湖北省荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試卷

學(xué)校:姓名：班級(jí)：考號(hào)：

一、單選題

1.學(xué)校舉辦籃球賽，將6支球隊(duì)平均分成甲、乙兩組，則兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的

概率為（）

A.-B.-C.-D.-

5555

2.已知隨機(jī)變量J~N（3、4）,則“a=3”是"P（4＜，）=!”的（）

A.充分不必要條件B.必要不充分條件

C.充要條件D.既不充分也不必要條件

3.有10件產(chǎn)品，其中3件是次品，從中任取兩件，若X表示取得次品的件數(shù)，則P（X＜2）=

（）

A，B.Ac.匕D.1

151515

4.已知隨機(jī)變量X~SG，p）,若。（2X）=2E（X）,則〃=（)

A.—B.—C.~n.L

1684

5.植物的根是吸收水分和礦物養(yǎng)分的主要器官.已知在一定范圍內(nèi)，小麥對(duì)氮元素的吸收量

與它的根長(zhǎng)度具有線性相關(guān)關(guān)系.某盆栽小麥實(shí)驗(yàn)中，在確保土壤肥力及灌溉條件相對(duì)穩(wěn)定

的情況下，統(tǒng)計(jì)了根長(zhǎng)度x（單位：cm）與氮元素吸收量），（單位：mg/天）的相關(guān)數(shù)據(jù)，

如下表所示：

X9.912.114.818.219.921.825.127.730.432.1

y0.300.340.420.500.550.600.710.740.780.86

根據(jù)表中數(shù)據(jù)可得？=212，=0.58及線性回歸方程為），=0.025工+〃，則（）

A.a=-0.05

B.變量y與x的相關(guān)系數(shù)廠＜0

C.在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加1cm,它一天的氮元素吸收量平均增加0.025mg

D.若對(duì)小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)數(shù)據(jù)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，則對(duì)應(yīng)回歸方程不變

6.若函數(shù)/（工）=/-?與函數(shù)屋司=山+21的圖象在公共點(diǎn)處有相同的切線，則實(shí)數(shù)

A.—2B.—IC?。D.-2e

2

7.小明爬樓梯每一步走1級(jí)臺(tái)階或2級(jí)臺(tái)階是隨機(jī)的，且走1級(jí)臺(tái)階的概率為彳，走2級(jí)

臺(tái)階的概率為g.小明從樓梯底部開始往上爬，在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件F，他走了3

步的概率是（）

4「4-9'36

A.-B.—C.—D.—

9271361

8.關(guān)于函數(shù)/（“=一/+3/+（4-3）X+2—。―ei+-g（aW2）,下列選項(xiàng)正確的是f）

e

A.函數(shù)/"）沒有零點(diǎn)B.函數(shù)/（x）只有1個(gè)零點(diǎn)

C.函數(shù)/（M至少有1個(gè)零點(diǎn)D.函數(shù)/（x）有2個(gè)零點(diǎn)

二、多選題

9.已知某地10月份第x天的平均氣溫為〉，（單位：。C）,x,y線性相關(guān)，由-y的前7天

樣本數(shù)據(jù)（K，￡）（i=12…,6,7）求得的經(jīng)驗(yàn)回歸方程為§，=-%+20,則下列說(shuō)法正確的是

（）

A.X,『負(fù)相關(guān)

B.第8天的平均氣溫為18c

C.前7天平均氣溫的平均數(shù)為19℃

D.若剔除偏離經(jīng)驗(yàn)回歸直線最大的一個(gè)異常點(diǎn)，則相關(guān)系數(shù)變大

10.下列等式中正確的是（）

A.￡《=2'B.XC；=C：

*=1*=2

C=fD-尤仁）匕々

人=2人！、?卜0

2

II.已知函數(shù)/（■￥）=6+…-0）,下列說(shuō)法正確的有（）

e

A.函數(shù)/Ct）既有極大值又有極小值

B.函數(shù)/*）的極小值點(diǎn)為1

C.若函數(shù)/（X）有二個(gè)零點(diǎn)，則一!<4<0或0<4<!

