專題12」命題、定義、定理與證明（舉一反三講義）

【華東師大版2024］

颼題型歸納

【題型1判斷是否是命題】.......................................................................2

【題型2寫出命題的題設(shè)與結(jié)論】................................................................4

【題型3判斷命題真假】.........................................................................5

【題型4舉反例】...............................................................................8

【題型5定理與證明］..........................................................................10

【題型6寫出一個命題的己知、求證及證明】.....................................................11

【題型7已知證明過程填寫理論依據(jù)】...........................................................14

【題型8根據(jù)給出的論斷組命題并證明］..........................................................19

舉一反三

知識點1命題

1,判斷某一件事情的語句叫命題.

2.命題的定義包含兩層含義

（1）命題必須是一個完整的句子，常為陳述句；

<2）命題必須對某件事情作出肯定或否定的判斷.

知識點2命題的組成與分類

1.許多命題由條件和結(jié)論兩部分組成.條件是已知的事項;結(jié)迨是由已知事項推出的事項.這樣的命題通

?？蓪懗伞叭绻?，那么……”的形式.用“如果”開始的部分是條件，用“那么”開始的部分就是結(jié)

論.

2.命題分真假命題,正確的命題稱為真命題,不正確的命題稱為假施題.要判斷?個命題是真命題，可以

用演繹推理加以論證；而要判斷一個命題是假命題，只要舉出一個例子，說明該命題不成立，即只要舉出

一個符合該命題條件而不符合該畬題結(jié)論的例子就可以了.在數(shù)學(xué)中，這種方法稱為“舉反伊”.

知識點3定義

我們需要用不同的語句來說明我們學(xué)過的許多名詞各自所包含的確切意義，例如，我們用“在同一平面內(nèi)

不相交的兩條直線”來說明“平行線”所包含的意義.這樣的語句叫做這些名詞的定義.

知識點4定理

公認(rèn)的真命題稱為基本事實.數(shù)學(xué)中，有些命題可以從基本事實或其他真命題出發(fā)，用邏輯推理的方法判

斷它們是正確的，并且可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù)，這樣的真命題叫做定理.

對干基本事實，它是不需要推理論證的真命題，它可以作為判斷其他命題真假的依據(jù)，它是經(jīng)過證明的真

命題，但并不是所有的真命題都是定理，定理可以作為進(jìn)一步判斷其他命題真假的依據(jù).

知識點5證明及證明的一般步驟

1.根據(jù)條件、定義以及基本事實、定理等，經(jīng)過演繹推理，來判斷一個命題是否正確，這樣的推理過程叫

做證明.

2.證明的一般步驟

根據(jù)題設(shè)、結(jié)論，結(jié)合圖形，寫出已知、求證，經(jīng)過分析找出由已知推出結(jié)論的途徑，寫出證明過程，并

注明依據(jù).

【題型1判斷是否是命題】

【例1】（2425七年級下?四川德陽期中）下列語句是命題的有（）個.

①彌喜歡數(shù)學(xué)嗎？②熊貓沒有翅膀；③任何一個三角形一定有直角；④作線段=⑤無論〃是怎樣

的自然數(shù)，式子/一九+11的值都是質(zhì)數(shù)；⑥如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相

平行.

A.3B.4C.5D.6

【答案】B

【詳解】本題考查命題，判斷事件的語句叫命題.掌握對事件是否作出了判斷是解題的關(guān)鍵。根據(jù)命題的定

義逐一分析是否對事件作出了判斷，即可得出答案.

【分析】①是疑問句，沒有對事件作出判斷，不是命題；

②對事件作出了判斷（熊貓確實無翅膀），是命題；

③時事件作出了判斷（三角形一定有直角），是命題；

④沒有對事件作出判斷，只是描述了事件，不是命題；

⑤對事件作出了判斷（式子*一九+11的值都是質(zhì)數(shù)），是命題；

⑥對事件作出了判斷（這兩條直線也互相平行），是命題.

綜上，②、③、⑤、⑥為命題，共4個，

故選B.

