專題3.2函數(shù)的單調性與最值

1.理解函數(shù)的單調性，會判斷函數(shù)的單調性.

新課程考試要求

2.理解函數(shù)的最大（?。┲档暮x，會求函數(shù)的最大（?。┲?

培養(yǎng)學生數(shù)學抽象（例5614.15）、數(shù)學運算（例3等）、邏輯推理（例2）、直觀想象

核心素養(yǎng)

（例9.10）等核心數(shù)學素養(yǎng).

1.確定函數(shù)的最值（值域）

2.以基本初等函數(shù)為載體，考查函數(shù)單調性的判定、函數(shù)單調區(qū)間的確定、函數(shù)單調性

考向預測

的應用（解不等式、確定參數(shù)的取值范圍、比較函數(shù)值大?。⒀芯亢瘮?shù)的最值等，常

與奇偶性、周期性結合，有時與導數(shù)綜合考查.

【知識清單】

1.函數(shù)的單調性

（1）增函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)的某個區(qū)間力上的仔意兩個自變品為、4，當為時，都有

〃芭）</（占）‘那么就說函數(shù)/（大）在區(qū)間。上是增函數(shù)；

（2）減函數(shù)：若對于定義域/內(nèi)為某個區(qū)間上的任意兩個自變量司、々，當王<占時，都有

/（5）>/（W），那么就說函數(shù)f（X）在區(qū)間。上是減函數(shù).

2.函數(shù)的最值

1.最大值：一般地，設函數(shù)y=/（x）的定義域為/，如果存在實數(shù)M滿足：

（1）對于任意的xc/,都有了G）KM；

（2）存在使得/（x0）=M.

那么，我們稱M是函數(shù)y=/（x）的最大值.

2.最小值：一般地，設函數(shù)y=/（x）的定義域為/,如果存在實數(shù)陽滿足：

（1）對于任意的工￡/,都有f（x）>m；

（2）存在與w/,使得/（%）=/%.

那么，我們稱加是函數(shù)y=/（x）的最小值.

【考點分類剖析】

考點一單調性的判定和證明

【典例1】（2020?西藏自治區(qū)高三二模（文））下列函數(shù)中，在區(qū)間（0,+8）上為減函數(shù)的是（）

2

A.y=4x+\B.y=x-\C.y=D.y=log2x

【答案】C

【解析】

對于A選項，函數(shù)），=47?在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)；

對于B選項，函數(shù)），=f_］在區(qū)間（0,+。）上為增函數(shù)；

對于C選項，函數(shù)）,二（g）在區(qū)間（0,+8）上為減函數(shù)；

對于D選項，函數(shù)y=log2x在區(qū)間（0,+8）上為增函數(shù).

故選：C.

r4-1

【典例2】（2021.全國高一課時練習）已知函數(shù)/認尸-證明函數(shù)在（-2,+8）上單調遞增.

x+2

【答案】證明見解析.

【解析】

V.n,X2G（-2,+OD）,利用作差法和0比可得函數(shù)值大小進而可證得.

【詳解】

證明：Vxi,X2￡(-2,+cc),且XI>X2>-2,

X+11

尸=1

x+2x+2

11

則火為）次也）=—―

X1+2

_*

飛+2)(X2+2)，

因為Xi>X2>-2,

所以xi-X2>0，xi+2>0,X2+2>0,

所以/,0、/一上所以其⑴X*),

(百+2)(々+2)

所以於）在（-2,十8）上單調遞增.

【規(guī)律方法】

學握確定函數(shù)單調性(區(qū)間)的4種常用方法

(1)定義法：一般步驟為設元一作差一變形一判斷符號一得出結論.其關鍵是作差變形，為了便于判斷差的

符號，通常將差變成因式連乘(除)或平方和的形式，再結合變量的范圍、假定的兩個自變量的大小關系及

不等式的性質進行判斷.

(2)圖象法：如果f(x)是以圖象形式給出的，或者f(x)的圖象易作出，則可由圖象的直觀性確定它的單調

性.

(3)熟悉一些常見的基本初等函數(shù)的單調性.

(4)導數(shù)法：利用導數(shù)取值的正負確定函數(shù)的單調性.

