專題08幾何壓軸（3大題型38題）

口題型概覽

題型01選擇題壓軸

題型（）2填空題壓軸

題型03解答題壓軸

殿型01選擇題壓軸

1.（2025?浙江?二模）如圖，在oABCD中，E,b分別是AB,CO的中點(diǎn)，”是對(duì)角線AC上一點(diǎn)（點(diǎn)/，不

與端點(diǎn)重合），過點(diǎn)。作PQA交3C于點(diǎn)。，交CE于點(diǎn)0.連結(jié)08,PF,若已知的面積，則一

定能求出（）

A.V4AC的面積B.力OC的面積

C.COP的面積D.△BQ。的面積

【答案】B

【分析】本題主要考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行四邊形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，理解等底等高的

三角形面積相等是解題的關(guān)鍵.

連接族，過E點(diǎn)作E7V_LAC交AC于點(diǎn)N,過尸點(diǎn)作FM_LAC交AC于點(diǎn)M,易證“A3LCM;"AAS）,

l,IV]-FM=EN,進(jìn)而得■到S4CPF=S&CPE?由SAEC=SBEC?^,AEP=^^,BEO?得到,^△CPE=&BOC，即得到結(jié)論.

【詳解】解：連接E尸，過E1點(diǎn)作EN_LAC交AC于點(diǎn)N,過戶點(diǎn)作AC交4C于點(diǎn)M,

A

BwQC

由題意可知A8〃CQ,AB=CD,

2ZEAN=/FCM.

睡，尸分別是AB，。。的中點(diǎn)，

電AE=BE=CF=DF,

又國ZANE=NFMC=9()0,

人AA2cWRAAS),

田FM=EN,

RS&CPF=S&CPE?

EPQ//AB,

團(tuán)P2上的點(diǎn)到48上的點(diǎn)距離相同，

@AE=BE,

團(tuán)S.AEC=SBEC?S■EP=SMEO?

團(tuán)S&CPE=S&BQC?

⑶S&CPF=Sgoc,

留已知C尸尸的面積，則一定能求出.80。的面積，

故選：B.

2.(2025?浙江金華?二模)如圖，在VA8C中，AB=AC=5,BC=6，P、。分別是邊和nc上的動(dòng)點(diǎn),

且始終保持4Q=8P,連結(jié)b,BQ,則8Q+CP的最小值是］)

A

占

BC

A.11B.而C.3而13.8

【答案】B

【分析】本題考查「全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，等腰三角形的性質(zhì)等知識(shí)，過B作8O〃AC并

截取8O=AC,過4作AE_LarfE,過。作。F_LBC于凡證明BD-ABQ,得出、DP=BQ,則

BQ+CP=DP+CPNCD,故當(dāng)C、尸、。三點(diǎn)共線時(shí)，5Q+CP取最小值為。。，根據(jù)三線合?的性質(zhì)求

出CE=gBC=3,根據(jù)勾股定理求出A￡=4，證明.8。心。正，得出OF=AE=4,BF=CE=3,最后

在Rt△8尸中根據(jù)勾股定理求解即可.

【詳解】解：過8作Q〃AC并截取8Z)=AC,過A作AE_LC8于E,過。作OF_LBC于凡

國4DBP=NBAQ,

EAB=AC=5>BD=AC?

EBD—AB,

又BP=4Q,

團(tuán)，BQ/WABQ,

&DP=BQ,

\1BQ+CP=DP+CP>CD,

當(dāng)C、P、。三點(diǎn)共線時(shí)，8Q+CP取最小值為CD,

EAB=AC=5,AELCB,BC=6,

RCE=、BC=3,

2

團(tuán)AE=JAC?-CE?=4,

團(tuán)6D〃AC,

RZDBF=ZACE,

回AE_LC8,DF±BC,

0ZF=ZAEC=9O°,

又BD=AC,

團(tuán)，BDF@CAE,

團(tuán)以=A￡=4，BF=CE=3,

:ZAMB=/MBP,

:BP=PA=MP,

則EG=4EA2+AG?=J/+〃，PA=^MA=^y]a2+b2,

在RSBGH,BH=(a+b)cosa,

在RtVAGN,AN=-^~,

cosa

即MN=AM+AN=J〃2+/+￡,

cosa

PH=BH-BP=(a+b)cosa-^yja2+b2,

那么，任.之四LL

EGV77F2

故選：B.

【點(diǎn)睛】本題主要考查直角三角形的性質(zhì)、正方形的性質(zhì)、全等三角形的判定和性質(zhì)、平行線的性質(zhì)、等

腰三角形的判定和性質(zhì)以及解直角三角形等知識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鋌是熟悉解直角三角形和正方形的性質(zhì).

4.(2025?浙江杭州?二模)己知VA4C中，AB2=AC(AC+BC),則()

A.ZABC=2ZACBB.ZACB=2ZABC

C.ZACB=2ZBACD.ZBAC=2ZABC

【答案】B

【分析】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)，由己知可得

ApRCARARf

安，,延長A。至B，，使得C8'=8C,連接即可得嚷=受，進(jìn)而可得ABCjA98.