22

試卷第2頁(yè)，共4頁(yè)

D.若a＞。，則八。）5匕）

三、填空題

12.已知隨機(jī)變量J的分布列為

4-2-10i23

134i2i

P

12nnnn~\2

若喉八）=七，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是

7_7R

13.對(duì)于隨機(jī)事件A,B,若P（〃|A）=w，P（A|B）=-,P（?）=—,則P（A）=______.

3o15

14.己知/（人）是定義在R上的奇函數(shù)，/（1）=1,且對(duì)任意x＜0,均有/

1012/1\/I

則“"女-尸f（—202■—5T

四、解答題

的展開式中，前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列.

（1）求展開式中含有4項(xiàng)的系數(shù)；

（2）求展開式中的有理項(xiàng).

16.已知函數(shù)/（力=1三.

（1）若〃=0,求曲線＞=/"）在點(diǎn)（1J⑴）處的切線方程;

（2）若/（X）在x=-l處取得極值，求/（X）的單調(diào)區(qū)間，以及其最大值與最小值.

17.某校開設(shè)農(nóng)耕勞動(dòng)教育課，共設(shè)置了兩類課程：農(nóng)作物種植和田間管理，學(xué)校對(duì)選擇這

兩類課程的學(xué)生人數(shù)進(jìn)行了統(tǒng)計(jì)，數(shù)據(jù)記錄在如下表格.

男生女生

農(nóng)作物種植課程16080

田間管理課程40120

《湖北省荊州中學(xué)2024-2025學(xué)年高二下學(xué)期6月月考數(shù)學(xué)試卷》參考答案

題號(hào)1234567891()

答案CCCDCBDBACBCD

題號(hào)11

答案ACD

1.C

【分析】由題意結(jié)合排列第合公式和古典概型計(jì)算公式確定滿足題意的概率值即可.

【詳解】由題意可知，兩支最強(qiáng)的球隊(duì)被分在不同組的分組組數(shù)為：C；c；,

所有的分組組數(shù)為：C：,

結(jié)合古典概型計(jì)算公式可得滿足題意的概率值為：〃=害二］

故選：C.

2.C

【分析】由正態(tài)曲線的對(duì)稱性結(jié)合必要不充分條件的定義即可得到答案.

【詳解】由J~N（3,4）知“=3,。=2,可知P（4＜3）=；,故。=3,故夕信＜。）=；成立;

反之，若上＜4）=g,則4=3,故為充要條件,

故選：C.

3.C

【分析】根據(jù)給定條件，利用互斥事件的概率公式，結(jié)合組合計(jì)數(shù)問(wèn)題及占典概率求解即得.

【詳解】依題意，P(X=O)=^=^,P(X=l)=^=^

、，、7714

所以P(X<2)=P(X=O)+P(X=l)=x+y^=w

故選：C

4.D

【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的期望、方差列方程，從而求得P.

【詳解】根據(jù)分布列方差的性質(zhì)得：D（2X）=4Z）（X）,

依題意知，X滿足二項(xiàng)分布,

所以O(shè)（X）=〃p（l-p）,E（X）=叩,

答案第1頁(yè)，共12頁(yè)

所以4〃p(l-p)=2〃p,解得〃=5,或〃=0(舍去).

故選：D.

5.C

【分析】根據(jù)樣本中心在方程上可求解A,進(jìn)而可判斷B,根據(jù)回歸方程的含義即可求解

CD.

【詳解】由線性回歸方程過(guò)樣本中心點(diǎn)(工,刃知，々=0.58—0.025x21.2=0.05,故A錯(cuò)誤;

小麥對(duì)氮元素的吸收量與它的根長(zhǎng)度具有正相關(guān)關(guān)系，放相關(guān)系數(shù)，＞0,故B錯(cuò)誤；

由線性回歸方程y=0.025x+a可得，在一定范圍內(nèi)，小麥的根長(zhǎng)度每增加1cm,它一天的氮

元素吸收量平均增加0.025mg,故C正確；

若研究小麥的根長(zhǎng)度與鉀元素吸收量的相關(guān)關(guān)系，回歸方程可能發(fā)生改變，故D錯(cuò)誤.