【變式11】（2526八年級上?全國?單元測試）下列語句是命題的是（）

A.作48||CDB.若匕1=Z2,42二Z3,則乙1=43

C.兩條直線被第三條直線所截D.一條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎

【答案】B

【分析】本題考查了命題.熟練掌握命題的定義是解題的關(guān)鍵.判斷一件事情的語句叫做命題.命題必須具

有判斷性，即對一件事情作出“肯定”或“否定〃的判斷，不論其判斷的結(jié)果是否正確.

根據(jù)命題的定義判斷即可，注意命題必須具有判斷性.

【詳解】A.作718||CD,不是命題，因為它不是判斷性語句，是敘述一個過程的語句；

B.若乙1二42,△2二43,則乙1二43,是命題，因為它是一個具有判斷性的語句；

C.兩條直線被第三條直線所截，不是命題，因為它不是判斷性語句；

D.?條鐵路的兩根鐵軌是平行的嗎，不是命題，因為它不是判斷性語句，是疑問句.

故選：B.

【變式12］（2526八年級上?全國?隨堂練習(xí)）下列選項中不是命題的是（）

A.正數(shù)大于負(fù)數(shù)B.過直線外一點作直線的平行線

C.三角形的任意兩邊之和大于第三邊D.如果a=8,a=c,那么匕=c

【答案】B

【分析】本題考查了命題的定義：判斷一件事情的語句叫命題.命題必須是一個完整的句子，它必須對某一

件事情作出肯定或否定的判斷，命題一般為陳述句，疑問句與作圖語句（祈使句）、感嘆句等都不是命題.判

斷?件事情的語句，叫做命題.根據(jù)定義判斷即可.

【詳解】解—：A.正數(shù)大于負(fù)數(shù)，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

B.過直線外一點作直線的平行線是作圖語言，不是可以判斷真假的陳述句，不是命題，符合題意；

C.三角形的任意兩邊之和大于第三邊，是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

D.如果a=ha=c,那么b=c,是可以判斷真假的陳述句，是命題，不符合題意；

故選：B.

【變式13】給出下列語句：①畫出已知角等于兩個已知角的和；②鈍角總大于直角；③過點力畫直線力8||CD；

④相等且互補(bǔ)的兩個角都是直角.其中是命題的是（）

A.只有④B.①②④C.②④D,①②③④

【答案】C

【分析】根據(jù)命題的定義：可以判斷真假的陳述句，結(jié)合題中語句逐項判斷即可得到答案.

【詳解】解：如果41＞匕8/8＞乙C,那么41＞乙C,

回這個命題的條件是乙A＞乙B/B＞4C,結(jié)論是乙力＞Z.C,

故答案為：①44＞乙8,48＞乙C,（2）乙力＞乙（？.

【變式23]（2425七年級下?上海金山?期末）將命題“在三角形中，大邊對大角”改寫成”如果......，那么......”

的形式是.

【答案】如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角

【分析】本題主要考查的知識點是如何將原命題寫成條件與結(jié)論的形式，“如果''后面是命題的條件，"那么"

后面是條件的結(jié)論，解題關(guān)鍵是找到命題中相應(yīng)的條件和結(jié)論.命題中的條件是一個三角形中一邊大于另

一邊，放在"如果〃的后面，結(jié)論是該邊所對的角大于另一邊所對的角，應(yīng)放在“那么”的后面.

【詳解】解：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角

故答案為：如果一個三角形中一邊大于另一邊，那么該邊所對的角大于另一邊所對的角.

【題型3判斷命題真假】

[M3]（2425七年級下?江蘇蘇州?期末）如圖，線段4C,BD相交于點0,連接力D,BC,并延長力。至點E,Z.BCA

的平分線與NBDE的平分線相交于點M.①若〃=2NBCM,則AEIIBC；②若4M=2zBDM,則力EIIMC；

③若N4=乙B,則“DM+乙BCM=90°；④若乙4D0=乙BCO,則一乙B=90°.以上命題中真命題的

C.3D.4

【答案】C

【分析】根據(jù)角平分線的定義得到"CB=24BCM,由N4=2NBCM可得4/1二44以，利用平行線的判定得

到小臼|8。，可判斷①；根據(jù)角平分線的定義得到NBOE=248DM,由4M=2NBOM可得NM=Z80E,再

根據(jù)平行線的判定可判斷②；利用三角形內(nèi)角和定理推出〃。8=〃。氏再利用角平分線的定義求出

乙EDM+Z.BCM=90。，可判定③；延長CM交8。于點F,利用角平分線的定義求出乙80M+乙BCM=90°,

利用三角形外角的性質(zhì)得到NCMD=/C"）+/8Z）M,乙CFD=^B+乙BCM,進(jìn)而得到/CM。=+

^BDM+LBCM=zfi+900,可判斷④，即可得出結(jié)論.