ACABACAB

得到乙43C=N9,由等腰三角形的性質(zhì)可得N^=N1，即可由三角形外角性質(zhì)得

ZACB=NF+A=2N&=2ZABC,據(jù)此即可求解，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：0AB2=AC(AC+BC),

ABAC+BC

1----=-----------9

ACAB

如圖，延長AC至9，使得C8'=8C，連接88',

則AC+8C=AC+f^C=AB',

ABAB'

1---=----?

ACAB

3ZA=ZA?

瓦ABCsAB'B,

QZABC=NB,

HBC=BC，

團(tuán)"=N1,

EZACB=Z^+Z1=2N9=2ZABC,

故選：B.

5.(2025?浙江金華?二模)如圖，在平行四邊形ABC。中，△(7所的頂點(diǎn)E,r分別在邊A8,AO上，滿

足NAEC=NAR2,AE=\,AF=CF=4,CE=6,在CE上一取點(diǎn)M,滿足NCM/=NA,則CM=()

【答案】D

【分析】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，平行四邊形的性質(zhì)，平行線分線段成比例，熟練掌握以上

知識(shí)是解題的關(guān)鍵；先證明，C￡?sCDF,得出人D=4C=EC=6,進(jìn)而證明為必〃AE,根據(jù)平行線分線

段成比例，即可求解.

【詳解】解?：如圖，

囹平行四邊形A8CO,

EZB=ZD.AB=CD,AD=BC,AB〃CD

團(tuán)NAEC=N4尸C,

田ZBEC=/DFC,

口..CEBs.CFD,

_DFFCCD

0-----=-----=-----

EBECBC

EAF=CF=4,CE=6,

_DFFC42

回==—=—

EBEC63

設(shè)了D=2a,EB=3a

[?BC=AD=4+2a,CD=AE+EB=1+3。

_CDFC2.1+3。2

BCEC34+2?3

解得：a=\

ECD=CF=4,CB=CE=6,

0ZCEB=ZB=18O°-ZA=ZA￡C

團(tuán)NCM〃=ZA,

EZ?C=I8O°-CMF=18O0-ZA

團(tuán)4MC=NAEC

\LFM//AE

又團(tuán)A石〃C￡>

^AE//FM//CD

CMFD22

0-----=——=--------=-

CEDA2+46

又由CE=6

國G/=2

故選：D.

6.（2025?浙江金華?二模）將一個(gè)矩形按如圖所示方式分割成三個(gè)相似的直角三角形，按面積從大到小的順

序分別記為△A4G，△A/zG,四G.將△A4G,△&旦G疊合，得到圖1,陰影部分的三角形面積

記為，；將△&8C疊合，得到圖2,陰影部分的四邊形面積記為邑.若S=^|52,則該矩形的

長和寬之比為

【答案】為5

10

【分析】本題主要考查相似三角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及等腰三角形的性質(zhì)與判定，熟練掌握相似

二角形的性質(zhì)與判定、矩形的性質(zhì)及等腰：角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵；設(shè)七層=嗎。3="生。2=方，

由題意易得/旦4&=/邑4。2,整=卷，則有4星=《，設(shè)圖1中AG與4G交于一點(diǎn)匕過點(diǎn)工作

EFlA^t垂足為R然后可得E尸=:8，G=W，則有$=:A也曰=/〃，

52=；（8。3+員。2）乜&=/+。）［一￡|=；"一1然后問題可求解.

【詳解】解：由題意可得如圖,

G（4）40

OCjBj=，

設(shè)&修=8?=a，B2c2=b,

[?；GsAA2B2C2s△A383G,

R/4AG=N424G，瞥B2G

而7

A.必

ab

團(tuán)麗=7即4一了,

設(shè)圖1中AG與A2G交于一點(diǎn)E過點(diǎn)E作E尸_LA片，垂足為E如圖所示,

色《尸=4尸=約，

EZA,FE=ZAB2C2=90°,N%E=ZB2A2C2,

A,尸1

fTI--E-F-=---=—

82c2A2B22'

0EF=-B,G=-Z?,

2■'2

^Si=^-A2B2EF=^abf52=1(?3C3+^2C2)-=1(6f+/?)a-y=^-ab-^~,

團(tuán)5=—5,,

團(tuán)2

42

解得：b=E（負(fù)根舍去），

2

2B&3=B2BdBiB3=b+^=^a,

9.

團(tuán)國用_joa_9>/5,

a--fo-

團(tuán)該矩形的長和寬之比為名￡；

10

故答案為型.

10

7.（2025?浙江嘉興?二模）如圖，點(diǎn)。是等腰RtAABC中斜邊3。上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與BC重合）.若已知AD

的K,則一定能求出值的是（）

c

【答案】c

【分析】本題主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知

識(shí)點(diǎn)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握以上性質(zhì)，并靈活應(yīng)用.

一BAD繞點(diǎn)八逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△C4。'，連接利用旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出相等的先和邊，然后利用勾股定

理即可得出結(jié)論.

【詳解】解：如圖，R4Q繞點(diǎn)/逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90。至△C4D,連接力。，

.?.CD=BD,ADf=AD,ZACDf=ZABD=45。，

ZDCD=ZACiy+ZACD=90°.

