葫蘆島市普通高中2024-2025學年高二下學期期末考試

數(shù)學試卷

時間：120分鐘滿分：150分

注意事項：

1.答卷前，考生須在答題卡和試題卷上規(guī)定的位置，準確填寫本人姓名、準考證號，并核對條

形碼上的信息.確認無誤后，將條形碼粘貼在答題卡上相應位置.

2.回答選擇題時，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應題目的答案標號涂黑，如需改

動，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標號.回答非選擇題時，將答案寫在答題卡上各題目規(guī)

定答題區(qū)域內(nèi)，超出答題區(qū)域書寫或?qū)懺诒驹嚲砩系拇鸢笩o效.

第I卷（選擇題，共58分）

一、選擇題（本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是

符合題目要求的.）

1,已知農(nóng)是實數(shù)集，集合A={T°」},B={R2A"0},則An（QB）=

A.{-1,0}B.{1}D.

【答案】A

【解析】

【分析】先求出集合B的補集再與集合A進行交集運算.

【詳解】??,8二

磔

即4?S）{-1,0}

故選A.

【點睛】考查描述法的定義，以及交集、補集的運算.在解題過程中，正確求出補集和交集是關鍵.

2.命題“對任意xeR,都有』NO”的否定為（）

A.對任意xcR,都有/＜（）B.不存在xwR,使得/co

C,存在xwR,使得犬之0D.存在xeR,使得f<0

【答案】D

【解析】

【分析】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題易求.

【詳解】根據(jù)全稱量詞命題的否定為存在量詞命題知：

命題“對任意xcR,都有丁20”的否定為“存在xwR,使得f〈0”.

故選:D

3.已知變量占尸具有線性相關關系，并且由最小二乘法計算得到回歸直線方程為$=-2］十。.若

亍=3,》=1,則（）

A.-7B.5C.7D.9

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點求4.

【詳解】根據(jù)線性回歸方程必過樣本中心點得：1=-2X3+Q=>〃=7.

故選：C

4.山海相逢，跑動濱城.2025葫蘆島馬拉松5月11日激情開跑.某單位從6名員工中選派志愿者參加此次

活動，要求必須有人去，其中甲、乙兩人要么都去，要么都不去，則該單位選派志愿者的方法共有（）

A.15種B.28種C.31種D.63種

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)“其中甲、乙兩人要么都去，要么都不去”分“甲乙都去”和“甲乙都不去”兩種情況討論,

結合”要求必須有人去”的條件，分別求出兩種情況選派方法再相加即為該單位選派志愿者的方法數(shù).

【詳解】根據(jù)“其中甲、乙兩人要么都去，要么都不去”分兩種情況討論：

情況①甲乙都去：

此時需要從剩余4人中選，因為甲、乙已去，所以只要選法存在即滿足“要求必須有人去”條件，

故選派方法為：C：+C：+C；+C：+C：=2。=16種.

情況②甲乙都不去：

此時需要從剩余4名員工中至少選1人，以滿足“要求必須有人去”的條件，

因為“至少1人去”的對立事件是“0人去”，

所以“至少1人去”等價于“4人的總共選派方法”減去“0人去的選派方法”：

C：+C；+C；+C：+C：-C；=24-l=15種.

綜上，該單位選派忐愿者的方法為情況①和②之和，即16+15=31種.

故選：C.

4

5.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1，。用=2---,則｛q｝的前2025項和為（）

%

A.2024B.2025C.2026D.2027

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)數(shù)列的地推關系，計算4，%，對判斷函數(shù)的周期性，然后求和即可.

,c4

【詳解】由題可知:q=i，%+i=2—,

444

所以生=2-一=-2,/=2--=4,q=2--=1,所以可知數(shù)列｛〃〃｝是周期數(shù)列，最小正周期為

3,

所以q+%+%=3，設數(shù)列｛《,｝的前2025項和為S2025,

則^2025=4+%+“-+。2025=675x（。]+。2+。3）=2025.