【詳解】解：團(tuán)CM平分-1CB,

^LACB=2乙BCM,

團(tuán)4A=2乙BCM,

團(tuán)ZJ1=Z.ACB,

團(tuán)4EII8C,故①是真命題；

勖M平分NBDE,

圖/BDE=24BDM,

0zW=2乙BDM,

0ZW=乙BDE,

由/M=無法證明/EIIMC,故②是假命題;

^Z.A=Z.B,Z.AOD=Z.BOC,

^Z-ADB=乙ACB,

囹43。￡十乙同。3=180°,

團(tuán)/BDE+zACB=180°,

(3CM平分上AC8,DM平分

0ZEDM+乙BCM

11

=-Z-BDE+-Z-ACB

/乙

1

=-x180°

2

=90。，

團(tuán)4EDM+zBCM=90。，故③是真命題；

如圖，延長CM交BD于點F,

B

0Z/WO=Z.BCO,Z.BDE+Z-ADO=180°,

團(tuán)乙BDE+乙BCO=180°,

團(tuán)CM平分匕4CB,DM平分48DE,

0ZFDM+乙BCM

11

=-乙BDE+—Z.BCO

22

1

=-x180°

=90°,

0/CM。=Z-CFD+乙BDM,乙CFD=+乙BCM,

0ZCMD=+乙BDM+乙BCM=/B+90°,

（3NCMD—NB=90。，故④是真命題；

（3真命題的個數(shù)是3.

故選：C.

【點睛】本題考查了判斷命題真假、平行線的判定、三角形內(nèi)角和定理、三角形外角的性質(zhì)、角平分線的定

義，熟練掌握相關(guān)知識點是解題的關(guān)鍵.

【變式31］（2425七年級下?湖南長沙?期末）命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等〃是一命題（真/假）.

【答案】真

【分析】本題主要考查了命題，掌握相反數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.

根據(jù)判斷一件事情的語句，叫做命題.正確的命題是真命題進(jìn)行分析即可.

【詳解】解：命題“互為相反數(shù)的兩個數(shù)的絕對值相等"的條件是兩個數(shù)互為相反數(shù)，結(jié)論是這兩個數(shù)絕對值

相等，這是一個真命題.

故答案為：X-.

【變式32】（2526八年級上?全國?課前預(yù)習(xí)）命題：①對頂角相等；②相等的角是對頂角；③垂直于同一

條直線的兩條直線平行；④平行于同一條直線的兩條直線平行.其中是真命題的有.（請?zhí)顚懶蛱枺?/p>

【答案】①④/④①

【分析】考查了命題與定理的知識，解題的關(guān)鍵是了解對頂角的性質(zhì)、平行線的判定等知識，根據(jù)對頂角的

性質(zhì)、平行線的判定判斷即可.

【詳解】解：①對頂角相等，是真命題；

②相等的角不一定是對頂角，原命題是假命題：

③在同一平面上，垂直于同一條直線的兩條直線平行，原命題是假命題；

④平行于同?條直線的兩條直線平行，是真命題；

其中是真命題的有①④；

故答案為：①④.

【變式33］（2425七年級下?內(nèi)蒙古通遼?期末）如圖，在三角形力8c中，點D,E,F分別在邊3C,AC,AB±,

連接DE,DF.下列四個命題中，是真命題的是（）

①若N8F0=N/l,則0TMC；

②若乙EDF=乙DEC,貝IjDFIRC；

③若乙4+LAED=180°,則4BIIDE；

④若28=^\AB\\DE.