【變式探究】

1.【多選題】(2021?全國高一課時練習)設函數(shù)./U)在R上為增函數(shù)，則下列結論不一定正確的是()

A.)，二；7二在R上為減函數(shù)B.尸儀初在R上為增函數(shù)

\fM\

C.產(chǎn)一二二在R上為增函數(shù)D.)=~/U)在R上為減函數(shù)

/U)

【答案】ABC

【解析】

令/(#=尤可判斷出ABC不正確，利用單調函數(shù)的定義判斷可得結果.

【詳解】

11

對于A,若尸x,則產(chǎn)二腦,在穴上不是減函數(shù)，A錯誤；

\fM\|x|

對于B,若凡1)=無，則產(chǎn)貝幻I=h1,在R上不是增函數(shù)，B錯誤；

11

對于C,若則產(chǎn)-二二二一一，在R上不是增函數(shù)，C錯誤；

fWX

對于D,函數(shù)_/U)在R上為增函數(shù)，則對于任意的XI，X2￡R，設X1<X2，必有風口)勺(X2)，

對于產(chǎn)-fix),則有>'l->^2=[-J(x[)]-[-fiX2)]=fiX2)-fixI)>0,

則產(chǎn)一/U)在R上為減函數(shù)，D正確.

故選：ABC

2.已知/(%)=l+2x-x2,那么g(x)=f[fM]()

A.在區(qū)間(-2,1)上單調遞增B.在(0,2)上單調遞增

A.(-oo,-2]B.(-00,1]C.[l,+oo)D.[4,4-oo)

【答案】D

【解析】

x2-2x-8>0得x>4或％<一2,

令“2-2%—8=3則y=為增函數(shù)，

At=x2-2x-8在[4,+8)上的增區(qū)間便是原函數(shù)的單調遞增區(qū)間，

原函數(shù)的單調遞增區(qū)間為[4,+8),故選[).

【規(guī)律方法】

確定函數(shù)的單調區(qū)間常見方法：

1.利用基本初等函數(shù)的單調區(qū)間

2.圖象法：對于基本初等函數(shù)及其函數(shù)的變形函數(shù)，可以作出函數(shù)圖象求出函數(shù)的單調區(qū)間.

3.復合函數(shù)法：對于函數(shù)y=/[g(x)],可設內(nèi)層函數(shù)為〃=g(x),外層函數(shù)為y=/(〃)，可以利用復

合函數(shù)法來進行求解，遵循“同增異減”，即內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調性相同，則函數(shù)

y=/[g(x)]在區(qū)間【)上單調遞增；內(nèi)層函數(shù)與外層函數(shù)在區(qū)間D上的單調性相反,則函數(shù)y=/[g(x)]

在區(qū)間D上單調遞減.

4.導數(shù)法：不等式廣(司>0的解集與函數(shù)的定義域的交集即為函數(shù)/(x)的單調遞增區(qū)間，不等式

/0)<0的解集與函數(shù)“X)的定義域的交集即為函數(shù)的單調遞減區(qū)間.

【變式探究】

1.函數(shù)V=logK/-3x+2)的單調遞增區(qū)間是()

2

A(-00,1)B(2,+oo)C(-co,1)I)(：,+8)

【答案】A

【解析】

由題可得X2-3X+2>0,解得X<1或X>2,

由二次函數(shù)的性質和復合函數(shù)的單調性可得

函數(shù)、=108式％2一3%+2)的單調遞增區(qū)間為：(-8,1)

2

故選：A.

X

2.(2021?浙江高一期末)若函數(shù)八用二1一1「(xcR),則下列判斷中正確的是___________.

1十|x|

(I)f(-x)+fM=2,即函數(shù)的圖象關于點(0,1)成中心對稱；

(2)函數(shù)的值域為(—1,1)：

(3)函數(shù)的單調遞減區(qū)間是R.

【答案】⑴⑶

【解析】

(1)根據(jù)對稱中心直接驗證即可判斷(1)；對x分X20和x＜0討念，分別求出相應的值域可判斷(2)；對x分

/20和工＜0討論，并結合反比例型函數(shù)單調性，可判斷(3).