根據(jù)勾股定理得CZX2+CD2=DD2=AD2+AD11=2AD2,

即BD?+CD?=2AD?,

故選：C.

8.：2025?浙江紹興?二模）如圖，在VA3c中，AB=AC=10,CDLAB于點(diǎn)D,過點(diǎn)。作力E_L8C于點(diǎn)E,

連結(jié)AE.記AE的長為x,。￡的長為當(dāng)x,＞的值發(fā)生變化時(shí)，下列代數(shù)式的值不變的是（）

c

A.B.x+yC.x-yD.F+y?

【答案】D

【分析】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)、相似三角形的判定和性質(zhì)，以及勾股定理，過點(diǎn)A作AflBC于

點(diǎn)F,可證明，CDEs.DBE，則DE2=BE?CE，設(shè)C￡=2b,BE=2a，則y-=2ax2b=4a。，

EF=CE-；BC=b-a,利用勾股定理得4產(chǎn)=AC?一。尸2,從尸二人^一七尸，即

100-(?+/?)2=x2-(b-a)2,化解得x2+y2=100即可.

【詳解】解：過點(diǎn)4作AF18C于點(diǎn)立如圖，

田NCDE+NEDB=NB+/EDB=90。,CF=BF,

⑦NCDE=/B,

團(tuán),CDEs,DBE,

貝|JDE'=BE?CE，

'設(shè)CE=2b、BE=2a,

則/=2ax2〃=4a8,EF=CE-^BC=2b-^(2a+2b)=b-at

EAfi=AC=10,

EAF2=AC2-CF2=1(X)-(fl+/?)2,AF2=AE2-EF2=X2-(/?-6Z)2,

即100(a1b)2-x2(ha)2,化解得Y1)?=100,

故選：D.

題型02填空題壓軸

9.（2025?浙江麗水?二模）如圖，在°A8co中，BC=3,8=4,點(diǎn)E是C。邊上的中點(diǎn)，將VAOE沿4E

翻折得“尸石，連結(jié)叱，點(diǎn)氏尸，后恰好在阿一直線上，延長"?交6c于點(diǎn)G.貝ij8FG與四邊形AG8

的面積比為.

【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質(zhì)，相似三角形的性質(zhì)和判定、翻折、等腰三角形的判定、全等

三角形的性質(zhì)和判定，熟知以上知識(shí)點(diǎn)，準(zhǔn)確作出輔助線是正確解答此題的關(guān)鍵.延長AO,與鹿的延長

線交于點(diǎn)〃，證明VABPGVAEQAAS）,可推=4?=%=4-n^VQ￡〃0￡E6（ASA）,可

得O〃=C8=3,EH=EB=4,進(jìn)而可得8/=86=2,CG=l,ND4G=N5,證明VBPFGsV”7%,

得粵=1設(shè)，圻G的邊8G上的高為〃，則..A”的邊4〃1二的高為3人A8CD的底邊A。I:的高為

AH3

4/2,則8/G與四邊形AGCO的面積比可求.

【詳解】解：延長AO,與跖的延長線交于點(diǎn)H,

在A8C。中，BC=3,8=4,

AB=CD=4,AD=BC=3,AI3//CD,AD//BC,

.?.N1=N2，N"G=N5,Z3+ZC=180°,NC=NHDE,

;將VAOE沿人E翻折得ZM小，點(diǎn)8,F,E恰好在同一直線上,

A"=A〃=3,N3=/4,DE=EF,

AF=BC,

QZ4+z64ra=l80°,

ZAFB=NC,

在A4班'和V8EC中，

Z1=Z2

ZAFB=ZC,

AF=BC

/.VABF^VBEC(AAS),

:.BF=EC,AB=BE=4,

，點(diǎn)E是CD邊上的中點(diǎn)，

BF=EC=DE=EF=2,

在和sCEB中,

乙HDE=4C

DE=CE,

ZHED=ZBEC

；NDEHKCEB2Z,

:.DH=CB=3,EH=EB=4,

/.AH=FH=6,

/.N"G=N4,

QN4=NBFG,

Z5=NBFG,

:.BF=BG=2,

：.CG=\,

NDAG=/5,

BFGsHFA,

BG1

???—9

AH3

設(shè)，BFG邊的BG上的高為h,則AAFH的邊4”上的高為3分,ABCD的底邊AD上的高為4b,

—xBGxh.

則，8/G與四邊形AGCD的面枳比為了2--------=-,

^x(l+3)x4/z8

故答案為：1:8.

10.（2025?浙江嘉興?二模）如圖，矩形石尸G”的頂點(diǎn)E,G分別在菱形ABC。的邊和8c上，頂點(diǎn)F,

〃在菱形48co的對(duì)角線BO上，若FH:BD=3:5,且GH〃CD,則cosNF〃G的值為.

