第十二章分式和分式方程12.1分式第1課時

一、教材分析在冀教版八年級數(shù)學教材中，分式是數(shù)與代數(shù)領域的重要內容.從知識體系看，它是在學生學習了整式運算和因式分解后的自然延伸，是代數(shù)式知識的進一步拓展.分式與分數(shù)在形式和運算規(guī)則上有諸多相似性，通過類比分數(shù)學習分式，能加深學生對數(shù)學知識內在聯(lián)系的理解.同時，分式也是后續(xù)學習函數(shù)、方程等知識的重要基礎，其運算能力和對概念的理解，對解決更復雜數(shù)學問題至關重要.教材從實際問題引入分式概念，讓學生通過對具體情境中數(shù)量關系的分析，抽象出分式的形式，理解分式產(chǎn)生的必要性.在基本性質部分，通過與分數(shù)基本性質類比，引導學生探究得出分式的基本性質，體會類比的數(shù)學學習思想方法.

二、學情分析學生在小學階段已熟練掌握分數(shù)的相關知識，包括分數(shù)的基本性質、四則運算等，這為學習分式提供了良好的認知基礎，他們能通過類比分數(shù)，初步理解分式的一些概念和運算規(guī)則.八年級學生的邏輯思維能力正在逐步發(fā)展，具備一定的自主探究和合作學習能力，但個體差異較大，部分學習能力較強的學生能夠快速理解分式的抽象概念，通過自主探索和練習掌握運算技巧；而部分學習能力較弱的學生在理解分式概念時可能會遇到困難，對運算規(guī)則的應用也不夠熟練，尤其在解決綜合性問題時，難以靈活運用所學知識.此外，學生在數(shù)學語言表達和邏輯推理方面還有待提高，在課堂討論和回答問題時，可能無法準確表達自己的思路和想法.

三、學習目標1.了解分式的概念，分式有意義的條件，利用分式值為零求解未知數(shù).2.類比分數(shù)的學習，形成分式的概念并探索分式有意義的條件，從具體到抽象，從特殊到一般，體會類比的數(shù)學學習思想方法.3.掌握分式的基本性質，會運用分式的基本性質進行變形.4.通過具體問題的解決，從具體情境中抽象出數(shù)量關系和變化規(guī)律，進一步培養(yǎng)符號感.

四、教學重難點重點：了解分式的概念，分式有意義的條件，利用分式值為零求解未知數(shù).難點：掌握分式的基本性質，會運用分式的基本性質進行變形.