故選:B

6.命題“V工<一3,-1],￡一。>7"為假命題的一個充分不必要條件是（）

A.a>-6B.a>0C.tz>-7D.a<0

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)題意該命題的否定是真命題，由此求出。的取值范圍，再找出它的?個充分不必要條件即可.

【詳解】命題"VA*G[-3,—l],x2—tz>7”為假命題，即命題"G[―3,—l],x2—a47”為真命題.

所以北『7%,XG[-3,-1],

因為/（司=/-7在是單調(diào)減函數(shù)，所以/〈力而產(chǎn)/（-1）=6,所以aN-6.

因為>（）｝是｛《a>-6｝的真子集，而其他選項對應的集合都不是｛。,>-6｝的真子集，

故B正確，A,C,D均錯誤.

故選；B.

則可知在區(qū)間(O,xJ上/'(x)V。，f(x)單調(diào)遞減,且可(力?/(%),+℃)，

在區(qū)間(看,+8)上/'(X)>0/(工)單調(diào)遞增，且/(X)?〃不),48),

故f(x)在工=內(nèi)時取最小值，/(X1)=O,%=%.

2

且e"=一e,即/e"=e2,故B正確；

與

因為/(%)=凡(e"—e2)_021n%_左=0,

222222

即k=%)e"-xoe-eInx0=e-e(x0+Inx0)=e-e(lne"+In%))

22222222

=e-elnxoe^=e-eIne=e-2e=-e,故AC錯誤;

令g(x)=e則g'(x)=(x+l)e'>0,

故g(x)=xe'.為增函數(shù).

/1Ai1i

又g-=5e2<e2=g(x0),故故D錯誤.

故選:B

二、多選題(本題共3小題，每小題6分，共18分.在每小題給出的四個選項中，有多項符合

題目要求.全部選對得6分，部分選對得部分分，有選錯得。分.)

9.已知數(shù)列｛q｝的前〃項和為S.,則下列正確的有()

A.若｛4｝為等比數(shù)列，S“=〃?2i+3,則m=一3

B.若｛4｝為等差數(shù)列，則數(shù)列｛手｝是等差數(shù)列

C.若｛?！ǎ秊榈炔顢?shù)列,§2025>0,§2026<。,則品皿>,^1014

D.若｛《,｝為等比數(shù)列，則S”,S2"-S“，邑”-S2”一定是等比數(shù)列

【答案】BC

【解析】

【分析】由已知得4=》=6+3即可判斷A；由等差數(shù)列前〃項和公式及等差數(shù)列的定義判斷B；由等差

數(shù)列前〃項和公式及已知得4>-->tz1013>0>^1014>...,作差法比較5川3,5必4大小判斷C；應用特殊數(shù)

列｛〃”｝是首項為I,公比為—1判斷D.

【詳解】A：由題設q=S=〃z+3,若m二一3,則q=0,顯然不滿足｛可｝為等比數(shù)列，錯；

B：由｛4｝為等差數(shù)列，則S“二〃””"）,故':

所以工也—2=4+"z幺="2一凡為定值,則是等差數(shù)列，對；

C：由｛4｝為等差數(shù)列，且

邑⑵=2°25（產(chǎn)”）=2025qg>。，S2ML202地產(chǎn)）=1013（%#.4）<。，

所以4oi3>OMU?3+4OI4<0,即q（M4<0<al0I3，顯然｛4｝的公差dvO,

所以4>"1013>°>"1014>…，

由與“3=1013mj3）=10,3?5O7,S10l4=1。/+/G=507（一+/），

所以Bo”一Sou=508%07-507"50s=-507d>0,即SIOI3>510,4,對；

D：若｛?！埃鞘醉棡镮，公比為-1的等比數(shù)列時，S?=S「S—,顯然不滿等比數(shù)列的性質(zhì)，

錯.