【答案】瓜

33

【分析】本題考查了菱形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形.連接AC,分別

交BD、EF、G”于點(diǎn)。、M、N,設(shè)FH=6a,則8D=10a,證明△OM/sZXoc。和△ON”S&9CD,

求得G〃=2C。，NH=±CD、再證明△〃OVS4〃G“，利用相似二角形的性質(zhì)列式計(jì)算求得CO=偵a，

552

據(jù)此代入計(jì)算即可求解.

【詳解】解：連接AC,分別交班）、EF、G”于點(diǎn)0、”、N,

由矩形EFGH,菱形ABCD,

@AD〃CB，EH〃FG,EH=FG,

QNEDH=NGBF,/EHF=ZGFH,

Q&HD=4GFB,

國△EHgAGFB,

國DH=BF,

天菱形ABC。，

^AC±BD.OB=OD,

ROF=OH,

QFH:BD=3:5,

閉設(shè)廠”=6a,則9=I0a,

國矩形EFGH,

^OF=OH=-FH=3a,OB=OD=-BD=5a,

22

江BF=DH=2a,

^GH//CD,

RABGHSABCD,

「GHBH8a4

團(tuán)---=----=---=—，

CDBD10?5

4

^GH=-CD,

也NH〃CD，

團(tuán)△QM/s“c。，

_NHOH3a3

?==="9

CDOD5a5

3

^NH=jCD,

RZHON=/HGF=90。,4OHN=4GHF,

國△HONs^HGF,

_0HNH

團(tuán)---=----,

GHFH

匿GHNH=OHFH,

0—CD2=18?2,

25

^CD=—a,

2

回GH=gcD=2痘，

冏“口廠GH2向yf6

上cosNFHG==-------=——，

FH6a3

故答案為：立.

3

11.（2025?浙江舟山?二模）如圖，在V44c中，ZACB=90°,C4=C3,點(diǎn)。為邊A3上一點(diǎn)，連結(jié)8,

作點(diǎn)8關(guān)于CO的對(duì)稱點(diǎn)E,連結(jié)CE、AE,延長CD、4E交于點(diǎn)F,若AE=DE=2,則所=.

【答案】G+1/1+G

【分析】作「于點(diǎn)〃，先證明A,C,D,E四點(diǎn)共圓，可證ZACE=NECD,求出

ZACE=ZBCD=ZECD=30°,由等腰三角形的性質(zhì)求出NC4E=NCE4=75。，進(jìn)而得

ZMD=ZEm=30°,ZF=45°.然后分別求出石〃=七=1,FH=DH=￡,即可求出防=打+1.

【詳解】解：作。〃于點(diǎn)從

[?ZACB=90°,CA=CB,

0ZC4B=ZB=45°.

由折疊的性質(zhì)得BC=CE.ZCED=NR,NRCD=ZECD,

0ZC4B=ZCED=45°,AC=CE

財(cái)，C,。，E四點(diǎn)共圓，

￡AE=DE=2，

RAE=DE，NEAD=NEDA，

RZACE=/ECD,

電ZACE=aBCD=NECD=3V,

0AC=CE,ZACE=30°,

0ZC4E=ZCE4=75°,

EZEAD=NEDA=75°-45°=30°,ZF=180°-60°-75°=45°,

EZDEH=60°.

PNEO"=30。，

EEH=—DE=1,

2

田DH=亞丁=百，?

LAF,ZF=45°,

是等腰直角三角形，

EFH=DH=6

0EF=V3+1.

故答案為：y/3+1.

【點(diǎn)睛】本題考查了折疊的性質(zhì)，等腰直角三角形的判定與性質(zhì)，圓周角定理，含30度角的直角三角形的

性質(zhì)，勾股定理等知識(shí)，判定4,C,。,E四點(diǎn)共圓是解答本題的關(guān)鍵.

12.(2025?浙江?二模)如圖，在。中，弦AD=4厘米，作正方形A8C￡>,點(diǎn)3,C均落在圓內(nèi)，圓心。在

正方形內(nèi).若將正方形A8CO沿射線A力方向平移1厘米，能便功CO與O相切，則將正方形A8CO沿射

線A8方向平移_________厘米時(shí)，正方形其中一條邊與：。相切.

人/-----、/)

【答案】6—1或6+3

【分析】設(shè)。。向右平移1厘米后至。C',連接OD,過點(diǎn)。作or_LAOF點(diǎn)下，設(shè)。與相切的切

點(diǎn)為點(diǎn)Q，連接。。交C。于點(diǎn)u,WJ/)7'=^T=1^D=2,OQLCD't可得。。=。力=3,對(duì)RL△OOT運(yùn)

用勾股定理求出“，當(dāng)將正方形A88沿射線48方向平移，8c平移后對(duì)應(yīng)8'。與「O相切時(shí)，切點(diǎn)記

為點(diǎn)W,連接。W，交BCJW,則OW_L￡C",同理可得：OWLBC,可得點(diǎn)=。"共線，同理可得：

7V=DC=4那么平移距離為：VW=OT+OW-TV=45+3-4=45-1.當(dāng)將正方形人RCD沿射線AH方向

平移，AO平移后對(duì)應(yīng)ATT與。。相切時(shí)，則平移距離為：TW=TV+VW=4+>/5-1=45+3.

