）答案見解析【解析】1）由題意設(shè)，由得，再由列式解得，即可得；（2）依題意對于恒成立，對二次項系數(shù)為零與否分類討論，分別求出參數(shù)的取值范圍最后取并集即可；（3）將代入按與和的大小關(guān)系分類討論求解含參不等式即可.【小問1詳解】設(shè)，由得，，故，因為，所以，即，所以，，所以.【小問2詳解】對一切實數(shù)x恒成立，即恒成立①當(dāng)時，恒成立；②當(dāng)時，，解得，綜上的取值范圍為.第12頁/共15頁【小問3詳解】，即，即，①當(dāng)時，此時，解集為；②當(dāng)時，不等式可化為，解集為；③當(dāng)時，此時，解集為或；④當(dāng)時，不等式化為，解集為；⑤當(dāng)時，此時，解集為或.綜上所述，當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或；當(dāng)時，原不等式的解集為；當(dāng)時，原不等式的解集為或..19.設(shè)集合，其中，正整數(shù)．若對任意，與至少有一個屬于，則稱具有性質(zhì)．（1）分別判斷集合與是否具有性質(zhì)，并說明理由；（2）當(dāng)時，若具有性質(zhì)，且，求集合；（3）記，若具有性質(zhì)，求的值.【答案】（1）集合具有性質(zhì)，集合不具有性質(zhì)，理由見解析．（2）第13頁/共15頁（3）【解析】1）利用給定定義證明即可.（2）利用給定條件結(jié)合集合的互異性求解即可.（3）由及可得，，，，，利用