故選：BC

10.現(xiàn)有6個節(jié)目準備參加比賽，其中4個舞蹈節(jié)目，2個語言類節(jié)目，如果不放回地依次抽取2個節(jié)目，

貝|」（）

2

A.第1次抽到舞蹈節(jié)目概率為不

3

3

B.第1次和第2次都抽到舞蹈節(jié)目的概率為1

C.第2次抽到語言類節(jié)目的概率為g

3

D.在第1次抽到舞蹈節(jié)目的條件下，第2次抽到舞蹈節(jié)目的概率為g

【答案】ACD

【解析】

【分析】設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件X,第二次抽到語言類節(jié)目為事件

C,分別求出事件A,事件〃和事件C的基本事件數(shù)，進而結合古典概型的概率公式、條件概率公式判斷

各選項即可.

【詳解】設第1次抽到舞蹈節(jié)目為事件A,第2次抽到舞蹈節(jié)目為事件8,第二次抽到語言類節(jié)目為事件

C.

對于A,從6個節(jié)目中不放回地依次抽取2個的基本事件總數(shù)為〃(C)=A：=3(),

根據(jù)分步計數(shù)原理有〃(A)=A；A；=20,

所以/“川―”(A)—2?！?/p>

所以()一詞一否一3'故A正確;

（/"、）=AoR2,則P（砌\=n勒（AB]=412笠2

對于B,n二，故B錯誤;

對于C,〃（C）=A；+A；A；=10,則P（C）=故C正確:

AZI\2JJUJ

2

對干D,去(同))==9=一故D正確.

?⑷_5

3

故選：ACD.

11.設函數(shù)/(x)=2x3+3f+(l+a)x+〃.下列正確的是()

A.若/(x)在(-1J(-1))處的切線斜率為2,則a=l

B.當〃二一1時，若/(X)有三個零點，則人的取值范圍是(一8,—1)

C.當〃=一1時，若/￡(0,1),則/(x)>/(d)

D.若/(“滿足=則〃也c成等差數(shù)列

【答案】ACD

【解析】

【分析】利用導數(shù)的幾何意義判斷A,求導確定函數(shù)的單調(diào)性求得極值，構造不等式判斷BC,將

-x)=-2-/(x)代入解析式化簡，結合等差數(shù)列的定義判斷D即可.

\Z7

詳解】由題意可知r(x)=6%，+6x+l+a,

若f(x)在(TJ(—1))處的切線斜率為2,

則由導數(shù)的幾何意義可知/'(一l)=6x(-iy+6x(-l)+l+a=2,解得a=l,A說法正確;

當〃二一1時，/Z(X)=6X2+6X,

由F'(x)vO解得一IvxvO,由/'(x)>0解得x<-l或x>0,

所以函數(shù)/(冗)(―8,—1)和(0.+8)上單調(diào)遞增，在(—1,0)單調(diào)遞減,

所以函數(shù)/(x)在x=—l處取得極大值，在x=0處取得極小值,

/(-1)=-2+3+/?>0

若“另有三個零點,則,解得一lv〃vO,B說法錯誤:

/(())=/?<()

因為當〃=一1時，函數(shù)/(x)在(。,+8)上單調(diào)遞增，

若工￡(0,1),則0<x2<X<1?所以C說法正確;

若f(x)滿足=-2-7(x),

1Z/

+仆)=2仁_工+(1+。)]一x+Z?+2x3+3x2+(l+a)x+Z?

cx+x2-v——x+—-ax+2xi+3x2+(1+〃)x+2〃

c33、/a、

}--+—+2b+--C2-3CX+(3C+6)X2=-2,

4422I2Jv7

,c3cacC

—+-c2+-+——+2。=-2

4422

則-3c=0,解得給二?！?,

2

3c+6=0

所以2Z?=〃+c,即。一〃=〃一和滿足成等差數(shù)列，D說法正確；

故選：ACD

第II卷(非選擇題，共92分)

三、填空題(本大題共3小題，每小題5分，共15分.)

12.已知(4―2)的展開式中第3項是常數(shù)項，則實數(shù)〃的值為.

