河南省南陽市六校2024-2025學年高二下學期期末考試考前模

擬數學試題

學校:姓名：班級：考號：

一、單選題

1.已知變量歹關于x的線性回歸力程為〉=-0.6%+二，且x=2,y=-0.4,貝卜=4時，預測y

的值為（）

A.1.6B.3.2C.-3.2D.-1.6

2.已知函數/（幻=3/-累+2,則.巾/（3+?）―/（3）的值為（）

ix-*OAY

6868

A.20B.-C.—D.22

93

3.從1,3,5,7,9中任取3個數字，從0,2,4,6,8中任取2個數字，用這5個數字組成的沒有重復

數字的五位數的個數為（）

A.7200B.19200C.11040D.12000

4.已知等比數列｛%｝的前〃項和為￡5二2二二6,則配二（）

A.14B.18C.20D.30

5.若函數/（切7°82（/-"2+5丫+1）在區(qū)間（2,3）上單調遞減，貝必的取值范圍為（）

6.已知拋物線/二2py（p>0）的焦點為凡力是該拋物線上一動點，且|/時的最小值為I,

點P（2,3）,則卜月+卜月的最小值為（）

A.JlOB.4C.2D.2x/10

7.定義在R上的偶函數/（X）的導函數為/；（x）,當xN0時，恒有/（可+'/'（戈）>0則不

等式產/（工）<（2X?3>/⑵-3）的解集為（）

A.（-oo,3）B.（1,3）C.（-oo,|）i.（3,+oo）D.（3,+oo）

22

8.已知―分別為橢圓「1+4=1（。>6>0'的左、右焦點，點P（P在橢圓「的外部）為y

a~b~'

試卷第I頁，共4頁

軸上一點，線段尸￡與橢圓「交于點。，麗?麗=O.APQA內切圓的直徑為6,則橢圓「的離

心率為()

A.也B.C.叵D.3

2342

二、多選題

9.下列說法正確的是()

A.已知(3x+l)"的展開式中各項系數之和為256,則展開式中V的系數為108

B.袋中有除顏色外完全相同的5個球，其中2個紅球、3個白球，現從袋中不放回地連

續(xù)取球兩次，每次取1個球，已知第一次取得紅球，則第二次取得白球的概率為1

C.若隨機變量'~乂(1?2),尸('<4)=0.82,則尸-2)=0.18

D.若隨機變量則O(3X+2)=10

------,W=2A-UGN,

2n-\

10.已知數列為=則下列說法錯誤的是()

,n=2k,kwN*

A.數列｛a*J為等差數列B.｛《｝是單調遞減數列

,,

1

C.數歹K)的前20項和為-698860D.若m=冊+2,則〃？=2

11.己知函數/:lnx-如，則下列結論正確的是()

A.若了(x)在定義域上有2個零點，貝必的取值范圍為

Iej

B.當a>。時，/(x)有最大值且最大值為，

C./(X)一定存在極值

D.若a=1,JH/Cv])=f(x2)(xix,),則修+x2>2

三、填空題

12.在空間直角坐標系中，4(0,0,1),G(1,0,0)，平面4DE的一個法向量為歷二(1,2,2),則

試卷第2頁，共4頁

點G到平面4OE的距離為

13.已知圓。］:(x-2f+=4,圓Q:(x+2y+j1=1,動圓M與圓O,。；；都外切，則動圓

圓心時的軌跡方程為.

14.已知函數/Q)^(.v)=ah\x-x(a<0),若對任意的小￡［1,3］，總存在x,w-,1,

l_e_

使得/'GJwgG)，則。的取值范圍是.

四、解答題

15.某電影上映后，一所大學視覺傳達設計專業(yè)的學生為J'解觀眾對該部電影的特效的評價

與年齡的關系，隨機抽取了300名觀眾進行調杳，得到如下2x2列聯表：

評價

年齡段合計

好評差評

青少年120150

中老年60150

合計

(1)請完成2x2列聯表，并根據小概率值a=0.001的獨立性檢驗，判斷能否認為年齡與對特

效的評價有關聯；

(2)為了解青少年對電影特效的具體看法，視覺傳達設計專業(yè)的學生設計了一個調查問卷進

行調查，現從青少年中按評價情況用分層抽樣的方法隨機抽取5名觀眾，然后再利用隨機抽

樣的方法抽取3人做進一步調研，記抽取的3人中給出好評的人數為X,求X的分布列和

數學期望.