【詳解】解：設(shè)OC向右平移1厘米后至D'C,連接OD,過點(diǎn)。作OT_LAD于點(diǎn)T,設(shè)0。與CD相切

的切點(diǎn)為點(diǎn)Q,連接。。交COf點(diǎn)U,

山四邊形A8CO是止方形，

EZADC=90°,AD=CD=4,AD//BC,

由平移得：CD//cry,Diy=\,

ROUJLCD,

EDD=UQ=I,

0Z.OTD=ZADC=/OUD=90°，

囿四邊形O7OU為矩形，

田TD=OU=2,

叵OQ=QO=OU+UQ=2+1=3,

^OT=ylOD2-DT2=V32-22=>/5

當(dāng)將正方形A88沿射線A8方向平移，3C平移后對(duì)應(yīng)9C*與（。相切時(shí)，切點(diǎn)記為點(diǎn)W.連接。W,交

BC于V,則OW_L?C\

同理可得：0W_L8C,

團(tuán)OT_LAD,AD//BC,

回點(diǎn)「?！惫簿€，

同理可得：7V=DC=4

團(tuán)平移距離為：VW=OT+OW-TV=y/5+3-4=y/5-\,

當(dāng)將止方形A38沿射線方向平移，AO平移后對(duì)應(yīng)A'O〃與：。相切時(shí)

團(tuán)平移距離為：rW=7V+WP=4+石一1=有+3,

故答案為:布-1或書+3.

【點(diǎn)睛】本題考查了圓的切線的性質(zhì)，垂徑定理，正方形的性質(zhì)，勾股定理，平移的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，熟練

掌握各知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵.

13.（2025?浙江臺(tái)州?二模）如圖1,在RtZXABC中，ZACB=90。，點(diǎn)E是斜邊A8上一個(gè)動(dòng)點(diǎn).過點(diǎn)上作

EFLAB,垂足為E,交邊AC（或邊C8）于點(diǎn)尸，連接CE,設(shè)=△<?砂的面積為），，則y與x之

圖1圖2

【答案】?

3

【分析】本題考查了動(dòng)點(diǎn)函數(shù)圖形問題，二次函數(shù)的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，正切的定義等知識(shí),

過點(diǎn)C作CDJ.A8于點(diǎn)D,觀察圖象可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)D時(shí)，C,廣兩點(diǎn)重合，不存在，當(dāng)點(diǎn)

七運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，E尸兩點(diǎn)重合，CE尸不存在，則對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上第二個(gè)和第三個(gè)空心零點(diǎn)，設(shè)

m=3k,n=7k（k>6,由函數(shù)圖象對(duì)稱的性質(zhì)可得第二個(gè)和第三個(gè)空心零點(diǎn)的值分別為6七弘，則

mRD

AD=6k,BD=2k,再證明一ACDs.CM,推出三二勺，即可求出利用正切的定義

ADCD

CD

tanA-即可求解.

AD

【詳解】解：過點(diǎn)C作CD_LAB于點(diǎn)

c

觀察圖象可發(fā)現(xiàn)：當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)。時(shí)，C尸兩點(diǎn)重合，CE尸不存在，當(dāng)點(diǎn)￡運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí),￡尸兩點(diǎn)

重合，不存在，則對(duì)應(yīng)函數(shù)圖象上第二個(gè)和第三個(gè)空心零點(diǎn)，

設(shè)加=3A,〃=7A(A>0),

由函數(shù)圖象對(duì)稱的性質(zhì)可得第二個(gè)和第三個(gè)空心零點(diǎn)的值分別為必,83

則AD=6上即=2%,

EZA+ZACD=ZA+ZB=90°,

RNADC=NBDC=90。

B4ACD^.CBD,

CDBD.,

0—=—,^HnCD~=\2k2,

ADCD

CD=2y/3k,

.CD2&G

EJtailA=-----=---------=——

AD6k3

故答案為：立.

3

14.(2025?浙江麗水?二模)如圖，四邊形ABC。和四邊形8￡FG都是矩形，且A8=5G=2,BC=BE=4,

連結(jié)CE,CG,EG,將矩形8上戶G繞點(diǎn)B順時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，若邊3E所在的直線恰好經(jīng)過線段CG的中點(diǎn),則CEG

的面積為

【答案】8-2行或8+2百

【分析】當(dāng)把與A。交于點(diǎn)E時(shí).直線班:經(jīng)過線段CG的中點(diǎn)Q,過點(diǎn)C作CMJ.8E于點(diǎn)〃，證明

.皮;Q^.MCQ(AAS),根據(jù)SC%=；EQ(8G+CM)解答即可：當(dāng)先與D4的延長線交于點(diǎn)E時(shí)，直線8E

經(jīng)過線段CG的中點(diǎn)。，過點(diǎn)。作CT_L*于點(diǎn)7,仿照前面的證明解答即可.