【答案】6

【解析】

【分析】利用二項展開式的通項公式，求解即可

n-2n-2

【詳解】展開式中第3項為：=4C^-x2-x-2=2/?(/2-1)-X2

〃

的展開式中第3項是常數(shù)項,

■「\(GaX)

《一3=0,解得：〃=6

故答案為：6

(4、

13.關于x的不等式機/+10%+8<0的解集為a,一,其中。<0,則加+Q的值為________.

ka)

【答案】-2

【解析】

4

【分析】由題可得〃L/+1OX+8=O的兩根為〃，一，然后由韋達定理可得答案.

a

［詳解】因關于X的不等式+101+8V0的解集為(〃，：)，

4

則nix2+1Ox+8=0的兩根為a，—，由韋達定理,

a

d10

a+—=4H

a〃+—=-5

a=>a2+5〃+4=()n(a+4)(a+l)=0,

48

a—=—ni=2

am

4

則。=-1或。=T,因一>a?則〃=Y,從而m+。=-4+2=-2.

故答案為：一2

14.當〃>1時，函數(shù)〃x)=aFg(x)=k)g/的圖象有兩個交點，則〃的取值范圍為.

(1\

【答案】1,/

【解析】

InX

【分析】根據(jù)題意，結合反函數(shù)的性質(zhì)將問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃(x)=—與丁=1。4在(0,+8)上有兩個交點,

【詳解】由于函數(shù)/(x)=aWg(x)=logax互為反函數(shù)，其圖象關于直線V=x對稱，

因為函數(shù)/(x)=ax與g(x)=log“x的圖象有兩個交點,

所以這兩個交點一定在直線)，=/上,

]nx

令/=x，x>0,兩邊取對數(shù)得xlna=lnx,即ln〃二---

x

?/\Mx

設〃(x)=---,x>0,

.X

則問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)〃(刈=?與丁=111。在(0,+8)上有兩個交點，

由力'(x)='5—令//(x)>0,得0<x<e；令"(x)<0,得x>c,

?AT

所以函數(shù)〃(x)在(o,e)上單調(diào)遞增，在(e,+8)上單調(diào)遞減，

又A(e)=_,/?(1)=0,且"一>0時〃(X)->YO,x>l時，/?(x)>0,

e

要使函數(shù)人(力=處與y=hi。在(0,+8)上有兩個交點，

X

則0<lna<，,解得1孑〃

e1ci、c

(1\

則〃的取值范圍為.

故答案為：.

\/

四、解答題(本題共5小題，共77分.解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.)

15.近年中國新能源汽車進入高速發(fā)展時期.已知某數(shù)據(jù)顯示，400名消費者中中老年人共有150人.中老年

人中愿意購買新能源車人數(shù)是愿意購買燃油車人數(shù)的2倍：青年人中愿意購買新能源車人數(shù)是愿意購買燃

油車人數(shù)的4倍.

(1)完善2x2列聯(lián)表，請根據(jù)小概率值。=0.01的獨立性檢驗，分析消費者對新能源車和燃油車的購買

意向是否與年齡有關；

愿意購買愿意購買合

新能源車燃油車計

青年人

中老年人

合計

（2）從愿意購買新能源車的消費者中按年齡比例進行分層抽樣，得到容量9的樣本，再從這9人中隨機抽

取4人，求這4人中青年人數(shù)為3人的概率.

9______〃(ad-bc)2______

附:Z-n=a+b+c+d

(i7+/?)(c+J)(6/+C)(/?+J)*

a0.050.010.001

%3.8416.63510.828

【答案】（1）列聯(lián)表見解析，認為消費者對新能源車和燃油車的購買意向與年齡有關

⑵W

21

【解析】

【分析】（1）依據(jù)題意直接得到列聯(lián)表，然后計算卡方即可判斷；

（2）先得到青年人，中老年人的人數(shù)，然后按照占典概型計算即可.

【小問1詳解】

2x2列聯(lián)表如下：

愿意購買愿意購買合

新能源車燃油車計

青年人20050250

中老年人10050150

合計300100400

零假設“°：消費者對新能源車和燃油車購買意向與年齡無關

2400x(200x50-50x100)2

~8.889>6.635,

250x150x3(X)x10()

根據(jù)小概率。=0.01的獨立性檢驗，我們推斷“0不成立，即認為消費者對新能源車和燃油車的購買意向

與年齡有關.