【詳解】

一tX

(1)因為/(-尤)+/(x)=l-丁1+1-丁丁=2,所以函數(shù)/(幻的圖象關于點(0,1)成中心對稱，故⑴

l+|x|l+|x|

正確；

X1

⑵當X20時，/(x)=1———=—,此時函數(shù)/*)在[0,”)上單調遞減，所以/(x)￡(0J：

1+XX+1

Yy_1111

當上＜0時，f(x)=1一——=1+-------=2+——，此時函數(shù)/(X)在(—8,0)上單調遞減，所以

1-xx-\x-\

f(x)€(1,2)；

所以函數(shù)/(x)w(0,2),故(2)錯誤.

(3)由(2)可知,函數(shù)/(%)的單調遞減區(qū)間是R,故(3)正確.

故答案為：(1)(3)

方法點睛：函數(shù)關于點(4與中心對稱＜=＞f(2a-x)+f(x)=2b.

【特別警示】

1.單調區(qū)間必須是一個區(qū)間，不能是兩個區(qū)間的并，如不能寫成函數(shù)尸，在(一8,0)u(0,+8)上是減

X

函數(shù)，而只能寫成在(一8,0)和(0,+8)上是減函數(shù).

2.區(qū)間端點的寫法；對于單獨的一點，由于它的函數(shù)值是唯一確定的常數(shù)，沒有增減變化，所以不存在單

調問題，因此寫單調區(qū)間時，可以包括端點，也可以不包括端點，但對于某些點無意義時，單調區(qū)間就不

包括這些點.

考點三：利用單調性比較大小

【典例5](2021.河南安陽市.高三一模(理))設函數(shù)/(X)滿足/(-x)=/(x),且

氣,々￡(0,內(nèi)),(工產(chǎn)々)有(國一—"巧)]＞。,則＜)

A./(-2)</(-3)</(l)B./(-3)</(-2)</(l)

D./(-l)</(3)</(-2)

【答案】C

【解析】

根據(jù)題意，得到函數(shù)/(x)在(O,+8)上單調遞增，且為定義在R上的偶函數(shù)，結合函數(shù)的單調性與奇偶性，

即可求解.

【詳解】

由題意知片w(0,+oo),(百工式)都有(百一%)[/(%)―/(8)]>0,

可得函數(shù)/(X)在(0,+8)上單調遞增，

又由函數(shù)/(用滿足/(T)=〃X),可得/(力是定義在K上的偶函數(shù),

所以〃-2)=〃2),所以〃1)<〃2)</(3),BP/(l)</(-2)</(3),

故選：C.

【典例6】(2020?四川省高三三模(理))定義在實數(shù)集R上的函數(shù)/*)滿足/。+1)=/(1-x),且當xNl

時，/⑴是增函數(shù)，則。=/(1叫2),人=/(—log/g),c=〃3)的大小關系正確的是〔).

A.a>b>cB.b>c>aC.c>a>bD.b>a>c

【答案】C

【解析】

/(x+l)=/(l-x),

???f(x)關于X=1對稱，

又時，是增函數(shù)，

,.?xNl/(X)/(log32)=/(2-log32)=log3,

b<a<c.

故選：C.

【方法總結】

先判斷出函數(shù)/(X)的單調性，然后判斷。泊,。之間的大小關系，利用單調性比較出/(a)JS)J(c)之間的

大小關系.一般地，比較函數(shù)值的大小時，若自變量的值不在同一個單調區(qū)間內(nèi)，要利用其函數(shù)性質，轉化

到同一個單調區(qū)間上進行比較，對于選擇題、填空題能數(shù)形結合的盡量用圖象法求解.

【變式探究】

1.已知定義在R上的函數(shù)/(%)滿足/(3-x)=/(3+%),且對任意勺，x26(0,3)都有"不)一"、)<0,若。=

ln4

2-&,h=log23,c=e,則下面結論正確的是()

A./(a)</(b)V/(c)B./(c)</(a)<f(b)

C.7(c)</(b)</(a)D./(a)</(c)<f(b)

【答案】C

【解析】

因為f(3-x)=f(3+x),得函數(shù)/(%)關于％=3對稱，

又對任意修，%G(0,3)都有所以函數(shù)/(乃在XW(0,3)時單調遞減，

2*2-^1

Q

因為0<a=2-6<2=l<b=log23<2,所以f(a)>f(b)>f(2),

Xc=eln4=4,.%/(4)=/(2),所以f(c)=f(2),所以f(c)V/(b)V/(a),故選C

2.(2020?遼寧省撫順一中高三二模(理))已知函數(shù)/⑴=2兇+/,設〃u/Qogzg)，〃=/(7")，

p=/(log425),則〃？，〃，〃的大小關系為()

A.m>p>nB.p>n>mc.〃>〃?>〃D.