故選：C.

6.B

【分析】設(shè)出兩個(gè)函數(shù)圖象的公共點(diǎn)坐標(biāo)，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義建立關(guān)系求解即得.

【詳解】設(shè)函數(shù)=f-依與函數(shù)g(x)=hu+2x的圖象公共點(diǎn)坐標(biāo)為a。,)，。)，

M-av0=In,r0+2x0x；+In.%-1=0

求導(dǎo)得r(x)=2x-a,g'(x),+2,依題意，、1,于是‘10，

。不

令函數(shù)力*)=/+l…1,顯然函數(shù)力(X)在(0,+8)上單調(diào)遞增，且函1)=0,

則當(dāng)版x)=0時(shí)，X=l,因此在￡+ln.r0—1=()中，x0=l,此時(shí)。=-1,經(jīng)檢驗(yàn)a=T符合

題意，

所以"7.

故選：B

7.D

【分析】根據(jù)題意，設(shè)事件A為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，事件B為“小明走了3步爬到第4

級(jí)臺(tái)階”，求出P(A),P\AB)t進(jìn)而計(jì)算可得答案

【詳解】根據(jù)題意，設(shè)事件4為“小明爬到第4級(jí)臺(tái)階”，

事件B為“小明走了3步爬到第4級(jí)臺(tái)階”，

事件A包含3中情況，

答案第2頁(yè)，共12頁(yè)

①走了4次1級(jí)臺(tái)階，其概率”停16

81

②走了2次1級(jí)臺(tái)階，1次2級(jí)臺(tái)階，其概率4=C；

③走了2次2級(jí)臺(tái)階，其概率6=[￡|=1,

故小明爬到第4級(jí)臺(tái)階概率P網(wǎng)=6+2+A吟+[+**

4

在小明爬到第4級(jí)臺(tái)階的條件下，他走了3步的概率P(MA)=E舁=告=率

81

故選：D

8.B

【分析】首先利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理判斷零點(diǎn)個(gè)數(shù).

[1

【詳解】因?yàn)?'(x)=-3-v2+6x+(a—3)—e*-1-e'(x-,)=-3x2+6x+(a—3)—e^1+—

\e

且e1+與22JeiX-L=2,-3X2+6.V+(?-3)=-3(X-l)2+a<a,

eye

所以當(dāng)aW2時(shí)/'(kVO，

故函數(shù)/(x)在定義域上單調(diào)遞減，所以至多有一個(gè)零點(diǎn)，故C、D錯(cuò)誤

令8(力=一/+3/+(4—3)犬+2-4(4乂2),〃3=11--?則/(x)=g(x)-〃(x)

e

,/g'(x)=-3X2+6工+(a—3)知K->y時(shí)g(x)f-oo

且//(x)=e'-1-e-(v-1)>0知x-y時(shí)->+oo

x—>+oo時(shí)f(x)―>—<x>且=-]+3+(a-3)+2-a-e"+=1>0

所以函數(shù)"”=一2+3/+(4-3)x+2-。-ei+-g(aW2)只有1個(gè)零點(diǎn).

e

故選：B

9.AC

【分析】根據(jù)已知利用回歸直線的性質(zhì)依次判斷各選項(xiàng)即可得出結(jié)果.

【詳解】因?yàn)?1<()，所以A正確；

4

答案第3頁(yè)，共12頁(yè)

第8天的平均氣溫的預(yù)測(cè)值為18℃,但實(shí)際值不一定是18C,B錯(cuò)誤；

Ftlx=4,及(元刃在經(jīng)驗(yàn)回歸直線上，得》=19,C正確；

因?yàn)閤,)，負(fù)相關(guān)，所以相關(guān)系數(shù)廠<0,

剔除偏離經(jīng)驗(yàn)回歸直線最大的?個(gè)異常點(diǎn)后，1「1變大，但，?變小，D錯(cuò)誤.