【詳解】解：當(dāng)應(yīng):與AO交于點(diǎn)E時(shí)，直線的經(jīng)過線段CG的中點(diǎn)Q,

過點(diǎn)C作CM于點(diǎn)

團(tuán)四邊形A8CO和四邊形4日G都是矩形，且A8=8G=2,BC=3E=4,

0ZGBQ=ABAE=^BMC=90°,AE//BC,

aNAEB=NMBC,

WBAE=NCMB

眇/AEB=NMBC,

BE=CB

?二ABEqMCB(AAS),

團(tuán)AB二MC,AE=MB，

理BG=MC,

NGBQ=NCMQ

NBQG=NMQC,

BG=MC

3BG維..MCQ(AAS),

回C0=GQ,BQ=MQ,

腎AEZBE-AB?=26=MB，

mBQ=MQ=；MB=6,EM=BE-MB=4-26,

團(tuán)E2=MQ+ME=4-6

05C￡C=1E(?(5G+CM)=8-2V3；

當(dāng)跖與0A的延長線交于點(diǎn)上時(shí)，直線BE經(jīng)過線段CG的中點(diǎn)Q,

過點(diǎn)。作C7J_BE于點(diǎn)T,

團(tuán)四邊形A8CZ）和四邊形成尸G都是矩形，且AB=8G=2,BC=BE=4,

EZABC=NBAE=ZC7B=90°,

EZAEB=900-ZABE=Z.TBC,

乙BAE=NCTB

E]ZAEB=ZTOC,

BE=CB

EUABE@TCfi(AAS),

團(tuán)AB=7C,AE=TB,

田BG=TC,

￡GBQ=NCTQ

?/BQG=/TQC,

BG=TC

瓦BGQ芻.TCQ(AAS),

RCQ=GQ,BQ=TQ,

^AE=>JBE2-AB2=2>/3=7B>

^BQ=TQ=-TI3=>f3,

2

團(tuán)S.c時(shí)=-8Q(BG+CT)=2石，S詆，BG-BE=4,

22

設(shè)。瓦AB的交點(diǎn)為M

^AE//BC,

團(tuán)..E4ASCBN,

_BNBC

團(tuán)---=---,

ANAN

_BNBC

0----=-------------,

ABBC+AN

BN4

吃=77運(yùn)

BN4

吃=互亞，

解得月N=8-4后，

缶Sac=g8N（8C+AN）=（4-2q3）（4+2@=4'

?SC￡G=SCBC+SFM+SCfiQ=8+26；

故答案為：8-2b或8+26.

【點(diǎn)睛】本題考查了矩形的性質(zhì)，三角形全等的判定和性質(zhì)，勾股定理，三角形相似的判定用性質(zhì)，分類

思想，熟練掌握性質(zhì)和定理是解題的關(guān)鍵.

15.（2025?浙江溫州?二模）如圖，在菱形A8C。中，E是對(duì)角線AC上一點(diǎn)，連接正，將BCE繞著點(diǎn)、B旋

轉(zhuǎn)，點(diǎn)C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸落在邊AO上，點(diǎn)E的對(duì)應(yīng)點(diǎn)G落在邊AB上，BF與AC交于點(diǎn)、H.若4c=12,尸是

AO的中點(diǎn)，則的長為.

【答案】2M

【分析】本題考查了菱形性質(zhì)的應(yīng)用，涉及到全等三角形的性質(zhì)與判定和相似三角形的性質(zhì)與判定以及勾

股定理和等腰三角形性質(zhì)的相關(guān)知識(shí).考查了學(xué)生的綜合應(yīng)用與綜合分析的能力.本題需要證明

.47/s.c和A8〃&C8E（ASA）,并根據(jù)等腰三角形三線合一得出〃K=KE,進(jìn)一步在RtBKE和

RlaBKC中，由勾股定理可得：BK2=BE2-KE2=BC2-KC2,建立方程求解即可得出〃E的長.

【詳解】解：:.BCE旋轉(zhuǎn)得到島BAG,

BCE^,BFG,

BC=BF,ZABH=NCBE,

A88是菱形，BC=\2,

：.AD=BC=AB=CD=\2,AD//BC,

：.ADAC=ZBCH,4AFH=Z.CBH,

AFHSJCBH，

F是八。的中點(diǎn),

AFAHFH6\

BCHCHB122

22

/.BH=-BF=-x\2=S,

33

?/AB=BC,

.?.NR4C=N3C4,

在和△C3E中，

4ABH=4CBE

AB=BC,

NBAC=NBCA

:…ABHWCBE(ASA),

BH=BE=8,AH=EC,

AH1

HC2

：.AH=HE=EC,

過B作3K_L〃E交于點(diǎn)K,

BH=BE=8,HE=EC,

由等腰三角形三線合一可得HK=KE,

額HK=KE=x,EC=HE=2x,

在Rt3KE和Rtz^BKC中，由勾股定理可得:

BK，=BE2-KE?=BC2-KC2,

/.82-r2=l22-（r+2r）2,

解得彳=一而（舍去）或屈，

???HE=2屈.

故答案為：2\/訪.

16.（2025?浙江金華?二模）如圖1,在平行四邊形ABC。中，AD=2,48=3.點(diǎn)例、N分別是線段。C、

AC上的點(diǎn)，連結(jié)AC'、AM.AN.將ZWW和分別沿AM、AN翻折，使點(diǎn)。的對(duì)應(yīng)點(diǎn)E和點(diǎn)8

的對(duì)應(yīng)點(diǎn)尸都落在對(duì)角線AC上，連結(jié)ME、NF.

