專題2.2基本不等式及其應(yīng)用

1.探索并了解基本不等式的證明過程.

新課程考試要求2.掌握基本不等式竺2〃石（a,b>0）及其應(yīng)用..

2

培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)運(yùn)算（例1.2.3.4.5）、數(shù)學(xué)建模（例5）、邏輯推理（例1.2.3.4）等核

核心素養(yǎng)

心數(shù)學(xué)素養(yǎng).

1.利用基本不等式求最值

考向預(yù)測2.利用基本不等式解決實(shí)際問題

3.基本不等式的綜合應(yīng)用

【知識清單】

1.重要不等式

當(dāng)，、。是任意實(shí)數(shù)時，有，+信與砧，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

2.基本不等式

當(dāng)心0,b>0時有竺2之而，當(dāng)且僅當(dāng)a=b時，等號成立.

9

3.基本不等式與最值

已知X、），都是正數(shù).

（1）若x+y=s（和為定值），則當(dāng)工=y時，積孫取得最大值.

⑵若xy=p（積為定值），則當(dāng)x=y時，和工+），取得最小值.

4.常用推論

212

(1)ab<~~——(a,bwR)

△-M+b/八7八、+b?、/Ci+b、2

(2)ab<(----)-(67>0,/?>0)；------>(-----)

222

(3)])]<\/ab<(a>0,b>0)

一十一

ab

【考點(diǎn)分類剖析】

考點(diǎn)一：利用基本不等式證明不等式

例1.（2021?山西高三二模（文））證明："J+i之筌;

【答案】證明見解析.

【解析】

由不等式尹之@蘆，令6=1,則有，哼誓

即可證得J"'+1?五.

例2.已知〃>0,/?0,a-\~b=1,求證：1+，|1+—1>9.

I。八b)

【答案】見解析

【解析】???。>0，b>0,a+b=\,

=5+2|-+-|>5+4=9,當(dāng)且僅當(dāng)2=即a=b=，時取“=

b)cib2

.*.fl+-Yl+l>|>9,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=-時等號成立.

k。八b)2

【方法技巧】

利用基本不等式證明不等式是綜合法證明不等式的一種情況，要從整體上把握運(yùn)用基本不等式，對不滿足

使用基本不等式條件的可通過“變形”來轉(zhuǎn)換，常見的變形技巧有：拆項(xiàng)，并項(xiàng)，也可乘上一個數(shù)或加上

一個數(shù)，力”的代換法等.

【變式探究】

4

1.求證:---\-a>7(。>3)

a-3

【答案】見解析

44

【解析】證明:——+。=——+。―3+3由基本不等式和。>3得

a-33

44?4

-------\-a--------3+322」--------------3)+3

a-3a-3\a-3

=2x〃+3=7

4

當(dāng)且僅當(dāng)——=a—3即。=5時取等號.

a-3

2.已知。、b、c都是正數(shù)，求證：(。+b)(Z?+c)(c+a)28a〃c

【答案】見解析

【解析】???〃、b、c都是正數(shù)

：.a+b>2y/Zb>0（當(dāng)且僅當(dāng)〃=時，取等號）

Z?+cN2癡>0（當(dāng)且僅當(dāng)/?二c時，取等號）

C+422而>0（當(dāng)且僅當(dāng)c=4時，取等號）

，（〃+〃）S+c）（c+a）2=權(quán),（當(dāng)且僅當(dāng)時，取等號）

即（。+/?）（/?+c）（c+a）>8abc.

考點(diǎn)二：利用基本不等式求最值

例3.【多選題】（2021?遼寧葫蘆島市?高三一模）設(shè)正實(shí)數(shù)〃，〃滿足。+〃=1,則（）

A.■1+1有最小值4B.冬有最大值!

aba+b2

C.G+JF有最大值④D./+〃有最小值!

【答案】ACD

【解析】

根據(jù)基本不等式結(jié)合不等式的性質(zhì)判斷.

【詳解】

因?yàn)椤Ｇ摇?〃=1,

所以2]=1,當(dāng)且僅當(dāng)〃二〃二!時等號成立，即,心的最大值為1,

I2J424

11a+b1-,,

——-=---=—>4,A正確；

abahab

ab1

----=ab<—,B錯誤；

a+b4

五+加=da+b+2瓢W/+2。=&，C止確；

a2+b2=（a+b）2-lab=1-lab>l-2x—=—,D正確.