故選:AC.

10.BCD

【分析】利用(1+”8的展開式與賦值法可判斷A,利用組合數(shù)的性質(zhì)C：+C：=C3可判斷B,

利用階乘的裂項(xiàng)法可判斷C,構(gòu)造(1+力監(jiān)=(1+力8(]+4求其含爐的項(xiàng)的系數(shù)可判斷D.

【詳解】對(duì)于A,因?yàn)?l+x)8=C+C；x+C；f+…，

令x=l,得28=1+C；+C；+…+C：=1+之C：,則之《=28-1,故A錯(cuò)誤；

hi4-1

對(duì)于B,因?yàn)镃；+C：=c“，

所以江=C+c；+c：+.??+《=C；+C；+C；+…+C；

k=2

=c：+c：+—+c；=~=G+c；=ci，故B正確；

對(duì)于C因?yàn)椤?/p>

燈于因〃伏_])!k)公伏_])!公伙_中k!，

6人一1￡「11]1111

所以"g2一5]=1一5+]-5+…+不一0=1一.’故C正確?

對(duì)于D,(1+x)'6=(l+x)'<(l+^)S,

對(duì)于(1+“6,其含有爐的項(xiàng)的系數(shù)為C：6，

對(duì)于(l+X『(l+"8,要得到含有f的項(xiàng)的系數(shù)，

須從第一個(gè)式子取出4(0vA工8次￡N)個(gè)X,再?gòu)牡诙€(gè)式子取出8-々個(gè)X,

它們對(duì)應(yīng)的系數(shù)為tec}=,

k=0k=0

所以之(cy=c：6,故D正確.

A=O

故選：BCD.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛?：本題D選項(xiàng)解決的關(guān)鍵是，利用組合的思想，從多項(xiàng)式(1+”8(1+到8

答案第4頁(yè)，共12頁(yè)

中得到含有f的項(xiàng)的系數(shù)，從而得解.

11.ACD

【分析】求導(dǎo)，分類討論可得函數(shù)既有極大值又有極小值，且極大值點(diǎn)為1,可判斷

AB；由函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，可得則-o?+x-0=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，可判斷C；構(gòu)知函數(shù)

可得e，八+1,計(jì)算可得/(0)</(1+3,判斷D.

a

【詳解】由〃幻=

e

(-2aM+l)e°-[-ax2+x-〃)e"_加-(2〃+1)才+〃+1_[ax-(a+\)](x-\)

(er)2

令/*)=(),可得工=1+2工1或X=l,

(I

當(dāng)a>()時(shí)，

a

若x<l時(shí)，fix)>0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增，

若1cx<1+，時(shí)，/VX0,函數(shù)/")單調(diào)遞減，

a

若x>i+_L時(shí)，八幻>。，函數(shù)八幻單調(diào)遞增，

CI

1—2〃

所以函數(shù)/*)既有極大值又有極小值，/⑴為極大值,

e

當(dāng)4<0時(shí)，X=1+—<I,

若XV1+上時(shí)，/'(x)<0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞減,

a

若i+2<x<i時(shí)，八幻〉0,函數(shù)/(X)單調(diào)遞增,

若x>1時(shí)，/。)<0,函數(shù)/*)單調(diào)遞減，

所以函數(shù)/(X)既有極大值乂有極小值，/⑴二1一-?z為;極大值，故A正確，B錯(cuò)誤;

e

令/*)=0,則可得-渥+X-〃=0,

若函數(shù)/(刈有二個(gè)零點(diǎn)，則-依'+x-。=0有兩個(gè)不等的實(shí)根，

則△二/一4(一。)?(—4)>0,解得—又

22

所以一或故C正確；

22

令g(幻=1一%-1。>0),則/(x)=e*-1>0,所以g(x)在(0,+刃)上單調(diào)遞增,

所以g(x)>g(O)=。，所以/一%一1>0，所以e'>x+l,

若/(0)=-?,

答案第5頁(yè)，共12頁(yè)

2

414

+(1+—)-?-67-2--+1+--ao1o1

aaa-2ci-1-2a-1

/(1+-)=

a

所以故D正確.