A.①②B.③④C.①②③D.①②③④

【答案】C

【分析】本題考查平行線的判定定理，本題中每組條件都可判斷直線平行，但是有三個不能判斷題目所需的

直線平行，所以依據(jù)平行線的判定定理，要找準(zhǔn)截線和被截線.

先觀察已知角的位置關(guān)系，根據(jù)平行線的判定定理判斷通過已知角可得哪兩條直線平行，可得出結(jié)論.

【詳解】解：①乙8尸0=乙4,則。FII4C,是真命題；

②芳“￡）P=乙DEC,貝IJOFIMC,是真命題：

③若匕A+Z.AED=180°,則力8IIDE,是真命題；

④若乙8=乙￡。尸，無法判斷A8IIDE,是假命題；

故選：C.

【題型4舉反例】

【例4】（2425七年級卜.?陜西西安?期末）能說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角〃是假命題的反例是（）

A.Z1=82°,Z2=40°B.Z1=89°,Z2=2°

C.41=65。，Z2=30°D.41=30。，Z2=20°

【答案】D

【分析】本題考查命題與定理，要說明命題“兩個銳角的和一定是鈍角"是假命題，需找到兩個銳角的和不是

鈍角的例子，即可判斷.

【詳解】解：A、82。+40。=122。，是鈍角，不符合題意；

B、89。+2。=91。，是鈍角，不符合題意；

C、65。+30。=95。，是鈍角，不符合題意；

D、30。+20。=50。，是銳角，說明兩銳角的和可能不是鈍角，符合題意.

故選：D.

【變式41】為說明命題“如果|a|=|b|,那么a=b〃是假命題，你舉出的一個反例是.

【答案】a=1,b=-l（答案不唯一）

【分析】根據(jù)絕對值的性質(zhì)可得當(dāng)|a|二|b|,得出a=b或Q=-6,舉例只要兩個數(shù)互為相反數(shù)即可得.

【詳解】解：v|a|=\b\,

???a=匕或Q=-b,

例如：a=1,b=—1時，|a|=|b|,

團(tuán)命題“如果|a|=網(wǎng)，那么a=Z?"是假命題，

故答案為：1,Z?=-1（答案不唯一）.

【點睛】題目主要考查絕對值的性質(zhì)，深刻理解絕對值的性質(zhì)是解題關(guān)鍵.

【變式42］（2425七年級下?湖北宜昌?期末）對于命題“如果/1-乙2=90。，那么H乙2〃，能說明它是假

命題的反例是（）

A.Z1=45°,Z2=45°B.Z1=30°,Z2=60°

C.Z1=60°,Z2=60°D.Z1=30°,Z2=40°

【答案】A

【分析】本題考查舉反例，要說明命題"如果41+乙2=90。，那么乙1*42〃是假命題，需找到滿足上1+乙2=

90。但21=22的反例.

【詳解】解:A、11=45。/2=45。,和為90。，且41=匕2,滿足反例條件.

B、Z1=30°,Z2=60°,和為90°,但N1HN2,支持原命題.

CZ1=60°,Z2=60°,和為120。，不滿足條件.

D、Z1=3O°,Z2=4O°,和為70。，不滿足條件.

故選A.

【變式43］（2425七年級下?全國裸后作業(yè)）判斷命題"如果0</<1,那么/12-1>0〃是假俞題，只需舉

出一個反例，反例中的值可以是.

【答案】（答案不唯一）

【分析】只要從滿足條件的數(shù)中找到一個數(shù)，使結(jié)論不成立，就可以說明命題是假命題.本題考查了舉反例

判斷假命題，只要從符合?！淳臯I中找出一個數(shù)，能使M-1〉0不成立，就可以說明此命題是假命題，

所以準(zhǔn)確從條件，結(jié)論兩個角度去判斷解題是解題的關(guān)鍵.

【詳解】解：當(dāng)日=；71=5時，符合條件0<71VI,

但九2—1=G）—1=—^<0,

回命題“如果0vnv1,那么M-1>0〃是假命題.

同樣當(dāng)時，也可以判斷命題,如果0<九<1,那么小一1>0〃是假命題，

故答案為：I（也可以是:等，答案不唯一）.

4*5

【題型5定理與證明】

【例5】請舉出一個關(guān)于角相等的定理：—.