圖I圖2

CF

（1）如圖2,若？。90?，則左的值為______.

（/

CF

（2）若/。為鈍角，延長N"交射線于點(diǎn)尸且/“夕/'々）。，則會(huì)的值為______.

CF

［答案］（1）?

410

【分析】（1）由勾股定理得到AC=J"，再結(jié)合折疊的性質(zhì)，得到CE=g-2，CF=A-3,再求比值即

可；

（2）根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和折疊的性質(zhì)，推出！燈孑'是等邊三角形，從而得至IJQ=ZABC=〃KV=12（T,

過點(diǎn)C作CQ^AB延長線「點(diǎn)Q,則NCBQ=60。，再根據(jù)特殊角的三角函數(shù)值，求出5Q=1,CQ=0

進(jìn)而得至UAC=M，即可求解.

【詳解】解：⑴在平行四邊形43co中，AD=2，AB=3,

CO-AB^3,

vZD=90°,

AC=JAD'+CD2=V13，

由折登的性質(zhì)可知，AE=AO=2,AF=AB=3,

:.CE=AC-AE=^-2,CF=AC-AF=4i3-3,

CE_Vl3-2_x/i3+7

,-CF=^3=^~,

故答案為：巫士Z；

4

（2）在平行四邊形ABC。中，4）=2,A^=3,

CD=AB=3,AD=BC=2，Z^BC=ND，

由折疊的性質(zhì)可知，AE=AD=2,AF=AB=3,ZD=ZAEM,ZABC=ZAFN,

ZAEM=ZAFN,

ZMEC=\SO°-ZAEP,ZAFP=}SO°-ZAFN,

;.ZPEF=ZEFP,

：.PE=PF,

ZEPF=OT,

1P及'是等邊三角形，

.-.zPEF=ZEFP=60°,

.?.ZD=Z4BC=ZA/W=120°,

如圖，過點(diǎn)C作c。，AB延長線于點(diǎn)Q,則NC8Q=60。,

在R1ZX8C。中，BC=2、NCBQ=600,

.-.fi0=?Ccos6O°=l,C(?=BCsin6O°=>/3?

:.AQ=4,

22

:.AC=y/AQ+CQ=x/19,

;.CE=AC-AE=M-2,CF=AC-AF=s/i9-3f

.CEM-2M+13

"CF=y/19-3=~~IO-

故答案為：遮+"；

10

【點(diǎn)睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，等邊三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形的應(yīng)用，

分母有理化等知識(shí)，正確作輔助線構(gòu)造直角三角形是解題關(guān)鍵.

17.（2025?浙江麗水?二模）如圖，矩形A6CD的對(duì)角線AC皿）相交丁點(diǎn)、O,過點(diǎn)。的直線石尸交.AB丁點(diǎn)、E,

ARR

交C。于點(diǎn)尸，把四邊形8c在沿著EF翻折得到四邊形4'CNE.若4C'〃AC,且行：=:，則△Ob與

BC4

△OBE的面積比為.

R'

【答案】卷

【分析】過點(diǎn)。分別作4C,ZTC的垂線，垂足分別為〃、G,設(shè)RE,AC交「7；設(shè)48=%，BC=4a,

由勾股定理得AC=UF7^=5a，解直角三角形得到sinNB4C=《sin/ACB二w，據(jù)此可求出

OH==3a；由折疊的性質(zhì)可得OG=OH=3la,B'E=BE,Z^=ZB=90°,再證明四邊形87OG是矩形,

22

33

得到〃7=0。='〃；設(shè)AE—A,W'JBfE-DE-AD-AE-3a-b,則￡T==a—A,解RtZVLET得到

22

443513

ET=AEsinZEAT=-b,則一/?=二。一/九即可得到"=2〃，BE=3a-b=-a；再證明

55266

5

▲OU涇陽（AAS）,得到S△叼=5皿，則沁=沁=蕓=卓=《.

'△BOE'4BOE"匕一01J

6

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)。分別作BC,9C的垂線，垂足分別為，、G,設(shè)B'E,AC交于7,

㈤可設(shè)AB=3a,BC=4a,

團(tuán)矩形ABCD的對(duì)角線AC,BD相交于點(diǎn)0,

國NA3C=90。，OC=-ACf

在RtZXABC中，由勾股定理得。。=，44+8。2=5々，

BC4?/…AB3

BsinZBAC=----=—,sinNAC8=-----=—,

AC5AC5

在中，OC=^-AC=^af

22

3

RO”=OCsinNOCH-a；

2

3

由折疊的性質(zhì)可得OG=O"=-aB'E=BE,N8'=/B=90。,

2

團(tuán)6'C'〃AC,

0Z^TO=18O°-Z^=9O°,

田四邊形夕TOG是矩形，

團(tuán)87=OG=a。；

2

設(shè)AE=Z?,則B'E=BE=AA-AE=M—力，

33

^ET=B'E-B,T=3a-b一一a=-a-b,

22

4

在RtZXAET中，ET=AEs\nZEAT=-b,

43L

^-b=-a-b,

52

^b=-a,

6

13

SiBE=3a-b=—a；

6

團(tuán)四邊形48C￡＞是矩形，

ITAB//CD,OA=OC,

mZOAE=ZOCF,ZOEA=ZOFC,

GUQ4E0OCF(AAS),

團(tuán)S^OCF=S^OAE

5

￡S^OCF_S^OAEAE5

SdBOES&BOE樂一可一日

6

故答案為：-jy

【點(diǎn)睛】本題主要考查了矩形與折疊問題，勾股定理，解直角三角形，全等三角形的性質(zhì)與判定等等，表

示出AE,BE的長是解題的關(guān)鍵.