2

2n{ad-be）

附："g+?（c+d）（++c）0+d）：其中〃"+"c+乙

a0.10.050.010.001

xa2.7063.8416.63510.828

試卷第3頁，共4頁

《河南省南陽市六校2024-2025學年高二下學期期末考試考前模擬數學試題》參考答案

題號12345678910

答案DACDABCBACDABD

題號11

答案AD

1.D

【分析】根據線性回歸方程的性質，把樣本中心點代入線性回歸方程，求出矣數，求出預測

值.

【詳解】將8,刃代入方程,得-0.4=-0.6X2+6,5=0.8,

所以線性回歸方程為y二-06?+0.8,將x=4代入，得丁二-0.6x4+0.8=-1.6,

故選：D.

2.A

【分析】先求導，再計算了，、即可.

\*7

/(25/件9*

『

【詳解】由題意有：/'(”二9/一5,/55:20.

—3J

故選:A.

3.C

【分析】分五位數中有0卻沒有0兩種情況，利用排列、組合，直接求解即可.

【詳解】若組成的5位數中沒有0,則有C；C：A；=7200個；

若組成的5位數中有0，則有CC；C：A：=3840個，

所以用這5個數字組成的沒有重復數字的五位數有7200+3840=11040個.

故選：C

4.D

【分析】根據等比數列的前〃項和的片段和性質得到新的等比數列即可求解.

【詳解】：｛/｝是等比數列，星=2,S,-W=4,

:s3s6-S3S9-S6,k-Sg成首項為2,公比為2的等比數列,

：59-56=8,S12-S9=16,故S9=14,$2=30.

故選：D.

答案第1頁，共14頁

5.A

【分析】根據復合函數單調性和函數定義域，判斷構造函數的值域和單調性，根據函數導數

與單調性的關系，列出不等式，求出范圍.

【詳解】令f（x）=/.奴?+5工+1,可知/（x）在（2,3）上單調遞減，

由復合函數單調性“同增異減"得，/Q）=f-aK+5x+1在（2,3）上單調遞增且大于0.

t,（r）=3?-2?x+5>0在（2,3）上恒成立且不恒為0,

即24《33+工在（2,3）上恒成立，即4：

丫Ix人

由對勾函數可知^=3/+9在（2,3）上單調遞增，「.夕€（?,至〕，，24w?即〃《口

X\25J74

"（x）在（2,3）上單調遞增，：/（2）>0,即8-4〃+10+120,解得aW2；

4

（171

綜上，a的取值范圍為-巴丁.

I4」

故選：A.

6.B

【分析】根據拋物線的定義，求出拋物線的標準方程，根據拋物線的定義，判斷出線段和的

最小值，求出結果.

【詳解】

拋物線/=2py（p>0）上的點力到拋物線焦點廠距離的最小值為1,則有與=1：解得戶=2,

在拋物線/二心中，當x=2時，y=1<3,

因此點P（2,3）在拋物線/=4y上方.

過點P作PP,_L準線/于P,，交拋物線于點。，連接。產，過/作4<準線/于4,連接P4,

如圖，顯然用+M=朋+1IA\>\PA\>|PPJ=M+匕尸，1=聞+\QA，

當且僅當點/與點。重合時取等號,所以（"+4尸鼠=「川=3-（-1）=4.

答案第2頁，共14頁

故選：B.

7.C

【分析】根據題目已知條，牛，構造函數，說明構造函數單調性，判斷函數值大小，列出不等

式，求出解集.

【詳解】構造函數=,則/⑴川⑶+方/⑶=。/(x)+|/(x)：

:當X20時，恒有/(x)+；/'(x)>0,.?./(“20,即"0在［o,+8)上單調遞增.

：/(x)是偶函數，是偶函數，：FQ.)為偶函數，

/(x)在(?8,0)上單調遞減.

Xx7(x)<(2X-3)7(2X-3),即產(x)<F(2x-3),

：x|<尿-3|,解得x<I或x>3.

故選：C.

8.B

【分析】利用切線長定理可得出口用卜°用二方，再由橢圓定義可求出匕E|，|。&|，結合勾股

定理可得出關于dAc的齊次等式，即可求出該橢圓的離心率的值.

【詳解】設匕的內切圓/分別切該三角形三邊于點兒8,C,如圖所示.