【答案】兩直線平行，同位角相等

【分析】任意寫出一個角相等的定理即可.

【詳解】解：關(guān)于角相等的定理：兩直線平行，同位角相等

故答案為：兩直線平行，同位角相等（答案不唯一）.

【點睛】本題考查角相等的定理，如同位角、內(nèi)錯角或?qū)斀?，寫出相?yīng)的定理即可.

【變式51】下列語句中，是定義的是（）

A.若兩角之和為90。.則這兩個角互余B.相等的角是對頂角

C.同角的余角相等D.延長BC至。使CD=8C

【答案】B

【分析】本題考查了全是與定理的知識，利用定義的定義分別判斷后即可確定正確的選項.

【詳解】解：A.若兩角之和為90。，則這兩個角互余，不是定義，不符合題意；

B.相等的角是對頂角，是定義，符合題意；

C.同角的余角相等，不是定義，不符合題意；

D.延長BC至。使C0=8C,不是定義，不符合題意；

故迄B

【變式52］（2425七年級下?全國?課后作業(yè)）定理可以作為證明后續(xù)命題的,根據(jù),可以得到

推論：三角形的外角等于與它不相鄰的的和.

【答案】依據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義兩個內(nèi)角

【分析】本題考查定理和命題，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理以及平常的定義推出三角形的外角的性質(zhì)，作答即

可.

【詳解】解：定理可以作為證明后續(xù)命題的依據(jù)，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，可以得到推論：三

角形的外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和；

故答案為：依據(jù)，三角形內(nèi)角和定理及平角的定義，兩個內(nèi)角

【變式53］下列命題可以作定理的有個.

①2與6的平均值是8；②能被3整除的數(shù)能被6整除；③5是方程+7的根；④三角形的內(nèi)角

Zo

和是180。；⑤等式兩邊加上同一個數(shù)仍是等式.

【答案】2/兩

【分析】本題考查了命題與定理：判斷事物的語句叫命題：正確的命題稱為真命題，錯誤的命題稱為假命題，

舉一個反例即可說明；經(jīng)過推理論證的真命題稱為定理.

首先利用定理的定義先判斷命題是否是真命題，然后再看是否經(jīng)過推理論證；經(jīng)過判斷可以得到①、②、

③是假命題，④、⑤是真命題，是經(jīng)過推理論證的，據(jù)此可以解決問題.

【詳解】解：①2與6的平均值是4,故此命題是假命題，不是定理；

②能被3整除的數(shù)，不一定能被6整除，故此命題是假命題，不是定理；

③把5代入方程：無+7=竽，方程兩邊不相等，故不是真命題，更不是定理；

26

④三角形的內(nèi)角和為180。,是經(jīng)寸證明的是真命題，故是定理：

⑤等式兩邊加上同?個數(shù)仍是等式，符合等式的性質(zhì)，是定理：

綜上所述：③和④是定理，共2個.

故答案為：2.

【題型6寫出一個命題的已知、求證及證明】

【例6】命題：直角三角形的兩銳角互余.

A

⑴將此命題寫成“如果…，那么；

⑵請判斷此命題的真假.若為假命題，請說明理由；若為真命題，請根據(jù)所給圖形寫出已知、求證和證明

過程.

【答案】（1）如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余

⑵該命題是真命題，詳見解析

【分析】本題考查的是直角三角形的性質(zhì)，逆命題的概念：

（1）根據(jù)逆命題的概念寫出原命題的逆命題；

（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理計算，即可證明.

【詳解】（1）解：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余；

故答案為：如果一個三角形是直角三角形，那么它的兩個銳角互余

（2）解:該命題是真命題

己知：如圖，在△48。中，/-B=90°

求證：乙力+乙（？=90。

證明：???乙4+48+46:=180°

N/4+4。=1800-乙B

???乙B=90°

???/A+NC=180°-90°=90°.

【變式61】（2425七年級下?江蘇南京?期木）請將三角形內(nèi)角和定理的推論補(bǔ)充完整并加以證明.

定理：三角形的外角等于的和.