18.（2025?浙江溫州?二模）如圖，在V4/C中，ZC=90u,AC：BC=3：4,AO是邊上的中線，將△A8。

沿A。翻折至△AEO,點(diǎn)8落在點(diǎn)E處，連結(jié)CE,跖.記四邊形AOEC面積為M,/XAB。的面積為S?,

則，：S?的值是

【分析】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，解直角三角形的計(jì)算，掌握折疊的性質(zhì)，解直角三角形計(jì)算

方法是關(guān)鍵.

如圖所示，過點(diǎn)七作四_LAC延長線于點(diǎn)尸，延長4。交的于點(diǎn)G,根據(jù)題意設(shè)AC=3x,8C=4x(匯＞0),

222

則CO=3￡)=gBC=2x，AB=^AC+BC=5X^SABD=S2=3XT根據(jù)折疊可得

2

AB=AE=5x,BD=ED=2x=CD,SAEt)=SAlil)=3x,可證CE|4G,NFCE=NCAD,在KAC。中，

tanZ.FCE=LanZ.CAD=,設(shè)E尸=2,,尸。=3丁，plijAF=AC+CF=3x+3y,可得

FC3

比=2),=2x^=詈，則5?=5由+59=5=3八等=等，由此即可求解?

【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)E作所_LAC延長線于點(diǎn)尸，延長AD交BE于點(diǎn)、G,

F

團(tuán)AC:8c=3:4,點(diǎn)。是BC中點(diǎn)，

囹設(shè)AC=3x,BC=4x(x>0),

國CD=BD=；BC=2x,AC："。"。?=J(392+(旬2=5上,

11,

0S=S、=—BD-AC=—x2.rx3x=3x~,

團(tuán)折疊,

2

^AB=AE=5x,BD=ED=2x=CD,SAP[)=5,刖=3x,

團(tuán)4G垂直平分BE,即4G_LAE,

EZDBE=NOE及NDCE=/DEC.

也ZDBE+NDEB+/DEC+/DCE=2NDEC+2/DEB=18QP,

i?ZDEC+ZDEB=ZBEC=90°,即CE_L3E,

ECEAG,

EZFCE=ZC4D,

在RtACD中，tanZCAD==學(xué)=,

AC3x3

FF2

EtanZFCE=tanZC4D=—=-,

FC3

設(shè)所=2y,產(chǎn)C=3y,則Ab=AC+C"=3x+3y,

在R/AM中，AF2=EF2+AF2^

E（5x）2=（2y）24-（3x+3y）2,整理得，16x2-18xy-13y2=0,

g）（2xIy）（8.v13y）=0,

解得，y=-2x（不符合題意，舍去）或），=n，

1J

反印=2尸2x*詈

2

rac1“S1216x24x

0S.rr=—AC-EF=-x3xx=-------,

221313

=SAM+S八CE=5,=3.v2+^^=塔

RS內(nèi)邊形AOEC

故答案為：亮21.

1J

19.（2025?浙江溫州?二模）如圖，在48CD中，￡是對(duì)角線8。上一點(diǎn)，過點(diǎn)七作FG〃AA,分別交友7,A。

于點(diǎn)F,G,將四邊形A4PG沿AG翻折，得到四邊形A4尸G,點(diǎn)"恰好落在8。上.若

EG:EF=5.2,AD=28,AH=HD,則&HBD的面積為

【分析】如圖，連接A4'，由折疊可得：四邊形AGN8'是平行四邊形，可得A6=G尸，NB〃RB,

FHCrRfF

AB=GF=A:B\—,證明隹=華=1,〃G=AG=A'G,可得A在以G為圓心，A//為直徑的

BEAGBEAG

圓上，ZAA'H=90°,證明VOGEsVBFE,可得AG=8,7X7=20,A4Z=V162-122=4x/7，

sAM=；X45X12=24?，再進(jìn)一步利用相似三角形的性質(zhì)可得答案?

【詳解】解：如圖，連接A/T，

團(tuán)四邊形48co是平行四邊形,

EAD//BC,

mFG//AI3,

回四邊形A8PG是平行四邊形，

田AB=GF,AG=BF,

由折疊可得：四邊形AGm，是平行四邊形，

^A8'=GF,AB'//GF//AB,

^AB=GF=A,B,,—=—,

BEAG

團(tuán)由對(duì)折可得：AB=A8,FB=FR，