五、教學過程本章引入前面我們學習了整式及其相關運算，現(xiàn)實生活中，我們經(jīng)常遇到下列問題：小明跑1000m用時ts，他的平均速度一項工程，甲隊m天完成，平均每天為多少?完成的工作量是多少?為解決此類問題，有必要引入分式.在本章中，我們將類比分數(shù)、整式方程的學習過程，學習分式和最簡分式的概念、分式的基本性質、分式的約分和通分、分式的有關運算、分式方程的有關概念及解法，并用分式方程解決一些簡單的實際問題.師生活動：教師通過生活中的實際問題，引入本章要學習的內容.設計意圖：學生帶著目的去學習,避免走彎路，提高學習效率.情境導入思考：一項工程，甲施工隊5天可以完成.甲施工隊每天完成的工程量是多少？答：15思考：a(a<5)天完成的工程量是多少？答：a5思考：如果乙施工隊b天可以完成這項工程，那么乙施工隊每天完成的工程量是多少？答：1b思考：c(c<b)天完成的工程量是多少？答：cb思考：已知甲、乙兩地之間的路程為mkm.如果A車的速度為nkm/h，B車比A車每小時多行20km，那么從甲地到乙地，A車所用的時間為多少？答：mn思考：B車所用的時間為多少？答：mn+20思考：像15我們一起來探究吧！師生活動：教師提出問題，引發(fā)學生思考并列出相關代數(shù)式.設計意圖：通過提問的方式引導學生列出相關代數(shù)式，為新知識的學習做好鋪墊，同時，讓學生感受到即將學習的新課在解決實際問題中的應用價值，提高了學生的學習興趣和應用意識.探究新知活動一：探究分式的定義觀察剛剛得到的代數(shù)式，15將這些代數(shù)式按“分母”含與不含字母來分類，可分成怎樣的兩類?分母不含字母：15分母含字母：1b師生活動：教師提出問題，學生通過觀察各代數(shù)式的特點先獨立思考，再小組交流，并認真作答.師小結：一般地，我們把形如AB的代數(shù)式叫作分式(fraction).其中，A，B都是整式，且B含有字母.A叫作分式的分子，B叫作分式的分母特別提醒：分式的三要素：(1)形如AB的代數(shù)式；(2)A，B都為整式；(3)分母B含有字母.設計意圖：引導學生通過觀察、討論、歸納,得出分式的特點，培養(yǎng)學生的觀察能力和歸納能力;通過對問題的討論,充分發(fā)揮學生的小組合作精神,培養(yǎng)學生思維的嚴密性.活動二：探究分式有意義及分式值為零的條件思考：回顧分數(shù)有意義的條件，想一想分式在滿足什么條件下具有意義？分數(shù)有意義的條件：分母不為零.教師提出問題：對于AB學生思考后作答：分式有意義的條件：分母(B)不為零，即B≠0.師強調：注意：分式是否有意義，只與分式的分母是否為0有關，而與分式的分子是否為0無關.思考：分式在滿足分母不為零的條件下具有意義，那么分式在什么條件下取值為零呢？師生活動：學生繼續(xù)類比分數(shù)的知識進行思考，師生共同歸納：分式有意義的條件：分母(B)不為零，即B≠0分式為零的條件：分子(A)為零，分母(B)不為零，即A=0，B≠0.師強調：注意：分式的值是在分式有意義的前提下才考慮的.所以分式AB的值為0的條件：A=0且B≠0設計意圖：通過回顧分數(shù)的相關知識，讓學生類比得出分式有意義的條件以及分式為0的條件，培養(yǎng)學生類比的數(shù)學思想.活動三：探究分式的基本性質問題：完成下題，回顧分數(shù)的基本性質.23=師生活動：教師以填空題的形式提出問題，學生借助問題回顧分數(shù)的基本性質.分數(shù)的基本性質：分數(shù)的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的數(shù),分數(shù)的值不變.類比分數(shù)的這種性質，思考：分式的分子和分母同乘(或除以)一個不等于0的整式，分式的值會怎樣?師生活動：學生類比分數(shù)的基本性質，總結得出分式的基本性質：分式的分子和分母同乘（或除以）一個不等于0的整式，分式的值不變.AB=A×

MB×

M，師強調：1.B≠0是已知中隱含的條件，M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用此性質時，必須重點強調M≠0這個前提.2.應用性質時，要理解“同”的含義：一是要同時進行乘法(或除法)運算；二是乘(或除以)的對象必須是同一個不等于0的整式.設計意圖：通過回顧分數(shù)的基本性質，讓學生類比得出分式的基本性質，從具體到抽象，從特殊到一般，體會類比的思想方法在數(shù)學學習中的重要性.做一做：當a≠0，a-b≠0，解：相等，∵a-ba(a-b)=1∴a-ba(a-b)有，例如：aa師生活動：學生獨立思考，舉手作答.設計意圖：及時鞏固分式的基本性質，突破本節(jié)課的難點.應用新知例1指出下列各式中，哪些是整式，哪些是分式.x-2解：x-2，因為x-33x+2，師生活動：教師引導學生利用分式的定義進行判斷，學生認真思考+1，舉手作答+2.師小結：1.分式可看成是兩個整式的商，它的分子是被除式，分母是除式，分數(shù)線相當于除號，分數(shù)線還具有括號作用和整體作用.2.判斷一個式子是否是分式，一要具有AB的形式；二要A，B都是整式；三要B中含有字母；并且不能將原式子進行變形后再判斷，而必須按照本來的“面目”進行判斷.如：設計意圖：通過例1讓學生熟練掌握分式的定義，清楚判斷分式的方法.例2.在什么情況下，下列各分式有意義？2x解：要使2x有意義，需滿足x≠0要使x-33x+2有意義，需滿足3x+2≠0，∴x要使abx-y有意義，需滿足x?y≠0，∴x≠y師生活動：選三名學生板演，教師巡回指導，最后利用小組評價機制進行加分.師小結：求分式有意義時字母的取值范圍，一般是根據(jù)分母不等于0構造不等式，求使分式的分母不等于零的字母的取值范圍，與分子的取值無關.設計意圖：通過學生板演，及時發(fā)現(xiàn)學生的問題,突出本節(jié)課的重點.例3.下列等式的右邊是怎樣從左邊得到的？(1)a2b=ac2bc(c≠0)解：(1)等號左邊的分子、分母沒有出現(xiàn)c，右邊有c，說明左邊分式的分子、分母同乘c(c≠0)得到右邊分式；(2)等號左邊的分式中分子、分母都含有x，題中隱含x≠0，而右邊分母不含有x，說明左邊分式的分子、分母同除以x得到右邊分式.師生活動：學生思考后，小組討論，各組選派小組代表作答.認真思考+1；合作交流+2；舉手作答+2.師小結：1.分式的性質中，B≠0是已知中隱含的條件，M≠0是在解題過程中另外附加的條件，在運用此性質時，必須重點強調M≠0這個前提.2.應用性質時，要注意：