42

故選：ACD.

例4.（2021?浙江高三月考）若正實(shí)數(shù)。，匕滿足從之3/+2而，則的最小值是

a2a+b

c.2+20D.3

【答案】A

【解析】由題意，因?yàn)?，〃+"=1,

1111、…、,"2m、--/〃2m__k

則nil—i—=(z—i—),(2,/TI+〃)=3H------1------23+2J—?—=3+25/2?

Mnmnmnvn

當(dāng)且僅當(dāng)士?=一"，即〃=應(yīng)加時等號成立，

mn

所以工+工的最小值為3+2正，故選A.

mn

2.(2019年高考天津卷文)設(shè)x>0,y>0,x+2y=4,則包里乂絲里！的最小值為

不，

9

【答案】-

2

?…r(x+D(2y+l)2xy+2y+x+\2孫+5”5

［解析］-------------=----------------=--------=2+—.

盯xyxyxy

因?yàn)閤>0,y>0,x+2y=4,

所以x+2y=4N2jx-2y,

即^^2,0<xyW2，當(dāng)且僅當(dāng)x=2)，=2時取等號成立.

519

乂因?yàn)?+—22+5X7=7，

xy22

g”(x+D(2y+l).曰［/占*9

所以-------------的最小值為

2

【總結(jié)提升】

通過拼湊法利用基本不等式求最值的策略

拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)犍，利用拼湊法求解最值應(yīng)注意以下幾個方面

的問題：

(1)拼湊的技巧，以整式為基礎(chǔ)，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形；

(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)；

(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.

考點(diǎn)三：基本不等式的實(shí)際應(yīng)用

例5.(2021?陜西西安市?交大附中高三其他模擬(理))已知圓錐的母線長為2,側(cè)面積為S,體積為V,則

T取得最大值時圓錐的體積為()

S

R46rr垃冗

A.空D,也

3363

【答案】D

【解析】

設(shè)圓錐底面半徑為，?，高為人,根據(jù)圓錐的側(cè)面積和體積公式，求得二二，八/4一產(chǎn)，結(jié)合基本不等式求

S6

得r=0時取得最大值，進(jìn)而求得圓錐的體積.

【詳解】

設(shè)圓錐底面半徑為，高為力，住題意可得母線/=2,

所以圓錐的側(cè)面積為S=%"=27r,且介=尸=,4一戶,

所以圓錐的體積為V=47urh=--”一產(chǎn),

33

則2

S2仃6623

當(dāng)且僅當(dāng)廠二仁了，即r=時取等號，

333

故選:D.

【規(guī)律方法】

1.用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：

(1)理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；

(2)建立相應(yīng)的函數(shù)關(guān)系式，把實(shí)際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；

(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；

(4)正確寫出答案.

2.利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題注意點(diǎn)：

(1)此類型的題目往往較長，解題時需認(rèn)真閱讀，從中提煉出有用信息，建立數(shù)學(xué)模型，轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問題求

解.

(2)當(dāng)運(yùn)用基本不等式求最值時，若等號成立的自變量不在定義域內(nèi)時，就不能使用基本不等式求解，此時

可根據(jù)變量的范圍用對應(yīng)函數(shù)的單調(diào)性求解.

【易錯警示】忽視不等式等號成立的條件！

【變式探究】

（江蘇高考真題）某公司一年購買某種貨物600噸，每次購買x噸，運(yùn)費(fèi)為6萬元/次，一年的總存儲費(fèi)用

為4x萬元，要使一年的總運(yùn)費(fèi)與總存儲之和最小，則X的值是.

【答案】30

【解析】總費(fèi)用4x+Mx6=4（x+亞）24x2師=240,當(dāng)且僅當(dāng)工=出，即x=30時等號成立.

XXX

考點(diǎn)四：基本不等式的綜合運(yùn)用

例6.（2021?內(nèi)蒙古赤峰市?高三二模（文））的內(nèi)角4,B,C的對邊分別為mb,C,若

.（乃）1

sin2/4+—=—,/?+c=4,則〃的最小值為.

