高三數(shù)學(xué)期中考試

一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.

Ax∣x240,B{x∣1x14}

1已知集合，則（）

A.AB(2,3)B.AIB(0,3)

C.AB(,3)D.AB(2,3)

2.已知復(fù)數(shù)滿足1izai（其中i是虛數(shù)單位），且復(fù)數(shù)z的實(shí)部和虛部互為相反數(shù)，則實(shí)數(shù)a的值

為（）

A.0B.1C.1D.2

rr

3.已知ab0，a2b2，則ab（）

A.2B.5C.22D.3

△

4.已知雙曲線C的頂點(diǎn)為A1，A2，虛軸的一個(gè)端點(diǎn)為B，若A1A2B為直角三角形，則C的離心率為（）

A.2B.3C.2D.5

5.已知實(shí)數(shù)a，b滿足3a4b，則下列不等式可能成立的是（）

A.ba0B.2ba0

C.0abD.02ba

6.函數(shù)ylogax31(a0,a1)的圖像恒過(guò)定點(diǎn)A，若點(diǎn)A在直線mxny10上，其中

12

mn0，則的最小值為（）

mn

A.4B.42

C.22D.8

7.如圖，正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是線段BD,B1C上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列各項(xiàng)中會(huì)

隨著M，N的運(yùn)動(dòng)而變化的是（）

A.異面直線NC1與直線MC所成的角的大小B.平面MD1B1與平面NA1D所成的角的大小

C.直線ND1到平面A1BD距離的大小D.異面直線MA1，ND1之間的距離的大小

52

x,0x2

16

8.已知函數(shù)fx是定義在R上偶函數(shù)，當(dāng)x0時(shí)，fxx，若函數(shù)yfxm僅

1

1,x2

2

有4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是（）

5555

A.0,B.0,C.1,D.,

4444

二、多選題（本題共3小題，每小題6分，共18分，在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題

目要求，全部選對(duì)的得6分，部分選對(duì)的得部分，有選錯(cuò)的得0分）

9.已知正數(shù)x，y，z滿足3x4y5z，則下列不等關(guān)系正確的有（）

112123

A.B.

xzyxyz

C.3x4y5zD.xzy2

10.在正四棱柱中，底面邊長(zhǎng)為，側(cè)棱長(zhǎng)為1，則下列結(jié)論正確的是（）

ABCDA1B1C1D12

2

A.點(diǎn)B到平面ACB1的距離是

2

B平面BC1D與平面B1CD1垂直

3

C.記底面ABCD的中心為O，則直線D1O與直線BC1所成角的余弦值為

3

D.若F為線段A1B1的中點(diǎn)，點(diǎn)P在正四棱柱表面上運(yùn)動(dòng)，若PF∥平面A1C1D，則點(diǎn)P的軌跡是六邊形

2x2x

11.函數(shù)fx,gxln19x23x，則下列說(shuō)法正確的是（）

3

A.fxgx是偶函數(shù)B.fxgx是奇函數(shù)

gx

C.是奇函數(shù)D.gfx是奇函數(shù)

fx

三、填空題：本大題共3小題，每小題5分，共15分．

π

12.已知函數(shù)fxsin2xxf0，則f__________．

2

x

13.已知x1是方程xlgx8的一個(gè)根，x2是方程x108的一個(gè)根，則x1x2______.

2**

14.已知Sn是各項(xiàng)均不為零的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且S2n1annN．若存在nN，使不等

1111121

式nn成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．

a1a2a3a2a3a4a3a4a5anan1an242

四、解答題：本大題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，證明過(guò)程或演算步驟．

15.已知函數(shù)fxx33axe，其中e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù).

（1）若曲線yfx在點(diǎn)1,f1處的切線與直線l：x2y0垂直，求實(shí)數(shù)a的值；

（2）求函數(shù)fx的單調(diào)區(qū)間；

16.已知數(shù)列an中，a11,nan1an1an1.

（1）證明：數(shù)列nan為等差數(shù)列；

2Ln'

（2）給定正整數(shù)n，設(shè)函數(shù)fxa1xa2xanx，求f2.

cosCcosAsinBsinCC1

17.在VABC中，內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別是a,b,c，若，且tan2．

ca3sinA23

（1）求C和c；

（2）若AB邊上的中線長(zhǎng)為2，點(diǎn)D在AB上，且CD為ACB的平分線，求CD的長(zhǎng)．

18.已知定義在R上的偶函數(shù)fx和奇函數(shù)gx，若fx2x2ax，gx2xb2x，a,bR．

（1）求a,b的值；

（2）若函數(shù)hxf2x2mgxmR．

（?。┊?dāng)x1,1時(shí)，求函數(shù)hx的最小值；

（ⅱ）是否存在m,n，使得關(guān)于x的不等式0hxn的解集為1,2？若存在，求出m,n的值；若不

存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

19.已知函數(shù)fxlnx2ax．

1

（1）當(dāng)a時(shí)，求fx的極值；

2

2sinx1

（2）若對(duì)x0,，fx1恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；

x

ftx

（3）當(dāng)a0，0t1時(shí)，證明：x1．

ext

參考答案

4

,

DABABDAC9ACD10ABD11BC1231381445

15【小問(wèn)1詳解】

fx3x23a，因?yàn)閥fx在點(diǎn)1,f1處的切線與直線l：x2y0垂直，

1

則f133a2，解得a.