(1)要同時進行“乘法”(或“除法”)運算；

(2)“乘”(或“除”)以的對象必須是同一個不等于0的整式.3.運用分式的基本性質進行分式的變形是恒等變形，它不改變分式值的大小，只改變其形式.設計意圖：本題是對分式基本性質的考查，通過小組討論，培養(yǎng)學生分析問題的能力，增強團隊合作意識，突破本節(jié)課的難點.課堂練習1.當x取何值時，下列分式有意義？1x-1解：要使1x-1有意義，需滿足x?1≠0，即x≠1要使2x-32x+3有意義，需滿足2x+3≠0，∴x≠?32.請寫出一個分式，使其只含有字母a，且無論a取何數(shù)分式都有意義.解：分式有意義的條件是分母不為零.題目要求無論a取何數(shù)分式都有意義，因此需要構造一個無論a取何數(shù)，分母表達式恒不為0的分式.如：1a3.判斷下面的語句是否正確，并說明理由.(1)分式1x與22x相等.(2)分式5a與(3)分式46a與23a相等.(4)分式xyx2解：(1)正確；因為2÷22x÷2=1x(2)錯誤；因為5×5a?a=25a(3)正確；因為4÷26a÷2=23a(4)正確；因為題目隱含x≠0，xy÷xx24.若分式x2-1x-1A．0B．1解：由x2－1＝0當x＝1時，x－1＝0，故x＝1不合題意；當x＝－1時，x－1＝－2≠0，所以x＝－1時分式的值為零.故選C.5.若a,b為有理數(shù)，且

(a

－

2)2+|b2

解：因為

(a

－所以a-2=0解得a=2所以，3a－b=6-4=2.6.不改變分式的值，把下列各式的分子與分母中各項的系數(shù)都化為整數(shù)．(1)0.01a

－

0.5b解：(1)0.01a(2)12師生活動：學生限時訓練、獨立完成，教師巡回，及時把握學生對知識的掌握情況.設計意圖：通過練習，學以致用，及時獲知學生對所學知識的掌握程度，調動全體學生學習數(shù)學的積極性，使每個學生都能有所收益、有所提高.總結歸納這節(jié)課你學到了哪些知識？說說你的體會.設計意圖：通過學生對本節(jié)課所學內容的歸納、總結，把零碎的知識點和認知過程形成了一個完整的知識體系.

六、教學反思在本節(jié)課的教學中，大量運用類比方法，將分式與分數(shù)進行對比.例如在講解分式的基本性質和運算規(guī)則時，引導學生回憶分數(shù)的相關知識，通過類比，學生能快速理解分式的新知識，降低了學習難度，提高了學習效率，同時也讓學生體會到數(shù)學知識的連貫性和相似性，增強了他們對數(shù)學學習的信心.本節(jié)課注重實踐應用，通過引入實際生活中的問題，如工程