已知：

求證:

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了三角形外角的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角

的和，據(jù)此補(bǔ)全定理，再寫出對應(yīng)的已知和求證，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理和平角的定義證明即可.

【詳解】定理：三角形的外角等于與其不相鄰的兩個內(nèi)角的和.

已知：2ACD是△ABC的一個夕卜角.

求證：Z.ACD=Z.A+/.B.

證明：如圖所示，在△ABC中，44+48+乙4cB=180。，

A

^ACB+^ACD=180°,

^Z.ACD=Z.A+Z-B.

【變式62】證明：平行于同一條直線的兩條直線平行.

己知：.

求證：.

證明：

【答案】見解析

【分析】寫出已知，求證，利用平行線的判定定理證明即可.

【詳解】已知：如圖,直線a、b、c中,a\\b,b^c,

------------------------b

求證:a\\c.

證明：件直線a,b,c的截線。凡交點分別為O,E,F.

加物

0Z.1=Z2,

助lie,

(3z2=z.3,

0Z.1=z.3?

0a||c.

【點睛】本題考查平行線的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本知識，屬于中考?？碱}型.

【變式63］（2425七年級下?山東泰安?期中）證明三角形的內(nèi)角和為180。.要求：根據(jù)題意畫出圖形，結(jié)合

畫出的圖形寫出已知和求證，并嘗試證明.

【答案】見解析

【分析】本題主要考查了三角形內(nèi)角和的證明，平行線的性質(zhì)，利用平行線的性質(zhì)，將三角形的三個內(nèi)角集

中到同一個頂點，再由平角為180。，證明即可.

【詳解】解：已知：如圖，ZiABC,

求證：44+48+匕。=180°：

證明：過點力作ETII3C,如圖,

0EF||BC,

:.Z.B—z.1,L.C—z2>

???Zl+Z.BAC+Z2=180°,

:.Z.A+Z.B+Z.C=180°,

???三角形內(nèi)角和180。.

【題型7已知證明過程填寫理論依據(jù)】

【例7】（2425七年級下?吉林長春?期末）【教材呈現(xiàn)】下面是華師版七年級下冊數(shù)學(xué)教材習(xí)題8.1第6題部

分內(nèi)容.

如圖，在△ABC中，41"的平分線與44cB的外角平分線相交于點Q.試找出乙。與△力BC

的內(nèi)角乙4之間的關(guān)系.

(1)小明閱讀題目后，沒有發(fā)現(xiàn)數(shù)量關(guān)系與解鹿思路.干是嘗試代入乙力的度數(shù)，即可求2。的度數(shù).

①當(dāng)乙4=60。時，乙D=度；當(dāng)乙/1=120。時，40=度；

②于是小明猜想40與乙4之間的數(shù)量關(guān)系為：

(2)以下是小明完成猜想證明的部分過程：

證明：???8。平分NA8C,

???Z.DBC=4ABD=^ABC.

2

???C。平分々4CE,

ADCE=Z,ACD=-Z-ACE.

2

證明過程缺失

請你補(bǔ)全缺失的證明過程.

【結(jié)論應(yīng)用】(3)如圖，在四邊形48CD中，BF平分乙48C,CG平分外角4CE,連結(jié)”.若〃=140°,ZD=90°,

則/F+乙G=度.

【答案】⑴①30：60：②4(2)見解析；⑶205

【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，角平分線定義，關(guān)鍵是靈活應(yīng)用三角形的外角性

質(zhì).

(1)①當(dāng)乙4分別是60度和120度時,得到乙。的度數(shù)；

②猜想得到乙。

(2)由角平分線定義得到NDBCADCE=^ACE,由三角形的外角性質(zhì)推出;44+：乙48。二

ZD+-Z/15C,即可證明乙0=2/力；

22

(3)延長8/1和CD交于M,延長8E和CG交于N,由三角形的外角性質(zhì)求出zM=50。，由(2)的結(jié)論即可

求ll"N=x50°=25°,由三角形的外角性質(zhì)即可求出4BFG+乙CGF=205°.