由切線長定理可得IM=M.N=1。目,上制二hd,

則|。月+|。外|-尸尼|二(04+0冊+(04+乩4)-

(PC+a8=3+3=2|04

因為而?所=0所以，_LQ?,

由圓的幾何性質可得"_1_。月,/6_1_。6，故四邊形為06,為正方形，

且其邊長為2.

7

答案第3頁，共14頁

由對稱性可知上fl二卜3|，由橢圓定義可得匕*|+匕E|=24，①

乂因為3+|Q3|-pA|二2。/1|二力，所以心外|一。用二b,②

6b

。+

聯立①②可得0"=a7--?-

由勾股定理可得pQf+ICEf：Q&l2，即［一g）+Q+g=4?

L2

整理可得獷+幺=4c,即4/+〃=8c2，

7

即4標+/—〃=8c2,整理可得益=3c,

因此，e——―――?

a3

故選：B.

9.ACD

【分析】A選項，令x=l,求出〃二4,寫出通項公式，得到答案；B選項，設出事件，利

用條件概率公式進行求解：C選項，由正態(tài)分布的對稱性進行求解；D選項，先利用二項分

布求方差公式得到。（丫）=與，再利用方差的性質進行計算.

【詳解】對于選項A：令x=1,則4"=256,：〃=4,

=0/1》1,:尸的系數為=108.A正確：

對于選項B：設“第一次取得紅球”為事件力，”第二次取得白球”為事件8,

3

P（/）=|,P（M=衿q..?.p（5i力=哭/吟—B錯誤;

5

對于選項C：由題意知，P（X>4）=1—P（y<4）=1—0.82=0.18,

答案第4頁，共14頁

尸(XW-2)=P(XN4)=0.18,C正確;

對于選項D：D(X)=5x；x(l-0=費10，D(3X+2)=34A)=9x1^0=l(,D正確.

99

故選：ACD

10.ABD

【分析】AB選項，求出前三項，得到AB錯誤：C選項，令bn二L2〃-l,〃=2k-l?wN

(-2廣,〃=2%,壯、?

an

得到奇數項和等差數列，偶數項為等比數列，分組求和即可：D選項，分小為奇數和偶數兩

種情況，得到方程，求出答案.

【詳解】對于選項A：6=1,%=:，6=：,易得!4小1不是等差數列，A錯誤:

對于選項B：q=1,%=-彳,%=彳并非單調遞減數列，B錯誤；

對于選項C：令bn二工2w-l,w=2A-UeN,

(-2r,,/7=2AAeN*'

辦，仇，仇,…是以1為首項，4為公差的等差數列,

10佃+九)10(1+37)

；.a+a+…+a9=----------=----------=1VU?

??

力2,兒,兒,…是以-2為首項，4為公比的等比數列,

-2(7。)_2221

a+a+…+%)=

1-4

2721572721

.?.4+a+…+&)=190心胃=；=-698860,C正確:

對于選項D：①若機為奇數,

11

則%'J=2川+1

2m-1

:4,4+i<0,am+2>0f：am.am+l/an+2;

_(口nt-1m+l

②若加為偶數，則4

\2,~2J

m-1xm+l

11

am-am+l=Q/n+2?

2w+l2)

答案第5頁，共14頁

故;;----=—,2m+1=4

7ni+14

/w=~,D錯誤.

7

故選：ABD

11.AD

【分析】根據函數導數和函數單調性、零點、極值、最大值之間的關系，逐個判斷各選項正

誤.

【詳解】對于選項A：令7(x)=o,則也在(0,+8)上有兩個解,

\nx〃、\-\nx.,(、

令g(x)=——，g(x):——?令g(M=0，則%=e,

當0VX<e時,g,(x)>0,g(x)在(o,e)上單調遞增,

當X"時,g,(x)<0,g>在(e,+8)上單調遞減,

在x=e處取得極大值，也是最大值，，孤)7g⑻j

因為g(l)=0，且當X-+8時，g(x)-0且g(x)>0,

所以。的取值范圍為O.?)所以A正確；

對于選項B：f'[x}=--a,令/'(x)=0,則'=’,

rn

1(1A

當o<x<，時，/(Q、o,/(Q在o,一上單調遞增,

當時，/；(x)<0,/(x)在(：,+8上單調遞減,

](1A

在戈=一處取得極大值，也是最大值，「./(Ma=/—=一1恒一1所以B錯誤:

"\a

對于選項C：由B得，當4>0時，/(X)存在極大值,

當aWO時，易得/；6)>。恒成立，故/(J在定義域內單調遞增，無極值，所以C錯誤;