故選：ACD.

12.[4,9)

【分析】由隨機(jī)變量J的分布列可知：三的可能取值為0,149,分別求出相應(yīng)的概率，由此

利用?（鏟八）=右，即可求解.

【詳解】由隨機(jī)變量4的分布列可知：鏟的可能取值為0149,

且年』）哈，電』）吟+!拈

始=4屋+1$，PC%］,

因?yàn)槭ㄧP＞入）=*，

所以實(shí)數(shù)x的取值范圍是［4,9）

故答案為［4,9）.

13.-/O.5

2

【分析】利用條件概率計(jì)算即可求解.

【詳解】解：P（Z|B）=4^=4,且

r（￡））o15

P(Z8)=P(,|8).P(B)=],

，w)="2,

P(A)3

則P（A）=；.

故答案為：!

答案第6頁(yè)，共12頁(yè)

14.----

2023!

【分析】要利用數(shù)列的遞準(zhǔn)思想和累乘法來(lái)求出/(—)=崗'然后再構(gòu)造為二項(xiàng)式系數(shù)

來(lái)求和，利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)果.

【詳解】令則由題意知--!_]=—,d「一、

又因/(x)是定義在R上的奇函數(shù),則AT)=-/(*)，

所以一噌卜T島),化簡(jiǎn)可得也卜"島)

J

用累乘法得巴=—X—X…X----X

23n-2n-\

ii

當(dāng)〃=1時(shí)，()!=1,所以4=1也滿足上式，則?！?7T不？所以/_=；一不

("1)!\n)(n-1)

10121

=Y—

初陽(yáng)康)金("1)!(2024/!

2023!1011JJ]ion

因?yàn)镃")”=K(2023d)!，所以上式可化為盲逅(2023/!=2023!1'

出丁^2024十(2023十。2023十…十5()23十5。23十*,?十5(X23十5。23一,，

由二次項(xiàng)性質(zhì)可得c短=C眈,C￡=C^，…C￡=C歌產(chǎn)跋=€據(jù),

則自淳(2023-％)!=2023!盲二2023!丁=2023!.

【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：(I)關(guān)鍵是利用數(shù)列的遞推思想和運(yùn)用累乘法來(lái)求出通項(xiàng)公式;

(2)關(guān)鍵是把階乘的乘法轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)式系數(shù)，再利用二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)米求和.

答案第7頁(yè)，共12頁(yè)

351

（2）有理項(xiàng)：7；=/,7；=-x,7；=--.

8256x

【分析】（1）根據(jù)展開式通項(xiàng)公式，寫出前三項(xiàng)的系數(shù)，再由三者成等差數(shù)列可求出〃；然

后寫出展開式通項(xiàng)，令x的指數(shù)為1,求出參數(shù)的值，代入通項(xiàng)即可得解；

（2）設(shè)展開式中第/*+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，可知4-[reZ,求出廠的可能取值，代入通項(xiàng)即可得

4

解.

【詳解】（I）

???前3項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，且前三項(xiàng)系數(shù)為

，C=C,即/一9〃+8=0，可得〃=1（舍去）或“=8.

4

展開式的通項(xiàng)為幻=墨.%芋

二項(xiàng)式

71

令4—1=|,得r=4,故含有x項(xiàng)的系數(shù)為*xC；=三；

3

（2）設(shè)展開式中第/*+1項(xiàng)為有理項(xiàng)，則4-：reZ,則r=0,4,8時(shí)對(duì)應(yīng)的項(xiàng)為有理項(xiàng)，

4

有理項(xiàng)分別為7；=d,7；

o256A

16.（l）4x+y-5=0；（2）函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-oo,T）、（4,*o）,單調(diào)遞減區(qū)間為（-1,4）,

最大值為I,最小值為-

4

【分析】（1）求出/（1）、r（i）的值，利用點(diǎn)斜式可得出所求切線的方程；

（2）由r（-1）=?？汕蟮脤?shí)數(shù)。的值，然后利用導(dǎo)數(shù)分析函數(shù)/（X）的單調(diào)性與極值，由此

可得出結(jié)果.