【詳解】(1)解：①當(dāng)44=60。時，設(shè)4/BC=2a,則乙ICE=2a+60。，

回BD'F分N4BC,CD'F分N4CE,

團(tuán)/DBC=Z.ABD=-2/.ABC=a,2乙DCE=Z.ACD=-/.ACE=Q+30°,

團(tuán)4D=乙DCE-Z.DBC=a+30°-a=30°；

當(dāng)乙4=120。時，設(shè)乙48C=2仇則乙4CE=20+120。，

團(tuán)BD平分4ABC,C。平分，

團(tuán)/D8c=乙ABD=^ABC=0,乙DCE=LACD=*CE=/?+60°,

0ZD=乙DCE-乙DBC=0+60。一/?=60°：

故答案為：30,60；

②于是小明猜想N。與24之間的數(shù)量關(guān)系為N。=344

故答案為：

(2)證明：團(tuán)80平分

團(tuán)乙D8C=Z-ABD=-2Z-ABC,

團(tuán)CD平分乙4C￡,

團(tuán)iDCE=Z.ACD=-Z-ACE,

2

田乙DCE=+乙DBC,

嗎/ACE=4+2BC,

^/-ACE=Z.A+/.ABC,

^AA+^Z.ABC=NO

0zD=-2z.A；

(3)如圖,延長B4和CD交于M,延長BE和CG交于M

13BF平分448C,CG平分外角NDCE,

，

=-2Z.M

0Z/WC=90。，

團(tuán)乙10M=180°-90°=90°,

團(tuán)4M=Z-BAD-Z-ADM=140°=90°=50°,

(3zW=-x50o=25°,

2

團(tuán)4BFG=ZN+乙FGN,乙CGF=△N+乙NFG,

?乙BFG+Z-CGF=Z.N+Z.FGN+Z/V+乙NFG=180°+25°=205°,

故答案為：205.

【變式71】補(bǔ)全下列推理過程：

如圖，EF1BC,AD1BC,zl=Z2,試說明OG||84.

解：0EF1BC,AD1BC,（已知），

⑦乙BFE=^BDA=90°（垂直的定義），

0EF||AD（）.

0Z2=43（）.

團(tuán)41=42（已知），

團(tuán)（等量代換），

WGIIAB（）.

【答案】答案見詳解；

【分析】本題考查證明補(bǔ)充條件，根據(jù)條件與結(jié)論因果關(guān)系直接滇寫即可得到答案;

【詳解】解：團(tuán)EF1BC,AD1BC（已知），

^LBFE=^BDA=90°（垂直的定義），

0FFIIAD（同位角相等，兩直線平行）,

回乙2=乙3（兩直線平行，同位角相等）,

0Z1=Z2（已知），

0Z1=Z3（等量代換），

團(tuán)OG||AB（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.

【變式72］（2425七年級下?湖南衡陽?期末）如圖，。是△4BC邊3C上的一點，乙8=乙440,LADC=70°.

⑴求4B的度數(shù)：請在解答過程的空白處填上適當(dāng)?shù)膬?nèi)容.（理由或數(shù)學(xué)式）

解：（1）團(tuán)44DC是△4BO的外角，乙40c=70。（已知），

團(tuán)4B4-=Z.ADC=70°（）.

又叵48=乙BAD（已知）,

團(tuán)乙B=（等量代換）

⑵若平分乙區(qū)4C,求乙C的度數(shù).（請寫出完整的解答過程）

【答案】（1）答案見解析

（2）75°

【分析】本題考查三角形的外角性質(zhì)、角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識.熟記三角形的外角性質(zhì)、

角平分線的定義、三角形內(nèi)角和定理等知識，并靈活運用是解決問題的關(guān)鍵.

（1）由，力。。是△48。的外角，利用“三角形的一個外角等「和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和“，可求出的度數(shù);

（2）利用角平分線的定義和“三角形的內(nèi)角和等于180?！?，可求出乙。的度數(shù).

【詳解】（1）解:團(tuán)乙40c是△ABD的夕卜角，/力。。=70。（己知），

團(tuán)乙B+乙&4。70。（三角形的一個外角等于與它不相鄰的兩個內(nèi)角的和）.

又叵48=乙BAD（已知），

0ZF=35°.（等量代換）；

（2）解：團(tuán)/1。平分N8/1C,匕8/10=35。（已知），

^LBAC=2x35°=70。（角平分我的定義）.