對于選項D：若”=1,貝7(r)=lnx?x在(0,1)上單調遞增，在(1,+8)上單調遞減，因為

/U)=/(-v2)(x,^X2),不妨設0<Xi<\<x2t

設gQ)=/(x)?/(2r),xE(0,l),

，/、1-x\-(2-x)

則g('卜T+F-

答案第6頁，共14頁

所以g(x)在(0,1)上單調遞增,所以g(x)<g⑴=0,

又0<XI<1,所以g(v)=/(XI)-/(2-A-1)<0,即/(u)<f(2-X1),X/GJ=/(x2)，所以

/U)</(2-x1),

因為>1,2F>1,s/(x)=Inx-x在(l,+8)上單調遞減，所以與>2-X[,即M+X2>2,

所以D正確.

故選：AD.

12.-

【分析】根據點到平面距離的向量方法公式，求出方向向量，代入公式求出距離即可.

【詳解】因為:/；二(1,0,-1),所以點G到平面4OE的距離"二冷@=；

故答案為：—.

__21=i(x<o)

13.Il"J

47

【分析】根據雙曲線的定義，判斷出雙曲線的參數的值，寫出軌跡方程.

【詳解】對圓03=2,圓心為(2,0):對圓。2八=1，圓心為(-2,0).

設動圓M的半徑為，,，則"alJWQ|=2-i=1<EoJ,所以點〃的運動軌跡為以。i,a為

焦點的雙曲線的左支.

易知2c=4,解得c=2；

又2〃=1,解得〃=；；

isj2y2-u

222=V<UJ

b=c-a=—f所以動圓圓心A1的軌跡方程為T-Ts.

4——

44

22

x~y~__巾

故答案為：T-15=u(x<>

d7

5

14.a<——

e

【分析】由題意知利用導數分別求出/(x)、g(x)的最大值得到不等式即可得解.

答案第7頁，共14頁

【詳解】因為對任意的占E[1,3],總存在天€L1：使得小

_e_

所以/(xJa￡(x)=2xe-+x2ei-.r(-l)=xei-x(2-x),

令％(x)=0,得x=2或0(舍去).

當l<x<2時，￡(x)>0,/(x)單調遞增；

當2cx<3時，/G)<0,/(x)單調遞減.

4

故/(外曲”/(2)=一；

P

g(x)=alru-M。<0：,則g'(K)=N-l=巴*，因為a<0,

YY

所以g'(“<0在-J上恒成立，

e

則g("在\1上單調遞減,

415

所以一4一。一一1故一-.

pee

故答案為：a<--

P

15.(1)列聯表見解析，認為年齡與對特效的評價有關聯

12

(2)分布列見解析，—

【分析】(1)根據表格信息完成表格，運用公式求出X?的假，判斷出年齡與對特效的評價

是否有關聯即可.

(2)好評的人數為X服從超幾何分布，根據超幾何分布求出分布列，并計算數學期望.

【詳解】(1)依題意，2x2列聯表如下.

評價

年齡段合計

好評差評

青少年12030150

中老年9060150

合計21090300

零假設”。：年齡與對特效的評價無關聯,

答案第8頁，共14頁

由列聯表中的數據可得小鐲蕊鬻二一"286>10,828

所以根據小概率值a=0.001的獨立性檢驗推斷從不成立，即認為年齡與對特效的評價有關

聯.

120

(2)依題意，抽取的5名觀眾中，給出好評的人數為5x川=%給出差評的人數為

190.4-^0

5X_22_=I

170+^0'

plp2/?p3A)

所以X的所有可能取值為2,3,則P(X=2)=力而=(X=3)=#=而=[

所以X的分布列為

X23

32

P

S

3212

故數學期望E(X)=2X1+3XQ=《.

16.(1)證明見解析，a=-----

nSH-1

(2)&=(3,:-4)x2n+,+8

【分析】(1)兩邊取倒數得到」——-=3,根據等差數列的定義判斷數列」?為等差數列,

a."a..a“

利用等差數列通項公式求出數列通項即可.進一步求解數列｛用｝的通項公式;

(2)利用等比數列通項公式結合已知條件求出數列｛”,｝的通項公式，進而求出數列｛cj的

通項公式，利用錯位相減法求數列｛c,,｝的前〃項利即可.

【詳解】(1)由題意得」一=也土!■=-!-+3,即一!——-=3,且，=2,

凡4%凡a

所以是以2為首項，3為公差的等差數列，

a..