【詳解】（1）當(dāng)a=（）時(shí)，/（同=空，則/（切=^21,r（i）=-4.

XX

此時(shí)，曲線y=在點(diǎn)。，/⑴）處的切線方程為）T=T（x-l）,即4.i+y-5=o；

-2(x2+a)-2x(3-2x)2(x2

（2）因?yàn)?則/'（%）

x2+aj\'

答案第8頁(yè)，共12頁(yè)

由題意可得/'(T)=六卡=。，解得〃=4,

。+1

故4/('\)=三3-2二戈，，-11+4八)2r)，列表如下:

XS.T)-1(T4)4(4,-KO)

+0—0+

增極大值減極小值增

所以，函數(shù)/(工)的增區(qū)間為(-8,-1)、(4+8),單調(diào)遞減區(qū)間為(-1,4).

aa

當(dāng)時(shí)，/W>0；當(dāng)時(shí)，/W<0.

所以，"x)a=/(T)=l，/(<U=〃4)=q.

17.⑴有

(2)方式②

【分析】(1)根據(jù)公式求出卡方，結(jié)合表格即可判斷；

(2)根據(jù)公式分別求出叫、吟，即可判斷.

400(160xl20-80x40)22002「

【詳解】(1)由已知得/==---=66.667

240x2(X)x200x1603

?.?66.667>10.828,???依據(jù)小概率值a=0.001的獨(dú)立性檢驗(yàn),

可以判定男生和女生在選擇課程的偏好上有差異；

(2)x=-(50+70+60+66+72+84)=67,

6

16195

根據(jù)①："=zZW-r|=N(17+3+7+l+5+17)=7r.

003

，62533199322

~"<叱，叫〈卬2，

??方式②對(duì)大偏差數(shù)據(jù)的;本現(xiàn)更明顯.

18.(1)—

30

答案第9頁(yè)，共12頁(yè)

⑵"（-》x（q尸+沁N）

o13o

⑶-1

【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件和對(duì)立事件的概率公式結(jié)合意求解即可；

3251

（2）由題意得此2時(shí)，化簡(jiǎn)變形后可得數(shù)列代-3是首項(xiàng)為-G，

53o8

公比為-'的等比數(shù)列，從而可求出

（3）由題意得〃2上仍+1）-/,令/（_r）=ln*+l）-e',利用導(dǎo)數(shù)可判斷/*）在（。，y）上

遞減，則問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求C的最大值，進(jìn)而可求得答案.

【詳解】⑴由題意甲第2局贏的概率為鳥=”I"3（1-如1彳2=解19，

1911

所以乙贏的概率為^=1--=—;

3212

（2）由已知iN2時(shí)，^=-^.+-（1-/?,）=--^.+-，

所以2—q=一/（匕-1一!）,又『"二一!'

O1JOOO

所以數(shù)列｛［-。｝是首項(xiàng)為-:，公比為-白的等比數(shù)列，

o815

所以?I（4）X（-導(dǎo),所以匕=（一!）X（一白尸+孤N*）；

oo13o1Do

（3）V-ln（E+l）+kN0,即攵Nln（R+l）-e。，令/（x）=h］（.r+l）-er,則/"）=-!--er,

X+1

因?yàn)閥=——：和y=-e'在（。，+°°）上遞減，

A+1

所以廣（幻在（。,內(nèi)）上遞減，

因?yàn)榘?）=0,所以X＞0時(shí),r（x）＜0,則為X）在（0,?o）上遞減,

顯然。＞0（iwN*）,因此要求ln（E+l）-十的最小值，即求［的最大值,

又產(chǎn)