【答案】C

【解析】

因為/(x)=州+V,所以/(-x)=2H+(-X)2=2W+X2=f(x),

因此/(司=泗+/為偶函數(shù)，且易知函數(shù)/(X)在(0,+巧上單調遞增，

又Iog2；=log23e(l,2),7《7(0,1),log,25=log25e(2,3),

所以log425>log2g>7-0,1,

因此〃

故選C

考點四：利用單調性確定參數(shù)取值范圍

【典例7】（2020?重慶市育才中學高三開學考試（文））若函數(shù)=F是R上的增函

2or-l,x<1

數(shù)，則實數(shù)。的取值范圍是（）

1

A.B.D.一,+8

43

【答案】B

【解析】

由函數(shù)”工）=卜一?一3兄轉1是R上的增函數(shù),

2ax-\yx<\

^＜1

21

則＜。＞0,解得0＜。＜一，

3

2a-\＜\-a-3a

（1

即實數(shù)。的取值范圍是0,-,

故選：B.

【典例8】【多選題】（2021?湖南長沙市?長沙一中高二月考）己知函數(shù)f（。一”國，若對任意的％什1］,

不等式/（x+/）23/（x）恒成立，則整數(shù)/的取值可以是（）

A.-1B.IC.3D.5

【答案】CD

【解析】

首先判斷“X）在R上為增函數(shù)，將不等式轉化為x+壯Jir,即△（百一1卜對任意的工€［/,什1］恒成

立，利用一次函數(shù)的單調性，解不等式可得所求范圍.

【詳解】

〃“=用，

當上20時，/（x）=d,在［0,yo）遞增，

當工VO時，/（.r）=-x2,在（f,0］上遞增,

且，0）=0，/（X）為連續(xù)函數(shù)，

所以“X）在R上為增函數(shù)，且3/（x）=/（JIr）,

由對任意的什"，不等式f（x+，）N3/（x）恒成立，

即/*（%+，）之/（后）

即上+fN瓜，所以，之（石一1,對任意的X5［,什I］恒成立，

由y=（J5-l）x在［［,什1］上遞增，

可得y=（、Q—l）x的最大值為卜Q_l）（，+1）,

即1之（6一1）（，+1）,解得口為+1.

故選：CD

工2_2X<0

'一,若|/。）|..如在

｛3x-2,x>0

xe［-1,1］上恒成立，則實數(shù)。的取值范圍是

【答窠】［-1,0］

【解析】

作出函數(shù)y=|/（到和y=衣在k1』上的圖像，如下圖所示

由圖可知，當直線V=在陰影部分之間時，滿足|/（x）|2ar在上恒成立

|/（-l）|=h所以A（TJ）

當直線丁=御經(jīng)過點A時，a=-\

當直線>="恰好是工軸時，。=0

所以一

所以。的取值范圍是11,0]

故答案為：[-1,0]

【規(guī)律方法】

1.利用單調性求參數(shù)的范圍（或值）的方法

（1）視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調性定義，確定函數(shù)的單調區(qū)間，與已知單調區(qū)間比較求參數(shù)；

（2）需注意若函數(shù)在區(qū)間[a,3上是單調的，則該函數(shù)在此區(qū)間的任意子集上也是單調的.

（3）注意函數(shù)單調性呈現(xiàn)的三種方式：定義式、比值式（）、念一占與人制）一7（方）關系式.

&??"口）

2.利用分離參數(shù)法;

3.對于恒成立問題，常用到以下兩個結論：（1）礫/"）恒成立=〃/功皿；（2）g/U）恒成立=舊㈤”而.

【變式探究】

,、[―/+2x—1,尤41/o.

1.（2020?仝國高三（文））已知函數(shù)f（x）=j氏彳＞],若｛--4）＞〃3。），，則實數(shù)〃的

取值范圍是（）

A.（-41）B.（-OO,-4）U（1,-HX））

C.(—1,4)D.(F,-1)U(4M)

【答案】D

【解析】

—x~+2x—1,xW1—x~+2x—1,xW1

|x-l|,x>1x-i,x>l

如圖所示：畫出函數(shù)圖像，根據(jù)圖像知函數(shù)單調遞增,

f(cT-4)>7(367),即。2一4>34，解得〃>4或avT.