(2)設｛"｝的公比為g，:，二2,仇二仇+4,

則2g2=2g+4,解得q=2或-1(舍去)，

答案第9頁，共14頁

,.?.c“='=2"(3"l).

a”

21

Sn=2X2*+5X2+8X2+...+(3〃-l)x2",①

2S；,=2x22+5x2?+…+(3〃-4)xZ'+(3/?-l)x*,②

①-②，得-S,=2x2、3x(22+23+…+2,)-(3/?-l)x2f,4

=4+3X:2/_(3"I)X2*(4_3〃)X2"+I-8，

所以S.二(3〃?4)x2"i+8.

17.(1)證明見解析

⑵半

【分析】(1)根據線面平行的性質定理..求得線線平行，再根據線面平行的判定定理..證明

線面平行即可.

(2)根據求線面角的向量方法，構造空間直角坐標系，求出方向向量和平面的法向量，求

出線面角的正弦值.

【詳解】3)因為DE11平面44,平面P/Cn平面尸48=平面P/C,所以

DE//AP.

又“為PC的中點，所以。為/IC的中點.

乂。為4c的中點，所以。?！?8.

因為-平面尸48,。。丈平面48,所以OQII平面P48.

(2)

如圖，連接8。，取8。的中點/，連接尸幾加"

因為48=/。=4,所以力/，。/?.

由已知底面Y/18C在半圓。上，4c為圓。的直徑,

答案第10頁，共14頁

得力?！繟B.

因為43二"二4,所以8。=J/E+力4=40：

所以FA=FB=FD=26.

'又PB=PD=4,所以尸*+PD2=32=BD1,所以尸81PD、FP=28，

則有尸產+陽2=16=PB\Fy+FA?=16=PA\FP2+杪=16=P*

所以FPtFB,FP_LF4,

又FACFB=￡〃「平面力8。,必廠平面/仍。，所以尸尸JL平面/雙）.

建立如圖所示的空間直角坐標系，因為FA=FB=FD=FP=2正,

則力僅也,0,0）,川0,2及,0）,。（0,-2立0）,。卜2立一4?0）00,0,2及）

所以可=（2立0,-2匈，麗=（0,272,-272）,PC=12立一4立一2&）

r/、（/?.PJ=0\2舊-2品=。

設〃=（x,j，,z）為平面尸4?的一個法向量，貝IJ｛一：即LU

hPB=02與一2年二0

令z=l,則y=l,x=l,則平面45的一個法向量行=（1,1,1）.

設直線PC與平面43所成的角為8,

一?n-PC\-862上

則sin。=cos<w-PC>=―T=^=—,=——j==----.

1|?||PC|bxA3

故直線PC與平面P/8所成角的正弦值為延.

q

2

18.（l）r-^-=l

⑵土打或±2

（3）證明見解析

【分析】（1）根據橢圓焦點的定義，得雙曲線的焦點，根據雙曲線焦點，求出雙曲線標準方

程即可.

（2）分類討論雙曲線與直線只有一個交點的情況，分另1計算直線斜率的值.

（3）根據直線與圓錐曲線的位置關系和韋達定理，根據已知條件列出參數的方程，證明直

線過定點問題.

【詳解】（1：橢圓［+/=1的焦點為（20）,（2,0）,所以雙曲線。的焦點也為（-2,0）,（2,0）,

答案第11頁，共14頁

即c=2.

因為“E|=a+c=3,所以。=1,所以〃="?“2=3,

2

故雙曲線C的方程為/一*=1.

y=kx+\

C2：聯立，2'得A?Yh+U-BuO,即（3-爐興?2依?4=0.

'"T=

①當3W=o,即k=±括時，直線/與C的漸近線平行，只有1個交點；

②當△二縱2+16（3-^）=48-12A-=0,即A二±2時，

直線/與C相切，只有1個交點.

綜上，當直線，與C的公共點個數為1時，％=±石或土2；

易知力（1,0）,如圖,設M（XIJi）,N（X2，M），

顯然直線MN不與歹軸垂直，則設MN的方程為*=〃9+〃，且〃H1.

x=my+n

聯立，2，消去X得（3"p-1?2+6〃"少+3^f-3=0,

顯然△=（6〃[〃）'-4（3,南-1）（3/-3）＞0,

-6/7/773--3

所以凹+%

a/_i

因為“他=3?4=3,

xt-1尤一1

所以