【小問2詳解】

由題可知：抽取的9人中青年人有9x迎=6人，中老年人有9xU2=3人.

30（）300

記“從這9人中隨機抽取4人，求這4人中青年人數(shù)為3人”的概率P,

C3cl1()

則p

L9乙1

16.已知S.是等差數(shù)列｛4｝的前〃項和，§3=%=9,數(shù)列｛我｝是公比大于1的等比數(shù)列，且

b、+優(yōu)+4=14,&?b2b=64.

(1)求數(shù)列｛q｝和｛〃｝的通項公式；

(2)設求｛%｝的前〃項和

【答案】(1)an=2n-\tbn=2\

(2)(=6+(2〃-3)x2"i

【解析】

【分析】(1)根據(jù)等差、等比數(shù)列基本量的計算公式，結合等差、等比數(shù)列的性質(zhì)求它們的通項公式.

(2)利用錯位相減求和法求數(shù)列的前〃項和.

【小問1詳解】

對等差數(shù)列數(shù)列｛〃〃｝,因為S3=4+a2+a3=3%=9=%=3,

由%=生+31=3+3d=9=4=2.

所以a,=%+(〃-2)4=3+(〃-2)x2=2〃-l

對公比大于1的等比數(shù)列｛〃｝：*瓦也=R=64n瓦=4,

4

由4+打+4=14=：+4+4q=14=>2q2-5q+2=0=>(2q—1)(夕-2)=0,

又q>l,所以4二2.

所以a=a〈I=4x2""=2".

所以q=2〃-1,"=2".

【小問2詳解】

因為c“二（2力-1）x2",

所以7；=1x2+3x22+5x2?+…+（2〃一l）x2”

23/,,,+,

27；I=1X2+3X2+...+（2/?-3）X2+（2??-1）X2,

兩式相減得：~T"=2+2x（2?+23+…+2"）—（2〃—l）x

=2+2乂2（：-；=-6+（3-2?）x2n+,.

所以7；=6+（2〃-3）x2叫

17.全國大學生機器人大賽（RoboMaser）是中國最具影響力的機器人項目，是全球獨創(chuàng)的機器人競技平

臺.某高校為了選派優(yōu)秀選手參加大賽，掂備開展校內(nèi)選拔賽.己知初賽共有2000名選手參加，初賽入圍選

手參加晉級賽.

211

（1）若甲、乙、丙3名選手入圍的概率分別為大,大,大，求這3人中至少有1人未入闈的概率；

322

（2）若初賽成績Z近似服從正態(tài)分布N（90,9）,試估計這些選手中成績超過96分的人數(shù)：（結果四舍五

入，精確到個位）

3

（3）晉級賽共有3道試題，若初賽入圍選手小明答對每道題的概率均為二，且每題答對與否都相互獨

4

立，記小明答對試題個數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學期望￡（x）.

參考數(shù)據(jù)：

p（//-o-<Z</74-CF）?0.6827.P（//-2<T<Z<A+2<T）?0,9545,P（//-3o-<Z</7-b3（7）?0.9973.

【答案】（1）

6

9

（2）46；（3）分布列見解析，一.

4

【解析】

【分析】（1）依對立事件概率及獨立事件概率公式列式計算.

（2）利用正態(tài)分布性質(zhì)求出概率，進而估計人數(shù).

（3）求出X的可能值，再二項分布求出分布列及期望.

【小問1詳解】

21|

記甲、乙、丙入圍的事件分別為A,B,C,則P（4）=—,P（B）=—,P（C）=一,

322

2115

則甲、乙、丙至少有1人未入圍的概率O=1—P（ABC）=1—二x—x二二三.

3226

【小問2詳解】

依題意，〃的近似值為90,。的近似值為3,

則P(Z>96)=P(Z>〃+2a)=--+X002275,

22

而2000x0.02275士46，

所以估計這些員工中成績超過96分的人數(shù)為46.