故選:D.

(x2-為+8,x<1

2.(2019?陜西西安中學高三期中(文))若函數(shù)f(x)=：為k上的減函數(shù)，則實數(shù)a的

(?x>1

取值范圍是()

A.(4,4-00)B.[4,+co)C.[4,6]D.(0,4-oo)

【答案】C

【解析】

x2+8,x<1

因為函數(shù)/(%)=I為k上的減函數(shù)，所以y=M-g%+8,x&l,

-X.X>12

y=>1,是減函數(shù)，且當％=1時，9-^>cz.故只需滿足?Q>0，解得4WQ工6,故選C.

x2ca、

9--2>a

考點五：利用函數(shù)的單調性解決不等式問題

2x-l,x<I

【典例101【多選題】已知函數(shù)/(x)=〈、.,則下列x的范圍滿足不等式

x~,x>\

/(V+%+3)>/(39一3)的是()

A.(-2,1)B.VC.!|,2)口.‘1弓

【答案】BCD

【解析】

畫出函數(shù)f(x)的圖象，由圖象可知函數(shù)/(幻在(-00,XO)上為增函數(shù)，再利用函數(shù)/(X)的單調性簡化不等

式，即可得到結果.

【詳解】

2x-l,x<1

因為函數(shù)/(x)=〈、,，畫出函數(shù)圖象如圖所示:

x~,x>1

所以函數(shù)/(X)在(YO,+<Q)上為增函數(shù),

由/(+X+3)>f(3^2一3)得f+X+3>3/一3,

即2f-x-6<0

解得一二<x<2,

2

故選：BCD.

【典例11】(2020?海南高考真題)若定義在及的奇函數(shù)應。在(-8,0)單調遞減，且<2)=0,則滿足

3(x-l)20的x的取值范圍是()

A.l-UJUa-HX))B.L-3,-lJUl0,lJ

C.[-1,0]31收)D.[T013L3]

【答案】D

【解析】

首先根據(jù)函數(shù)奇偶性與單調性，得到函數(shù)/(%)在相應區(qū)間上的符號，再根據(jù)兩個數(shù)的乘積大于等于零，分

類轉化為對應自變量不等式，最后求并集得結果.

【詳解】

因為定義在R上的奇函數(shù)f(x)在(-8,0)上單調遞減，且/(2)=0,

所以在(0,+8)上也是單調遞減，且/(-2)=0,/(0)=0,

所以當工￡(-8,-2)。(0,2)時，f(x)>0,當x￡(-2,0)U(2,+8)時，f(x)<0,

所以由1)20可得：

[x<0[x>0

2"-1工?；騕。。-1W2或

解得一IWXWO或l?xW3,

所以滿足W-D之()的x的取值范圍是[TQ],

故選：D.

【規(guī)律方法】

1.給定具體函數(shù)，確定函數(shù)不等式的解，首先要判斷函數(shù)的單調性；

2.求解含“尸的函數(shù)不等式的解題思路

先利用函數(shù)的相關性質將不等式轉化為f(g(x))>/'(力(x))的形式，再根據(jù)函數(shù)的單調性去掉“尸，得到-

般的不等式以x)>力(M(或g(x)</?(x)).

【變式探尢】

1.(2020?重慶巴蜀中學高三月考(文))已知定義在寵上的函數(shù)/(X)滿足/(1)=2,對任意的實數(shù)用，

工2且/(%)一/(戈2)<%一￡，則不等式的解集為()

A.(YO,-2)B.(2,+?)

C.(^O,-1)U(1,-KO)D.(^o,-2)u(2,+oo)

【答案】B

【解析】

設/(x)=/(x)-X-1，

則F(x-1)=/(x-l)-x,

F(1)=/(1)-1-1=O,

對任意的』，&且X<W，/(X)-/(X2)<X1-X2，

得f(百)一八i一1〈/(々A/T,

即尸(%)〈尸(乙),

所以尸(力在尺上是增函數(shù)，

不等式即為/(x-l)〉/7。)，

所以工一1>1,x>2.