3

【小問(wèn)2詳解】

2

fx3x3a，當(dāng)a0時(shí)，fx0，此時(shí)fx的單調(diào)增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；

2

當(dāng)a0時(shí)，令fx3x3a0，解得x(,a)(a,)，

2

令fx3x3a0，解得x(a,a).

則此時(shí)fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,a,a,，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,a).

綜上所述：當(dāng)a0時(shí)，fx的單調(diào)增區(qū)間為R，無(wú)單調(diào)減區(qū)間；

當(dāng)a0時(shí)，fx的單調(diào)遞增區(qū)間為,a,a,，單調(diào)遞減區(qū)間為(a,a).

16【小問(wèn)1詳解】

nan1an1an1，n1an1nan1，

又a11，則nan是首項(xiàng)為1，公差為1的等差數(shù)列；

【小問(wèn)2詳解】

由（1）知nan1n11n，則an1，

fxxx2xn，fx12xnxn1，

令Sf2122n2n1，

則2S12222n12n1n2n，

12n

兩式相減可得S12222n1n2nn2n1n2n1，

12

f2n12n1.

17【小問(wèn)1詳解】

Cπ

因?yàn)?Cπ，所以0,，

22

2C1C3π

又tan，故tan，則C；

23233

cosCcosAsinBsinC3

因?yàn)?，sinC，

ca3sinA2

3

由余弦定理及正弦定理得：a2b2c2b2c2a2b，

2

2abc2abc3a

2b23b

所以，解得c23；

2abc6a

【小問(wèn)2詳解】

由余弦定理得：c2a2b22abcosCa2b2ab，即有a2b2ab12①；

1

設(shè)M為AB的中點(diǎn)，即CM2，又因?yàn)镃MCACB，

2

2122

所以CMCACB2CACB，即a2b2ab16②，

4

由①，②得：a2b214,ab2，

所以(ab)2a2b22ab18，所以ab32．

因?yàn)镃D為ACB的平分線，所以SACDSBCDSABC，

111

則bCDsin30aCDsin30absin60，

222

3ab236

即CD．

ab323

18【小問(wèn)1詳解】

xax

因?yàn)閒x22為偶函數(shù)，則fxfx恒成立，即2x2ax2x2ax，

112ax2x1

即axxaxxaxx，

22222210

2x2ax21ax21ax

1

因?yàn)?，所以axx，即axx，

1022022

21ax

所以axx，因?yàn)閷?duì)所有x都成立，所以a1；

因?yàn)楹瘮?shù)gx2xb2x為奇函數(shù)，且定義域?yàn)镽，

所以g00，即1b0，所以b1，

即gx2x2x，因?yàn)間x2x2xgx，所以b1符合題意；

【小問(wèn)2詳解】

因?yàn)閒x2x2x,gx2x2x，

2

則hxf2x2mgx2x2x2m2x2x

2

2x2x2m2x2x4，

2

令t2x2x，則tt2mt4，

33

（?。┮?yàn)閤1,1，且t2x2x是關(guān)于x的增函數(shù)，所以t,，

22

tt22mt4，對(duì)稱軸為tm，

333

當(dāng)m時(shí)，tt22mt4在t,上單調(diào)遞增，

222

325

所以(t)min3m；

24

33233

當(dāng)m時(shí)，tt2mt4在,m上單調(diào)遞減，在m,上單調(diào)遞增，

2222

2

所以(t)minm4m；

333

當(dāng)m時(shí)，tt22mt4在t,上單調(diào)遞減，

222

325

所以(t)min3m，

24

325

綜上，當(dāng)m時(shí)，hx的最小值為3m；

24

33

當(dāng)m時(shí)，hx的最小值為4m2；

22

325

當(dāng)m時(shí)，hx的最小值為3m；

24

315

（ⅱ）因?yàn)閤1,2，則t2x2x,，

24

所以若0hxn的解集為1,2，

315

則關(guān)于t的不等式2的解集為,，

0t2mt4n24

3152

則,是方程t22mt4n0的兩根，且2m440，

24

Δ4m244n0

315

所以有4n，且2m2，

24

315

2m

24

977

解得m,n，

88

977

所以當(dāng)m,n時(shí)，不等式0hxn的解集為1,2．

88

19【小問(wèn)1詳解】

1

當(dāng)a時(shí)，fxlnxx的定義域?yàn)?,．

2

11x

fx1，

xx

當(dāng)x0,1時(shí)，fx0，當(dāng)x1,時(shí)，fx0，

所以fx在0,1上單調(diào)遞增，在1,上單調(diào)遞減，

因此fx的極大值為f11，沒(méi)有極小值．

【小問(wèn)2詳解】

2sinx12

x0,，fx1等價(jià)于xlnx2axx2sinx10在0,上恒成立，

x

1

令hxxlnx2ax2x2sinx1，由h10得，a．

2

1

下面證明當(dāng)a時(shí)，