團(tuán)在△力8。中，28=35°,Z.BAC=70°（已證），

團(tuán)”=180。-35。-70。=75。（三角形的內(nèi)角和定理）.

【變式73］（2425七年級下?廣東茂名?階段練習(xí)）如圖，Z1=Z2,Z3+z4=180°.試說明：ACWFG.

請你完成下列推理過程（括號內(nèi)寫出理由）：

解：因為乙1=/2,（已知）

所以____________U___________.（）

因為43+44=180°,（已知）

所以____________L，（）

所以4cl尸G.（平行于同一條直線的兩條直線平行）

【答案】4C；OE：內(nèi)錯角相等，西宜線平行；OE；FG；DEWFG；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行

【分析】本題考查了平行線的判定，根據(jù)內(nèi)錯角相等，兩直線平行可得出力QICE，根據(jù)同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直

線平行可得由OEIIFG,然后根據(jù)平行線的傳遞性即可得證.

【詳解】解?：因為，1=42,（已知）

所以力CIIDE.（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）

因為43+44=180°,（已知）

所以DEI尸G,（同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行）

所以ACI尸G.（平行于向一條直線的兩條直線平行）

故答案為：AC；DE；內(nèi)錯角相等，兩直線平行；DE；FG；DEIFG；同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.

【題型8根據(jù)給出的論斷組命題并證明】

【例8】如圖，直線a,b,。被直線〃?，〃所截，有下列命題:

m

@LBAC=LBDCx@￡AFE=￡FED；③milTI.

從①②③中選出兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，寫出一個真命題，并說明理由.

【答案】見解析

【分析】本題考查命題的證明，根據(jù)命題的定義，選擇條件和結(jié)論，根據(jù)平行線的判定和性質(zhì)，進(jìn)行證明即

可.

【詳解】從題干中選出其中的兩個作為條件，第三個作為結(jié)論，可以構(gòu)造出3個命題，分別為：①②團(tuán)③;

②③回①；①③回②.以上3個命題都是真命題，

①②團(tuán)③，

Z.AFE=乙FED,

???bIIc,

“AB+/.ABD=180°,

vZ.BAC=Z.BDC,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

???m||n；

②③團(tuán)①，

vZ.AFE=/.FED,

???bIIc,

Z.CAB+/.ABD=180°,

m||n,

:.Z.ABD+乙BDC=180°,

:.Z.BAC=乙BDC；

①③團(tuán)②，

mII九，

???/.ABD+Z.BDC=180°,

Z.BAC=Z.BDC,

Z.BAC+Z.ABD=180%

bIIc,

???Z.AFE=乙FED.

【變式81］如圖，現(xiàn)有以下3個論斷：①4BIICD；②"="；③"=N工請以其中2個論斷為條件,

另一個論斷為結(jié)論構(gòu)造命題.

⑴請寫出所有的真命題；

⑵請選擇其中一個命題加以證明.

【答案】（1）見詳解

（2）見詳解

【分析】（1）分別以其中2個論斷為條件，第3個論斷為結(jié)論可寫出3個命題;

（2）根據(jù)平行線的判定與性質(zhì)對命題進(jìn)行證明即可.

【詳解】（1）解：命題1：由①②得到③；

命題2：由①③得到②：

命題3：由②③得到①；

（2）命題1證明如下：

蜘BIICD,

團(tuán)4B=4CD",

0z.5=z.C9

團(tuán)/。=zCD?，

團(tuán)CEIIB產(chǎn)，

（3zE=zF；

命題2證明如下：

團(tuán)4BIICD,

團(tuán)乙8=乙。。/，

團(tuán)?！陓|8F,

Hz.C=Z.CDF,,

團(tuán)ZB=4C；

命題3證明如下：

0zF=zF,

fflCfHFF,

0z.C=z.CDF,

（3NB=ZC,

0z.^=z.CDF>

團(tuán)AB||CD.

【點睛】本題主要考查命題與定理知識，平行線的判定與性質(zhì)，熟練運用平行線的判定與性質(zhì)是解答此題的

關(guān)鍵.

【變式82］【閱讀】在證明命題