故選：B

2.(2019?江西省新余一中高三一模(理))已知》=/(同是定義在(—2,2)上的增函數(shù)，若

f(m-1)</(l-2w),則加的取值范圍是.

5g12

【答案】避不；

根23

【解析】

因為)'=/("是定義在(一2,2)上的增函數(shù)，〃止1)v/(l?2〃z)

\m-1<1-2m

TI2

所以；-2vm-lv2,聯(lián)立解得-一(〃2〈二，故答案為

icier23

f-2<1-2m<2I器

考點六：函數(shù)的單調性和最值(值域)問題

【典例12](2021?全國高三月考(文))若函數(shù)/*)=/在區(qū)間m向上的值域為〃"+i]QeR),則…

()

A.有最大值，但無最小值B.既有最大值，也有最小值

C.無最大值，但有最小值D.既無最大值，也無最小值

【答案】A

【解析】

取“x)=f,判斷〃一〃無最小值；由于(b；)=/(〃)+〃〃)一2/(早)故結合題意得八一。42,

進而得答案.

【詳解】

解：/(x)=x2,

不妨設Ovavb,則/(x)=d在目上的值域為[/，6]

由于函數(shù)/(x)=r在區(qū)間團,加上的值域為

所以從一"=],故。一〃二」無最小值;

a+b

因為/(〃)=/./(Z?)=Z?2,

由于拋物線開口向上，

故>t,

、乙)

所以^■=/(")+/e)一2/

F)Vf+l+f+l—2r=2,

2—42+k

所以人一。《2,當且僅當人=三,〃=一一二時取得最大值2.

22

故選:A.

【典例13](2021.全國高三專題練習)已知〃>1,beR,當x>0時，[(o—l)x—1卜(三吆一切20恒成

立，則b+3a的最小值是

【答案】夜+3

【解析】

按的正負分類討論確定公。的關系，從而可把〃+勿化為。的函數(shù)，再由基本不等式求得最小

值.

【詳解】

1Y2—4

當工￡(0,——］時,(a-l)x-lvO,即:~恒成立,

ci-\2x

N—4I*21

}'=-——二六――是上￡(0,—J上的增困數(shù),

2x2x

b>-------4(。-1)

2\_a-\

\V'_4

當上￡|——,+x)時，(。一1口一1>0,即：^—恒成立,

。一12x

yp"-4x21

），==^=2一±是/￡|一；,+0。）上的增函數(shù),

2x2xa-\

：.b<-——―4（tz-l）

2[_a-\

￡占-4（〃一1）

??.Z?+3〃=，+（〃-1）+32后+3,當〃=也+1時等號成立.

2（。一1）2

故答案為：>/2+3-

【總結提升】

函數(shù)最大值和最小值定義中兩個關鍵詞：

①“存在”:

M首先是一個函數(shù)值，它是值域中的一個元素，

如函數(shù)y=faeR）的最小值是0,有10）=0.

②“任意”：

最大（?。┲刀x中的“任意''是說對于定義域內(nèi)的每一個值都必須滿足不等式，即對于定義域內(nèi)的全部元素,

都有aM）成立，也就是說，函數(shù)y=/3的圖象不能位于直線y=M的上（下）方.

【變式探究】

1v

1.（2020?上海高三一?模）設x>0,y>0,若2工+—=1,則二的（）

yx

A.最小值為8B.最大值為8

C.最小值為2D.最大值為2

【答案】A

【解析】

]

本題首先可根據(jù)題意得出上>0,然后根據(jù)2x+'=l得出），二二二，并將上轉化為二7一if1

xy'l-2xx-2x--+-

I4J8

最后取1=!，即可得出結果.

4

【詳解】

因為x>0,y>0,所以￡>o,

x

因為2xd■—=1,所以)，二一!一,X*—,

y,\-2x2

y=i]

則工一工（1一2幻~lx~+x

故當％二J■時.）最小.（工=8.

4x")min

故選：A.

fx2-2av+8,x<1

2.（2020?遼寧省高三其他（文））已知函數(shù)/5）=（4，若/（x）的最小值為/（I）,則實

x+—+a.x>1

x

數(shù)。的值不可能是()

A.1B.2C.3D.4

【答案】A

【解析】

4I~~4

由題意當X>1時，fyx)=x+—+a>2JX--+a=4+a,

xv

當且僅當x=2時，等號成立;

當xSl時，/（x）=f-2ar+8,圖象為二次函數(shù)圖象的一部分，對稱軸為

當〃<1時，/（。）為函數(shù)/（%）在（-co』上的最小值,不合題意;

當時，”1）為函數(shù)/（X）在（一8,1］上的最小值，/⑴=9-2〃,

由題意可得9一2。44+〃，解得

綜上，比數(shù)。的取侑范圍為。之?.