I6；2

【答案】2

【解析】

結(jié)合A的范圍求出角A的值，結(jié)合余弦定理以及基本不等式求出a的范圍，從而可得到a的最小值

【詳解】

/[2、

解：因?yàn)锳w（0,/r）,所以+,

61667

因?yàn)閟in(2A+f]=],所以24+工=紅，解得A=工，

I6J2663

由氽弦定理得cosA=°+：_—=1-,則/『+c，2一c『二be?

2bc2

所以=b2+c2-be=(b+c)2-3bc,

因?yàn)槿薱K?l￡L=4，力+c=4,

4

所以16—3〃。之4，當(dāng)且僅當(dāng)〃=c=2時取等號，

所以片24,解得。22,當(dāng)且僅當(dāng)b=c=2時取等號,

所以。的最小值為2,

故答案為：2

例7.（2020?黑龍江省佳木斯一中高一?期中（理））己知函數(shù)/*）=（6+以2?〃a+6-1（相6足）.

（1）若不等式/W＜。的解集為0,求〃?的取值范圍;

（2）當(dāng)機(jī)＞一2時，解不等式/（x）2，〃：

（3）若不等式/（X）20的解集為D,若［-1,1］口。，求，”的取值范圍.

【答案】(1)w>—；(2)[x\\<x<i

卜⑶〃此里.

3in+13

【解析】

(1)①當(dāng)〃7+1=0即m=一1時，/(x)=x-2,不合題意;

②當(dāng)m+\*0即m。一1時，

〃2+1>0tn>-1

A=w2-4(w+l)(m-l)<03/n2-4>0

m>-1

12百戰(zhàn)2石''?~r—

in<------或〃z>----3

33

(2)/(X)N機(jī)即-Z71V-1>0

即[(/7?4-l)X+i](X-l)>0

①當(dāng)機(jī)+1=0即〃2=-1時，解集為“1x21}

②當(dāng)初+1〉0即〃?〉一1時，^X+—^-jj(x-l)>0

,:一一???解集為｛x|xW-——<r>l｝

m+1m+1

(j)

③當(dāng)m+1<0即一2<〃?<一1時，x+--(^-1)<0

Irn+\J

V-2<Hl<-1*所以一1<〃7+1<0,所以------->1

m+\

??.解集為｛x|lWx?一——)

〃7+1

(3)不等式/(式)20的解集為O，[-

即對任意的X?T[],不等式(〃?+1)工2-出x+根-120恒成立,

即〃?(“2一、_(_1)之-X2+1恒成立，

—+ID—X

因?yàn)閒一工+1>o恒成立，所以陽2J+I=-]+,:X.恒成立,

x~-X+1廠—X+1

設(shè)2-3=八則/w[l,3],x=2—f,

2-x_t_z_1

所以工2_工+](2-r)2-(2-r'i+l/一3/+33,

t

3

因?yàn)?+-22石，當(dāng)且僅當(dāng)時取等號，

t

所以Jr工J_=邁2,當(dāng)且僅當(dāng)工=2-退時取等號,

x—x+12>/3—33

-x2+12百

所以當(dāng)工=2—6時,亍

x~-X+1,max

所以〃2二2叵

【總結(jié)提升】

基本不等式的綜合應(yīng)用求解策略

(1)應(yīng)用基本不等式判斷不等式是否成立：對所給不等式(或式子)變形，然后利用基本不等式求解.

(2)條件不等式的最值問題：通過條件轉(zhuǎn)化成能利用基本不等式的形式求解.

(3)求參數(shù)的值或范圍：觀察題目特點(diǎn)，利用基本不等式確定相關(guān)成立條件，從而得到參數(shù)的值或范圍.

【變式探究】

1.(天津市河北區(qū)2019屆高三二校)已知首項(xiàng)與公比相等的等比數(shù)列｛&｝中，若m,〃￡>1.,滿足由/篦2=以2,

則三+三的最小值為__________.

mn

【答案】1

【解析】設(shè)等比數(shù)列｛Q"公比為q，則首項(xiàng)%=q,

由QmQ看=若得：&qmT?(aiQn-1)2=(Q]q3)2,

則：qm+2n=qQ,m+2n=8,

-4--=--(-+-)(zn+2n)=--(2+—+—4-2)=--(^44--4--

mn8\mnJ3\mnJ8