【小問3詳解】

3

依題意，X的所有可能取值為。，1，2,3,X?8(3,二)，

4

且P(X=。)=C；夕=專，P(X=1)=C；3.(%=看

P(X=2)=C*[)2.；=§,P(X=3)=C：q)3=m.

4464464

所以X的分布列為：

X0123

192727

P

64646464

39

數(shù)學期望E(X)=3x1==.

44

18.已知函數(shù)/(工)=,融2一(〃41)工+1nxM>0

2

(1)討論的單調(diào)性；

(2)設g(x)=/(x)+(a—l)x,已知g(x)有兩個極值點玉,々(看<公)?

①求。的取值范圍；

②求證：g(xJ+g(X2)<-2-

【答案】(1)答案見解析

(2)①(0,1)；②證明見解析

【解析】

【分析】(1)求導，根據(jù)導數(shù)的幾何意義按。的不同取值分類討論即可；

(2)①由g(x)有兩個極值點與々可得/(力=0有兩個變號零點，根據(jù)一元二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)列不

等式組求解即可；②利用韋達定理將g(x)+g(X2)<—2—：轉(zhuǎn)換為〃的函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

即可得證.

【小問1詳解】

對函數(shù)/(x)=—or2—(a+l)x+Ini求導得

/，⑺二辦__"_1二加_47+匕⑷7)(X7)M,0),

X?AX

因為a〉0,令/'(x)=0解得x=/或x=l,

當Ovavl時，->1,此時當Ovxvl或時/'(x)>0,單調(diào)遞增，

aa

當l<x<5時，/'(x)<0,/.(X)單調(diào)遞減，

當a=l時，1=1,此時/'(x)20在x?0,T8)上恒成立，〃工)在(0,+向上單調(diào)遞增,

a

當〃>1時，-<1,此時當0cxe1或%>1時/'(力>0,/(力單調(diào)遞增,

aa

當1<工<1時，/'(“<0,/⑴單調(diào)遞減，

(1A(IA

綜上所述當Ovavl時，/(力在(0,1),一,+8單調(diào)遞增，在1,一單調(diào)遞減,

、。/\/

當〃=1時，/(力在(0,+8)上心調(diào)遞增,

當心1時，/(X)在((),)}(l,y)單調(diào)遞增，在()』)單調(diào)遞減.

【小問2詳解】

①由題意可得g(x)=gaY2-(4+l)x+lnx+(a-l)x=5ax2-2x+lnx,x>0,

A曰,日，/、c1ax~-2x+1八

求導得g(x)=ar-2+—=----------,%>0,

XX

因為g(x)有兩個極值點為，々，所以g'(x)=。有兩個變號零點$,與，

所以》="2一2“+1在不￡(0,小)上與4軸有兩個不同的交點，

A=4-4?>0

所以|玉+修=一二2>o,解得

即。的取值范圍為(0,1).

a

1八

中2=一〉°

②由（2）①得^（%）+且（戈2）=_辦：-2苦+lnX[+_以；-2&+ln%2

22

21（2丫2,21

+x）-2XX-2（M+X2）+lnx/2=-a———-2x—+ln—

2I22\a）aaa

a424,12,,

----FIn—=1-Ina,O<67<1?

靛一力aaa

令M〃）=g（xJ+g（/）+，=_，_]_Ina,0<a<l,

'aa

則"（々）=2一■1==>0恒成立，

6racr

所以h(a)在(0,1)上單調(diào)遞增，所以〃(。)<力⑴二-2,

即g（玉）+g（X2）+'v-2，g（再）+g（z）<-2—

aa

19.“牛頓數(shù)列”是英國著名物理學家牛頓發(fā)現(xiàn)并定義的，它在航空航天中應用極其廣泛.“牛頓數(shù)列”的定義

f(x)

是：對于函數(shù)/G),若數(shù)列上｝滿足Z+尸乙一方\5wN“)，則稱數(shù)列｛%｝為函數(shù)/⑴的“牛頓數(shù)

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