3

故選：A.

【方法拓展】

求函數(shù)最值（值域）的常見方法：

1.單調性法：利用函數(shù)的單調性:若/（X）是m刈上的單調增（減）函數(shù)，則/⑷，/俗）分別是/“）在區(qū)間

m,口上取得最?。ù螅┲?，最大（?。┲?

2.圖象法：對于由基本初等函數(shù)圖象變化而來的函數(shù)，通過觀察函數(shù)圖象的最高點或最低點確定函數(shù)的最

值.

3.利用配方法:形如=ar2+bx+c（aw0）型,用此種方法,注意自變量x的范圍.

4.利用三角函數(shù)的有界性，如sinx￡[-1,[],cos,r

5.利用“分離常數(shù)”法:形如丫=竺心或丁=上一堂一（a,c至少有一個不為零）的函數(shù)，求其值域可用

cx+dcx+d

此法.

6.利用換元法:形如>=◎+〃土QT9型，可用此法求其值域.

7.利用基本不等式法：

8.導數(shù)法:利用導數(shù)與函數(shù)的連續(xù)性求圖復雜函數(shù)的極值和最值，?然后求出值域

9.求分段函數(shù)的最值時，應根據(jù)所給自變量值的大小選擇相應的解析式求解，有時每段交替使用求值.若

給出函數(shù)值或函數(shù)值的范圍求自變量值或自變量的取值范圍，應根據(jù)每一段的解析式分別求解，但要注意

檢驗所求自變量值域范圍是否符合相應段的自變量的取值范圍.

10.由判別式法來判斷函數(shù)的值域時，若原函數(shù)的定義域不是實數(shù)集時，應綜合函數(shù)的定義域，將擴大的部

分剔除.

考點七：抽象函數(shù)的單調性問題

【典例14]（2021?海南高三其他模擬）己知定義在R_L的函數(shù)/（可滿足/（工一y）=f（x）—/（月,且當

x<0時，/（x）>0,則關于x的不等式/（皿2）+/'（26）>/（利\）+/（2_￥）（其中0<m<\[2）的解

集為（）

、

22

A.<X/H<X<—^B.{工|不<加或六>—}

m

f22

C.—<x<D.{x|x>〃，或JVC—}

[mm

【答案】A

【解析】

先判斷函數(shù)/（x）單調遞減，再利用一知條件和函數(shù)的單調性得（g-2乂工一機）<0,解不等式即得解.

【詳解】

任取用<%2，由已知得即/(%)—〃％)>。，所以函數(shù)/(X)單調遞減.

由/(如2)+/(2〃?)>/(〃?、)+/(2x)可得/(爾2)-/(2x)>/(>x)-/(2〃?)，

BPf^mx2-2x)>f(nrx-2m^,

所以inx2—2x<nvx-2rn，

HPtnx2-(M+2)x+2〃zv0,

即(〃底一2乂1一"z)<0,

又因為0<m<A/2，

2

所以一

m

此時原不等式解集為〈‘X〃2<K<一2':

m

故選：A

【典例15】設勇力是定義在R上的函數(shù)，對〃?，〃WR，恒有加t+〃)=貝⑼?危)8⑼和,刎和)，且當Q0

時，0勺&)<1.求證：

(1從())=1；

(2”￡R時，恒有《?0；

(3).心)在R上是減函數(shù).

【答案】見解析

【解析】分析：(I)可通過賦值求40);(2)可通過/(0)=/U+(—刈=兒0貿(mào)一X)證明yu>()；(3)利用定義可證

明函數(shù)的單調性.

解:⑴根據(jù)題意，令機=0,可得的+〃)=刖))-〃),

???/〃)和，???旭)=1.

(2)由題意知A->0時?0</(.r)<1：

當工=0時，/0)=1>0；

當x<0時，一入>0,/.0</(~x)<1.

?7X+(r)]=/U